Theorem fssres 6694

Description: Restriction of a function with a subclass of its domain. (Contributed by NM, 23-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
fssres	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵)

Proof of Theorem fssres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f 6490	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵))
2		fnssres 6609	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶)
3		resss 5956	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐹
4	3	rnssi 5886	. . . . . 6 ⊢ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ ran 𝐹
5		sstr 3946	. . . . . 6 ⊢ ((ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ ran 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵) → ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵)
6	4, 5	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 → ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵)
7	2, 6	anim12i 613	. . . 4 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶 ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵))
8	7	an32s 652	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → ((𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶 ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵))
9	1, 8	sylanb 581	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → ((𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶 ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵))
10		df-f 6490	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵 ↔ ((𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶 ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵))
11	9, 10	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ⊆ wss 3905  ran crn 5624   ↾ cres 5625   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-br 5096  df-opab 5158  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490

This theorem is referenced by:  fssresd  6695  fssres2  6696  fresin  6697  fresaun  6699  f1ssres  6731  resf1extb  7874  resf1ext2b  7875  f2ndf  8060  elmapssres  8801  pmresg  8804  ralxpmap  8830  mapunen  9070  fofinf1o  9241  fseqenlem1  9937  inar1  10688  gruima  10715  addnqf  10861  mulnqf  10862  fseq1p1m1  13519  injresinj  13709  seqf1olem2  13967  wrdred1  14485  rlimres  15483  lo1res  15484  vdwnnlem1  16925  fsets  17098  resmgmhm  18603  resmhm  18712  resghm  19129  gsumzres  19806  gsumzadd  19819  gsum2dlem2  19868  dpjidcl  19957  ablfac1eu  19972  abvres  20734  znf1o  21476  islindf4  21763  kgencn  23459  ptrescn  23542  hmeores  23674  tsmsres  24047  tsmsmhm  24049  tsmsadd  24050  xrge0gsumle  24738  xrge0tsms  24739  ovolicc2lem4  25437  limcdif  25793  limcflf  25798  limcmo  25799  dvres  25828  dvres3a  25831  aannenlem1  26252  logcn  26572  dvlog  26576  dvlog2  26578  logtayl  26585  dvatan  26861  atancn  26862  efrlim  26895  efrlimOLD  26896  amgm  26917  dchrelbas2  27164  redwlklem  29633  pthdivtx  29690  hhssabloilem  31223  hhssnv  31226  wrdres  32889  gsumpart  33023  xrge0tsmsd  33028  cntmeas  34195  eulerpartlemt  34341  eulerpartlemmf  34345  eulerpartlemgvv  34346  subiwrd  34355  sseqp1  34365  poimirlem4  37606  mbfresfi  37648  mbfposadd  37649  itg2gt0cn  37657  sdclem2  37724  mzpcompact2lem  42727  eldiophb  42733  eldioph2  42738  cncfiooicclem1  45878  fouriersw  46216  sge0tsms  46365  psmeasure  46456  sssmf  46723  lindslinindimp2lem2  48448