MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetdiaglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetdiaglem 22100
Description: Lemma for mdetdiag 22101. Previously part of proof for mdet1 22103. (Contributed by SO, 10-Jul-2018.) (Revised by AV, 17-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetdiag.d ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
mdetdiag.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
mdetdiag.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
mdetdiag.g ๐บ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
mdetdiag.0 0 = (0gโ€˜๐‘…)
mdetdiaglem.g ๐ป = (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
mdetdiaglem.z ๐‘ = (โ„คRHomโ€˜๐‘…)
mdetdiaglem.s ๐‘† = (pmSgnโ€˜๐‘)
mdetdiaglem.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
mdetdiaglem (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 ) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ƒ โ‰  ( I โ†พ ๐‘))) โ†’ (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) ยท (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜)))) = 0 )
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘˜   ๐‘˜,๐บ   ๐‘˜,๐ป   ๐‘–,๐‘€,๐‘—,๐‘˜   ๐‘–,๐‘,๐‘—,๐‘˜   ๐‘ƒ,๐‘–,๐‘—,๐‘˜   ๐‘…,๐‘˜   0 ,๐‘–,๐‘—,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘–,๐‘—,๐‘˜)   ๐ต(๐‘–,๐‘—)   ๐ท(๐‘–,๐‘—,๐‘˜)   ๐‘…(๐‘–,๐‘—)   ๐‘†(๐‘–,๐‘—,๐‘˜)   ยท (๐‘–,๐‘—,๐‘˜)   ๐บ(๐‘–,๐‘—)   ๐ป(๐‘–,๐‘—)   ๐‘(๐‘–,๐‘—,๐‘˜)

Proof of Theorem mdetdiaglem
Dummy variable ๐‘  is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetdiaglem.z . . . . . 6 ๐‘ = (โ„คRHomโ€˜๐‘…)
21a1i 11 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 ) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ƒ โ‰  ( I โ†พ ๐‘))) โ†’ ๐‘ = (โ„คRHomโ€˜๐‘…))
3 mdetdiaglem.s . . . . . 6 ๐‘† = (pmSgnโ€˜๐‘)
43a1i 11 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 ) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ƒ โ‰  ( I โ†พ ๐‘))) โ†’ ๐‘† = (pmSgnโ€˜๐‘))
52, 4coeq12d 5865 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 ) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ƒ โ‰  ( I โ†พ ๐‘))) โ†’ (๐‘ โˆ˜ ๐‘†) = ((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘)))
65fveq1d 6894 . . 3 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 ) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ƒ โ‰  ( I โ†พ ๐‘))) โ†’ ((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) = (((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘ƒ))
7 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (SymGrpโ€˜๐‘) = (SymGrpโ€˜๐‘)
8 mdetdiaglem.g . . . . . . . . . . . 12 ๐ป = (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
97, 8symgbasf1o 19242 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โ†’ ๐‘ƒ:๐‘โ€“1-1-ontoโ†’๐‘)
10 f1ofn 6835 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ:๐‘โ€“1-1-ontoโ†’๐‘ โ†’ ๐‘ƒ Fn ๐‘)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โ†’ ๐‘ƒ Fn ๐‘)
12 fnnfpeq0 7176 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ Fn ๐‘ โ†’ (dom (๐‘ƒ โˆ– I ) = โˆ… โ†” ๐‘ƒ = ( I โ†พ ๐‘)))
1311, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โ†’ (dom (๐‘ƒ โˆ– I ) = โˆ… โ†” ๐‘ƒ = ( I โ†พ ๐‘)))
1413adantl 483 . . . . . . . 8 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โ†’ (dom (๐‘ƒ โˆ– I ) = โˆ… โ†” ๐‘ƒ = ( I โ†พ ๐‘)))
1514bicomd 222 . . . . . . 7 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โ†’ (๐‘ƒ = ( I โ†พ ๐‘) โ†” dom (๐‘ƒ โˆ– I ) = โˆ…))
1615necon3bid 2986 . . . . . 6 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โ†’ (๐‘ƒ โ‰  ( I โ†พ ๐‘) โ†” dom (๐‘ƒ โˆ– I ) โ‰  โˆ…))
17 n0 4347 . . . . . . 7 (dom (๐‘ƒ โˆ– I ) โ‰  โˆ… โ†” โˆƒ๐‘  ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))
18 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (Baseโ€˜๐บ) = (Baseโ€˜๐บ)
19 mdetdiag.g . . . . . . . . . . . 12 ๐บ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
20 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
2119, 20mgpplusg 19991 . . . . . . . . . . 11 (.rโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐บ)
2219crngmgp 20064 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐บ โˆˆ CMnd)
23223ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐บ โˆˆ CMnd)
2423ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ ๐บ โˆˆ CMnd)
25 simpll2 1214 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
26 mdetdiag.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
27 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
28 mdetdiag.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
2926, 27, 28matbas2i 21924 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘€ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)))
30293ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)))
31 elmapi 8843 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘€ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) โ†’ ๐‘€:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘€:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
3319, 27mgpbas 19993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐บ)
3433eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Baseโ€˜๐บ) = (Baseโ€˜๐‘…)
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (Baseโ€˜๐บ) = (Baseโ€˜๐‘…))
