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Theorem fperdvper 44635
Description: The derivative of a periodic function is periodic. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fperdvper.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
fperdvper.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
fperdvper.fper ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
fperdvper.g 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
Assertion
Ref Expression
fperdvper ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ ((π‘₯ + 𝑇) ∈ dom 𝐺 ∧ (πΊβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΊβ€˜π‘₯)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝑇   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐺(π‘₯)

Proof of Theorem fperdvper
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvbsss 25419 . . . . . . . 8 dom (ℝ D 𝐹) βŠ† ℝ
2 id 22 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ dom 𝐺 β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐺)
3 fperdvper.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
43dmeqi 5905 . . . . . . . . 9 dom 𝐺 = dom (ℝ D 𝐹)
52, 4eleqtrdi 2844 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ dom 𝐺 β†’ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹))
61, 5sselid 3981 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ dom 𝐺 β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
76adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
8 fperdvper.t . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
98adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
107, 9readdcld 11243 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ (π‘₯ + 𝑇) ∈ ℝ)
11 reopn 43999 . . . . . . 7 ℝ ∈ (topGenβ€˜ran (,))
12 retop 24278 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
13 ssidd 4006 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ ℝ βŠ† ℝ)
14 uniretop 24279 . . . . . . . . 9 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
1514isopn3 22570 . . . . . . . 8 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ ℝ βŠ† ℝ) β†’ (ℝ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ↔ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜β„) = ℝ))
1612, 13, 15sylancr 588 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ (ℝ ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ↔ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜β„) = ℝ))
1711, 16mpbii 232 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜β„) = ℝ)
1817eqcomd 2739 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ ℝ = ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜β„))
1910, 18eleqtrd 2836 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ (π‘₯ + 𝑇) ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜β„))
205adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹))
213fveq1i 6893 . . . . . . . . . 10 (πΊβ€˜π‘₯) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)
2221eqcomi 2742 . . . . . . . . 9 ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯)
2322a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
24 dvf 25424 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚
25 ffun 6721 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚ β†’ Fun (ℝ D 𝐹))
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 Fun (ℝ D 𝐹)
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Fun (ℝ D 𝐹))
28 funbrfv2b 6950 . . . . . . . . . 10 (Fun (ℝ D 𝐹) β†’ (π‘₯(ℝ D 𝐹)(πΊβ€˜π‘₯) ↔ (π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))))
2927, 28syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯(ℝ D 𝐹)(πΊβ€˜π‘₯) ↔ (π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))))
3029adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ (π‘₯(ℝ D 𝐹)(πΊβ€˜π‘₯) ↔ (π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))))
3120, 23, 30mpbir2and 712 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ π‘₯(ℝ D 𝐹)(πΊβ€˜π‘₯))
32 tgioo4 44286 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
33 eqid 2733 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
34 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))) = (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))
35 ax-resscn 11167 . . . . . . . . 9 ℝ βŠ† β„‚
3635a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
37 fperdvper.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
3837adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
3932, 33, 34, 36, 38, 13eldv 25415 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ (π‘₯(ℝ D 𝐹)(πΊβ€˜π‘₯) ↔ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜β„) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯))))
4031, 39mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜β„) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)))
4140simprd 497 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯))
42 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇)))) = (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇)))))
43 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑑 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘‘))
4443oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑑 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) = ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))))
45 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑑 β†’ (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇)) = (𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇)))
4644, 45oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑑 β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) = (((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))
47 eldifi 4127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
