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Theorem fperdvper 42492
Description: The derivative of a periodic function is periodic. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fperdvper.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
fperdvper.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
fperdvper.fper ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fperdvper.g 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
Assertion
Ref Expression
fperdvper ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐺𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem fperdvper
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvbsss 24512 . . . . . . . 8 dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ
2 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ dom 𝐺𝑥 ∈ dom 𝐺)
3 fperdvper.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
43dmeqi 5760 . . . . . . . . 9 dom 𝐺 = dom (ℝ D 𝐹)
52, 4eleqtrdi 2926 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ dom 𝐺𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
61, 5sseldi 3951 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ dom 𝐺𝑥 ∈ ℝ)
76adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ ℝ)
8 fperdvper.t . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
98adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → 𝑇 ∈ ℝ)
107, 9readdcld 10668 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
11 reopn 41851 . . . . . . 7 ℝ ∈ (topGen‘ran (,))
12 retop 23374 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
13 ssidd 3976 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → ℝ ⊆ ℝ)
14 uniretop 23375 . . . . . . . . 9 ℝ = (topGen‘ran (,))
1514isopn3 21678 . . . . . . . 8 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ℝ ⊆ ℝ) → (ℝ ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ) = ℝ))
1612, 13, 15sylancr 590 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (ℝ ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ) = ℝ))
1711, 16mpbii 236 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ) = ℝ)
1817eqcomd 2830 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → ℝ = ((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ))
1910, 18eleqtrd 2918 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ))
205adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
213fveq1i 6662 . . . . . . . . . 10 (𝐺𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)
2221eqcomi 2833 . . . . . . . . 9 ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (𝐺𝑥)
2322a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
24 dvf 24517 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
25 ffun 6506 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ → Fun (ℝ D 𝐹))
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 Fun (ℝ D 𝐹)
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Fun (ℝ D 𝐹))
28 funbrfv2b 6714 . . . . . . . . . 10 (Fun (ℝ D 𝐹) → (𝑥(ℝ D 𝐹)(𝐺𝑥) ↔ (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (𝐺𝑥))))
2927, 28syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥(ℝ D 𝐹)(𝐺𝑥) ↔ (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (𝐺𝑥))))
3029adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑥(ℝ D 𝐹)(𝐺𝑥) ↔ (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (𝐺𝑥))))
3120, 23, 30mpbir2and 712 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → 𝑥(ℝ D 𝐹)(𝐺𝑥))
32 tgioo4 42141 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
33 eqid 2824 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
34 eqid 2824 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥))) = (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))
35 ax-resscn 10592 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
3635a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → ℝ ⊆ ℂ)
37 fperdvper.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
3837adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
3932, 33, 34, 36, 38, 13eldv 24508 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑥(ℝ D 𝐹)(𝐺𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ) ∧ (𝐺𝑥) ∈ ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥))) lim 𝑥))))
4031, 39mpbid 235 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ) ∧ (𝐺𝑥) ∈ ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥))) lim 𝑥)))
4140simprd 499 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑥) ∈ ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥))) lim 𝑥))
42 eqidd 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)))) = (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)))))
43 fveq2 6661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑑 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑑))
4443oveq1d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑑 → ((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) = ((𝐹𝑑) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))))
45 oveq1 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑑 → (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)) = (𝑑 − (𝑥 + 𝑇)))
4644, 45oveq12d 7167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑑 → (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))) = (((𝐹𝑑) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑑 − (𝑥 + 𝑇))))
47 eldifi 4089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) → 𝑑 ∈ ℝ)
4847recnd 10667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) → 𝑑 ∈ ℂ)
4948adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑑 ∈ ℂ)
508recnd 10667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
5150adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑇 ∈ ℂ)
5249, 51npcand 10999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ((𝑑𝑇) + 𝑇) = 𝑑)
5352eqcomd 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑑 = ((𝑑𝑇) + 𝑇))
5453fveq2d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝐹𝑑) = (𝐹‘((𝑑𝑇) + 𝑇)))
55 ovex 7182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑑𝑇) ∈ V