3635feq3d 6705 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘€:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐บ) โ†” ๐‘€:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…)))
3732, 36mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘€:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐บ))
3837ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘€:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐บ))
397, 8symgbasf 19243 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โ†’ ๐‘ƒ:๐‘โŸถ๐‘)
4039ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ ๐‘ƒ:๐‘โŸถ๐‘)
4140ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘ƒโ€˜๐‘˜) โˆˆ ๐‘)
42 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
4338, 41, 42fovcdmd 7579 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
44 disjdif 4472 . . . . . . . . . . . 12 ({๐‘ } โˆฉ (๐‘ โˆ– {๐‘ })) = โˆ…
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ ({๐‘ } โˆฉ (๐‘ โˆ– {๐‘ })) = โˆ…)
46 difss 4132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ƒ โˆ– I ) โŠ† ๐‘ƒ
47 dmss 5903 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ƒ โˆ– I ) โŠ† ๐‘ƒ โ†’ dom (๐‘ƒ โˆ– I ) โŠ† dom ๐‘ƒ)
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 dom (๐‘ƒ โˆ– I ) โŠ† dom ๐‘ƒ
4939adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โ†’ ๐‘ƒ:๐‘โŸถ๐‘)
5048, 49fssdm 6738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โ†’ dom (๐‘ƒ โˆ– I ) โŠ† ๐‘)
5150sseld 3982 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โ†’ (๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ) โ†’ ๐‘  โˆˆ ๐‘))
5251impr 456 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ ๐‘  โˆˆ ๐‘)
5352snssd 4813 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ {๐‘ } โŠ† ๐‘)
54 undif 4482 . . . . . . . . . . . . 13 ({๐‘ } โŠ† ๐‘ โ†” ({๐‘ } โˆช (๐‘ โˆ– {๐‘ })) = ๐‘)
5553, 54sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ ({๐‘ } โˆช (๐‘ โˆ– {๐‘ })) = ๐‘)
5655eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ ๐‘ = ({๐‘ } โˆช (๐‘ โˆ– {๐‘ })))
5718, 21, 24, 25, 43, 45, 56gsummptfidmsplit 19798 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜))) = ((๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {๐‘ } โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜)))(.rโ€˜๐‘…)(๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐‘ }) โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜)))))
58 crngring 20068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
5958adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
6019ringmgp 20062 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
62613adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
6362ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
64 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐‘  โˆˆ V
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ ๐‘  โˆˆ V)
6632ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ ๐‘€:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
6740, 52ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ (๐‘ƒโ€˜๐‘ ) โˆˆ ๐‘)
6866, 67, 52fovcdmd 7579 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘ )๐‘€๐‘ ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
69 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ = ๐‘  โ†’ (๐‘ƒโ€˜๐‘˜) = (๐‘ƒโ€˜๐‘ ))
70 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ = ๐‘  โ†’ ๐‘˜ = ๐‘ )
7169, 70oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = ๐‘  โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜) = ((๐‘ƒโ€˜๐‘ )๐‘€๐‘ ))
7233, 71gsumsn 19822 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘  โˆˆ V โˆง ((๐‘ƒโ€˜๐‘ )๐‘€๐‘ ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {๐‘ } โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜))) = ((๐‘ƒโ€˜๐‘ )๐‘€๐‘ ))
7363, 65, 68, 72syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {๐‘ } โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜))) = ((๐‘ƒโ€˜๐‘ )๐‘€๐‘ ))
74 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))
7511ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ ๐‘ƒ Fn ๐‘)
76 fnelnfp 7175 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ Fn ๐‘ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ) โ†” (๐‘ƒโ€˜๐‘ ) โ‰  ๐‘ ))
7775, 52, 76syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ (๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ) โ†” (๐‘ƒโ€˜๐‘ ) โ‰  ๐‘ ))
7874, 77mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ (๐‘ƒโ€˜๐‘ ) โ‰  ๐‘ )
7939ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ ๐‘ƒ:๐‘โŸถ๐‘)
8039adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โ†’ ๐‘ƒ:๐‘โŸถ๐‘)
8148, 80fssdm 6738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โ†’ dom (๐‘ƒ โˆ– I ) โŠ† ๐‘)
8281sseld 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โ†’ (๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ) โ†’ ๐‘  โˆˆ ๐‘))
8382impr 456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ ๐‘  โˆˆ ๐‘)
8479, 83ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ (๐‘ƒโ€˜๐‘ ) โˆˆ ๐‘)
85 neeq1 3004 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘– = (๐‘ƒโ€˜๐‘ ) โ†’ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†” (๐‘ƒโ€˜๐‘ ) โ‰  ๐‘—))
86 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘– = (๐‘ƒโ€˜๐‘ ) โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = ((๐‘ƒโ€˜๐‘ )๐‘€๐‘—))
