Theorem fssres 6640

Description: Restriction of a function with a subclass of its domain. (Contributed by NM, 23-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
fssres	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵)

Proof of Theorem fssres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f 6437	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵))
2		fnssres 6555	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶)
3		resss 5916	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐹
4	3	rnssi 5849	. . . . . 6 ⊢ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ ran 𝐹
5		sstr 3929	. . . . . 6 ⊢ ((ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ ran 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵) → ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵)
6	4, 5	mpan 687	. . . . 5 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 → ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵)
7	2, 6	anim12i 613	. . . 4 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶 ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵))
8	7	an32s 649	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → ((𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶 ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵))
9	1, 8	sylanb 581	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → ((𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶 ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵))
10		df-f 6437	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵 ↔ ((𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶 ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵))
11	9, 10	sylibr 233	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ⊆ wss 3887  ran crn 5590   ↾ cres 5591   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-br 5075  df-opab 5137  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437

This theorem is referenced by:  fssresd  6641  fssres2  6642  fresin  6643  fresaun  6645  f1ssres  6678  f2ndf  7961  elmapssres  8655  pmresg  8658  ralxpmap  8684  mapunen  8933  fofinf1o  9094  fseqenlem1  9780  inar1  10531  gruima  10558  addnqf  10704  mulnqf  10705  fseq1p1m1  13330  injresinj  13508  seqf1olem2  13763  wrdred1  14263  rlimres  15267  lo1res  15268  vdwnnlem1  16696  fsets  16870  resmhm  18459  resghm  18850  gsumzres  19510  gsumzadd  19523  gsum2dlem2  19572  dpjidcl  19661  ablfac1eu  19676  abvres  20099  znf1o  20759  islindf4  21045  kgencn  22707  ptrescn  22790  hmeores  22922  tsmsres  23295  tsmsmhm  23297  tsmsadd  23298  xrge0gsumle  23996  xrge0tsms  23997  ovolicc2lem4  24684  limcdif  25040  limcflf  25045  limcmo  25046  dvres  25075  dvres3a  25078  aannenlem1  25488  logcn  25802  dvlog  25806  dvlog2  25808  logtayl  25815  dvatan  26085  atancn  26086  efrlim  26119  amgm  26140  dchrelbas2  26385  redwlklem  28039  pthdivtx  28097  hhssabloilem  29623  hhssnv  29626  wrdres  31211  gsumpart  31315  xrge0tsmsd  31317  cntmeas  32194  eulerpartlemt  32338  eulerpartlemmf  32342  eulerpartlemgvv  32343  subiwrd  32352  sseqp1  32362  poimirlem4  35781  mbfresfi  35823  mbfposadd  35824  itg2gt0cn  35832  sdclem2  35900  mzpcompact2lem  40573  eldiophb  40579  eldioph2  40584  cncfiooicclem1  43434  fouriersw  43772  sge0tsms  43918  psmeasure  44009  sssmf  44274  resmgmhm  45352  lindslinindimp2lem2  45800