MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetdiaglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetdiaglem 22107
Description: Lemma for mdetdiag 22108. Previously part of proof for mdet1 22110. (Contributed by SO, 10-Jul-2018.) (Revised by AV, 17-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetdiag.d ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
mdetdiag.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
mdetdiag.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
mdetdiag.g ๐บ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
mdetdiag.0 0 = (0gโ€˜๐‘…)
mdetdiaglem.g ๐ป = (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
mdetdiaglem.z ๐‘ = (โ„คRHomโ€˜๐‘…)
mdetdiaglem.s ๐‘† = (pmSgnโ€˜๐‘)
mdetdiaglem.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
mdetdiaglem (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 ) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ƒ โ‰  ( I โ†พ ๐‘))) โ†’ (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) ยท (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜)))) = 0 )
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘˜   ๐‘˜,๐บ   ๐‘˜,๐ป   ๐‘–,๐‘€,๐‘—,๐‘˜   ๐‘–,๐‘,๐‘—,๐‘˜   ๐‘ƒ,๐‘–,๐‘—,๐‘˜   ๐‘…,๐‘˜   0 ,๐‘–,๐‘—,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘–,๐‘—,๐‘˜)   ๐ต(๐‘–,๐‘—)   ๐ท(๐‘–,๐‘—,๐‘˜)   ๐‘…(๐‘–,๐‘—)   ๐‘†(๐‘–,๐‘—,๐‘˜)   ยท (๐‘–,๐‘—,๐‘˜)   ๐บ(๐‘–,๐‘—)   ๐ป(๐‘–,๐‘—)   ๐‘(๐‘–,๐‘—,๐‘˜)

Proof of Theorem mdetdiaglem
Dummy variable ๐‘  is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetdiaglem.z . . . . . 6 ๐‘ = (โ„คRHomโ€˜๐‘…)
21a1i 11 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 ) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ƒ โ‰  ( I โ†พ ๐‘))) โ†’ ๐‘ = (โ„คRHomโ€˜๐‘…))
3 mdetdiaglem.s . . . . . 6 ๐‘† = (pmSgnโ€˜๐‘)
43a1i 11 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 ) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ƒ โ‰  ( I โ†พ ๐‘))) โ†’ ๐‘† = (pmSgnโ€˜๐‘))
52, 4coeq12d 5864 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 ) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ƒ โ‰  ( I โ†พ ๐‘))) โ†’ (๐‘ โˆ˜ ๐‘†) = ((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘)))
65fveq1d 6893 . . 3 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 ) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ƒ โ‰  ( I โ†พ ๐‘))) โ†’ ((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) = (((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘ƒ))
7 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (SymGrpโ€˜๐‘) = (SymGrpโ€˜๐‘)
8 mdetdiaglem.g . . . . . . . . . . . 12 ๐ป = (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
97, 8symgbasf1o 19244 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โ†’ ๐‘ƒ:๐‘โ€“1-1-ontoโ†’๐‘)
10 f1ofn 6834 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ:๐‘โ€“1-1-ontoโ†’๐‘ โ†’ ๐‘ƒ Fn ๐‘)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โ†’ ๐‘ƒ Fn ๐‘)
12 fnnfpeq0 7178 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ Fn ๐‘ โ†’ (dom (๐‘ƒ โˆ– I ) = โˆ… โ†” ๐‘ƒ = ( I โ†พ ๐‘)))
1311, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โ†’ (dom (๐‘ƒ โˆ– I ) = โˆ… โ†” ๐‘ƒ = ( I โ†พ ๐‘)))
1413adantl 482 . . . . . . . 8 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โ†’ (dom (๐‘ƒ โˆ– I ) = โˆ… โ†” ๐‘ƒ = ( I โ†พ ๐‘)))
1514bicomd 222 . . . . . . 7 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โ†’ (๐‘ƒ = ( I โ†พ ๐‘) โ†” dom (๐‘ƒ โˆ– I ) = โˆ…))
1615necon3bid 2985 . . . . . 6 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โ†’ (๐‘ƒ โ‰  ( I โ†พ ๐‘) โ†” dom (๐‘ƒ โˆ– I ) โ‰  โˆ…))
17 n0 4346 . . . . . . 7 (dom (๐‘ƒ โˆ– I ) โ‰  โˆ… โ†” โˆƒ๐‘  ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))
18 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (Baseโ€˜๐บ) = (Baseโ€˜๐บ)
19 mdetdiag.g . . . . . . . . . . . 12 ๐บ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
20 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
2119, 20mgpplusg 19993 . . . . . . . . . . 11 (.rโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐บ)
2219crngmgp 20066 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐บ โˆˆ CMnd)
23223ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐บ โˆˆ CMnd)
2423ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ ๐บ โˆˆ CMnd)
25 simpll2 1213 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
26 mdetdiag.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
27 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
28 mdetdiag.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
2926, 27, 28matbas2i 21931 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘€ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)))
30293ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)))
31 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘€ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) โ†’ ๐‘€:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘€:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
3319, 27mgpbas 19995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐บ)
3433eqcomi 2741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Baseโ€˜๐บ) = (Baseโ€˜๐‘…)
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (Baseโ€˜๐บ) = (Baseโ€˜๐‘…))
3635feq3d 6704 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘€:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐บ) โ†” ๐‘€:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…)))