5647adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑑 ∈ ℝ)
578adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑇 ∈ ℝ)
5856, 57resubcld 11066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝑑𝑇) ∈ ℝ)
5958ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) → (𝑑𝑇) ∈ ℝ))
6059imdistani 572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝜑 ∧ (𝑑𝑇) ∈ ℝ))
61 eleq1 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 = (𝑑𝑇) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (𝑑𝑇) ∈ ℝ))
6261anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 = (𝑑𝑇) → ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑑𝑇) ∈ ℝ)))
63 fvoveq1 7172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 = (𝑑𝑇) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘((𝑑𝑇) + 𝑇)))
64 fveq2 6661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 = (𝑑𝑇) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑑𝑇)))
6563, 64eqeq12d 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 = (𝑑𝑇) → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘((𝑑𝑇) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑑𝑇))))
6662, 65imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = (𝑑𝑇) → (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑑𝑇) ∈ ℝ) → (𝐹‘((𝑑𝑇) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑑𝑇)))))
67 fperdvper.fper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
6866, 67vtoclg 3553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑑𝑇) ∈ V → ((𝜑 ∧ (𝑑𝑇) ∈ ℝ) → (𝐹‘((𝑑𝑇) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑑𝑇))))
6955, 60, 68mpsyl 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝐹‘((𝑑𝑇) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑑𝑇)))
7054, 69eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝐹𝑑) = (𝐹‘(𝑑𝑇)))
7170adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝐹𝑑) = (𝐹‘(𝑑𝑇)))
72 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝜑)
736ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑥 ∈ ℝ)
7472, 73, 67syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
7571, 74oveq12d 7167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ((𝐹𝑑) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) = ((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)))
7648adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑑 ∈ ℂ)
7772, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑇 ∈ ℂ)
787recnd 10667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ ℂ)
7978adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑥 ∈ ℂ)
8076, 77, 79subsub4d 11026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ((𝑑𝑇) − 𝑥) = (𝑑 − (𝑇 + 𝑥)))
8177, 79addcomd 10840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝑇 + 𝑥) = (𝑥 + 𝑇))
8281oveq2d 7165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝑑 − (𝑇 + 𝑥)) = (𝑑 − (𝑥 + 𝑇)))
8380, 82eqtr2d 2860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝑑 − (𝑥 + 𝑇)) = ((𝑑𝑇) − 𝑥))
8475, 83oveq12d 7167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (((𝐹𝑑) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) = (((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)))
8546, 84sylan9eqr 2881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ 𝑦 = 𝑑) → (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))) = (((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)))
86 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}))
8737adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
8887, 58ffvelrnd 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝐹‘(𝑑𝑇)) ∈ ℂ)
8988adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝐹‘(𝑑𝑇)) ∈ ℂ)
9038, 7ffvelrnd 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
9190adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
9289, 91subcld 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
9376, 77subcld 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝑑𝑇) ∈ ℂ)
9493, 79subcld 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ((𝑑𝑇) − 𝑥) ∈ ℂ)
95 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑𝑇) = 𝑥) → (𝑑𝑇) = 𝑥)
9648ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑𝑇) = 𝑥) → 𝑑 ∈ ℂ)
9777adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑𝑇) = 𝑥) → 𝑇 ∈ ℂ)
9879adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑𝑇) = 𝑥) → 𝑥 ∈ ℂ)
9996, 97, 98subadd2d 11014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑𝑇) = 𝑥) → ((𝑑𝑇) = 𝑥 ↔ (𝑥 + 𝑇) = 𝑑))
10095, 99mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑𝑇) = 𝑥) → (𝑥 + 𝑇) = 𝑑)
101100eqcomd 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑𝑇) = 𝑥) → 𝑑 = (𝑥 + 𝑇))
102 eldifsni 4707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) → 𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇))
103102ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑𝑇) = 𝑥) → 𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇))
104103neneqd 3019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑𝑇) = 𝑥) → ¬ 𝑑 = (𝑥 + 𝑇))
105101, 104pm2.65da 816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ¬ (𝑑𝑇) = 𝑥)
106105neqned 3021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝑑𝑇) ≠ 𝑥)
10793, 79, 106subne0d 11004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ((𝑑𝑇) − 𝑥) ≠ 0)
10892, 94, 107divcld 11414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)) ∈ ℂ)
10942, 85, 86, 108fvmptd 6766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) = (((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)))
110109fvoveq1d 7171 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) = (abs‘((((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)) − 𝑤)))
111110ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏)) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) = (abs‘((((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)) − 𝑤)))
112 neeq1 3076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = (𝑑𝑇) → (𝑐𝑥 ↔ (𝑑𝑇) ≠ 𝑥))
