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Theorem mdetdiaglem 22619
Description: Lemma for mdetdiag 22620. Previously part of proof for mdet1 22622. (Contributed by SO, 10-Jul-2018.) (Revised by AV, 17-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetdiag.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetdiag.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetdiag.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetdiag.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
mdetdiag.0 0 = (0g𝑅)
mdetdiaglem.g 𝐻 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
mdetdiaglem.z 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
mdetdiaglem.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
mdetdiaglem.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
mdetdiaglem (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) ∧ (𝑃𝐻𝑃 ≠ ( I ↾ 𝑁))) → (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘)))) = 0 )
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝑖,𝑀,𝑗,𝑘   𝑖,𝑁,𝑗,𝑘   𝑃,𝑖,𝑗,𝑘   𝑅,𝑘   0 ,𝑖,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗,𝑘)   𝐵(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖,𝑗,𝑘)   𝑅(𝑖,𝑗)   𝑆(𝑖,𝑗,𝑘)   · (𝑖,𝑗,𝑘)   𝐺(𝑖,𝑗)   𝐻(𝑖,𝑗)   𝑍(𝑖,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem mdetdiaglem
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetdiaglem.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
21a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) ∧ (𝑃𝐻𝑃 ≠ ( I ↾ 𝑁))) → 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅))
3 mdetdiaglem.s . . . . . 6 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
43a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) ∧ (𝑃𝐻𝑃 ≠ ( I ↾ 𝑁))) → 𝑆 = (pmSgn‘𝑁))
52, 4coeq12d 5877 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) ∧ (𝑃𝐻𝑃 ≠ ( I ↾ 𝑁))) → (𝑍𝑆) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)))
65fveq1d 6908 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) ∧ (𝑃𝐻𝑃 ≠ ( I ↾ 𝑁))) → ((𝑍𝑆)‘𝑃) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑃))
7 eqid 2734 . . . . . . . . . . . 12 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
8 mdetdiaglem.g . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
97, 8symgbasf1o 19406 . . . . . . . . . . 11 (𝑃𝐻𝑃:𝑁1-1-onto𝑁)
10 f1ofn 6849 . . . . . . . . . . 11 (𝑃:𝑁1-1-onto𝑁𝑃 Fn 𝑁)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑃𝐻𝑃 Fn 𝑁)
12 fnnfpeq0 7197 . . . . . . . . . 10 (𝑃 Fn 𝑁 → (dom (𝑃 ∖ I ) = ∅ ↔ 𝑃 = ( I ↾ 𝑁)))
1311, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑃𝐻 → (dom (𝑃 ∖ I ) = ∅ ↔ 𝑃 = ( I ↾ 𝑁)))
1413adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑃𝐻) → (dom (𝑃 ∖ I ) = ∅ ↔ 𝑃 = ( I ↾ 𝑁)))
1514bicomd 223 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑃𝐻) → (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) ↔ dom (𝑃 ∖ I ) = ∅))
1615necon3bid 2982 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑃𝐻) → (𝑃 ≠ ( I ↾ 𝑁) ↔ dom (𝑃 ∖ I ) ≠ ∅))
17 n0 4358 . . . . . . 7 (dom (𝑃 ∖ I ) ≠ ∅ ↔ ∃𝑠 𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))
18 eqid 2734 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
19 mdetdiag.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
20 eqid 2734 . . . . . . . . . . . 12 (.r𝑅) = (.r𝑅)
2119, 20mgpplusg 20155 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑅) = (+g𝐺)
2219crngmgp 20258 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
23223ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → 𝐺 ∈ CMnd)
2423ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → 𝐺 ∈ CMnd)
25 simpll2 1212 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → 𝑁 ∈ Fin)
26 mdetdiag.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
27 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
28 mdetdiag.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐵 = (Base‘𝐴)
2926, 27, 28matbas2i 22443 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀𝐵𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
30293ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
31 elmapi 8887 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
3319, 27mgpbas 20157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺)
3433eqcomi 2743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘𝐺) = (Base‘𝑅)
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑅))
3635feq3d 6723 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → (𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝐺) ↔ 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅)))
