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Theorem mdetdiaglem 21207
Description: Lemma for mdetdiag 21208. Previously part of proof for mdet1 21210. (Contributed by SO, 10-Jul-2018.) (Revised by AV, 17-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetdiag.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetdiag.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetdiag.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetdiag.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
mdetdiag.0 0 = (0g𝑅)
mdetdiaglem.g 𝐻 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
mdetdiaglem.z 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
mdetdiaglem.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
mdetdiaglem.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
mdetdiaglem (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) ∧ (𝑃𝐻𝑃 ≠ ( I ↾ 𝑁))) → (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘)))) = 0 )
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝑖,𝑀,𝑗,𝑘   𝑖,𝑁,𝑗,𝑘   𝑃,𝑖,𝑗,𝑘   𝑅,𝑘   0 ,𝑖,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗,𝑘)   𝐵(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖,𝑗,𝑘)   𝑅(𝑖,𝑗)   𝑆(𝑖,𝑗,𝑘)   · (𝑖,𝑗,𝑘)   𝐺(𝑖,𝑗)   𝐻(𝑖,𝑗)   𝑍(𝑖,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem mdetdiaglem
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetdiaglem.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
21a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) ∧ (𝑃𝐻𝑃 ≠ ( I ↾ 𝑁))) → 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅))
3 mdetdiaglem.s . . . . . 6 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
43a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) ∧ (𝑃𝐻𝑃 ≠ ( I ↾ 𝑁))) → 𝑆 = (pmSgn‘𝑁))
52, 4coeq12d 5722 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) ∧ (𝑃𝐻𝑃 ≠ ( I ↾ 𝑁))) → (𝑍𝑆) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)))
65fveq1d 6663 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) ∧ (𝑃𝐻𝑃 ≠ ( I ↾ 𝑁))) → ((𝑍𝑆)‘𝑃) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑃))
7 eqid 2824 . . . . . . . . . . . 12 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
8 mdetdiaglem.g . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
97, 8symgbasf1o 18503 . . . . . . . . . . 11 (𝑃𝐻𝑃:𝑁1-1-onto𝑁)
10 f1ofn 6607 . . . . . . . . . . 11 (𝑃:𝑁1-1-onto𝑁𝑃 Fn 𝑁)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑃𝐻𝑃 Fn 𝑁)
12 fnnfpeq0 6931 . . . . . . . . . 10 (𝑃 Fn 𝑁 → (dom (𝑃 ∖ I ) = ∅ ↔ 𝑃 = ( I ↾ 𝑁)))
1311, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑃𝐻 → (dom (𝑃 ∖ I ) = ∅ ↔ 𝑃 = ( I ↾ 𝑁)))
1413adantl 485 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑃𝐻) → (dom (𝑃 ∖ I ) = ∅ ↔ 𝑃 = ( I ↾ 𝑁)))
1514bicomd 226 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑃𝐻) → (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) ↔ dom (𝑃 ∖ I ) = ∅))
1615necon3bid 3058 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑃𝐻) → (𝑃 ≠ ( I ↾ 𝑁) ↔ dom (𝑃 ∖ I ) ≠ ∅))
17 n0 4293 . . . . . . 7 (dom (𝑃 ∖ I ) ≠ ∅ ↔ ∃𝑠 𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))
18 eqid 2824 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
19 mdetdiag.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
20 eqid 2824 . . . . . . . . . . . 12 (.r𝑅) = (.r𝑅)
2119, 20mgpplusg 19243 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑅) = (+g𝐺)
2219crngmgp 19305 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
23223ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → 𝐺 ∈ CMnd)
2423ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → 𝐺 ∈ CMnd)
25 simpll2 1210 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → 𝑁 ∈ Fin)
26 mdetdiag.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
27 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
28 mdetdiag.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐵 = (Base‘𝐴)
2926, 27, 28matbas2i 21031 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀𝐵𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
30293ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
31 elmapi 8424 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
3319, 27mgpbas 19245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺)
3433eqcomi 2833 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘𝐺) = (Base‘𝑅)
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑅))
3635feq3d 6490 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → (𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝐺) ↔ 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅)))
3732, 36mpbird 260 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝐺))
3837ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝐺))
