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Theorem mdetdiaglem 22591
Description: Lemma for mdetdiag 22592. Previously part of proof for mdet1 22594. (Contributed by SO, 10-Jul-2018.) (Revised by AV, 17-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetdiag.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetdiag.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetdiag.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetdiag.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
mdetdiag.0 0 = (0g𝑅)
mdetdiaglem.g 𝐻 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
mdetdiaglem.z 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
mdetdiaglem.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
mdetdiaglem.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
mdetdiaglem (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) ∧ (𝑃𝐻𝑃 ≠ ( I ↾ 𝑁))) → (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘)))) = 0 )
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝑖,𝑀,𝑗,𝑘   𝑖,𝑁,𝑗,𝑘   𝑃,𝑖,𝑗,𝑘   𝑅,𝑘   0 ,𝑖,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗,𝑘)   𝐵(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖,𝑗,𝑘)   𝑅(𝑖,𝑗)   𝑆(𝑖,𝑗,𝑘)   · (𝑖,𝑗,𝑘)   𝐺(𝑖,𝑗)   𝐻(𝑖,𝑗)   𝑍(𝑖,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem mdetdiaglem
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetdiaglem.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
21a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) ∧ (𝑃𝐻𝑃 ≠ ( I ↾ 𝑁))) → 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅))
3 mdetdiaglem.s . . . . . 6 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
43a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) ∧ (𝑃𝐻𝑃 ≠ ( I ↾ 𝑁))) → 𝑆 = (pmSgn‘𝑁))
52, 4coeq12d 5871 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) ∧ (𝑃𝐻𝑃 ≠ ( I ↾ 𝑁))) → (𝑍𝑆) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)))
65fveq1d 6903 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) ∧ (𝑃𝐻𝑃 ≠ ( I ↾ 𝑁))) → ((𝑍𝑆)‘𝑃) = (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑃))
7 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
8 mdetdiaglem.g . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
97, 8symgbasf1o 19372 . . . . . . . . . . 11 (𝑃𝐻𝑃:𝑁1-1-onto𝑁)
10 f1ofn 6844 . . . . . . . . . . 11 (𝑃:𝑁1-1-onto𝑁𝑃 Fn 𝑁)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑃𝐻𝑃 Fn 𝑁)
12 fnnfpeq0 7192 . . . . . . . . . 10 (𝑃 Fn 𝑁 → (dom (𝑃 ∖ I ) = ∅ ↔ 𝑃 = ( I ↾ 𝑁)))
1311, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑃𝐻 → (dom (𝑃 ∖ I ) = ∅ ↔ 𝑃 = ( I ↾ 𝑁)))
1413adantl 480 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑃𝐻) → (dom (𝑃 ∖ I ) = ∅ ↔ 𝑃 = ( I ↾ 𝑁)))
1514bicomd 222 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑃𝐻) → (𝑃 = ( I ↾ 𝑁) ↔ dom (𝑃 ∖ I ) = ∅))
1615necon3bid 2975 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑃𝐻) → (𝑃 ≠ ( I ↾ 𝑁) ↔ dom (𝑃 ∖ I ) ≠ ∅))
17 n0 4349 . . . . . . 7 (dom (𝑃 ∖ I ) ≠ ∅ ↔ ∃𝑠 𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))
18 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
19 mdetdiag.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
20 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (.r𝑅) = (.r𝑅)
2119, 20mgpplusg 20121 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑅) = (+g𝐺)
2219crngmgp 20224 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
23223ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → 𝐺 ∈ CMnd)
2423ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → 𝐺 ∈ CMnd)
25 simpll2 1210 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → 𝑁 ∈ Fin)
26 mdetdiag.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
27 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
28 mdetdiag.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐵 = (Base‘𝐴)
2926, 27, 28matbas2i 22415 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀𝐵𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
30293ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
31 elmapi 8878 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
3319, 27mgpbas 20123 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺)
3433eqcomi 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘𝐺) = (Base‘𝑅)
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑅))
3635feq3d 6715 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → (𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝐺) ↔ 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅)))
3732, 36mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝐺))
3837ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝐺))
397, 8symgbasf 19373 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃𝐻𝑃:𝑁𝑁)
