Theorem fssres 6787

Description: Restriction of a function with a subclass of its domain. (Contributed by NM, 23-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
fssres	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵)

Proof of Theorem fssres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f 6577	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵))
2		fnssres 6703	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶)
3		resss 6031	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐹
4	3	rnssi 5965	. . . . . 6 ⊢ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ ran 𝐹
5		sstr 4017	. . . . . 6 ⊢ ((ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ ran 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵) → ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵)
6	4, 5	mpan 689	. . . . 5 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 → ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵)
7	2, 6	anim12i 612	. . . 4 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶 ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵))
8	7	an32s 651	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → ((𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶 ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵))
9	1, 8	sylanb 580	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → ((𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶 ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵))
10		df-f 6577	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵 ↔ ((𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶 ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵))
11	9, 10	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ⊆ wss 3976  ran crn 5701   ↾ cres 5702   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-opab 5229  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577

This theorem is referenced by:  fssresd  6788  fssres2  6789  fresin  6790  fresaun  6792  f1ssres  6824  f2ndf  8161  elmapssres  8925  pmresg  8928  ralxpmap  8954  mapunen  9212  fofinf1o  9400  fseqenlem1  10093  inar1  10844  gruima  10871  addnqf  11017  mulnqf  11018  fseq1p1m1  13658  injresinj  13838  seqf1olem2  14093  wrdred1  14608  rlimres  15604  lo1res  15605  vdwnnlem1  17042  fsets  17216  resmgmhm  18749  resmhm  18855  resghm  19272  gsumzres  19951  gsumzadd  19964  gsum2dlem2  20013  dpjidcl  20102  ablfac1eu  20117  abvres  20854  znf1o  21593  islindf4  21881  kgencn  23585  ptrescn  23668  hmeores  23800  tsmsres  24173  tsmsmhm  24175  tsmsadd  24176  xrge0gsumle  24874  xrge0tsms  24875  ovolicc2lem4  25574  limcdif  25931  limcflf  25936  limcmo  25937  dvres  25966  dvres3a  25969  aannenlem1  26388  logcn  26707  dvlog  26711  dvlog2  26713  logtayl  26720  dvatan  26996  atancn  26997  efrlim  27030  efrlimOLD  27031  amgm  27052  dchrelbas2  27299  redwlklem  29707  pthdivtx  29765  hhssabloilem  31293  hhssnv  31296  wrdres  32901  gsumpart  33038  xrge0tsmsd  33041  cntmeas  34190  eulerpartlemt  34336  eulerpartlemmf  34340  eulerpartlemgvv  34341  subiwrd  34350  sseqp1  34360  poimirlem4  37584  mbfresfi  37626  mbfposadd  37627  itg2gt0cn  37635  sdclem2  37702  mzpcompact2lem  42707  eldiophb  42713  eldioph2  42718  cncfiooicclem1  45814  fouriersw  46152  sge0tsms  46301  psmeasure  46392  sssmf  46659  lindslinindimp2lem2  48188