397, 8symgbasf 18504 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃𝐻𝑃:𝑁𝑁)
4039ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → 𝑃:𝑁𝑁)
4140ffvelrnda 6842 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑃𝑘) ∈ 𝑁)
42 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑘𝑁)
4338, 41, 42fovrnd 7314 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) ∧ 𝑘𝑁) → ((𝑃𝑘)𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝐺))
44 disjdif 4404 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑠} ∩ (𝑁 ∖ {𝑠})) = ∅
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → ({𝑠} ∩ (𝑁 ∖ {𝑠})) = ∅)
46 difss 4094 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∖ I ) ⊆ 𝑃
47 dmss 5758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∖ I ) ⊆ 𝑃 → dom (𝑃 ∖ I ) ⊆ dom 𝑃)
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 dom (𝑃 ∖ I ) ⊆ dom 𝑃
4939adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑃𝐻) → 𝑃:𝑁𝑁)
5048, 49fssdm 6520 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑃𝐻) → dom (𝑃 ∖ I ) ⊆ 𝑁)
5150sseld 3952 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑃𝐻) → (𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ) → 𝑠𝑁))
5251impr 458 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → 𝑠𝑁)
5352snssd 4726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → {𝑠} ⊆ 𝑁)
54 undif 4413 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑠} ⊆ 𝑁 ↔ ({𝑠} ∪ (𝑁 ∖ {𝑠})) = 𝑁)
5553, 54sylib 221 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → ({𝑠} ∪ (𝑁 ∖ {𝑠})) = 𝑁)
5655eqcomd 2830 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → 𝑁 = ({𝑠} ∪ (𝑁 ∖ {𝑠})))
5718, 21, 24, 25, 43, 45, 56gsummptfidmsplit 19050 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑠} ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘)))(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠}) ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘)))))
58 crngring 19309 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
5958adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ Ring)
6019ringmgp 19303 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ Mnd)
62613adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
6362ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → 𝐺 ∈ Mnd)
64 vex 3483 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑠 ∈ V
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → 𝑠 ∈ V)
6632ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
6740, 52ffvelrnd 6843 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → (𝑃𝑠) ∈ 𝑁)
6866, 67, 52fovrnd 7314 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → ((𝑃𝑠)𝑀𝑠) ∈ (Base‘𝑅))
69 fveq2 6661 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑠 → (𝑃𝑘) = (𝑃𝑠))
70 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑠𝑘 = 𝑠)
7169, 70oveq12d 7167 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑠 → ((𝑃𝑘)𝑀𝑘) = ((𝑃𝑠)𝑀𝑠))
7233, 71gsumsn 19074 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑠 ∈ V ∧ ((𝑃𝑠)𝑀𝑠) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑠} ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘))) = ((𝑃𝑠)𝑀𝑠))
7363, 65, 68, 72syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑠} ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘))) = ((𝑃𝑠)𝑀𝑠))
74 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → 𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))
7511ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → 𝑃 Fn 𝑁)
76 fnelnfp 6930 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 Fn 𝑁𝑠𝑁) → (𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ) ↔ (𝑃𝑠) ≠ 𝑠))
7775, 52, 76syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → (𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ) ↔ (𝑃𝑠) ≠ 𝑠))
7874, 77mpbid 235 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → (𝑃𝑠) ≠ 𝑠)
7939ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → 𝑃:𝑁𝑁)
8039adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑃𝐻) → 𝑃:𝑁𝑁)
8148, 80fssdm 6520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑃𝐻) → dom (𝑃 ∖ I ) ⊆ 𝑁)
8281sseld 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑃𝐻) → (𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ) → 𝑠𝑁))
8382impr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → 𝑠𝑁)
8479, 83ffvelrnd 6843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → (𝑃𝑠) ∈ 𝑁)
85 neeq1 3076 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = (𝑃𝑠) → (𝑖𝑗 ↔ (𝑃𝑠) ≠ 𝑗))
86 oveq1 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = (𝑃𝑠) → (𝑖𝑀𝑗) = ((𝑃𝑠)𝑀𝑗))
8786eqeq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = (𝑃𝑠) → ((𝑖𝑀𝑗) = 0 ↔ ((𝑃𝑠)𝑀𝑗) = 0 ))
