Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmtrcnel2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrcnel2 33110
Description: Variation on pmtrcnel 33109. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrcnel.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
pmtrcnel.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrcnel.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
pmtrcnel.j 𝐽 = (𝐹𝐼)
pmtrcnel.d (𝜑𝐷𝑉)
pmtrcnel.f (𝜑𝐹𝐵)
pmtrcnel.i (𝜑𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
Assertion
Ref Expression
pmtrcnel2 (𝜑 → (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼, 𝐽}) ⊆ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ))

Proof of Theorem pmtrcnel2
StepHypRef Expression
1 mvdco 19463 . . . . 5 dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)) ∖ I ) ⊆ (dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ∪ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ))
21a1i 11 . . . 4 (𝜑 → dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)) ∖ I ) ⊆ (dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ∪ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )))
3 coass 6285 . . . . . . . 8 (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ (𝑇‘{𝐼, 𝐽})) ∘ 𝐹) = ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹))
4 pmtrcnel.d . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷𝑉)
5 difss 4136 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹
6 dmss 5913 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹)
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹
8 pmtrcnel.i . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
97, 8sselid 3981 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼 ∈ dom 𝐹)
10 pmtrcnel.f . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹𝐵)
11 pmtrcnel.s . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
12 pmtrcnel.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = (Base‘𝑆)
1311, 12symgbasf1o 19392 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹𝐵𝐹:𝐷1-1-onto𝐷)
14 f1of 6848 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹:𝐷1-1-onto𝐷𝐹:𝐷𝐷)
1510, 13, 143syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹:𝐷𝐷)
1615fdmd 6746 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷)
179, 16eleqtrd 2843 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐼𝐷)
18 pmtrcnel.j . . . . . . . . . . . . 13 𝐽 = (𝐹𝐼)
1915, 17ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹𝐼) ∈ 𝐷)
2018, 19eqeltrid 2845 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽𝐷)
2117, 20prssd 4822 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷)
2215ffnd 6737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 Fn 𝐷)
23 fnelnfp 7197 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 Fn 𝐷𝐼𝐷) → (𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ (𝐹𝐼) ≠ 𝐼))
2423biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 Fn 𝐷𝐼𝐷) ∧ 𝐼 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → (𝐹𝐼) ≠ 𝐼)
2522, 17, 8, 24syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝐼) ≠ 𝐼)
2625necomd 2996 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼 ≠ (𝐹𝐼))
2718a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 = (𝐹𝐼))
2826, 27neeqtrrd 3015 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐼𝐽)
29 enpr2 10042 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝐷𝐽𝐷𝐼𝐽) → {𝐼, 𝐽} ≈ 2o)
3017, 20, 28, 29syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ≈ 2o)
31 pmtrcnel.t . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
32 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 ran 𝑇 = ran 𝑇
3331, 32pmtrrn 19475 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷𝑉 ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷 ∧ {𝐼, 𝐽} ≈ 2o) → (𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran 𝑇)
344, 21, 30, 33syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran 𝑇)
3531, 32pmtrff1o 19481 . . . . . . . . . 10 ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran 𝑇 → (𝑇‘{𝐼, 𝐽}):𝐷1-1-onto𝐷)
36 f1ococnv1 6877 . . . . . . . . . 10 ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}):𝐷1-1-onto𝐷 → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ (𝑇‘{𝐼, 𝐽})) = ( I ↾ 𝐷))
3734, 35, 363syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ (𝑇‘{𝐼, 𝐽})) = ( I ↾ 𝐷))
3837coeq1d 5872 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ (𝑇‘{𝐼, 𝐽})) ∘ 𝐹) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝐹))
393, 38eqtr3id 2791 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)) = (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝐹))
40 fcoi2 6783 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐷𝐷 → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝐹) = 𝐹)
4115, 40syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (( I ↾ 𝐷) ∘ 𝐹) = 𝐹)
4239, 41eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)) = 𝐹)
4342difeq1d 4125 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)) ∖ I ) = (𝐹 ∖ I ))
4443dmeqd 5916 . . . 4 (𝜑 → dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹)) ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))
4531, 32pmtrfcnv 19482 . . . . . . . . . 10 ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∈ ran 𝑇(𝑇‘{𝐼, 𝐽}) = (𝑇‘{𝐼, 𝐽}))
4634, 45syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑(𝑇‘{𝐼, 𝐽}) = (𝑇‘{𝐼, 𝐽}))
4746difeq1d 4125 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) = ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ))
4847dmeqd 5916 . . . . . . 7 (𝜑 → dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) = dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ))
4931pmtrmvd 19474 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉 ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷 ∧ {𝐼, 𝐽} ≈ 2o) → dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) = {𝐼, 𝐽})
504, 21, 30, 49syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑 → dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) = {𝐼, 𝐽})
5148, 50eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝜑 → dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) = {𝐼, 𝐽})
5251uneq1d 4167 . . . . 5 (𝜑 → (dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ∪ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )) = ({𝐼, 𝐽} ∪ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )))
53 uncom 4158 . . . . 5 ({𝐼, 𝐽} ∪ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )) = (dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ∪ {𝐼, 𝐽})
5452, 53eqtrdi 2793 . . . 4 (𝜑 → (dom ((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∖ I ) ∪ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )) = (dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ∪ {𝐼, 𝐽}))
552, 44, 543sstr3d 4038 . . 3 (𝜑 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ (dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ∪ {𝐼, 𝐽}))
5655ssdifd 4145 . 2 (𝜑 → (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼, 𝐽}) ⊆ ((dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ∪ {𝐼, 𝐽}) ∖ {𝐼, 𝐽}))
57 difun2 4481 . . 3 ((dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ∪ {𝐼, 𝐽}) ∖ {𝐼, 𝐽}) = (dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ∖ {𝐼, 𝐽})
58 difss 4136 . . 3 (dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ∖ {𝐼, 𝐽}) ⊆ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )
5957, 58eqsstri 4030 . 2 ((dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ) ∪ {𝐼, 𝐽}) ∖ {𝐼, 𝐽}) ⊆ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I )
6056, 59sstrdi 3996 1 (𝜑 → (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝐼, 𝐽}) ⊆ dom (((𝑇‘{𝐼, 𝐽}) ∘ 𝐹) ∖ I ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cdif 3948  cun 3949  wss 3951  {cpr 4628   class class class wbr 5143   I cid 5577  ccnv 5684  dom cdm 5685  ran crn 5686  cres 5687  ccom 5689   Fn wfn 6556  wf 6557  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  2oc2o 8500  cen 8982  Basecbs 17247  SymGrpcsymg 19386  pmTrspcpmtr 19459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-tset 17316  df-efmnd 18882  df-symg 19387  df-pmtr 19460
This theorem is referenced by:  pmtrcnelor  33111
  Copyright terms: Public domain W3C validator