113 fvoveq1 7172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 = (𝑑𝑇) → (abs‘(𝑐𝑥)) = (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)))
114113breq1d 5062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = (𝑑𝑇) → ((abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏 ↔ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏))
115112, 114anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 = (𝑑𝑇) → ((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) ↔ ((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏)))
116115imbrov2fvoveq 7174 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 = (𝑑𝑇) → (((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎) ↔ (((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)))
117 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎))
11847ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → 𝑑 ∈ ℝ)
1198ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → 𝑇 ∈ ℝ)
120118, 119resubcld 11066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (𝑑𝑇) ∈ ℝ)
121 elsni 4567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑑𝑇) ∈ {𝑥} → (𝑑𝑇) = 𝑥)
122105, 121nsyl 142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ¬ (𝑑𝑇) ∈ {𝑥})
123122ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → ¬ (𝑑𝑇) ∈ {𝑥})
124120, 123eldifd 3930 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (𝑑𝑇) ∈ (ℝ ∖ {𝑥}))
125116, 117, 124rspcdva 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎))
126 eqidd 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥))) = (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥))))
127 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ 𝑦 = (𝑑𝑇)) → 𝑦 = (𝑑𝑇))
128127fveq2d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ 𝑦 = (𝑑𝑇)) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝑑𝑇)))
129128oveq1d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ 𝑦 = (𝑑𝑇)) → ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) = ((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)))
130127oveq1d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ 𝑦 = (𝑑𝑇)) → (𝑦𝑥) = ((𝑑𝑇) − 𝑥))
131129, 130oveq12d 7167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ 𝑦 = (𝑑𝑇)) → (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)) = (((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)))
13247adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑑 ∈ ℝ)
13372, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑇 ∈ ℝ)
134132, 133resubcld 11066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝑑𝑇) ∈ ℝ)
135134, 122eldifd 3930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝑑𝑇) ∈ (ℝ ∖ {𝑥}))
136126, 131, 135, 108fvmptd 6766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) = (((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)))
137136eqcomd 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)) = ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)))
138137ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) ∧ (((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → (((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)) = ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)))
139138fvoveq1d 7171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) ∧ (((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → (abs‘((((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)) − 𝑤)) = (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)))
140106adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (𝑑𝑇) ≠ 𝑥)
14183eqcomd 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ((𝑑𝑇) − 𝑥) = (𝑑 − (𝑥 + 𝑇)))
142141adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → ((𝑑𝑇) − 𝑥) = (𝑑 − (𝑥 + 𝑇)))
143142fveq2d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) = (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))))
144 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏)
145143, 144eqbrtrd 5074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏)
146140, 145jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → ((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏))
147146adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) ∧ (((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → ((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏))
148 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) ∧ (((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → (((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎))
149147, 148mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) ∧ (((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)
150139, 149eqbrtrd 5074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) ∧ (((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → (abs‘((((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)) − 𝑤)) < 𝑎)
151150ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → ((((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎) → (abs‘((((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)) − 𝑤)) < 𝑎))
152151adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → ((((𝑑𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘(𝑑𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎) → (abs‘((((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)) − 𝑤)) < 𝑎))
153125, 152mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘((((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)) − 𝑤)) < 𝑎)
154153adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏)) → (abs‘((((𝐹‘(𝑑𝑇)) − (𝐹𝑥)) / ((𝑑𝑇) − 𝑥)) − 𝑤)) < 𝑎)
155111, 154eqbrtrd 5074 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏)) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)
156155ex 416 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎))
157156ralrimiva 3177 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) → ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎))
158 eqidd 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) → (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥))) = (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥))))