8786eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘– = (๐‘ƒโ€˜๐‘ ) โ†’ ((๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 โ†” ((๐‘ƒโ€˜๐‘ )๐‘€๐‘—) = 0 ))
8885, 87imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘– = (๐‘ƒโ€˜๐‘ ) โ†’ ((๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 ) โ†” ((๐‘ƒโ€˜๐‘ ) โ‰  ๐‘— โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘ )๐‘€๐‘—) = 0 )))
89 neeq2 3005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘— = ๐‘  โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘ ) โ‰  ๐‘— โ†” (๐‘ƒโ€˜๐‘ ) โ‰  ๐‘ ))
90 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘— = ๐‘  โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘ )๐‘€๐‘—) = ((๐‘ƒโ€˜๐‘ )๐‘€๐‘ ))
9190eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘— = ๐‘  โ†’ (((๐‘ƒโ€˜๐‘ )๐‘€๐‘—) = 0 โ†” ((๐‘ƒโ€˜๐‘ )๐‘€๐‘ ) = 0 ))
9289, 91imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘— = ๐‘  โ†’ (((๐‘ƒโ€˜๐‘ ) โ‰  ๐‘— โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘ )๐‘€๐‘—) = 0 ) โ†” ((๐‘ƒโ€˜๐‘ ) โ‰  ๐‘  โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘ )๐‘€๐‘ ) = 0 )))
9388, 92rspc2v 3623 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ƒโ€˜๐‘ ) โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 ) โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘ ) โ‰  ๐‘  โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘ )๐‘€๐‘ ) = 0 )))
9484, 83, 93syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 ) โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘ ) โ‰  ๐‘  โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘ )๐‘€๐‘ ) = 0 )))
9594impancom 453 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I )) โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘ ) โ‰  ๐‘  โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘ )๐‘€๐‘ ) = 0 )))
9695imp 408 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘ ) โ‰  ๐‘  โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘ )๐‘€๐‘ ) = 0 ))
9778, 96mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘ )๐‘€๐‘ ) = 0 )
9873, 97eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {๐‘ } โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜))) = 0 )
9998oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ ((๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {๐‘ } โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜)))(.rโ€˜๐‘…)(๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐‘ }) โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜)))) = ( 0 (.rโ€˜๐‘…)(๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐‘ }) โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜)))))
100583ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
101100ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
10223adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โ†’ ๐บ โˆˆ CMnd)
103 simpl2 1193 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
104 difss 4132 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆ– {๐‘ }) โŠ† ๐‘
105 ssfi 9173 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง (๐‘ โˆ– {๐‘ }) โŠ† ๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ– {๐‘ }) โˆˆ Fin)
106103, 104, 105sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โ†’ (๐‘ โˆ– {๐‘ }) โˆˆ Fin)
10732ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐‘ })) โ†’ ๐‘€:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
10880adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐‘ })) โ†’ ๐‘ƒ:๐‘โŸถ๐‘)
109 eldifi 4127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐‘ }) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
110109adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐‘ })) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
111108, 110ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐‘ })) โ†’ (๐‘ƒโ€˜๐‘˜) โˆˆ ๐‘)
112107, 111, 110fovcdmd 7579 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐‘ })) โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
113112ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐‘ })((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
11433, 102, 106, 113gsummptcl 19835 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โ†’ (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐‘ }) โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
115114ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐‘ }) โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
116 mdetdiag.0 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0gโ€˜๐‘…)
11727, 20, 116ringlz 20107 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐‘ }) โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ( 0 (.rโ€˜๐‘…)(๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐‘ }) โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜)))) = 0 )
118101, 115, 117syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ ( 0 (.rโ€˜๐‘…)(๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐‘ }) โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜)))) = 0 )
11957, 99, 1183eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜))) = 0 )
120119expr 458 . . . . . . . 8 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โ†’ (๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ) โ†’ (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜))) = 0 ))
