MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrfinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrfinv 19371
Description: A transposition function is an involution. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrrn.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrrn.r 𝑅 = ran 𝑇
Assertion
Ref Expression
pmtrfinv (𝐹𝑅 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐷))

Proof of Theorem pmtrfinv
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pmtrrn.t . . . . . . 7 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
2 pmtrrn.r . . . . . . 7 𝑅 = ran 𝑇
3 eqid 2731 . . . . . . 7 dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I )
41, 2, 3pmtrfrn 19368 . . . . . 6 (𝐹𝑅 → ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))))
54simpld 494 . . . . 5 (𝐹𝑅 → (𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o))
61pmtrf 19365 . . . . 5 ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷𝐷)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝐹𝑅 → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷𝐷)
84simprd 495 . . . . 5 (𝐹𝑅𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))
98feq1d 6702 . . . 4 (𝐹𝑅 → (𝐹:𝐷𝐷 ↔ (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷𝐷))
107, 9mpbird 257 . . 3 (𝐹𝑅𝐹:𝐷𝐷)
11 fco 6741 . . . 4 ((𝐹:𝐷𝐷𝐹:𝐷𝐷) → (𝐹𝐹):𝐷𝐷)
1211anidms 566 . . 3 (𝐹:𝐷𝐷 → (𝐹𝐹):𝐷𝐷)
13 ffn 6717 . . 3 ((𝐹𝐹):𝐷𝐷 → (𝐹𝐹) Fn 𝐷)
1410, 12, 133syl 18 . 2 (𝐹𝑅 → (𝐹𝐹) Fn 𝐷)
15 fnresi 6679 . . 3 ( I ↾ 𝐷) Fn 𝐷
1615a1i 11 . 2 (𝐹𝑅 → ( I ↾ 𝐷) Fn 𝐷)
171, 2, 3pmtrffv 19369 . . . . . . 7 ((𝐹𝑅𝑥𝐷) → (𝐹𝑥) = if(𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I ), (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥}), 𝑥))
18 iftrue 4534 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) → if(𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I ), (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥}), 𝑥) = (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥}))
1917, 18sylan9eq 2791 . . . . . 6 (((𝐹𝑅𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → (𝐹𝑥) = (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥}))
2019fveq2d 6895 . . . . 5 (((𝐹𝑅𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = (𝐹 (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥})))
21 simpll 764 . . . . . . 7 (((𝐹𝑅𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → 𝐹𝑅)
225simp2d 1142 . . . . . . . . 9 (𝐹𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷)
2322ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑅𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷)
24 1onn 8643 . . . . . . . . . . 11 1o ∈ ω
255simp3d 1143 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o)
26 df-2o 8471 . . . . . . . . . . . . 13 2o = suc 1o
2725, 26breqtrdi 5189 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ suc 1o)
2827ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑅𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ suc 1o)
29 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑅𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → 𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
30 dif1ennn 9165 . . . . . . . . . . 11 ((1o ∈ ω ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ suc 1o𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ≈ 1o)
3124, 28, 29, 30mp3an2i 1465 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑅𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ≈ 1o)
32 en1uniel 9032 . . . . . . . . . 10 ((dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ≈ 1o (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥}))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑅𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥}))
3433eldifad 3960 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑅𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
3523, 34sseldd 3983 . . . . . . 7 (((𝐹𝑅𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ∈ 𝐷)
361, 2, 3pmtrffv 19369 . . . . . . 7 ((𝐹𝑅 (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ∈ 𝐷) → (𝐹 (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥})) = if( (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ∈ dom (𝐹 ∖ I ), (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ { (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥})}), (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥})))