8885, 87imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (𝑃𝑠) → ((𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) ↔ ((𝑃𝑠) ≠ 𝑗 → ((𝑃𝑠)𝑀𝑗) = 0 )))
89 neeq2 3077 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑠 → ((𝑃𝑠) ≠ 𝑗 ↔ (𝑃𝑠) ≠ 𝑠))
90 oveq2 7157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = 𝑠 → ((𝑃𝑠)𝑀𝑗) = ((𝑃𝑠)𝑀𝑠))
9190eqeq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑠 → (((𝑃𝑠)𝑀𝑗) = 0 ↔ ((𝑃𝑠)𝑀𝑠) = 0 ))
9289, 91imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑠 → (((𝑃𝑠) ≠ 𝑗 → ((𝑃𝑠)𝑀𝑗) = 0 ) ↔ ((𝑃𝑠) ≠ 𝑠 → ((𝑃𝑠)𝑀𝑠) = 0 )))
9388, 92rspc2v 3619 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃𝑠) ∈ 𝑁𝑠𝑁) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → ((𝑃𝑠) ≠ 𝑠 → ((𝑃𝑠)𝑀𝑠) = 0 )))
9484, 83, 93syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → ((𝑃𝑠) ≠ 𝑠 → ((𝑃𝑠)𝑀𝑠) = 0 )))
9594impancom 455 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → ((𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I )) → ((𝑃𝑠) ≠ 𝑠 → ((𝑃𝑠)𝑀𝑠) = 0 )))
9695imp 410 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → ((𝑃𝑠) ≠ 𝑠 → ((𝑃𝑠)𝑀𝑠) = 0 ))
9778, 96mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → ((𝑃𝑠)𝑀𝑠) = 0 )
9873, 97eqtrd 2859 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑠} ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘))) = 0 )
9998oveq1d 7164 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑠} ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘)))(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠}) ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘)))) = ( 0 (.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠}) ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘)))))
100583ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
101100ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → 𝑅 ∈ Ring)
10223adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑃𝐻) → 𝐺 ∈ CMnd)
103 simpl2 1189 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑃𝐻) → 𝑁 ∈ Fin)
104 difss 4094 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∖ {𝑠}) ⊆ 𝑁
105 ssfi 8735 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ (𝑁 ∖ {𝑠}) ⊆ 𝑁) → (𝑁 ∖ {𝑠}) ∈ Fin)
106103, 104, 105sylancl 589 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑃𝐻) → (𝑁 ∖ {𝑠}) ∈ Fin)
10732ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑃𝐻) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠})) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
10880adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑃𝐻) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠})) → 𝑃:𝑁𝑁)
109 eldifi 4089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠}) → 𝑘𝑁)
110109adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑃𝐻) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠})) → 𝑘𝑁)
111108, 110ffvelrnd 6843 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑃𝐻) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠})) → (𝑃𝑘) ∈ 𝑁)
112107, 111, 110fovrnd 7314 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑃𝐻) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠})) → ((𝑃𝑘)𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
113112ralrimiva 3177 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑃𝐻) → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠})((𝑃𝑘)𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
11433, 102, 106, 113gsummptcl 19087 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑃𝐻) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠}) ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
115114ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠}) ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
116 mdetdiag.0 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g𝑅)
11727, 20, 116ringlz 19340 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠}) ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘))) ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠}) ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘)))) = 0 )
118101, 115, 117syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → ( 0 (.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠}) ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘)))) = 0 )
11957, 99, 1183eqtrd 2863 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘))) = 0 )
120119expr 460 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑃𝐻) → (𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘))) = 0 ))
121120exlimdv 1935 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑃𝐻) → (∃𝑠 𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘))) = 0 ))
