Theorem fssres 6689

Description: Restriction of a function with a subclass of its domain. (Contributed by NM, 23-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
fssres	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵)

Proof of Theorem fssres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f 6485	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵))
2		fnssres 6604	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶)
3		resss 5950	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐹
4	3	rnssi 5880	. . . . . 6 ⊢ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ ran 𝐹
5		sstr 3943	. . . . . 6 ⊢ ((ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ ran 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵) → ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵)
6	4, 5	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 → ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵)
7	2, 6	anim12i 613	. . . 4 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶 ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵))
8	7	an32s 652	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → ((𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶 ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵))
9	1, 8	sylanb 581	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → ((𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶 ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵))
10		df-f 6485	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵 ↔ ((𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶 ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵))
11	9, 10	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ⊆ wss 3902  ran crn 5617   ↾ cres 5618   Fn wfn 6476  ⟶wf 6477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-br 5092  df-opab 5154  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485

This theorem is referenced by:  fssresd  6690  fssres2  6691  fresin  6692  fresaun  6694  f1ssres  6726  resf1extb  7864  resf1ext2b  7865  f2ndf  8050  elmapssres  8791  pmresg  8794  ralxpmap  8820  mapunen  9059  fofinf1o  9216  fseqenlem1  9915  inar1  10666  gruima  10693  addnqf  10839  mulnqf  10840  fseq1p1m1  13498  injresinj  13691  seqf1olem2  13949  wrdred1  14467  rlimres  15465  lo1res  15466  vdwnnlem1  16907  fsets  17080  resmgmhm  18619  resmhm  18728  resghm  19145  gsumzres  19822  gsumzadd  19835  gsum2dlem2  19884  dpjidcl  19973  ablfac1eu  19988  abvres  20747  znf1o  21489  islindf4  21776  kgencn  23472  ptrescn  23555  hmeores  23687  tsmsres  24060  tsmsmhm  24062  tsmsadd  24063  xrge0gsumle  24750  xrge0tsms  24751  ovolicc2lem4  25449  limcdif  25805  limcflf  25810  limcmo  25811  dvres  25840  dvres3a  25843  aannenlem1  26264  logcn  26584  dvlog  26588  dvlog2  26590  logtayl  26597  dvatan  26873  atancn  26874  efrlim  26907  efrlimOLD  26908  amgm  26929  dchrelbas2  27176  redwlklem  29649  pthdivtx  29706  hhssabloilem  31239  hhssnv  31242  wrdres  32914  gsumpart  33035  xrge0tsmsd  33040  cntmeas  34237  eulerpartlemt  34382  eulerpartlemmf  34386  eulerpartlemgvv  34387  subiwrd  34396  sseqp1  34406  poimirlem4  37670  mbfresfi  37712  mbfposadd  37713  itg2gt0cn  37721  sdclem2  37788  mzpcompact2lem  42790  eldiophb  42796  eldioph2  42801  cncfiooicclem1  45937  fouriersw  46275  sge0tsms  46424  psmeasure  46515  sssmf  46782  lindslinindimp2lem2  48497