4039ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → 𝑃:𝑁𝑁)
4140ffvelcdmda 7098 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑃𝑘) ∈ 𝑁)
42 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑘𝑁)
4338, 41, 42fovcdmd 7598 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) ∧ 𝑘𝑁) → ((𝑃𝑘)𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝐺))
44 disjdif 4476 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑠} ∩ (𝑁 ∖ {𝑠})) = ∅
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → ({𝑠} ∩ (𝑁 ∖ {𝑠})) = ∅)
46 difss 4131 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∖ I ) ⊆ 𝑃
47 dmss 5909 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∖ I ) ⊆ 𝑃 → dom (𝑃 ∖ I ) ⊆ dom 𝑃)
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 dom (𝑃 ∖ I ) ⊆ dom 𝑃
4939adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑃𝐻) → 𝑃:𝑁𝑁)
5048, 49fssdm 6747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑃𝐻) → dom (𝑃 ∖ I ) ⊆ 𝑁)
5150sseld 3978 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑃𝐻) → (𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ) → 𝑠𝑁))
5251impr 453 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → 𝑠𝑁)
5352snssd 4818 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → {𝑠} ⊆ 𝑁)
54 undif 4486 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑠} ⊆ 𝑁 ↔ ({𝑠} ∪ (𝑁 ∖ {𝑠})) = 𝑁)
5553, 54sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → ({𝑠} ∪ (𝑁 ∖ {𝑠})) = 𝑁)
5655eqcomd 2732 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → 𝑁 = ({𝑠} ∪ (𝑁 ∖ {𝑠})))
5718, 21, 24, 25, 43, 45, 56gsummptfidmsplit 19928 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑠} ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘)))(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠}) ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘)))))
58 crngring 20228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
5958adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ Ring)
6019ringmgp 20222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ Mnd)
62613adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
6362ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → 𝐺 ∈ Mnd)
64 vex 3466 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑠 ∈ V
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → 𝑠 ∈ V)
6632ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
6740, 52ffvelcdmd 7099 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → (𝑃𝑠) ∈ 𝑁)
6866, 67, 52fovcdmd 7598 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → ((𝑃𝑠)𝑀𝑠) ∈ (Base‘𝑅))
69 fveq2 6901 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑠 → (𝑃𝑘) = (𝑃𝑠))
70 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑠𝑘 = 𝑠)
7169, 70oveq12d 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑠 → ((𝑃𝑘)𝑀𝑘) = ((𝑃𝑠)𝑀𝑠))
7233, 71gsumsn 19952 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑠 ∈ V ∧ ((𝑃𝑠)𝑀𝑠) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑠} ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘))) = ((𝑃𝑠)𝑀𝑠))
7363, 65, 68, 72syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑠} ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘))) = ((𝑃𝑠)𝑀𝑠))
74 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → 𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))
7511ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → 𝑃 Fn 𝑁)
76 fnelnfp 7191 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 Fn 𝑁𝑠𝑁) → (𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ) ↔ (𝑃𝑠) ≠ 𝑠))
7775, 52, 76syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → (𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ) ↔ (𝑃𝑠) ≠ 𝑠))
7874, 77mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → (𝑃𝑠) ≠ 𝑠)
7939ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → 𝑃:𝑁𝑁)
8039adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑃𝐻) → 𝑃:𝑁𝑁)
8148, 80fssdm 6747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑃𝐻) → dom (𝑃 ∖ I ) ⊆ 𝑁)
8281sseld 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑃𝐻) → (𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ) → 𝑠𝑁))
8382impr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → 𝑠𝑁)
8479, 83ffvelcdmd 7099 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → (𝑃𝑠) ∈ 𝑁)
85 neeq1 2993 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = (𝑃𝑠) → (𝑖𝑗 ↔ (𝑃𝑠) ≠ 𝑗))
86 oveq1 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = (𝑃𝑠) → (𝑖𝑀𝑗) = ((𝑃𝑠)𝑀𝑗))
8786eqeq1d 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = (𝑃𝑠) → ((𝑖𝑀𝑗) = 0 ↔ ((𝑃𝑠)𝑀𝑗) = 0 ))
8885, 87imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (𝑃𝑠) → ((𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) ↔ ((𝑃𝑠) ≠ 𝑗 → ((𝑃𝑠)𝑀𝑗) = 0 )))