121120exlimdv 1937 . . . . . . 7 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โ†’ (โˆƒ๐‘  ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ) โ†’ (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜))) = 0 ))
12217, 121biimtrid 241 . . . . . 6 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โ†’ (dom (๐‘ƒ โˆ– I ) โ‰  โˆ… โ†’ (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜))) = 0 ))
12316, 122sylbid 239 . . . . 5 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โ†’ (๐‘ƒ โ‰  ( I โ†พ ๐‘) โ†’ (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜))) = 0 ))
124123expimpd 455 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ƒ โ‰  ( I โ†พ ๐‘)) โ†’ (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜))) = 0 ))
1251243impia 1118 . . 3 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 ) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ƒ โ‰  ( I โ†พ ๐‘))) โ†’ (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜))) = 0 )
1266, 125oveq12d 7427 . 2 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 ) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ƒ โ‰  ( I โ†พ ๐‘))) โ†’ (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) ยท (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜)))) = ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘ƒ) ยท 0 ))
127 3simpa 1149 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin))
128 simpl 484 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ƒ โ‰  ( I โ†พ ๐‘)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป)
12958ad2antrr 725 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
130 zrhpsgnmhm 21137 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘)) โˆˆ ((SymGrpโ€˜๐‘) MndHom (mulGrpโ€˜๐‘…)))
13158, 130sylan 581 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘)) โˆˆ ((SymGrpโ€˜๐‘) MndHom (mulGrpโ€˜๐‘…)))
132 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)) = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
1338, 132mhmf 18677 . . . . . . 7 (((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘)) โˆˆ ((SymGrpโ€˜๐‘) MndHom (mulGrpโ€˜๐‘…)) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘)):๐ปโŸถ(Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))
134131, 133syl 17 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘)):๐ปโŸถ(Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))
135134ffvelcdmda 7087 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘ƒ) โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))
136 eqid 2733 . . . . . . . 8 (mulGrpโ€˜๐‘…) = (mulGrpโ€˜๐‘…)
137136, 27mgpbas 19993 . . . . . . 7 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
138137eqcomi 2742 . . . . . 6 (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)) = (Baseโ€˜๐‘…)
139 mdetdiaglem.t . . . . . 6 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
140138, 139, 116ringrz 20108 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘ƒ) โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘ƒ) ยท 0 ) = 0 )
141129, 135, 140syl2anc 585 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘ƒ) ยท 0 ) = 0 )
142127, 128, 141syl2an 597 . . 3 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ƒ โ‰  ( I โ†พ ๐‘))) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘ƒ) ยท 0 ) = 0 )
1431423adant2 1132 . 2 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 ) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ƒ โ‰  ( I โ†พ ๐‘))) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘ƒ) ยท 0 ) = 0 )
144126, 143eqtrd 2773 1 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 ) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ƒ โ‰  ( I โ†พ ๐‘))) โ†’ (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) ยท (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜)))) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542  โˆƒwex 1782   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆ€wral 3062  Vcvv 3475   โˆ– cdif 3946   โˆช cun 3947   โˆฉ cin 3948   โŠ† wss 3949  โˆ…c0 4323  {csn 4629   โ†ฆ cmpt 5232   I cid 5574   ร— cxp 5675  dom cdm 5677   โ†พ cres 5679   โˆ˜ ccom 5681   Fn wfn 6539  โŸถwf 6540  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6543  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   โ†‘m cmap 8820  Fincfn 8939  Basecbs 17144  .rcmulr 17198  0gc0g 17385   ฮฃg cgsu 17386  Mndcmnd 18625   MndHom cmhm 18669  SymGrpcsymg 19234  pmSgncpsgn 19357  CMndccmn 19648  mulGrpcmgp 19987  Ringcrg 20056  CRingccrg 20057  โ„คRHomczrh 21049   Mat cmat 21907   maDet cmdat 22086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-word 14465  df-lsw 14513  df-concat 14521  df-s1 14546  df-substr 14591  df-pfx 14621  df-splice 14700  df-reverse 14709  df-s2 14799  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-prds 17393  df-pws 17395  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-efmnd 18750  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-gim 19133  df-cntz 19181  df-oppg 19210  df-symg 19235  df-pmtr 19310  df-psgn 19359  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-rnghom 20251  df-subrg 20317  df-drng 20359  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-cnfld 20945  df-zring 21018  df-zrh 21053  df-dsmm 21287  df-frlm 21302  df-mat 21908
This theorem is referenced by:  mdetdiag  22101
  Copyright terms: Public domain W3C validator