Theorem pmtrcnel 33082

Description: Composing a permutation 𝐹 with a transposition which results in moving at least one less point. Here the set of points moved by a permutation 𝐹 is expressed as dom (𝐹 ∖ I ). (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrcnel.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
pmtrcnel.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrcnel.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
pmtrcnel.j	⊢ 𝐽 = (𝐹‘𝐼)
pmtrcnel.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
pmtrcnel.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
pmtrcnel.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))

Assertion

Ref	Expression
pmtrcnel	⊢ (𝜑 → dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ⊆ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))

Proof of Theorem pmtrcnel

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvdco 19487	. . . . . 6 ⊢ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ⊆ (dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ∪ dom (𝐹 ∖ I ))
2		pmtrcnel.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		difss 4159	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹
4		dmss 5927	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹
6		pmtrcnel.i	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
7	5, 6	sselid 4006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ dom 𝐹)
8		pmtrcnel.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
9		pmtrcnel.s	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
10		pmtrcnel.b	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
11	9, 10	symgbasf1o 19416	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷)
12		f1of 6862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 → 𝐹:𝐷⟶𝐷)
13	8, 11, 12	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝐷)
14	13	fdmd 6757	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷)
15	7, 14	eleqtrd 2846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
16		pmtrcnel.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐽 = (𝐹‘𝐼)
17	13, 15	ffvelcdmd 7119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐼) ∈ 𝐷)
18	16, 17	eqeltrid 2848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
19	15, 18	prssd 4847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷)
20	13	ffnd 6748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
21		fnelnfp 7211	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) → (𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ (𝐹‘𝐼) ≠ 𝐼))
22	21	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) ∧ 𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → (𝐹‘𝐼) ≠ 𝐼)
23	20, 15, 6, 22	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐼) ≠ 𝐼)
24	23	necomd 3002	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ (𝐹‘𝐼))
25	16	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (𝐹‘𝐼))
26	24, 25	neeqtrrd 3021	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
27		enpr2 10071	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → {𝐼, 𝐽} ≈ 2o)
28	15, 18, 26, 27	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ≈ 2o)
29		pmtrcnel.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
30	29	pmtrmvd 19498	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷 ∧ {𝐼, 𝐽} ≈ 2o) → dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) = {𝐼, 𝐽})
31	2, 19, 28, 30	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) = {𝐼, 𝐽})
32	8, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷)
33		f1omvdmvd 19485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ 𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → (𝐹‘𝐼) ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
34	32, 6, 33	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐼) ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
35	16, 34	eqeltrid 2848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
36	35	eldifad 3988	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
37	6, 36	prssd 4847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ⊆ dom (𝐹 ∖ I ))
38	31, 37	eqsstrd 4047	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ⊆ dom (𝐹 ∖ I ))
39		ssequn1 4209	. . . . . . 7 ⊢ (dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ⊆ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ (dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ∪ dom (𝐹 ∖ I )) = dom (𝐹 ∖ I ))
40	38, 39	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ∪ dom (𝐹 ∖ I )) = dom (𝐹 ∖ I ))
41	1, 40	sseqtrid 4061	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ⊆ dom (𝐹 ∖ I ))
42	41	sselda 4008	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )) → 𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
43		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑥 = 𝐼)
44		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ran 𝑇 = ran 𝑇
45	29, 44	pmtrrn 19499	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷 ∧ {𝐼, 𝐽} ≈ 2o) → (𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran 𝑇)
46	2, 19, 28, 45	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran 𝑇)
47	29, 44	pmtrff1o 19505	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran 𝑇 → (𝑇‘{𝐼, 𝐽}):𝐷–1-1-onto→𝐷)
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘{𝐼, 𝐽}):𝐷–1-1-onto→𝐷)
49		f1oco 6885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}):𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷) → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹):𝐷–1-1-onto→𝐷)
50	48, 32, 49	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹):𝐷–1-1-onto→𝐷)
51		f1ofn 6863	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹):𝐷–1-1-onto→𝐷 → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) Fn 𝐷)
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) Fn 𝐷)
53	13, 15	fvco3d 7022	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) = ((𝑇‘{𝐼, 𝐽})‘(𝐹‘𝐼)))
54	25	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐼) = 𝐽)
55	54	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽})‘(𝐹‘𝐼)) = ((𝑇‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽))
56	29	pmtrprfv2 33081	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽)) → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽) = 𝐼)
57	2, 15, 18, 26, 56	syl13anc 1372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽) = 𝐼)
58	53, 55, 57	3eqtrd 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) = 𝐼)
59		nne 2950	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) ≠ 𝐼 ↔ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) = 𝐼)
60	58, 59	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) ≠ 𝐼)
61		fnelnfp 7211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) Fn 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) → (𝐼 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ↔ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) ≠ 𝐼))
62	61	notbid 318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) Fn 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) → (¬ 𝐼 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ↔ ¬ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) ≠ 𝐼))
63	62	biimpar 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) Fn 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) ≠ 𝐼) → ¬ 𝐼 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ))
64	52, 15, 60, 63	syl21anc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐼 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ))
65	64	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐼) → ¬ 𝐼 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ))
66	43, 65	eqneltrd 2864	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐼) → ¬ 𝑥 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ))
67	66	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = 𝐼 → ¬ 𝑥 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )))
68	67	necon2ad 2961	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) → 𝑥 ≠ 𝐼))
69	68	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )) → 𝑥 ≠ 𝐼)
70		eldifsn 4811	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}) ↔ (𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ∧ 𝑥 ≠ 𝐼))
71	42, 69, 70	sylanbrc 582	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )) → 𝑥 ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
72	71	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) → 𝑥 ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼})))
73	72	ssrdv 4014	1 ⊢ (𝜑 → dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ⊆ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ∖ cdif 3973   ∪ cun 3974   ⊆ wss 3976  {csn 4648  {cpr 4650   class class class wbr 5166   I cid 5592  dom cdm 5700  ran crn 5701   ∘ ccom 5704   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  –1-1-onto→wf1o 6572  ‘cfv 6573  2_oc2o 8516   ≈ cen 9000  Basecbs 17258  SymGrpcsymg 19410  pmTrspcpmtr 19483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-tset 17330  df-efmnd 18904  df-symg 19411  df-pmtr 19484

This theorem is referenced by:  pmtrcnelor  33084