Theorem joinfval2 18296

Description: Value of join function for a poset-type structure. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.) (Revised by NM, 9-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
joinfval.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
joinfval.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
joinfval2	⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → ∨ = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝑈 ∧ 𝑧 = (𝑈‘{𝑥, 𝑦}))})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐾   𝑧,𝑈

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑦)   ∨ (𝑥,𝑦,𝑧)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem joinfval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		joinfval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
2		joinfval.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3	1, 2	joinfval 18295	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → ∨ = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦}𝑈𝑧})
4	1	lubfun 18274	. . . . 5 ⊢ Fun 𝑈
5		funbrfv2b 6884	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝑈 → ({𝑥, 𝑦}𝑈𝑧 ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝑈 ∧ (𝑈‘{𝑥, 𝑦}) = 𝑧)))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ({𝑥, 𝑦}𝑈𝑧 ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝑈 ∧ (𝑈‘{𝑥, 𝑦}) = 𝑧))
7		eqcom 2736	. . . . 5 ⊢ ((𝑈‘{𝑥, 𝑦}) = 𝑧 ↔ 𝑧 = (𝑈‘{𝑥, 𝑦}))
8	7	anbi2i 623	. . . 4 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝑈 ∧ (𝑈‘{𝑥, 𝑦}) = 𝑧) ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝑈 ∧ 𝑧 = (𝑈‘{𝑥, 𝑦})))
9	6, 8	bitri 275	. . 3 ⊢ ({𝑥, 𝑦}𝑈𝑧 ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝑈 ∧ 𝑧 = (𝑈‘{𝑥, 𝑦})))
10	9	oprabbii 7420	. 2 ⊢ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦}𝑈𝑧} = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝑈 ∧ 𝑧 = (𝑈‘{𝑥, 𝑦}))}
11	3, 10	eqtrdi 2780	1 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → ∨ = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝑈 ∧ 𝑧 = (𝑈‘{𝑥, 𝑦}))})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cpr 4581   class class class wbr 5095  dom cdm 5623  Fun wfun 6480  ‘cfv 6486  {coprab 7354  lubclub 18233  joincjn 18235

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-oprab 7357  df-lub 18268  df-join 18270

This theorem is referenced by:  joindm  18297  joinval  18299