159 fveq2 6661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑐 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑐))
160159oveq1d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑐 → ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) = ((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)))
161 oveq1 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑐 → (𝑦𝑥) = (𝑐𝑥))
162160, 161oveq12d 7167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑐 → (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)) = (((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)) / (𝑐𝑥)))
163162adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ∧ 𝑦 = 𝑐) → (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)) = (((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)) / (𝑐𝑥)))
164 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) → 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}))
165 ovexd 7184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) → (((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)) / (𝑐𝑥)) ∈ V)
166158, 163, 164, 165fvmptd 6766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) = (((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)) / (𝑐𝑥)))
167166fvoveq1d 7171 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) = (abs‘((((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)) / (𝑐𝑥)) − 𝑤)))
168167ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏)) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) = (abs‘((((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)) / (𝑐𝑥)) − 𝑤)))
169 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → 𝜑)
170 eldifi 4089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) → 𝑐 ∈ ℝ)
171170adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → 𝑐 ∈ ℝ)
172 eleq1 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 = 𝑐 → (𝑥 ∈ ℝ ↔ 𝑐 ∈ ℝ))
173172anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = 𝑐 → ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ↔ (𝜑𝑐 ∈ ℝ)))
174 fvoveq1 7172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 = 𝑐 → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑐 + 𝑇)))
175 fveq2 6661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 = 𝑐 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑐))
176174, 175eqeq12d 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = 𝑐 → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) = (𝐹𝑐)))
177173, 176imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑐 → (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑𝑐 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) = (𝐹𝑐))))
178177, 67chvarvv 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑐 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) = (𝐹𝑐))
179178eqcomd 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑐 ∈ ℝ) → (𝐹𝑐) = (𝐹‘(𝑐 + 𝑇)))
180169, 171, 179syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (𝐹𝑐) = (𝐹‘(𝑐 + 𝑇)))
1816ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → 𝑥 ∈ ℝ)
182169, 181, 67syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
183182eqcomd 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)))
184180, 183oveq12d 7167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → ((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)) = ((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))))
185171recnd 10667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → 𝑐 ∈ ℂ)
18678adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → 𝑥 ∈ ℂ)
187169, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → 𝑇 ∈ ℂ)
188185, 186, 187pnpcan2d 11033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇)) = (𝑐𝑥))
189188eqcomd 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (𝑐𝑥) = ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇)))
190184, 189oveq12d 7167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)) / (𝑐𝑥)) = (((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))))
191190fvoveq1d 7171 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (abs‘((((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)) / (𝑐𝑥)) − 𝑤)) = (abs‘((((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) − 𝑤)))
192191ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘((((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)) / (𝑐𝑥)) − 𝑤)) = (abs‘((((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) − 𝑤)))
193 neeq1 3076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 = (𝑐 + 𝑇) → (𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ↔ (𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇)))
194 fvoveq1 7172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑑 = (𝑐 + 𝑇) → (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) = (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))))
195194breq1d 5062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 = (𝑐 + 𝑇) → ((abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏 ↔ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏))
196193, 195anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 = (𝑐 + 𝑇) → ((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) ↔ ((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏)))
197196imbrov2fvoveq 7174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 = (𝑐 + 𝑇) → (((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎) ↔ (((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)))
198 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎))
199170ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → 𝑐 ∈ ℝ)
2008ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → 𝑇 ∈ ℝ)
201199, 200readdcld 10668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (𝑐 + 𝑇) ∈ ℝ)
202 eldifsni 4707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) → 𝑐𝑥)
203202adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → 𝑐𝑥)