89 neeq2 2994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑠 → ((𝑃𝑠) ≠ 𝑗 ↔ (𝑃𝑠) ≠ 𝑠))
90 oveq2 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = 𝑠 → ((𝑃𝑠)𝑀𝑗) = ((𝑃𝑠)𝑀𝑠))
9190eqeq1d 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑠 → (((𝑃𝑠)𝑀𝑗) = 0 ↔ ((𝑃𝑠)𝑀𝑠) = 0 ))
9289, 91imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑠 → (((𝑃𝑠) ≠ 𝑗 → ((𝑃𝑠)𝑀𝑗) = 0 ) ↔ ((𝑃𝑠) ≠ 𝑠 → ((𝑃𝑠)𝑀𝑠) = 0 )))
9388, 92rspc2v 3619 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃𝑠) ∈ 𝑁𝑠𝑁) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → ((𝑃𝑠) ≠ 𝑠 → ((𝑃𝑠)𝑀𝑠) = 0 )))
9484, 83, 93syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → ((𝑃𝑠) ≠ 𝑠 → ((𝑃𝑠)𝑀𝑠) = 0 )))
9594impancom 450 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → ((𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I )) → ((𝑃𝑠) ≠ 𝑠 → ((𝑃𝑠)𝑀𝑠) = 0 )))
9695imp 405 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → ((𝑃𝑠) ≠ 𝑠 → ((𝑃𝑠)𝑀𝑠) = 0 ))
9778, 96mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → ((𝑃𝑠)𝑀𝑠) = 0 )
9873, 97eqtrd 2766 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑠} ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘))) = 0 )
9998oveq1d 7439 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑠} ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘)))(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠}) ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘)))) = ( 0 (.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠}) ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘)))))
100583ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
101100ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → 𝑅 ∈ Ring)
10223adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑃𝐻) → 𝐺 ∈ CMnd)
103 simpl2 1189 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑃𝐻) → 𝑁 ∈ Fin)
104 difss 4131 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∖ {𝑠}) ⊆ 𝑁
105 ssfi 9211 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ (𝑁 ∖ {𝑠}) ⊆ 𝑁) → (𝑁 ∖ {𝑠}) ∈ Fin)
106103, 104, 105sylancl 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑃𝐻) → (𝑁 ∖ {𝑠}) ∈ Fin)
10732ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑃𝐻) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠})) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
10880adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑃𝐻) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠})) → 𝑃:𝑁𝑁)
109 eldifi 4126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠}) → 𝑘𝑁)
110109adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑃𝐻) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠})) → 𝑘𝑁)
111108, 110ffvelcdmd 7099 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑃𝐻) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠})) → (𝑃𝑘) ∈ 𝑁)
112107, 111, 110fovcdmd 7598 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑃𝐻) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠})) → ((𝑃𝑘)𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
113112ralrimiva 3136 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑃𝐻) → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠})((𝑃𝑘)𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
11433, 102, 106, 113gsummptcl 19965 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑃𝐻) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠}) ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
115114ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠}) ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
116 mdetdiag.0 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g𝑅)
11727, 20, 116ringlz 20272 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠}) ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘))) ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠}) ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘)))) = 0 )
118101, 115, 117syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → ( 0 (.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝑠}) ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘)))) = 0 )
11957, 99, 1183eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ (𝑃𝐻𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ))) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘))) = 0 )
120119expr 455 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑃𝐻) → (𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘))) = 0 ))
121120exlimdv 1929 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑃𝐻) → (∃𝑠 𝑠 ∈ dom (𝑃 ∖ I ) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘))) = 0 ))
12217, 121biimtrid 241 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑃𝐻) → (dom (𝑃 ∖ I ) ≠ ∅ → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘))) = 0 ))
