Theorem fssres 6518

Description: Restriction of a function with a subclass of its domain. (Contributed by NM, 23-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
fssres	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵)

Proof of Theorem fssres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f 6328	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵))
2		fnssres 6442	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶)
3		resss 5843	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐹
4	3	rnssi 5774	. . . . . 6 ⊢ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ ran 𝐹
5		sstr 3923	. . . . . 6 ⊢ ((ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ ran 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵) → ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵)
6	4, 5	mpan 689	. . . . 5 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 → ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵)
7	2, 6	anim12i 615	. . . 4 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶 ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵))
8	7	an32s 651	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → ((𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶 ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵))
9	1, 8	sylanb 584	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → ((𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶 ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵))
10		df-f 6328	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵 ↔ ((𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶 ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵))
11	9, 10	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ⊆ wss 3881  ran crn 5520   ↾ cres 5521   Fn wfn 6319  ⟶wf 6320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-br 5031  df-opab 5093  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328

This theorem is referenced by:  fssresd  6519  fssres2  6520  fresin  6521  fresaun  6523  f1ssres  6557  f2ndf  7799  elmapssres  8414  pmresg  8417  ralxpmap  8443  mapunen  8670  fofinf1o  8783  fseqenlem1  9435  inar1  10186  gruima  10213  addnqf  10359  mulnqf  10360  fseq1p1m1  12976  injresinj  13153  seqf1olem2  13406  wrdred1  13903  rlimres  14907  lo1res  14908  vdwnnlem1  16321  fsets  16508  resmhm  17977  resghm  18366  gsumzres  19022  gsumzadd  19035  gsum2dlem2  19084  dpjidcl  19173  ablfac1eu  19188  abvres  19603  znf1o  20243  islindf4  20527  kgencn  22161  ptrescn  22244  hmeores  22376  tsmsres  22749  tsmsmhm  22751  tsmsadd  22752  xrge0gsumle  23438  xrge0tsms  23439  ovolicc2lem4  24124  limcdif  24479  limcflf  24484  limcmo  24485  dvres  24514  dvres3a  24517  aannenlem1  24924  logcn  25238  dvlog  25242  dvlog2  25244  logtayl  25251  dvatan  25521  atancn  25522  efrlim  25555  amgm  25576  dchrelbas2  25821  redwlklem  27461  pthdivtx  27518  hhssabloilem  29044  hhssnv  29047  wrdres  30639  gsumpart  30740  xrge0tsmsd  30742  cntmeas  31595  eulerpartlemt  31739  eulerpartlemmf  31743  eulerpartlemgvv  31744  subiwrd  31753  sseqp1  31763  poimirlem4  35061  mbfresfi  35103  mbfposadd  35104  itg2gt0cn  35112  sdclem2  35180  mzpcompact2lem  39692  eldiophb  39698  eldioph2  39703  cncfiooicclem1  42535  fouriersw  42873  sge0tsms  43019  psmeasure  43110  sssmf  43372  resmgmhm  44418  lindslinindimp2lem2  44868