204185, 186, 187, 203addneintr2d 10846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇))
205204ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇))
206 nelsn 4590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) → ¬ (𝑐 + 𝑇) ∈ {(𝑥 + 𝑇)})
207205, 206syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → ¬ (𝑐 + 𝑇) ∈ {(𝑥 + 𝑇)})
208201, 207eldifd 3930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (𝑐 + 𝑇) ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}))
209197, 198, 208rspcdva 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎))
210 eqidd 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)))) = (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)))))
211 fveq2 6661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 = (𝑐 + 𝑇) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝑐 + 𝑇)))
212211oveq1d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 = (𝑐 + 𝑇) → ((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) = ((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))))
213 oveq1 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 = (𝑐 + 𝑇) → (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)) = ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇)))
214212, 213oveq12d 7167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 = (𝑐 + 𝑇) → (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))) = (((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))))
215214adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ 𝑦 = (𝑐 + 𝑇)) → (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))) = (((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))))
216169, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → 𝑇 ∈ ℝ)
217171, 216readdcld 10668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (𝑐 + 𝑇) ∈ ℝ)
218204, 206syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → ¬ (𝑐 + 𝑇) ∈ {(𝑥 + 𝑇)})
219217, 218eldifd 3930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (𝑐 + 𝑇) ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}))
220 ovexd 7184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) ∈ V)
221210, 215, 219, 220fvmptd 6766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) = (((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))))
222221eqcomd 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) = ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)))
223222ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) ∧ (((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → (((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) = ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)))
224223fvoveq1d 7171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) ∧ (((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → (abs‘((((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) − 𝑤)) = (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)))
225204adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇))
226170recnd 10667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) → 𝑐 ∈ ℂ)
227226ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → 𝑐 ∈ ℂ)
228186adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → 𝑥 ∈ ℂ)
229187adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → 𝑇 ∈ ℂ)
230227, 228, 229pnpcan2d 11033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇)) = (𝑐𝑥))
231230fveq2d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) = (abs‘(𝑐𝑥)))
232 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏)
233231, 232eqbrtrd 5074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏)
234225, 233jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → ((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏))
235234adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) ∧ (((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → ((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏))
236 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) ∧ (((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → (((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎))
237235, 236mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) ∧ (((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)
238224, 237eqbrtrd 5074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) ∧ (((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → (abs‘((((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) − 𝑤)) < 𝑎)
239238ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → ((((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎) → (abs‘((((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) − 𝑤)) < 𝑎))
240239adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → ((((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎) → (abs‘((((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) − 𝑤)) < 𝑎))
241209, 240mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘((((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) − 𝑤)) < 𝑎)
242192, 241eqbrtrd 5074 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘((((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)) / (𝑐𝑥)) − 𝑤)) < 𝑎)
243242adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏)) → (abs‘((((𝐹𝑐) − (𝐹𝑥)) / (𝑐𝑥)) − 𝑤)) < 𝑎)
244168, 243eqbrtrd 5074 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏)) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)
245244ex 416 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → ((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎))
246245ralrimiva 3177 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) → ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎))
247157, 246impbida 800 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎) ↔ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)))
248247rexbidv 3289 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (∃𝑏 ∈ ℝ+𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎) ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)))