4847recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
4948adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
508recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
5150adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
5249, 51npcand 11575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ ((𝑑 βˆ’ 𝑇) + 𝑇) = 𝑑)
5352eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ 𝑑 = ((𝑑 βˆ’ 𝑇) + 𝑇))
5453fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = (πΉβ€˜((𝑑 βˆ’ 𝑇) + 𝑇)))
55 ovex 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑑 βˆ’ 𝑇) ∈ V
5647adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
578adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
5856, 57resubcld 11642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ (𝑑 βˆ’ 𝑇) ∈ ℝ)
5958ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) β†’ (𝑑 βˆ’ 𝑇) ∈ ℝ))
6059imdistani 570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ (πœ‘ ∧ (𝑑 βˆ’ 𝑇) ∈ ℝ))
61 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘₯ = (𝑑 βˆ’ 𝑇) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↔ (𝑑 βˆ’ 𝑇) ∈ ℝ))
6261anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘₯ = (𝑑 βˆ’ 𝑇) β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ↔ (πœ‘ ∧ (𝑑 βˆ’ 𝑇) ∈ ℝ)))
63 fvoveq1 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘₯ = (𝑑 βˆ’ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜((𝑑 βˆ’ 𝑇) + 𝑇)))
64 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘₯ = (𝑑 βˆ’ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇)))
6563, 64eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘₯ = (𝑑 βˆ’ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜((𝑑 βˆ’ 𝑇) + 𝑇)) = (πΉβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇))))
6662, 65imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘₯ = (𝑑 βˆ’ 𝑇) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ ((πœ‘ ∧ (𝑑 βˆ’ 𝑇) ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜((𝑑 βˆ’ 𝑇) + 𝑇)) = (πΉβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇)))))
67 fperdvper.fper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
6866, 67vtoclg 3557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑑 βˆ’ 𝑇) ∈ V β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑑 βˆ’ 𝑇) ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜((𝑑 βˆ’ 𝑇) + 𝑇)) = (πΉβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇))))
6955, 60, 68mpsyl 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ (πΉβ€˜((𝑑 βˆ’ 𝑇) + 𝑇)) = (πΉβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇)))
7054, 69eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = (πΉβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇)))
7170adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = (πΉβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇)))
72 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ πœ‘)
736ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
7472, 73, 67syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
7571, 74oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) = ((πΉβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))
7648adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
7772, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
787recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
7978adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
8076, 77, 79subsub4d 11602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ ((𝑑 βˆ’ 𝑇) βˆ’ π‘₯) = (𝑑 βˆ’ (𝑇 + π‘₯)))
8177, 79addcomd 11416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ (𝑇 + π‘₯) = (π‘₯ + 𝑇))
8281oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ (𝑑 βˆ’ (𝑇 + π‘₯)) = (𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇)))
8380, 82eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ (𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇)) = ((𝑑 βˆ’ 𝑇) βˆ’ π‘₯))
8475, 83oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ (((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) = (((πΉβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / ((𝑑 βˆ’ 𝑇) βˆ’ π‘₯)))
8546, 84sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) ∧ 𝑦 = 𝑑) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) = (((πΉβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / ((𝑑 βˆ’ 𝑇) βˆ’ π‘₯)))
86 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}))
8737adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
8887, 58ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ (πΉβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇)) ∈ β„‚)
8988adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ (πΉβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇)) ∈ β„‚)
9038, 7ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
9190adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
9289, 91subcld 11571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ ((πΉβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
9376, 77subcld 11571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ (𝑑 βˆ’ 𝑇) ∈ β„‚)
9493, 79subcld 11571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ ((𝑑 βˆ’ 𝑇) βˆ’ π‘₯) ∈ β„‚)
95 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) ∧ (𝑑 βˆ’ 𝑇) = π‘₯) β†’ (𝑑 βˆ’ 𝑇) = π‘₯)
9648ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) ∧ (𝑑 βˆ’ 𝑇) = π‘₯) β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
9777adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) ∧ (𝑑 βˆ’ 𝑇) = π‘₯) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
9879adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) ∧ (𝑑 βˆ’ 𝑇) = π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
