Theorem fssres 6774

Description: Restriction of a function with a subclass of its domain. (Contributed by NM, 23-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
fssres	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵)

Proof of Theorem fssres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f 6565	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵))
2		fnssres 6691	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶)
3		resss 6019	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐹
4	3	rnssi 5951	. . . . . 6 ⊢ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ ran 𝐹
5		sstr 3992	. . . . . 6 ⊢ ((ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ ran 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵) → ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵)
6	4, 5	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 → ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵)
7	2, 6	anim12i 613	. . . 4 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶 ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵))
8	7	an32s 652	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → ((𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶 ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵))
9	1, 8	sylanb 581	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → ((𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶 ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵))
10		df-f 6565	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵 ↔ ((𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶 ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵))
11	9, 10	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ⊆ wss 3951  ran crn 5686   ↾ cres 5687   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-br 5144  df-opab 5206  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565

This theorem is referenced by:  fssresd  6775  fssres2  6776  fresin  6777  fresaun  6779  f1ssres  6811  resf1extb  7956  resf1ext2b  7957  f2ndf  8145  elmapssres  8907  pmresg  8910  ralxpmap  8936  mapunen  9186  fofinf1o  9372  fseqenlem1  10064  inar1  10815  gruima  10842  addnqf  10988  mulnqf  10989  fseq1p1m1  13638  injresinj  13827  seqf1olem2  14083  wrdred1  14598  rlimres  15594  lo1res  15595  vdwnnlem1  17033  fsets  17206  resmgmhm  18724  resmhm  18833  resghm  19250  gsumzres  19927  gsumzadd  19940  gsum2dlem2  19989  dpjidcl  20078  ablfac1eu  20093  abvres  20832  znf1o  21570  islindf4  21858  kgencn  23564  ptrescn  23647  hmeores  23779  tsmsres  24152  tsmsmhm  24154  tsmsadd  24155  xrge0gsumle  24855  xrge0tsms  24856  ovolicc2lem4  25555  limcdif  25911  limcflf  25916  limcmo  25917  dvres  25946  dvres3a  25949  aannenlem1  26370  logcn  26689  dvlog  26693  dvlog2  26695  logtayl  26702  dvatan  26978  atancn  26979  efrlim  27012  efrlimOLD  27013  amgm  27034  dchrelbas2  27281  redwlklem  29689  pthdivtx  29747  hhssabloilem  31280  hhssnv  31283  wrdres  32919  gsumpart  33060  xrge0tsmsd  33065  cntmeas  34227  eulerpartlemt  34373  eulerpartlemmf  34377  eulerpartlemgvv  34378  subiwrd  34387  sseqp1  34397  poimirlem4  37631  mbfresfi  37673  mbfposadd  37674  itg2gt0cn  37682  sdclem2  37749  mzpcompact2lem  42762  eldiophb  42768  eldioph2  42773  cncfiooicclem1  45908  fouriersw  46246  sge0tsms  46395  psmeasure  46486  sssmf  46753  lindslinindimp2lem2  48376