Theorem fssres 6726

Description: Restriction of a function with a subclass of its domain. (Contributed by NM, 23-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
fssres	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵)

Proof of Theorem fssres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f 6521	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵))
2		fnssres 6640	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶)
3		resss 5985	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐹
4	3	rnssi 5914	. . . . . 6 ⊢ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ ran 𝐹
5		sstr 3944	. . . . . 6 ⊢ ((ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ ran 𝐹 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵) → ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵)
6	4, 5	mpan 700	. . . . 5 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 → ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵)
7	2, 6	anim12i 622	. . . 4 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶 ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵))
8	7	an32s 662	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → ((𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶 ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵))
9	1, 8	sylanb 590	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → ((𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶 ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵))
10		df-f 6521	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵 ↔ ((𝐹 ↾ 𝐶) Fn 𝐶 ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐶) ⊆ 𝐵))
11	9, 10	sylibr 236	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ⊆ wss 3904  ran crn 5646   ↾ cres 5647   Fn wfn 6512  ⟶wf 6513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-br 5100  df-opab 5162  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521

This theorem is referenced by:  fssresd  6727  fssres2  6728  fresin  6729  fresaun  6731  f1ssres  6765  resf1extb  7911  resf1ext2b  7912  f2ndf  8094  elmapssres  8844  pmresg  8848  ralxpmap  8874  mapunen  9114  fofinf1o  9272  fseqenlem1  9977  inar1  10730  gruima  10757  addnqf  10903  mulnqf  10904  fseq1p1m1  13600  injresinj  13794  seqf1olem2  14052  wrdred1  14570  rlimres  15568  lo1res  15569  vdwnnlem1  17014  fsets  17188  resmgmhm  18728  resmhm  18837  resghm  19255  gsumzres  19932  gsumzadd  19945  gsum2dlem2  19994  dpjidcl  20083  ablfac1eu  20098  abvres  20860  znf1o  21583  islindf4  21870  kgencn  23596  ptrescn  23679  hmeores  23811  tsmsres  24184  tsmsmhm  24186  tsmsadd  24187  xrge0gsumle  24874  xrge0tsms  24875  ovolicc2lem4  25562  limcdif  25918  limcflf  25923  limcmo  25924  dvres  25953  dvres3a  25956  aannenlem1  26369  logcn  26689  dvlog  26693  dvlog2  26695  logtayl  26702  dvatan  26977  atancn  26978  efrlim  27011  amgm  27032  dchrelbas2  27278  redwlklem  29816  pthdivtx  29873  hhssabloilem  31410  hhssnv  31413  wrdres  33074  gsumpart  33204  xrge0tsmsd  33214  cntmeas  34484  eulerpartlemt  34629  eulerpartlemmf  34633  eulerpartlemgvv  34634  subiwrd  34643  sseqp1  34653  poimirlem4  38087  mbfresfi  38129  mbfposadd  38130  itg2gt0cn  38138  sdclem2  38205  mzpcompact2lem  43296  eldiophb  43302  eldioph2  43307  cncfiooicclem1  46431  fouriersw  46769  sge0tsms  46918  psmeasure  47009  lindslinindimp2lem2  49045