Theorem joinfval2 18092

Description: Value of join function for a poset-type structure. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.) (Revised by NM, 9-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
joinfval.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
joinfval.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
joinfval2	⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → ∨ = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝑈 ∧ 𝑧 = (𝑈‘{𝑥, 𝑦}))})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐾   𝑧,𝑈

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑦)   ∨ (𝑥,𝑦,𝑧)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem joinfval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		joinfval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
2		joinfval.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3	1, 2	joinfval 18091	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → ∨ = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦}𝑈𝑧})
4	1	lubfun 18070	. . . . 5 ⊢ Fun 𝑈
5		funbrfv2b 6827	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝑈 → ({𝑥, 𝑦}𝑈𝑧 ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝑈 ∧ (𝑈‘{𝑥, 𝑦}) = 𝑧)))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ({𝑥, 𝑦}𝑈𝑧 ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝑈 ∧ (𝑈‘{𝑥, 𝑦}) = 𝑧))
7		eqcom 2745	. . . . 5 ⊢ ((𝑈‘{𝑥, 𝑦}) = 𝑧 ↔ 𝑧 = (𝑈‘{𝑥, 𝑦}))
8	7	anbi2i 623	. . . 4 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝑈 ∧ (𝑈‘{𝑥, 𝑦}) = 𝑧) ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝑈 ∧ 𝑧 = (𝑈‘{𝑥, 𝑦})))
9	6, 8	bitri 274	. . 3 ⊢ ({𝑥, 𝑦}𝑈𝑧 ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝑈 ∧ 𝑧 = (𝑈‘{𝑥, 𝑦})))
10	9	oprabbii 7342	. 2 ⊢ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦}𝑈𝑧} = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝑈 ∧ 𝑧 = (𝑈‘{𝑥, 𝑦}))}
11	3, 10	eqtrdi 2794	1 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → ∨ = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝑈 ∧ 𝑧 = (𝑈‘{𝑥, 𝑦}))})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {cpr 4563   class class class wbr 5074  dom cdm 5589  Fun wfun 6427  ‘cfv 6433  {coprab 7276  lubclub 18027  joincjn 18029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-oprab 7279  df-lub 18064  df-join 18066

This theorem is referenced by:  joindm  18093  joinval  18095