12316, 122sylbid 239 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑃𝐻) → (𝑃 ≠ ( I ↾ 𝑁) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘))) = 0 ))
124123expimpd 452 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → ((𝑃𝐻𝑃 ≠ ( I ↾ 𝑁)) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘))) = 0 ))
1251243impia 1114 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) ∧ (𝑃𝐻𝑃 ≠ ( I ↾ 𝑁))) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘))) = 0 )
1266, 125oveq12d 7442 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) ∧ (𝑃𝐻𝑃 ≠ ( I ↾ 𝑁))) → (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘)))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑃) · 0 ))
127 3simpa 1145 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin))
128 simpl 481 . . . 4 ((𝑃𝐻𝑃 ≠ ( I ↾ 𝑁)) → 𝑃𝐻)
12958ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑃𝐻) → 𝑅 ∈ Ring)
130 zrhpsgnmhm 21580 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
13158, 130sylan 578 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
132 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
1338, 132mhmf 18779 . . . . . . 7 (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):𝐻⟶(Base‘(mulGrp‘𝑅)))
134131, 133syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):𝐻⟶(Base‘(mulGrp‘𝑅)))
135134ffvelcdmda 7098 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑃𝐻) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑃) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
136 eqid 2726 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
137136, 27mgpbas 20123 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
138137eqcomi 2735 . . . . . 6 (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘𝑅)
139 mdetdiaglem.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
140138, 139, 116ringrz 20273 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑃) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑃) · 0 ) = 0 )
141129, 135, 140syl2anc 582 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ 𝑃𝐻) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑃) · 0 ) = 0 )
142127, 128, 141syl2an 594 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑃𝐻𝑃 ≠ ( I ↾ 𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑃) · 0 ) = 0 )
1431423adant2 1128 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) ∧ (𝑃𝐻𝑃 ≠ ( I ↾ 𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑃) · 0 ) = 0 )
144126, 143eqtrd 2766 1 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) ∧ (𝑃𝐻𝑃 ≠ ( I ↾ 𝑁))) → (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑘)))) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  wne 2930  wral 3051  Vcvv 3462  cdif 3944  cun 3945  cin 3946  wss 3947  c0 4325  {csn 4633  cmpt 5236   I cid 5579   × cxp 5680  dom cdm 5682  cres 5684  ccom 5686   Fn wfn 6549  wf 6550  1-1-ontowf1o 6553  cfv 6554  (class class class)co 7424  m cmap 8855  Fincfn 8974  Basecbs 17213  .rcmulr 17267  0gc0g 17454   Σg cgsu 17455  Mndcmnd 18727   MndHom cmhm 18771  SymGrpcsymg 19364  pmSgncpsgn 19487  CMndccmn 19778  mulGrpcmgp 20117  Ringcrg 20216  CRingccrg 20217  ℤRHomczrh 21489   Mat cmat 22398   maDet cmdat 22577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-addf 11237  ax-mulf 11238
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1506  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-ot 4642  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-tpos 8241  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-sup 9485  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-seq 14022  df-exp 14082  df-hash 14348  df-word 14523  df-lsw 14571  df-concat 14579  df-s1 14604  df-substr 14649  df-pfx 14679  df-splice 14758  df-reverse 14767  df-s2 14857  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-hom 17290  df-cco 17291  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-prds 17462  df-pws 17464  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-mhm 18773  df-submnd 18774  df-efmnd 18859  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-mulg 19062  df-subg 19117  df-ghm 19207  df-gim 19253  df-cntz 19311  df-oppg 19340  df-symg 19365  df-pmtr 19440  df-psgn 19489  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-cring 20219  df-oppr 20316  df-dvdsr 20339  df-unit 20340  df-invr 20370  df-dvr 20383  df-rhm 20454  df-subrng 20528  df-subrg 20553  df-drng 20709  df-sra 21151  df-rgmod 21152  df-cnfld 21344  df-zring 21437  df-zrh 21493  df-dsmm 21730  df-frlm 21745  df-mat 22399
This theorem is referenced by:  mdetdiag  22592
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