9996, 97, 98subadd2d 11590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) ∧ (𝑑 βˆ’ 𝑇) = π‘₯) β†’ ((𝑑 βˆ’ 𝑇) = π‘₯ ↔ (π‘₯ + 𝑇) = 𝑑))
10095, 99mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) ∧ (𝑑 βˆ’ 𝑇) = π‘₯) β†’ (π‘₯ + 𝑇) = 𝑑)
101100eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) ∧ (𝑑 βˆ’ 𝑇) = π‘₯) β†’ 𝑑 = (π‘₯ + 𝑇))
102 eldifsni 4794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) β†’ 𝑑 β‰  (π‘₯ + 𝑇))
103102ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) ∧ (𝑑 βˆ’ 𝑇) = π‘₯) β†’ 𝑑 β‰  (π‘₯ + 𝑇))
104103neneqd 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) ∧ (𝑑 βˆ’ 𝑇) = π‘₯) β†’ Β¬ 𝑑 = (π‘₯ + 𝑇))
105101, 104pm2.65da 816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ Β¬ (𝑑 βˆ’ 𝑇) = π‘₯)
106105neqned 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ (𝑑 βˆ’ 𝑇) β‰  π‘₯)
10793, 79, 106subne0d 11580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ ((𝑑 βˆ’ 𝑇) βˆ’ π‘₯) β‰  0)
10892, 94, 107divcld 11990 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ (((πΉβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / ((𝑑 βˆ’ 𝑇) βˆ’ π‘₯)) ∈ β„‚)
10942, 85, 86, 108fvmptd 7006 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ ((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜π‘‘) = (((πΉβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / ((𝑑 βˆ’ 𝑇) βˆ’ π‘₯)))
110109fvoveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜π‘‘) βˆ’ 𝑀)) = (absβ€˜((((πΉβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / ((𝑑 βˆ’ 𝑇) βˆ’ π‘₯)) βˆ’ 𝑀)))
111110ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ βˆ€π‘ ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})((𝑐 β‰  π‘₯ ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))β€˜π‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) ∧ (𝑑 β‰  (π‘₯ + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏)) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜π‘‘) βˆ’ 𝑀)) = (absβ€˜((((πΉβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / ((𝑑 βˆ’ 𝑇) βˆ’ π‘₯)) βˆ’ 𝑀)))
112 neeq1 3004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = (𝑑 βˆ’ 𝑇) β†’ (𝑐 β‰  π‘₯ ↔ (𝑑 βˆ’ 𝑇) β‰  π‘₯))
113 fvoveq1 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 = (𝑑 βˆ’ 𝑇) β†’ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) = (absβ€˜((𝑑 βˆ’ 𝑇) βˆ’ π‘₯)))
114113breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = (𝑑 βˆ’ 𝑇) β†’ ((absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏 ↔ (absβ€˜((𝑑 βˆ’ 𝑇) βˆ’ π‘₯)) < 𝑏))
115112, 114anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 = (𝑑 βˆ’ 𝑇) β†’ ((𝑐 β‰  π‘₯ ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) ↔ ((𝑑 βˆ’ 𝑇) β‰  π‘₯ ∧ (absβ€˜((𝑑 βˆ’ 𝑇) βˆ’ π‘₯)) < 𝑏)))
116115imbrov2fvoveq 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 = (𝑑 βˆ’ 𝑇) β†’ (((𝑐 β‰  π‘₯ ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))β€˜π‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž) ↔ (((𝑑 βˆ’ 𝑇) β‰  π‘₯ ∧ (absβ€˜((𝑑 βˆ’ 𝑇) βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇)) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)))
117 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ βˆ€π‘ ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})((𝑐 β‰  π‘₯ ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))β€˜π‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ βˆ€π‘ ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})((𝑐 β‰  π‘₯ ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))β€˜π‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž))
11847ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ βˆ€π‘ ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})((𝑐 β‰  π‘₯ ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))β€˜π‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
1198ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ βˆ€π‘ ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})((𝑐 β‰  π‘₯ ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))β€˜π‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
120118, 119resubcld 11642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ βˆ€π‘ ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})((𝑐 β‰  π‘₯ ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))β€˜π‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (𝑑 βˆ’ 𝑇) ∈ ℝ)
121 elsni 4646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑑 βˆ’ 𝑇) ∈ {π‘₯} β†’ (𝑑 βˆ’ 𝑇) = π‘₯)
122105, 121nsyl 140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ Β¬ (𝑑 βˆ’ 𝑇) ∈ {π‘₯})
123122ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ βˆ€π‘ ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})((𝑐 β‰  π‘₯ ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))β€˜π‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ Β¬ (𝑑 βˆ’ 𝑇) ∈ {π‘₯})
124120, 123eldifd 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ βˆ€π‘ ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})((𝑐 β‰  π‘₯ ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))β€˜π‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (𝑑 βˆ’ 𝑇) ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}))
125116, 117, 124rspcdva 3614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ βˆ€π‘ ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})((𝑐 β‰  π‘₯ ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))β€˜π‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (((𝑑 βˆ’ 𝑇) β‰  π‘₯ ∧ (absβ€˜((𝑑 βˆ’ 𝑇) βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇)) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž))
126 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))) = (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))))
