Theorem pmtrcnel 32521

Description: Composing a permutation 𝐹 with a transposition which results in moving at least one less point. Here the set of points moved by a permutation 𝐹 is expressed as dom (𝐹 ∖ I ). (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrcnel.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
pmtrcnel.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrcnel.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
pmtrcnel.j	⊢ 𝐽 = (𝐹‘𝐼)
pmtrcnel.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
pmtrcnel.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
pmtrcnel.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))

Assertion

Ref	Expression
pmtrcnel	⊢ (𝜑 → dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ⊆ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))

Proof of Theorem pmtrcnel

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvdco 19355	. . . . . 6 ⊢ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ⊆ (dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ∪ dom (𝐹 ∖ I ))
2		pmtrcnel.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		difss 4131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹
4		dmss 5902	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹
6		pmtrcnel.i	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
7	5, 6	sselid 3980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ dom 𝐹)
8		pmtrcnel.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
9		pmtrcnel.s	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
10		pmtrcnel.b	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
11	9, 10	symgbasf1o 19284	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷)
12		f1of 6833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 → 𝐹:𝐷⟶𝐷)
13	8, 11, 12	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝐷)
14	13	fdmd 6728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷)
15	7, 14	eleqtrd 2834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
16		pmtrcnel.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐽 = (𝐹‘𝐼)
17	13, 15	ffvelcdmd 7087	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐼) ∈ 𝐷)
18	16, 17	eqeltrid 2836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
19	15, 18	prssd 4825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷)
20	13	ffnd 6718	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
21		fnelnfp 7177	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) → (𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ (𝐹‘𝐼) ≠ 𝐼))
22	21	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) ∧ 𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → (𝐹‘𝐼) ≠ 𝐼)
23	20, 15, 6, 22	syl21anc 835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐼) ≠ 𝐼)
24	23	necomd 2995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ (𝐹‘𝐼))
25	16	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (𝐹‘𝐼))
26	24, 25	neeqtrrd 3014	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
27		enpr2 10000	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → {𝐼, 𝐽} ≈ 2o)
28	15, 18, 26, 27	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ≈ 2o)
29		pmtrcnel.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
30	29	pmtrmvd 19366	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷 ∧ {𝐼, 𝐽} ≈ 2o) → dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) = {𝐼, 𝐽})
31	2, 19, 28, 30	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) = {𝐼, 𝐽})
32	8, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷)
33		f1omvdmvd 19353	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ 𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → (𝐹‘𝐼) ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
34	32, 6, 33	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐼) ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
35	16, 34	eqeltrid 2836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
36	35	eldifad 3960	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
37	6, 36	prssd 4825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ⊆ dom (𝐹 ∖ I ))
38	31, 37	eqsstrd 4020	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ⊆ dom (𝐹 ∖ I ))
39		ssequn1 4180	. . . . . . 7 ⊢ (dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ⊆ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ (dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ∪ dom (𝐹 ∖ I )) = dom (𝐹 ∖ I ))
40	38, 39	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ∪ dom (𝐹 ∖ I )) = dom (𝐹 ∖ I ))
41	1, 40	sseqtrid 4034	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ⊆ dom (𝐹 ∖ I ))
42	41	sselda 3982	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )) → 𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
43		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑥 = 𝐼)
44		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ran 𝑇 = ran 𝑇
45	29, 44	pmtrrn 19367	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷 ∧ {𝐼, 𝐽} ≈ 2o) → (𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran 𝑇)
46	2, 19, 28, 45	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran 𝑇)
47	29, 44	pmtrff1o 19373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran 𝑇 → (𝑇‘{𝐼, 𝐽}):𝐷–1-1-onto→𝐷)
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘{𝐼, 𝐽}):𝐷–1-1-onto→𝐷)
49		f1oco 6856	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}):𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷) → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹):𝐷–1-1-onto→𝐷)
50	48, 32, 49	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹):𝐷–1-1-onto→𝐷)
51		f1ofn 6834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹):𝐷–1-1-onto→𝐷 → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) Fn 𝐷)
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) Fn 𝐷)
53	13, 15	fvco3d 6991	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) = ((𝑇‘{𝐼, 𝐽})‘(𝐹‘𝐼)))
54	25	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐼) = 𝐽)
55	54	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽})‘(𝐹‘𝐼)) = ((𝑇‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽))
56	29	pmtrprfv2 32520	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽)) → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽) = 𝐼)
57	2, 15, 18, 26, 56	syl13anc 1371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽) = 𝐼)
58	53, 55, 57	3eqtrd 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) = 𝐼)
59		nne 2943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) ≠ 𝐼 ↔ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) = 𝐼)
60	58, 59	sylibr 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) ≠ 𝐼)
61		fnelnfp 7177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) Fn 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) → (𝐼 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ↔ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) ≠ 𝐼))
62	61	notbid 318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) Fn 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) → (¬ 𝐼 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ↔ ¬ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) ≠ 𝐼))
63	62	biimpar 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) Fn 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) ≠ 𝐼) → ¬ 𝐼 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ))
64	52, 15, 60, 63	syl21anc 835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐼 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ))
65	64	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐼) → ¬ 𝐼 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ))
66	43, 65	eqneltrd 2852	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐼) → ¬ 𝑥 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ))
67	66	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = 𝐼 → ¬ 𝑥 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )))
68	67	necon2ad 2954	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) → 𝑥 ≠ 𝐼))
69	68	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )) → 𝑥 ≠ 𝐼)
70		eldifsn 4790	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}) ↔ (𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ∧ 𝑥 ≠ 𝐼))
71	42, 69, 70	sylanbrc 582	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )) → 𝑥 ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
72	71	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) → 𝑥 ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼})))
73	72	ssrdv 3988	1 ⊢ (𝜑 → dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ⊆ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939   ∖ cdif 3945   ∪ cun 3946   ⊆ wss 3948  {csn 4628  {cpr 4630   class class class wbr 5148   I cid 5573  dom cdm 5676  ran crn 5677   ∘ ccom 5680   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  2_oc2o 8463   ≈ cen 8939  Basecbs 17149  SymGrpcsymg 19276  pmTrspcpmtr 19351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-tset 17221  df-efmnd 18787  df-symg 19277  df-pmtr 19352

This theorem is referenced by:  pmtrcnelor  32523