3732, 36mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝐺))
3837ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝐺))
397, 8symgbasf 19407 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃𝐻𝑃:𝑁𝑁)
4039ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → 𝑃:𝑁𝑁)
4140ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑃𝑘) ∈ 𝑁)
42 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑘𝑁)
4338, 41, 42fovcdmd 7604 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) ∧ 𝑘𝑁) → ((𝑃𝑘)𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝐺))
44 disjdif 4477 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑠} ∩ (𝑁 ∖ {𝑠})) = ∅
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → ({𝑠} ∩ (𝑁 ∖ {𝑠})) = ∅)
46 difss 4145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∖ I ) ⊆ 𝑃
47 dmss 5915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∖ I ) ⊆ 𝑃 → dom (𝑃 ∖ I ) ⊆ dom 𝑃)
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 dom (𝑃 ∖ I ) ⊆ dom 𝑃
4939adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑃𝐻) → 𝑃:𝑁𝑁)
5048, 49fssdm 6755 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑃𝐻) → dom (𝑃 ∖ I ) ⊆ 𝑁)
5150sseld 3993 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑃𝐻) → (𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ) → 𝑠𝑁))
5251impr 454 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → 𝑠𝑁)
5352snssd 4813 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → {𝑠} ⊆ 𝑁)
54 undif 4487 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑠} ⊆ 𝑁 ↔ ({𝑠} ∪ (𝑁 ∖ {𝑠})) = 𝑁)
5553, 54sylib 218 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → ({𝑠} ∪ (𝑁 ∖ {𝑠})) = 𝑁)
5655eqcomd 2740 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → 𝑁 = ({𝑠} ∪ (𝑁 ∖ {𝑠})))
5718, 21, 24, 25, 43, 45, 56gsummptfidmsplit 19962 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑠} ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘)))(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠}) ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘)))))
58 crngring 20262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
5958adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ Ring)
6019ringmgp 20256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ Mnd)
62613adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
6362ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → 𝐺 ∈ Mnd)
64 vex 3481 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑠 ∈ V
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → 𝑠 ∈ V)
6632ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
6740, 52ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → (𝑃𝑠) ∈ 𝑁)
6866, 67, 52fovcdmd 7604 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → ((𝑃𝑠)𝑀𝑠) ∈ (Base‘𝑅))
69 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑠 → (𝑃𝑘) = (𝑃𝑠))
70 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑠𝑘 = 𝑠)
7169, 70oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑠 → ((𝑃𝑘)𝑀𝑘) = ((𝑃𝑠)𝑀𝑠))
7233, 71gsumsn 19986 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑠 ∈ V ∧ ((𝑃𝑠)𝑀𝑠) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑠} ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘))) = ((𝑃𝑠)𝑀𝑠))
7363, 65, 68, 72syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑠} ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘))) = ((𝑃𝑠)𝑀𝑠))
74 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → 𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))
7511ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → 𝑃 Fn 𝑁)
76 fnelnfp 7196 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 Fn 𝑁𝑠𝑁) → (𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ) ↔ (𝑃𝑠) ≠ 𝑠))
7775, 52, 76syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → (𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ) ↔ (𝑃𝑠) ≠ 𝑠))
7874, 77mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → (𝑃𝑠) ≠ 𝑠)
7939ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → 𝑃:𝑁𝑁)
8039adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑃𝐻) → 𝑃:𝑁𝑁)
8148, 80fssdm 6755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑃𝐻) → dom (𝑃 ∖ I ) ⊆ 𝑁)
8281sseld 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑃𝐻) → (𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ) → 𝑠𝑁))
8382impr 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → 𝑠𝑁)
8479, 83ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → (𝑃𝑠) ∈ 𝑁)
85 neeq1 3000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = (𝑃𝑠) → (𝑖𝑗 ↔ (𝑃𝑠) ≠ 𝑗))
86 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = (𝑃𝑠) → (𝑖𝑀𝑗) = ((𝑃𝑠)𝑀𝑗))
