Theorem joinfval2 18199

Description: Value of join function for a poset-type structure. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.) (Revised by NM, 9-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
joinfval.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
joinfval.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
joinfval2	⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → ∨ = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝑈 ∧ 𝑧 = (𝑈‘{𝑥, 𝑦}))})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐾   𝑧,𝑈

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑦)   ∨ (𝑥,𝑦,𝑧)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem joinfval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		joinfval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
2		joinfval.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3	1, 2	joinfval 18198	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → ∨ = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦}𝑈𝑧})
4	1	lubfun 18177	. . . . 5 ⊢ Fun 𝑈
5		funbrfv2b 6896	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝑈 → ({𝑥, 𝑦}𝑈𝑧 ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝑈 ∧ (𝑈‘{𝑥, 𝑦}) = 𝑧)))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ({𝑥, 𝑦}𝑈𝑧 ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝑈 ∧ (𝑈‘{𝑥, 𝑦}) = 𝑧))
7		eqcom 2745	. . . . 5 ⊢ ((𝑈‘{𝑥, 𝑦}) = 𝑧 ↔ 𝑧 = (𝑈‘{𝑥, 𝑦}))
8	7	anbi2i 624	. . . 4 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝑈 ∧ (𝑈‘{𝑥, 𝑦}) = 𝑧) ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝑈 ∧ 𝑧 = (𝑈‘{𝑥, 𝑦})))
9	6, 8	bitri 275	. . 3 ⊢ ({𝑥, 𝑦}𝑈𝑧 ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝑈 ∧ 𝑧 = (𝑈‘{𝑥, 𝑦})))
10	9	oprabbii 7417	. 2 ⊢ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦}𝑈𝑧} = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝑈 ∧ 𝑧 = (𝑈‘{𝑥, 𝑦}))}
11	3, 10	eqtrdi 2794	1 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → ∨ = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝑈 ∧ 𝑧 = (𝑈‘{𝑥, 𝑦}))})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cpr 4587   class class class wbr 5104  dom cdm 5631  Fun wfun 6486  ‘cfv 6492  {coprab 7351  lubclub 18134  joincjn 18136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-oprab 7354  df-lub 18171  df-join 18173

This theorem is referenced by:  joindm  18200  joinval  18202