249248ralbidv 3192 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)))
250249anbi2d 631 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((𝑤 ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎))))
25138, 36, 7dvlem 24506 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)) ∈ ℂ)
252251fmpttd 6870 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥))):(ℝ ∖ {𝑥})⟶ℂ)
25336ssdifssd 4105 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (ℝ ∖ {𝑥}) ⊆ ℂ)
254252, 253, 78ellimc3 24489 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑤 ∈ ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥))) lim 𝑥) ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐𝑥 ∧ (abs‘(𝑐𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎))))
25538, 36, 10dvlem 24506 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))) ∈ ℂ)
256255fmpttd 6870 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)))):(ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})⟶ℂ)
25736ssdifssd 4105 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ⊆ ℂ)
25810recnd 10667 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℂ)
259256, 257, 258ellimc3 24489 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑤 ∈ ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)))) lim (𝑥 + 𝑇)) ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎))))
260250, 254, 2593bitr4d 314 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑤 ∈ ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥))) lim 𝑥) ↔ 𝑤 ∈ ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)))) lim (𝑥 + 𝑇))))
261260eqrdv 2822 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥))) lim 𝑥) = ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)))) lim (𝑥 + 𝑇)))
262 fveq2 6661 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑧))
263262oveq1d 7164 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) = ((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))))
264 oveq1 7156 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)) = (𝑧 − (𝑥 + 𝑇)))
265263, 264oveq12d 7167 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))) = (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑧 − (𝑥 + 𝑇))))
266265cbvmptv 5155 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)))) = (𝑧 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑧 − (𝑥 + 𝑇))))
267266oveq1i 7159 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)))) lim (𝑥 + 𝑇)) = ((𝑧 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑧 − (𝑥 + 𝑇)))) lim (𝑥 + 𝑇))
268261, 267syl6eq 2875 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥))) lim 𝑥) = ((𝑧 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑧 − (𝑥 + 𝑇)))) lim (𝑥 + 𝑇)))
26941, 268eleqtrd 2918 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑥) ∈ ((𝑧 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑧 − (𝑥 + 𝑇)))) lim (𝑥 + 𝑇)))
270 eqid 2824 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑧 − (𝑥 + 𝑇)))) = (𝑧 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑧 − (𝑥 + 𝑇))))
27135a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
272 ssidd 3976 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
27332, 33, 270, 271, 37, 272eldv 24508 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 + 𝑇)(ℝ D 𝐹)(𝐺𝑥) ↔ ((𝑥 + 𝑇) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ) ∧ (𝐺𝑥) ∈ ((𝑧 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑧 − (𝑥 + 𝑇)))) lim (𝑥 + 𝑇)))))
274273adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((𝑥 + 𝑇)(ℝ D 𝐹)(𝐺𝑥) ↔ ((𝑥 + 𝑇) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ) ∧ (𝐺𝑥) ∈ ((𝑧 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑧 − (𝑥 + 𝑇)))) lim (𝑥 + 𝑇)))))
27519, 269, 274mpbir2and 712 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑥 + 𝑇)(ℝ D 𝐹)(𝐺𝑥))
2763a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → 𝐺 = (ℝ D 𝐹))
277276breqd 5063 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((𝑥 + 𝑇)𝐺(𝐺𝑥) ↔ (𝑥 + 𝑇)(ℝ D 𝐹)(𝐺𝑥)))
278275, 277mpbird 260 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑥 + 𝑇)𝐺(𝐺𝑥))
2793a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐺 = (ℝ D 𝐹))
280279funeqd 6365 . . . . 5 (𝜑 → (Fun 𝐺 ↔ Fun (ℝ D 𝐹)))
28127, 280mpbird 260 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝐺)
282281adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → Fun 𝐺)
283 funbrfv2b 6714 . . 3 (Fun 𝐺 → ((𝑥 + 𝑇)𝐺(𝐺𝑥) ↔ ((𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐺𝑥))))
284282, 283syl 17 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((𝑥 + 𝑇)𝐺(𝐺𝑥) ↔ ((𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐺𝑥))))
285278, 284mpbid 235 1 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐺𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  wral 3133  wrex 3134  Vcvv 3480  cdif 3916  wss 3919  {csn 4550   class class class wbr 5052  cmpt 5132  dom cdm 5542  ran crn 5543  Fun wfun 6337  wf 6339  cfv 6343  (class class class)co 7149  cc 10533  cr 10534   + caddc 10538   < clt 10673  cmin 10868   / cdiv 11295  +crp 12386  (,)cioo 12735  abscabs 14593  TopOpenctopn 16695  topGenctg 16711  fldccnfld 20098  Topctop 21505  intcnt 21629   lim climc 24472   D cdv 24473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fi 8872  df-sup 8903  df-inf 8904  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-ioo 12739  df-icc 12742  df-fz 12895  df-seq 13374  df-exp 13435  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-rest 16696  df-topn 16697  df-topgen 16717  df-psmet 20090  df-xmet 20091  df-met 20092  df-bl 20093  df-mopn 20094  df-fbas 20095  df-fg 20096  df-cnfld 20099  df-top 21506  df-topon 21523  df-topsp 21545  df-bases 21558  df-cld 21631  df-ntr 21632  df-cls 21633  df-nei 21710  df-lp 21748  df-perf 21749  df-cnp 21840  df-haus 21927  df-fil 22458  df-fm 22550  df-flim 22551  df-flf 22552  df-xms 22934  df-ms 22935  df-limc 24476  df-dv 24477
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