3732, 36mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘€:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐บ))
3837ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘€:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐บ))
397, 8symgbasf 19245 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โ†’ ๐‘ƒ:๐‘โŸถ๐‘)
4039ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ ๐‘ƒ:๐‘โŸถ๐‘)
4140ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘ƒโ€˜๐‘˜) โˆˆ ๐‘)
42 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
4338, 41, 42fovcdmd 7581 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
44 disjdif 4471 . . . . . . . . . . . 12 ({๐‘ } โˆฉ (๐‘ โˆ– {๐‘ })) = โˆ…
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ ({๐‘ } โˆฉ (๐‘ โˆ– {๐‘ })) = โˆ…)
46 difss 4131 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ƒ โˆ– I ) โŠ† ๐‘ƒ
47 dmss 5902 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ƒ โˆ– I ) โŠ† ๐‘ƒ โ†’ dom (๐‘ƒ โˆ– I ) โŠ† dom ๐‘ƒ)
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 dom (๐‘ƒ โˆ– I ) โŠ† dom ๐‘ƒ
4939adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โ†’ ๐‘ƒ:๐‘โŸถ๐‘)
5048, 49fssdm 6737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โ†’ dom (๐‘ƒ โˆ– I ) โŠ† ๐‘)
5150sseld 3981 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โ†’ (๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ) โ†’ ๐‘  โˆˆ ๐‘))
5251impr 455 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ ๐‘  โˆˆ ๐‘)
5352snssd 4812 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ {๐‘ } โŠ† ๐‘)
54 undif 4481 . . . . . . . . . . . . 13 ({๐‘ } โŠ† ๐‘ โ†” ({๐‘ } โˆช (๐‘ โˆ– {๐‘ })) = ๐‘)
5553, 54sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ ({๐‘ } โˆช (๐‘ โˆ– {๐‘ })) = ๐‘)
5655eqcomd 2738 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ ๐‘ = ({๐‘ } โˆช (๐‘ โˆ– {๐‘ })))
5718, 21, 24, 25, 43, 45, 56gsummptfidmsplit 19800 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜))) = ((๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {๐‘ } โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜)))(.rโ€˜๐‘…)(๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐‘ }) โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜)))))
58 crngring 20070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
5958adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
6019ringmgp 20064 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
62613adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
6362ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
64 vex 3478 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐‘  โˆˆ V
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ ๐‘  โˆˆ V)
6632ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ ๐‘€:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
6740, 52ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ (๐‘ƒโ€˜๐‘ ) โˆˆ ๐‘)
6866, 67, 52fovcdmd 7581 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘ )๐‘€๐‘ ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
69 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ = ๐‘  โ†’ (๐‘ƒโ€˜๐‘˜) = (๐‘ƒโ€˜๐‘ ))
70 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ = ๐‘  โ†’ ๐‘˜ = ๐‘ )
7169, 70oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = ๐‘  โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜) = ((๐‘ƒโ€˜๐‘ )๐‘€๐‘ ))
7233, 71gsumsn 19824 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘  โˆˆ V โˆง ((๐‘ƒโ€˜๐‘ )๐‘€๐‘ ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {๐‘ } โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜))) = ((๐‘ƒโ€˜๐‘ )๐‘€๐‘ ))
7363, 65, 68, 72syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {๐‘ } โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜))) = ((๐‘ƒโ€˜๐‘ )๐‘€๐‘ ))
74 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))
7511ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ ๐‘ƒ Fn ๐‘)
76 fnelnfp 7177 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ Fn ๐‘ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ) โ†” (๐‘ƒโ€˜๐‘ ) โ‰  ๐‘ ))
7775, 52, 76syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ (๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ) โ†” (๐‘ƒโ€˜๐‘ ) โ‰  ๐‘ ))
7874, 77mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ (๐‘ƒโ€˜๐‘ ) โ‰  ๐‘ )
7939ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ ๐‘ƒ:๐‘โŸถ๐‘)
8039adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โ†’ ๐‘ƒ:๐‘โŸถ๐‘)
8148, 80fssdm 6737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โ†’ dom (๐‘ƒ โˆ– I ) โŠ† ๐‘)
8281sseld 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โ†’ (๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ) โ†’ ๐‘  โˆˆ ๐‘))
8382impr 455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ ๐‘  โˆˆ ๐‘)
8479, 83ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ (๐‘ƒโ€˜๐‘ ) โˆˆ ๐‘)
85 neeq1 3003 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘– = (๐‘ƒโ€˜๐‘ ) โ†’ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†” (๐‘ƒโ€˜๐‘ ) โ‰  ๐‘—))
86 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘– = (๐‘ƒโ€˜๐‘ ) โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = ((๐‘ƒโ€˜๐‘ )๐‘€๐‘—))
8786eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘– = (๐‘ƒโ€˜๐‘ ) โ†’ ((๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 โ†” ((๐‘ƒโ€˜๐‘ )๐‘€๐‘—) = 0 ))