12217, 121syl5bi 245 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑃𝐻) → (dom (𝑃 ∖ I ) ≠ ∅ → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘))) = 0 ))
12316, 122sylbid 243 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑃𝐻) → (𝑃 ≠ ( I ↾ 𝑁) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘))) = 0 ))
124123expimpd 457 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → ((𝑃𝐻𝑃 ≠ ( I ↾ 𝑁)) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘))) = 0 ))
1251243impia 1114 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) ∧ (𝑃𝐻𝑃 ≠ ( I ↾ 𝑁))) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘))) = 0 )
1266, 125oveq12d 7167 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) ∧ (𝑃𝐻𝑃 ≠ ( I ↾ 𝑁))) → (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘)))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑃) · 0 ))
127 3simpa 1145 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin))
128 simpl 486 . . . 4 ((𝑃𝐻𝑃 ≠ ( I ↾ 𝑁)) → 𝑃𝐻)
12958ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑃𝐻) → 𝑅 ∈ Ring)
130 zrhpsgnmhm 20728 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
13158, 130sylan 583 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
132 eqid 2824 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
1338, 132mhmf 17961 . . . . . . 7 (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):𝐻⟶(Base‘(mulGrp‘𝑅)))
134131, 133syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):𝐻⟶(Base‘(mulGrp‘𝑅)))
135134ffvelrnda 6842 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑃𝐻) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑃) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
136 eqid 2824 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
137136, 27mgpbas 19245 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
138137eqcomi 2833 . . . . . 6 (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘𝑅)
139 mdetdiaglem.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
140138, 139, 116ringrz 19341 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑃) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑃) · 0 ) = 0 )
141129, 135, 140syl2anc 587 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑃𝐻) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑃) · 0 ) = 0 )
142127, 128, 141syl2an 598 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑃𝐻𝑃 ≠ ( I ↾ 𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑃) · 0 ) = 0 )
1431423adant2 1128 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) ∧ (𝑃𝐻𝑃 ≠ ( I ↾ 𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑃) · 0 ) = 0 )
144126, 143eqtrd 2859 1 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) ∧ (𝑃𝐻𝑃 ≠ ( I ↾ 𝑁))) → (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘)))) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2115  wne 3014  wral 3133  Vcvv 3480  cdif 3916  cun 3917  cin 3918  wss 3919  c0 4276  {csn 4550  cmpt 5132   I cid 5446   × cxp 5540  dom cdm 5542  cres 5544  ccom 5546   Fn wfn 6338  wf 6339  1-1-ontowf1o 6342  cfv 6343  (class class class)co 7149  m cmap 8402  Fincfn 8505  Basecbs 16483  .rcmulr 16566  0gc0g 16713   Σg cgsu 16714  Mndcmnd 17911   MndHom cmhm 17954  SymGrpcsymg 18495  pmSgncpsgn 18617  CMndccmn 18906  mulGrpcmgp 19239  Ringcrg 19297  CRingccrg 19298  ℤRHomczrh 20647   Mat cmat 21016   maDet cmdat 21193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-addf 10614  ax-mulf 10615
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-ot 4559  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-sup 8903  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-xnn0 11965  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-rp 12387  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-word 13867  df-lsw 13915  df-concat 13923  df-s1 13950  df-substr 14003  df-pfx 14033  df-splice 14112  df-reverse 14121  df-s2 14210  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-prds 16721  df-pws 16723  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-submnd 17957  df-efmnd 18034  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-mulg 18225  df-subg 18276  df-ghm 18356  df-gim 18399  df-cntz 18447  df-oppg 18474  df-symg 18496  df-pmtr 18570  df-psgn 18619  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-cring 19300  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-unit 19395  df-invr 19425  df-dvr 19436  df-rnghom 19470  df-drng 19504  df-subrg 19533  df-sra 19944  df-rgmod 19945  df-cnfld 20546  df-zring 20618  df-zrh 20651  df-dsmm 20876  df-frlm 20891  df-mat 21017
This theorem is referenced by:  mdetdiag  21208
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