Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmtrcnel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrcnel 32221
Description: Composing a permutation 𝐹 with a transposition which results in moving at least one less point. Here the set of points moved by a permutation 𝐹 is expressed as dom (𝐹 ∖ I ). (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrcnel.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
pmtrcnel.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrcnel.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
pmtrcnel.j 𝐽 = (𝐹𝐼)
pmtrcnel.d (𝜑𝐷𝑉)
pmtrcnel.f (𝜑𝐹𝐵)
pmtrcnel.i (𝜑𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
Assertion
Ref Expression
pmtrcnel (𝜑 → dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ⊆ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))

Proof of Theorem pmtrcnel
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mvdco 19297 . . . . . 6 dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ⊆ (dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ∪ dom (𝐹 ∖ I ))
2 pmtrcnel.d . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷𝑉)
3 difss 4129 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹
4 dmss 5897 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹)
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹
6 pmtrcnel.i . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
75, 6sselid 3978 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐼 ∈ dom 𝐹)
8 pmtrcnel.f . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹𝐵)
9 pmtrcnel.s . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
10 pmtrcnel.b . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 = (Base‘𝑆)
119, 10symgbasf1o 19226 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹𝐵𝐹:𝐷1-1-onto𝐷)
12 f1of 6823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝐷1-1-onto𝐷𝐹:𝐷𝐷)
138, 11, 123syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝐷𝐷)
1413fdmd 6718 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷)
157, 14eleqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼𝐷)
16 pmtrcnel.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (𝐹𝐼)
1713, 15ffvelcdmd 7075 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝐼) ∈ 𝐷)
1816, 17eqeltrid 2838 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽𝐷)
1915, 18prssd 4821 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷)
2013ffnd 6708 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 Fn 𝐷)
21 fnelnfp 7162 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 Fn 𝐷𝐼𝐷) → (𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ (𝐹𝐼) ≠ 𝐼))
2221biimpa 478 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 Fn 𝐷𝐼𝐷) ∧ 𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → (𝐹𝐼) ≠ 𝐼)
2320, 15, 6, 22syl21anc 837 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹𝐼) ≠ 𝐼)
2423necomd 2997 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐼 ≠ (𝐹𝐼))
2516a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 = (𝐹𝐼))
2624, 25neeqtrrd 3016 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼𝐽)
27 enpr2 9984 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝐷𝐽𝐷𝐼𝐽) → {𝐼, 𝐽} ≈ 2o)
2815, 18, 26, 27syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ≈ 2o)
29 pmtrcnel.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
3029pmtrmvd 19308 . . . . . . . . 9 ((𝐷𝑉 ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷 ∧ {𝐼, 𝐽} ≈ 2o) → dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) = {𝐼, 𝐽})
312, 19, 28, 30syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) = {𝐼, 𝐽})
328, 11syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝐷1-1-onto𝐷)
33 f1omvdmvd 19295 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐷1-1-onto𝐷𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → (𝐹𝐼) ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
3432, 6, 33syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝐼) ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
3516, 34eqeltrid 2838 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
3635eldifad 3958 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
376, 36prssd 4821 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ⊆ dom (𝐹 ∖ I ))
3831, 37eqsstrd 4018 . . . . . . 7 (𝜑 → dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ⊆ dom (𝐹 ∖ I ))
39 ssequn1 4178 . . . . . . 7 (dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ⊆ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ (dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ∪ dom (𝐹 ∖ I )) = dom (𝐹 ∖ I ))
4038, 39sylib 217 . . . . . 6 (𝜑 → (dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ∪ dom (𝐹 ∖ I )) = dom (𝐹 ∖ I ))
411, 40sseqtrid 4032 . . . . 5 (𝜑 → dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ⊆ dom (𝐹 ∖ I ))
4241sselda 3980 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )) → 𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
43 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = 𝐼) → 𝑥 = 𝐼)
44 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 ran 𝑇 = ran 𝑇
4529, 44pmtrrn 19309 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷𝑉 ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷 ∧ {𝐼, 𝐽} ≈ 2o) → (𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran 𝑇)
462, 19, 28, 45syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran 𝑇)
4729, 44pmtrff1o 19315 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran 𝑇 → (𝑇‘{𝐼, 𝐽}):𝐷1-1-onto𝐷)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑇‘{𝐼, 𝐽}):𝐷1-1-onto𝐷)
49 f1oco 6846 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}):𝐷1-1-onto𝐷𝐹:𝐷1-1-onto𝐷) → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹):𝐷1-1-onto𝐷)
5048, 32, 49syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹):𝐷1-1-onto𝐷)
51 f1ofn 6824 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹):𝐷1-1-onto𝐷 → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) Fn 𝐷)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) Fn 𝐷)
5313, 15fvco3d 6980 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) = ((𝑇‘{𝐼, 𝐽})‘(𝐹𝐼)))
5425eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹𝐼) = 𝐽)
5554fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽})‘(𝐹𝐼)) = ((𝑇‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽))
5629pmtrprfv2 32220 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷𝑉 ∧ (𝐼𝐷𝐽𝐷𝐼𝐽)) → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽) = 𝐼)
572, 15, 18, 26, 56syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽})‘𝐽) = 𝐼)
5853, 55, 573eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) = 𝐼)
59 nne 2945 . . . . . . . . . . 11 (¬ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) ≠ 𝐼 ↔ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) = 𝐼)
6058, 59sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) ≠ 𝐼)
61 fnelnfp 7162 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) Fn 𝐷𝐼𝐷) → (𝐼 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ↔ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) ≠ 𝐼))
6261notbid 318 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) Fn 𝐷𝐼𝐷) → (¬ 𝐼 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ↔ ¬ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) ≠ 𝐼))
6362biimpar 479 . . . . . . . . . 10 (((((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) Fn 𝐷𝐼𝐷) ∧ ¬ (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)‘𝐼) ≠ 𝐼) → ¬ 𝐼 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ))
6452, 15, 60, 63syl21anc 837 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 𝐼 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ))
6564adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = 𝐼) → ¬ 𝐼 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ))
6643, 65eqneltrd 2854 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 𝐼) → ¬ 𝑥 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ))
6766ex 414 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 = 𝐼 → ¬ 𝑥 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )))
6867necon2ad 2956 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) → 𝑥𝐼))
6968imp 408 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )) → 𝑥𝐼)
70 eldifsn 4786 . . . 4 (𝑥 ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}) ↔ (𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ∧ 𝑥𝐼))
7142, 69, 70sylanbrc 584 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )) → 𝑥 ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
7271ex 414 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) → 𝑥 ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼})))
7372ssrdv 3986 1 (𝜑 → dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ⊆ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  cdif 3943  cun 3944  wss 3946  {csn 4624  {cpr 4626   class class class wbr 5144   I cid 5569  dom cdm 5672  ran crn 5673  ccom 5676   Fn wfn 6530  wf 6531  1-1-ontowf1o 6534  cfv 6535  2oc2o 8447  cen 8924  Basecbs 17131  SymGrpcsymg 19218  pmTrspcpmtr 19293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8691  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-4 12264  df-5 12265  df-6 12266  df-7 12267  df-8 12268  df-9 12269  df-n0 12460  df-z 12546  df-uz 12810  df-fz 13472  df-struct 17067  df-sets 17084  df-slot 17102  df-ndx 17114  df-base 17132  df-ress 17161  df-plusg 17197  df-tset 17203  df-efmnd 18737  df-symg 19219  df-pmtr 19294
This theorem is referenced by:  pmtrcnelor  32223
  Copyright terms: Public domain W3C validator