8786eqeq1d 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = (𝑃𝑠) → ((𝑖𝑀𝑗) = 0 ↔ ((𝑃𝑠)𝑀𝑗) = 0 ))
8885, 87imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (𝑃𝑠) → ((𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) ↔ ((𝑃𝑠) ≠ 𝑗 → ((𝑃𝑠)𝑀𝑗) = 0 )))
89 neeq2 3001 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑠 → ((𝑃𝑠) ≠ 𝑗 ↔ (𝑃𝑠) ≠ 𝑠))
90 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = 𝑠 → ((𝑃𝑠)𝑀𝑗) = ((𝑃𝑠)𝑀𝑠))
9190eqeq1d 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑠 → (((𝑃𝑠)𝑀𝑗) = 0 ↔ ((𝑃𝑠)𝑀𝑠) = 0 ))
9289, 91imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑠 → (((𝑃𝑠) ≠ 𝑗 → ((𝑃𝑠)𝑀𝑗) = 0 ) ↔ ((𝑃𝑠) ≠ 𝑠 → ((𝑃𝑠)𝑀𝑠) = 0 )))
9388, 92rspc2v 3632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃𝑠) ∈ 𝑁𝑠𝑁) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → ((𝑃𝑠) ≠ 𝑠 → ((𝑃𝑠)𝑀𝑠) = 0 )))
9484, 83, 93syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → ((𝑃𝑠) ≠ 𝑠 → ((𝑃𝑠)𝑀𝑠) = 0 )))
9594impancom 451 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → ((𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I )) → ((𝑃𝑠) ≠ 𝑠 → ((𝑃𝑠)𝑀𝑠) = 0 )))
9695imp 406 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → ((𝑃𝑠) ≠ 𝑠 → ((𝑃𝑠)𝑀𝑠) = 0 ))
9778, 96mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → ((𝑃𝑠)𝑀𝑠) = 0 )
9873, 97eqtrd 2774 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑠} ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘))) = 0 )
9998oveq1d 7445 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑠} ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘)))(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠}) ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘)))) = ( 0 (.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠}) ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘)))))
100583ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
101100ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → 𝑅 ∈ Ring)
10223adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑃𝐻) → 𝐺 ∈ CMnd)
103 simpl2 1191 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑃𝐻) → 𝑁 ∈ Fin)
104 difss 4145 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∖ {𝑠}) ⊆ 𝑁
105 ssfi 9211 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ (𝑁 ∖ {𝑠}) ⊆ 𝑁) → (𝑁 ∖ {𝑠}) ∈ Fin)
106103, 104, 105sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑃𝐻) → (𝑁 ∖ {𝑠}) ∈ Fin)
10732ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑃𝐻) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠})) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
10880adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑃𝐻) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠})) → 𝑃:𝑁𝑁)
109 eldifi 4140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠}) → 𝑘𝑁)
110109adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑃𝐻) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠})) → 𝑘𝑁)
111108, 110ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑃𝐻) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠})) → (𝑃𝑘) ∈ 𝑁)
112107, 111, 110fovcdmd 7604 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑃𝐻) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠})) → ((𝑃𝑘)𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
113112ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑃𝐻) → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠})((𝑃𝑘)𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
11433, 102, 106, 113gsummptcl 19999 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑃𝐻) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠}) ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
115114ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠}) ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
116 mdetdiag.0 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g𝑅)
11727, 20, 116ringlz 20306 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠}) ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘))) ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠}) ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘)))) = 0 )
118101, 115, 117syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → ( 0 (.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠}) ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘)))) = 0 )
11957, 99, 1183eqtrd 2778 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘))) = 0 )
120119expr 456 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑃𝐻) → (𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘))) = 0 ))
