Theorem fssres 6700

Description: Restriction of a function with a subclass of its domain. (Contributed by NM, 23-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
fssres	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵)

Proof of Theorem fssres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f 6496	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵))
2		fnssres 6615	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶)
3		resss 5960	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐹
4	3	rnssi 5889	. . . . . 6 ⊢ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ ran 𝐹
5		sstr 3942	. . . . . 6 ⊢ ((ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ ran 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵) → ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵)
6	4, 5	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 → ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵)
7	2, 6	anim12i 613	. . . 4 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶 ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵))
8	7	an32s 652	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → ((𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶 ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵))
9	1, 8	sylanb 581	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → ((𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶 ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵))
10		df-f 6496	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵 ↔ ((𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶 ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵))
11	9, 10	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ⊆ wss 3901  ran crn 5625   ↾ cres 5626   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-br 5099  df-opab 5161  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496

This theorem is referenced by:  fssresd  6701  fssres2  6702  fresin  6703  fresaun  6705  f1ssres  6737  resf1extb  7876  resf1ext2b  7877  f2ndf  8062  elmapssres  8804  pmresg  8808  ralxpmap  8834  mapunen  9074  fofinf1o  9232  fseqenlem1  9934  inar1  10686  gruima  10713  addnqf  10859  mulnqf  10860  fseq1p1m1  13514  injresinj  13707  seqf1olem2  13965  wrdred1  14483  rlimres  15481  lo1res  15482  vdwnnlem1  16923  fsets  17096  resmgmhm  18636  resmhm  18745  resghm  19161  gsumzres  19838  gsumzadd  19851  gsum2dlem2  19900  dpjidcl  19989  ablfac1eu  20004  abvres  20764  znf1o  21506  islindf4  21793  kgencn  23500  ptrescn  23583  hmeores  23715  tsmsres  24088  tsmsmhm  24090  tsmsadd  24091  xrge0gsumle  24778  xrge0tsms  24779  ovolicc2lem4  25477  limcdif  25833  limcflf  25838  limcmo  25839  dvres  25868  dvres3a  25871  aannenlem1  26292  logcn  26612  dvlog  26616  dvlog2  26618  logtayl  26625  dvatan  26901  atancn  26902  efrlim  26935  efrlimOLD  26936  amgm  26957  dchrelbas2  27204  redwlklem  29743  pthdivtx  29800  hhssabloilem  31336  hhssnv  31339  wrdres  33017  gsumpart  33146  xrge0tsmsd  33155  cntmeas  34383  eulerpartlemt  34528  eulerpartlemmf  34532  eulerpartlemgvv  34533  subiwrd  34542  sseqp1  34552  poimirlem4  37821  mbfresfi  37863  mbfposadd  37864  itg2gt0cn  37872  sdclem2  37939  mzpcompact2lem  42989  eldiophb  42995  eldioph2  43000  cncfiooicclem1  46133  fouriersw  46471  sge0tsms  46620  psmeasure  46711  sssmf  46978  lindslinindimp2lem2  48701