8885, 87imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘– = (๐‘ƒโ€˜๐‘ ) โ†’ ((๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 ) โ†” ((๐‘ƒโ€˜๐‘ ) โ‰  ๐‘— โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘ )๐‘€๐‘—) = 0 )))
89 neeq2 3004 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘— = ๐‘  โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘ ) โ‰  ๐‘— โ†” (๐‘ƒโ€˜๐‘ ) โ‰  ๐‘ ))
90 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘— = ๐‘  โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘ )๐‘€๐‘—) = ((๐‘ƒโ€˜๐‘ )๐‘€๐‘ ))
9190eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘— = ๐‘  โ†’ (((๐‘ƒโ€˜๐‘ )๐‘€๐‘—) = 0 โ†” ((๐‘ƒโ€˜๐‘ )๐‘€๐‘ ) = 0 ))
9289, 91imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘— = ๐‘  โ†’ (((๐‘ƒโ€˜๐‘ ) โ‰  ๐‘— โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘ )๐‘€๐‘—) = 0 ) โ†” ((๐‘ƒโ€˜๐‘ ) โ‰  ๐‘  โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘ )๐‘€๐‘ ) = 0 )))
9388, 92rspc2v 3622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ƒโ€˜๐‘ ) โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘  โˆˆ ๐‘) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 ) โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘ ) โ‰  ๐‘  โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘ )๐‘€๐‘ ) = 0 )))
9484, 83, 93syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 ) โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘ ) โ‰  ๐‘  โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘ )๐‘€๐‘ ) = 0 )))
9594impancom 452 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I )) โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘ ) โ‰  ๐‘  โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘ )๐‘€๐‘ ) = 0 )))
9695imp 407 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘ ) โ‰  ๐‘  โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘ )๐‘€๐‘ ) = 0 ))
9778, 96mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘ )๐‘€๐‘ ) = 0 )
9873, 97eqtrd 2772 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {๐‘ } โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜))) = 0 )
9998oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ ((๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ {๐‘ } โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜)))(.rโ€˜๐‘…)(๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐‘ }) โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜)))) = ( 0 (.rโ€˜๐‘…)(๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐‘ }) โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜)))))
100583ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
101100ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
10223adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โ†’ ๐บ โˆˆ CMnd)
103 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
104 difss 4131 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆ– {๐‘ }) โŠ† ๐‘
105 ssfi 9175 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง (๐‘ โˆ– {๐‘ }) โŠ† ๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ– {๐‘ }) โˆˆ Fin)
106103, 104, 105sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โ†’ (๐‘ โˆ– {๐‘ }) โˆˆ Fin)
10732ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐‘ })) โ†’ ๐‘€:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
10880adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐‘ })) โ†’ ๐‘ƒ:๐‘โŸถ๐‘)
109 eldifi 4126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐‘ }) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
110109adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐‘ })) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
111108, 110ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐‘ })) โ†’ (๐‘ƒโ€˜๐‘˜) โˆˆ ๐‘)
112107, 111, 110fovcdmd 7581 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐‘ })) โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
113112ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐‘ })((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
11433, 102, 106, 113gsummptcl 19837 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โ†’ (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐‘ }) โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
115114ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐‘ }) โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
116 mdetdiag.0 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0gโ€˜๐‘…)
11727, 20, 116ringlz 20109 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐‘ }) โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ( 0 (.rโ€˜๐‘…)(๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐‘ }) โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜)))) = 0 )
118101, 115, 117syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ ( 0 (.rโ€˜๐‘…)(๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (๐‘ โˆ– {๐‘ }) โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜)))) = 0 )
11957, 99, 1183eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ))) โ†’ (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜))) = 0 )
120119expr 457 . . . . . . . 8 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โ†’ (๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ) โ†’ (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜))) = 0 ))
121120exlimdv 1936 . . . . . . 7 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โ†’ (โˆƒ๐‘  ๐‘  โˆˆ dom (๐‘ƒ โˆ– I ) โ†’ (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜))) = 0 ))