3721, 35, 36syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝐹𝑅𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → (𝐹 (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥})) = if( (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ∈ dom (𝐹 ∖ I ), (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ { (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥})}), (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥})))
38 iftrue 4534 . . . . . . . 8 ( (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ∈ dom (𝐹 ∖ I ) → if( (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ∈ dom (𝐹 ∖ I ), (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ { (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥})}), (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥})) = (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ { (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥})}))
3934, 38syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹𝑅𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → if( (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ∈ dom (𝐹 ∖ I ), (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ { (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥})}), (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥})) = (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ { (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥})}))
4025adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑅𝑥𝐷) → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o)
41 en2other2 10008 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ { (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥})}) = 𝑥)
4241ancoms 458 . . . . . . . 8 ((dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ { (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥})}) = 𝑥)
4340, 42sylan 579 . . . . . . 7 (((𝐹𝑅𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ { (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥})}) = 𝑥)
4439, 43eqtrd 2771 . . . . . 6 (((𝐹𝑅𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → if( (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ∈ dom (𝐹 ∖ I ), (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ { (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥})}), (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥})) = 𝑥)
4537, 44eqtrd 2771 . . . . 5 (((𝐹𝑅𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → (𝐹 (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥})) = 𝑥)
4620, 45eqtrd 2771 . . . 4 (((𝐹𝑅𝑥𝐷) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
4710ffnd 6718 . . . . . . . 8 (𝐹𝑅𝐹 Fn 𝐷)
48 fnelnfp 7177 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐷𝑥𝐷) → (𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ (𝐹𝑥) ≠ 𝑥))
4947, 48sylan 579 . . . . . . 7 ((𝐹𝑅𝑥𝐷) → (𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ (𝐹𝑥) ≠ 𝑥))
5049necon2bbid 2983 . . . . . 6 ((𝐹𝑅𝑥𝐷) → ((𝐹𝑥) = 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I )))
5150biimpar 477 . . . . 5 (((𝐹𝑅𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → (𝐹𝑥) = 𝑥)
52 fveq2 6891 . . . . . 6 ((𝐹𝑥) = 𝑥 → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
53 id 22 . . . . . 6 ((𝐹𝑥) = 𝑥 → (𝐹𝑥) = 𝑥)
5452, 53eqtrd 2771 . . . . 5 ((𝐹𝑥) = 𝑥 → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
5551, 54syl 17 . . . 4 (((𝐹𝑅𝑥𝐷) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
5646, 55pm2.61dan 810 . . 3 ((𝐹𝑅𝑥𝐷) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
57 fvco2 6988 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐷𝑥𝐷) → ((𝐹𝐹)‘𝑥) = (𝐹‘(𝐹𝑥)))
5847, 57sylan 579 . . 3 ((𝐹𝑅𝑥𝐷) → ((𝐹𝐹)‘𝑥) = (𝐹‘(𝐹𝑥)))
59 fvresi 7173 . . . 4 (𝑥𝐷 → (( I ↾ 𝐷)‘𝑥) = 𝑥)
6059adantl 481 . . 3 ((𝐹𝑅𝑥𝐷) → (( I ↾ 𝐷)‘𝑥) = 𝑥)
6156, 58, 603eqtr4d 2781 . 2 ((𝐹𝑅𝑥𝐷) → ((𝐹𝐹)‘𝑥) = (( I ↾ 𝐷)‘𝑥))
6214, 16, 61eqfnfvd 7035 1 (𝐹𝑅 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  Vcvv 3473  cdif 3945  wss 3948  ifcif 4528  {csn 4628   cuni 4908   class class class wbr 5148   I cid 5573  dom cdm 5676  ran crn 5677  cres 5678  ccom 5680  suc csuc 6366   Fn wfn 6538  wf 6539  cfv 6543  ωcom 7859  1oc1o 8463  2oc2o 8464  cen 8940  pmTrspcpmtr 19351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7860  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pmtr 19352
This theorem is referenced by:  pmtrff1o  19373  pmtrfcnv  19374  symggen  19380  psgnunilem1  19403  cyc3genpmlem  32581
  Copyright terms: Public domain W3C validator