Theorem pmtrcnel 33094

Description: Composing a permutation 𝐹 with a transposition which results in moving at least one less point. Here the set of points moved by a permutation 𝐹 is expressed as dom (𝐹 ∖ I ). (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrcnel.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
pmtrcnel.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrcnel.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
pmtrcnel.j	⊢ 𝐽 = (𝐹‘𝐼)
pmtrcnel.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
pmtrcnel.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
pmtrcnel.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))

Assertion

Ref	Expression
pmtrcnel	⊢ (𝜑 → dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ⊆ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))

Proof of Theorem pmtrcnel

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvdco 19459	. . . . . 6 ⊢ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ⊆ (dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ∪ dom (𝐹 ∖ I ))
2		pmtrcnel.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		difss 4135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹
4		dmss 5911	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹
6		pmtrcnel.i	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
7	5, 6	sselid 3980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ dom 𝐹)
8		pmtrcnel.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
9		pmtrcnel.s	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
10		pmtrcnel.b	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
11	9, 10	symgbasf1o 19388	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷)
12		f1of 6846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 → 𝐹:𝐷⟶𝐷)
13	8, 11, 12	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝐷)
14	13	fdmd 6744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷)
15	7, 14	eleqtrd 2842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
16		pmtrcnel.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐽 = (𝐹‘𝐼)
17	13, 15	ffvelcdmd 7103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐼) ∈ 𝐷)
18	16, 17	eqeltrid 2844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
19	15, 18	prssd 4820	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷)
20	13	ffnd 6735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
21		fnelnfp 7195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) → (𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ (𝐹‘𝐼) ≠ 𝐼))
22	21	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) ∧ 𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → (𝐹‘𝐼) ≠ 𝐼)
23	20, 15, 6, 22	syl21anc 838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐼) ≠ 𝐼)
24	23	necomd 2995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ (𝐹‘𝐼))
25	16	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (𝐹‘𝐼))
26	24, 25	neeqtrrd 3014	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
27		enpr2 10038	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → {𝐼, 𝐽} ≈ 2o)
28	15, 18, 26, 27	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ≈ 2o)
29		pmtrcnel.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
30	29	pmtrmvd 19470	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷 ∧ {𝐼, 𝐽} ≈ 2o) → dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) = {𝐼, 𝐽})
31	2, 19, 28, 30	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) = {𝐼, 𝐽})
32	8, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷)
33		f1omvdmvd 19457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ 𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → (𝐹‘𝐼) ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
34	32, 6, 33	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐼) ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
35	16, 34	eqeltrid 2844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
36	35	eldifad 3962	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
37	6, 36	prssd 4820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ⊆ dom (𝐹 ∖ I ))
38	31, 37	eqsstrd 4017	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ⊆ dom (𝐹 ∖ I ))
39		ssequn1 4185	. . . . . . 7 ⊢ (dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ⊆ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ (dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ∪ dom (𝐹 ∖ I )) = dom (𝐹 ∖ I ))
40	38, 39	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ∪ dom (𝐹 ∖ I )) = dom (𝐹 ∖ I ))
41	1, 40	sseqtrid 4025	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ⊆ dom (𝐹 ∖ I ))
42	41	sselda 3982	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )) → 𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
43		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑥 = 𝐼)
44		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ran 𝑇 = ran 𝑇
45	29, 44	pmtrrn 19471	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷 ∧ {𝐼, 𝐽} ≈ 2o) → (𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran 𝑇)
46	2, 19, 28, 45	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran 𝑇)
47	29, 44	pmtrff1o 19477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran 𝑇 → (𝑇‘{𝐼, 𝐽}):𝐷–1-1-onto→𝐷)
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘{𝐼, 𝐽}):𝐷–1-1-onto→𝐷)
49		f1oco 6869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}):𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷) → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹):𝐷–1-1-onto→𝐷)
50	48, 32, 49	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹):𝐷–1-1-onto→𝐷)
51		f1ofn 6847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹):𝐷–1-1-onto→𝐷 → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) Fn 𝐷)
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) Fn 𝐷)
53	13, 15	fvco3d 7007	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) = ((𝑇‘{𝐼, 𝐽})‘(𝐹‘𝐼)))
54	25	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐼) = 𝐽)
55	54	fveq2d 6908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽})‘(𝐹‘𝐼)) = ((𝑇‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽))
56	29	pmtrprfv2 33093	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽)) → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽) = 𝐼)
57	2, 15, 18, 26, 56	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽) = 𝐼)
58	53, 55, 57	3eqtrd 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) = 𝐼)
59		nne 2943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) ≠ 𝐼 ↔ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) = 𝐼)
60	58, 59	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) ≠ 𝐼)
61		fnelnfp 7195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) Fn 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) → (𝐼 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ↔ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) ≠ 𝐼))
62	61	notbid 318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) Fn 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) → (¬ 𝐼 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ↔ ¬ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) ≠ 𝐼))
63	62	biimpar 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) Fn 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) ∧ ¬ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) ≠ 𝐼) → ¬ 𝐼 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ))
64	52, 15, 60, 63	syl21anc 838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐼 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ))
65	64	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐼) → ¬ 𝐼 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ))
66	43, 65	eqneltrd 2860	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐼) → ¬ 𝑥 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ))
67	66	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 = 𝐼 → ¬ 𝑥 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )))
68	67	necon2ad 2954	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) → 𝑥 ≠ 𝐼))
69	68	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )) → 𝑥 ≠ 𝐼)
70		eldifsn 4784	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}) ↔ (𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ∧ 𝑥 ≠ 𝐼))
71	42, 69, 70	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )) → 𝑥 ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
72	71	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) → 𝑥 ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼})))
73	72	ssrdv 3988	1 ⊢ (𝜑 → dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ⊆ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2939   ∖ cdif 3947   ∪ cun 3948   ⊆ wss 3950  {csn 4624  {cpr 4626   class class class wbr 5141   I cid 5575  dom cdm 5683  ran crn 5684   ∘ ccom 5687   Fn wfn 6554  ⟶wf 6555  –1-1-onto→wf1o 6558  ‘cfv 6559  2_oc2o 8496   ≈ cen 8978  Basecbs 17243  SymGrpcsymg 19382  pmTrspcpmtr 19455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4906  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8502  df-2o 8503  df-er 8741  df-map 8864  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-nn 12263  df-2 12325  df-3 12326  df-4 12327  df-5 12328  df-6 12329  df-7 12330  df-8 12331  df-9 12332  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12875  df-fz 13544  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17244  df-ress 17271  df-plusg 17306  df-tset 17312  df-efmnd 18878  df-symg 19383  df-pmtr 19456

This theorem is referenced by:  pmtrcnelor  33096