Theorem fssres 6694

Description: Restriction of a function with a subclass of its domain. (Contributed by NM, 23-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
fssres	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵)

Proof of Theorem fssres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f 6490	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵))
2		fnssres 6609	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶)
3		resss 5954	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐹
4	3	rnssi 5884	. . . . . 6 ⊢ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ ran 𝐹
5		sstr 3939	. . . . . 6 ⊢ ((ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ ran 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵) → ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵)
6	4, 5	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 → ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵)
7	2, 6	anim12i 613	. . . 4 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶 ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵))
8	7	an32s 652	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → ((𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶 ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵))
9	1, 8	sylanb 581	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → ((𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶 ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵))
10		df-f 6490	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵 ↔ ((𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶 ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵))
11	9, 10	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ⊆ wss 3898  ran crn 5620   ↾ cres 5621   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-br 5094  df-opab 5156  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490

This theorem is referenced by:  fssresd  6695  fssres2  6696  fresin  6697  fresaun  6699  f1ssres  6731  resf1extb  7870  resf1ext2b  7871  f2ndf  8056  elmapssres  8797  pmresg  8800  ralxpmap  8826  mapunen  9066  fofinf1o  9223  fseqenlem1  9922  inar1  10673  gruima  10700  addnqf  10846  mulnqf  10847  fseq1p1m1  13500  injresinj  13693  seqf1olem2  13951  wrdred1  14469  rlimres  15467  lo1res  15468  vdwnnlem1  16909  fsets  17082  resmgmhm  18621  resmhm  18730  resghm  19146  gsumzres  19823  gsumzadd  19836  gsum2dlem2  19885  dpjidcl  19974  ablfac1eu  19989  abvres  20748  znf1o  21490  islindf4  21777  kgencn  23472  ptrescn  23555  hmeores  23687  tsmsres  24060  tsmsmhm  24062  tsmsadd  24063  xrge0gsumle  24750  xrge0tsms  24751  ovolicc2lem4  25449  limcdif  25805  limcflf  25810  limcmo  25811  dvres  25840  dvres3a  25843  aannenlem1  26264  logcn  26584  dvlog  26588  dvlog2  26590  logtayl  26597  dvatan  26873  atancn  26874  efrlim  26907  efrlimOLD  26908  amgm  26929  dchrelbas2  27176  redwlklem  29650  pthdivtx  29707  hhssabloilem  31243  hhssnv  31246  wrdres  32923  gsumpart  33044  xrge0tsmsd  33049  cntmeas  34260  eulerpartlemt  34405  eulerpartlemmf  34409  eulerpartlemgvv  34410  subiwrd  34419  sseqp1  34429  poimirlem4  37685  mbfresfi  37727  mbfposadd  37728  itg2gt0cn  37736  sdclem2  37803  mzpcompact2lem  42869  eldiophb  42875  eldioph2  42880  cncfiooicclem1  46016  fouriersw  46354  sge0tsms  46503  psmeasure  46594  sssmf  46861  lindslinindimp2lem2  48585