12217, 121biimtrid 241 . . . . . 6 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โ†’ (dom (๐‘ƒ โˆ– I ) โ‰  โˆ… โ†’ (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜))) = 0 ))
12316, 122sylbid 239 . . . . 5 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โ†’ (๐‘ƒ โ‰  ( I โ†พ ๐‘) โ†’ (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜))) = 0 ))
124123expimpd 454 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 )) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ƒ โ‰  ( I โ†พ ๐‘)) โ†’ (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜))) = 0 ))
1251243impia 1117 . . 3 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 ) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ƒ โ‰  ( I โ†พ ๐‘))) โ†’ (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜))) = 0 )
1266, 125oveq12d 7429 . 2 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 ) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ƒ โ‰  ( I โ†พ ๐‘))) โ†’ (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) ยท (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜)))) = ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘ƒ) ยท 0 ))
127 3simpa 1148 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin))
128 simpl 483 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ƒ โ‰  ( I โ†พ ๐‘)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป)
12958ad2antrr 724 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
130 zrhpsgnmhm 21143 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘)) โˆˆ ((SymGrpโ€˜๐‘) MndHom (mulGrpโ€˜๐‘…)))
13158, 130sylan 580 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘)) โˆˆ ((SymGrpโ€˜๐‘) MndHom (mulGrpโ€˜๐‘…)))
132 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)) = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
1338, 132mhmf 18679 . . . . . . 7 (((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘)) โˆˆ ((SymGrpโ€˜๐‘) MndHom (mulGrpโ€˜๐‘…)) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘)):๐ปโŸถ(Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))
134131, 133syl 17 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘)):๐ปโŸถ(Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))
135134ffvelcdmda 7086 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘ƒ) โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))
136 eqid 2732 . . . . . . . 8 (mulGrpโ€˜๐‘…) = (mulGrpโ€˜๐‘…)
137136, 27mgpbas 19995 . . . . . . 7 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
138137eqcomi 2741 . . . . . 6 (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)) = (Baseโ€˜๐‘…)
139 mdetdiaglem.t . . . . . 6 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
140138, 139, 116ringrz 20110 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘ƒ) โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘ƒ) ยท 0 ) = 0 )
141129, 135, 140syl2anc 584 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ป) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘ƒ) ยท 0 ) = 0 )
142127, 128, 141syl2an 596 . . 3 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ƒ โ‰  ( I โ†พ ๐‘))) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘ƒ) ยท 0 ) = 0 )
1431423adant2 1131 . 2 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 ) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ƒ โ‰  ( I โ†พ ๐‘))) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘…) โˆ˜ (pmSgnโ€˜๐‘))โ€˜๐‘ƒ) ยท 0 ) = 0 )
144126, 143eqtrd 2772 1 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐‘– โ‰  ๐‘— โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = 0 ) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ƒ โ‰  ( I โ†พ ๐‘))) โ†’ (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) ยท (๐บ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘˜)))) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541  โˆƒwex 1781   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  Vcvv 3474   โˆ– cdif 3945   โˆช cun 3946   โˆฉ cin 3947   โŠ† wss 3948  โˆ…c0 4322  {csn 4628   โ†ฆ cmpt 5231   I cid 5573   ร— cxp 5674  dom cdm 5676   โ†พ cres 5678   โˆ˜ ccom 5680   Fn wfn 6538  โŸถwf 6539  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6542  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   โ†‘m cmap 8822  Fincfn 8941  Basecbs 17146  .rcmulr 17200  0gc0g 17387   ฮฃg cgsu 17388  Mndcmnd 18627   MndHom cmhm 18671  SymGrpcsymg 19236  pmSgncpsgn 19359  CMndccmn 19650  mulGrpcmgp 19989  Ringcrg 20058  CRingccrg 20059  โ„คRHomczrh 21055   Mat cmat 21914   maDet cmdat 22093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-word 14467  df-lsw 14515  df-concat 14523  df-s1 14548  df-substr 14593  df-pfx 14623  df-splice 14702  df-reverse 14711  df-s2 14801  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-prds 17395  df-pws 17397  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-submnd 18674  df-efmnd 18752  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-mulg 18953  df-subg 19005  df-ghm 19092  df-gim 19135  df-cntz 19183  df-oppg 19212  df-symg 19237  df-pmtr 19312  df-psgn 19361  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-cring 20061  df-oppr 20154  df-dvdsr 20175  df-unit 20176  df-invr 20206  df-dvr 20219  df-rnghom 20255  df-subrg 20321  df-drng 20363  df-sra 20791  df-rgmod 20792  df-cnfld 20951  df-zring 21024  df-zrh 21059  df-dsmm 21293  df-frlm 21308  df-mat 21915
This theorem is referenced by:  mdetdiag  22108
  Copyright terms: Public domain W3C validator