121120exlimdv 1930 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑃𝐻) → (∃𝑠 𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘))) = 0 ))
12217, 121biimtrid 242 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑃𝐻) → (dom (𝑃 ∖ I ) ≠ ∅ → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘))) = 0 ))
12316, 122sylbid 240 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑃𝐻) → (𝑃 ≠ ( I ↾ 𝑁) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘))) = 0 ))
124123expimpd 453 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → ((𝑃𝐻𝑃 ≠ ( I ↾ 𝑁)) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘))) = 0 ))
1251243impia 1116 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) ∧ (𝑃𝐻𝑃 ≠ ( I ↾ 𝑁))) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘))) = 0 )
1266, 125oveq12d 7448 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) ∧ (𝑃𝐻𝑃 ≠ ( I ↾ 𝑁))) → (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘)))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑃) · 0 ))
127 3simpa 1147 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin))
128 simpl 482 . . . 4 ((𝑃𝐻𝑃 ≠ ( I ↾ 𝑁)) → 𝑃𝐻)
12958ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑃𝐻) → 𝑅 ∈ Ring)
130 zrhpsgnmhm 21619 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
13158, 130sylan 580 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
132 eqid 2734 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
1338, 132mhmf 18814 . . . . . . 7 (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):𝐻⟶(Base‘(mulGrp‘𝑅)))
134131, 133syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):𝐻⟶(Base‘(mulGrp‘𝑅)))
135134ffvelcdmda 7103 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑃𝐻) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑃) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
136 eqid 2734 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
137136, 27mgpbas 20157 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
138137eqcomi 2743 . . . . . 6 (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘𝑅)
139 mdetdiaglem.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
140138, 139, 116ringrz 20307 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑃) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑃) · 0 ) = 0 )
141129, 135, 140syl2anc 584 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑃𝐻) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑃) · 0 ) = 0 )
142127, 128, 141syl2an 596 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑃𝐻𝑃 ≠ ( I ↾ 𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑃) · 0 ) = 0 )
1431423adant2 1130 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) ∧ (𝑃𝐻𝑃 ≠ ( I ↾ 𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑃) · 0 ) = 0 )
144126, 143eqtrd 2774 1 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) ∧ (𝑃𝐻𝑃 ≠ ( I ↾ 𝑁))) → (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘)))) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wex 1775  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  Vcvv 3477  cdif 3959  cun 3960  cin 3961  wss 3962  c0 4338  {csn 4630  cmpt 5230   I cid 5581   × cxp 5686  dom cdm 5688  cres 5690  ccom 5692   Fn wfn 6557  wf 6558  1-1-ontowf1o 6561  cfv 6562  (class class class)co 7430  m cmap 8864  Fincfn 8983  Basecbs 17244  .rcmulr 17298  0gc0g 17485   Σg cgsu 17486  Mndcmnd 18759   MndHom cmhm 18806  SymGrpcsymg 19400  pmSgncpsgn 19521  CMndccmn 19812  mulGrpcmgp 20151  Ringcrg 20250  CRingccrg 20251  ℤRHomczrh 21527   Mat cmat 22426   maDet cmdat 22605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-addf 11231  ax-mulf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1508  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-ot 4639  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-word 14549  df-lsw 14597  df-concat 14605  df-s1 14630  df-substr 14675  df-pfx 14705  df-splice 14784  df-reverse 14793  df-s2 14883  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-efmnd 18894  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-ghm 19243  df-gim 19289  df-cntz 19347  df-oppg 19376  df-symg 19401  df-pmtr 19474  df-psgn 19523  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-dvr 20417  df-rhm 20488  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-drng 20747  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-cnfld 21382  df-zring 21475  df-zrh 21531  df-dsmm 21769  df-frlm 21784  df-mat 22427
This theorem is referenced by:  mdetdiag  22620
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