Theorem pmtrcnel 33700

Description: Composing a permutation 𝐹 with a transposition which results in moving at least one less point. Here the set of points moved by a permutation 𝐹 is expressed as dom (𝐹 ∖ I ). (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrcnel.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
pmtrcnel.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrcnel.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
pmtrcnel.j	⊢ 𝐽 = (𝐹‘𝐼)
pmtrcnel.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
pmtrcnel.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
pmtrcnel.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))

Assertion

Ref	Expression
pmtrcnel	⊢ (𝜑 → dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ⊆ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))

Proof of Theorem pmtrcnel

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvdco 19668	. . . . . 6 ⊢ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ⊆ (dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ∪ dom (𝐹 ∖ I ))
2		pmtrcnel.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		difss 4071	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹
4		dmss 5885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹
6		pmtrcnel.i	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
7	5, 6	sselid 3907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ dom 𝐹)
8		pmtrcnel.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
9		pmtrcnel.s	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
10		pmtrcnel.b	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
11	9, 10	symgbasf1o 19598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷)
12		f1of 6829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 → 𝐹:𝐷⟶𝐷)
13	8, 11, 12	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝐷)
14	13	fdmd 6725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷)
15	7, 14	eleqtrd 2862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
16		pmtrcnel.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐽 = (𝐹‘𝐼)
17	13, 15	ffvelcdmd 7090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐼) ∈ 𝐷)
18	16, 17	eqeltrid 2864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
19	15, 18	prssd 4777	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷)
20	13	ffnd 6715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
21		fnelnfp 7186	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) → (𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ (𝐹‘𝐼) ≠ 𝐼))
22	21	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) ∧ 𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → (𝐹‘𝐼) ≠ 𝐼)
23	20, 15, 6, 22	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐼) ≠ 𝐼)
24	23	necomd 3010	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ (𝐹‘𝐼))
25	16	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (𝐹‘𝐼))
26	24, 25	neeqtrrd 3029	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
27		enpr2 10090	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → {𝐼, 𝐽} ≈ 2o)
28	15, 18, 26, 27	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ≈ 2o)
29		pmtrcnel.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
30	29	pmtrmvd 19679	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷 ∧ {𝐼, 𝐽} ≈ 2o) → dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) = {𝐼, 𝐽})
31	2, 19, 28, 30	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) = {𝐼, 𝐽})
32	8, 11	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷)
33		f1omvdmvd 19666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ 𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → (𝐹‘𝐼) ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
34	32, 6, 33	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐼) ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
35	16, 34	eqeltrid 2864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
36	35	eldifad 4050	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
37	6, 36	prssd 4777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ⊆ dom (𝐹 ∖ I ))
38	31, 37	eqsstrd 3943	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ⊆ dom (𝐹 ∖ I ))
39		ssequn1 4183	. . . . . . 7 ⊢ (dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ⊆ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ (dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ∪ dom (𝐹 ∖ I )) = dom (𝐹 ∖ I ))
40	38, 39	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ∪ dom (𝐹 ∖ I )) = dom (𝐹 ∖ I ))
41	1, 40	sseqtrid 3951	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ⊆ dom (𝐹 ∖ I ))
42	41	sselda 3909	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )) → 𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
43		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑥 = 𝐼)
44		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ran 𝑇 = ran 𝑇
45	29, 44	pmtrrn 19680	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷 ∧ {𝐼, 𝐽} ≈ 2o) → (𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran 𝑇)
46	2, 19, 28, 45	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran 𝑇)
47	29, 44	pmtrff1o 19686	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran 𝑇 → (𝑇‘{𝐼, 𝐽}):𝐷–1-1-onto→𝐷)
48	46, 47	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘{𝐼, 𝐽}):𝐷–1-1-onto→𝐷)
49		f1oco 6853	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}):𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷) → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹):𝐷–1-1-onto→𝐷)
50	48, 32, 49	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹):𝐷–1-1-onto→𝐷)
51		f1ofn 6830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹):𝐷–1-1-onto→𝐷 → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) Fn 𝐷)
52	50, 51	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) Fn 𝐷)
53	13, 15	fvco3d 6991	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) = ((𝑇‘{𝐼, 𝐽})‘(𝐹‘𝐼)))
54	25	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐼) = 𝐽)
55	54	fveq2d 6894	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽})‘(𝐹‘𝐼)) = ((𝑇‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽))
56	29	pmtrprfv2 33699	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽)) → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽) = 𝐼)
57	2, 15, 18, 26, 56	syl13anc 1399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽) = 𝐼)
58	53, 55, 57	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) = 𝐼)
59		nne 2959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) ≠ 𝐼 ↔ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) = 𝐼)
60	58, 59	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) ≠ 𝐼)
61		fnelnfp 7186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) Fn 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) → (𝐼 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ↔ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) ≠ 𝐼))
62	61	notbid 321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) Fn 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) → (¬ 𝐼 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ↔ ¬ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) ≠ 𝐼))
63	62	biimpar 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) Fn 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) ≠ 𝐼) → ¬ 𝐼 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ))
64	52, 15, 60, 63	syl21anc 851	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐼 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ))
65	64	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐼) → ¬ 𝐼 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ))
66	43, 65	eqneltrd 2880	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐼) → ¬ 𝑥 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ))
67	66	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = 𝐼 → ¬ 𝑥 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )))
68	67	necon2ad 2970	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) → 𝑥 ≠ 𝐼))
69	68	imp 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )) → 𝑥 ≠ 𝐼)
70		eldifsn 4744	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}) ↔ (𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ∧ 𝑥 ≠ 𝐼))
71	42, 69, 70	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )) → 𝑥 ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
72	71	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) → 𝑥 ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼})))
73	72	ssrdv 3915	1 ⊢ (𝜑 → dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ⊆ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3896   ∖ cdif 4044   ∪ cun 4148  {csn 4584  {cpr 4586   class class class wbr 5102   I cid 5545  dom cdm 5651  ran crn 5652   ∘ ccom 5655   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  2_oc2o 8478   ≈ cen 8978  Basecbs 17396  SymGrpcsymg 19592  pmTrspcpmtr 19664

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-er 8725  df-map 8857  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-tset 17456  df-efmnd 19074  df-symg 19593  df-pmtr 19665

This theorem is used by:  pmtrcnelor  33702