127 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) ∧ 𝑦 = (𝑑 βˆ’ 𝑇)) β†’ 𝑦 = (𝑑 βˆ’ 𝑇))
128127fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) ∧ 𝑦 = (𝑑 βˆ’ 𝑇)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇)))
129128oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) ∧ 𝑦 = (𝑑 βˆ’ 𝑇)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))
130127oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) ∧ 𝑦 = (𝑑 βˆ’ 𝑇)) β†’ (𝑦 βˆ’ π‘₯) = ((𝑑 βˆ’ 𝑇) βˆ’ π‘₯))
131129, 130oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) ∧ 𝑦 = (𝑑 βˆ’ 𝑇)) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) = (((πΉβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / ((𝑑 βˆ’ 𝑇) βˆ’ π‘₯)))
13247adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
13372, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
134132, 133resubcld 11642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ (𝑑 βˆ’ 𝑇) ∈ ℝ)
135134, 122eldifd 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ (𝑑 βˆ’ 𝑇) ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}))
136126, 131, 135, 108fvmptd 7006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ ((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇)) = (((πΉβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / ((𝑑 βˆ’ 𝑇) βˆ’ π‘₯)))
137136eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ (((πΉβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / ((𝑑 βˆ’ 𝑇) βˆ’ π‘₯)) = ((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇)))
138137ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) ∧ (((𝑑 βˆ’ 𝑇) β‰  π‘₯ ∧ (absβ€˜((𝑑 βˆ’ 𝑇) βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇)) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)) β†’ (((πΉβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / ((𝑑 βˆ’ 𝑇) βˆ’ π‘₯)) = ((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇)))
139138fvoveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) ∧ (((𝑑 βˆ’ 𝑇) β‰  π‘₯ ∧ (absβ€˜((𝑑 βˆ’ 𝑇) βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇)) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)) β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / ((𝑑 βˆ’ 𝑇) βˆ’ π‘₯)) βˆ’ 𝑀)) = (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇)) βˆ’ 𝑀)))
140106adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (𝑑 βˆ’ 𝑇) β‰  π‘₯)
14183eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ ((𝑑 βˆ’ 𝑇) βˆ’ π‘₯) = (𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇)))
142141adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ ((𝑑 βˆ’ 𝑇) βˆ’ π‘₯) = (𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇)))
143142fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑑 βˆ’ 𝑇) βˆ’ π‘₯)) = (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))
144 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏)
145143, 144eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑑 βˆ’ 𝑇) βˆ’ π‘₯)) < 𝑏)
146140, 145jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ ((𝑑 βˆ’ 𝑇) β‰  π‘₯ ∧ (absβ€˜((𝑑 βˆ’ 𝑇) βˆ’ π‘₯)) < 𝑏))
147146adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) ∧ (((𝑑 βˆ’ 𝑇) β‰  π‘₯ ∧ (absβ€˜((𝑑 βˆ’ 𝑇) βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇)) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)) β†’ ((𝑑 βˆ’ 𝑇) β‰  π‘₯ ∧ (absβ€˜((𝑑 βˆ’ 𝑇) βˆ’ π‘₯)) < 𝑏))
148 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) ∧ (((𝑑 βˆ’ 𝑇) β‰  π‘₯ ∧ (absβ€˜((𝑑 βˆ’ 𝑇) βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇)) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)) β†’ (((𝑑 βˆ’ 𝑇) β‰  π‘₯ ∧ (absβ€˜((𝑑 βˆ’ 𝑇) βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇)) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž))
149147, 148mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) ∧ (((𝑑 βˆ’ 𝑇) β‰  π‘₯ ∧ (absβ€˜((𝑑 βˆ’ 𝑇) βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇)) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇)) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)
150139, 149eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) ∧ (((𝑑 βˆ’ 𝑇) β‰  π‘₯ ∧ (absβ€˜((𝑑 βˆ’ 𝑇) βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇)) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)) β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / ((𝑑 βˆ’ 𝑇) βˆ’ π‘₯)) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)
151150ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ ((((𝑑 βˆ’ 𝑇) β‰  π‘₯ ∧ (absβ€˜((𝑑 βˆ’ 𝑇) βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇)) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / ((𝑑 βˆ’ 𝑇) βˆ’ π‘₯)) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž))
152151adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ βˆ€π‘ ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})((𝑐 β‰  π‘₯ ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))β€˜π‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ ((((𝑑 βˆ’ 𝑇) β‰  π‘₯ ∧ (absβ€˜((𝑑 βˆ’ 𝑇) βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇)) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / ((𝑑 βˆ’ 𝑇) βˆ’ π‘₯)) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž))
153125, 152mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ βˆ€π‘ ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})((𝑐 β‰  π‘₯ ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))β€˜π‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / ((𝑑 βˆ’ 𝑇) βˆ’ π‘₯)) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)
154153adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ βˆ€π‘ ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})((𝑐 β‰  π‘₯ ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))β€˜π‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) ∧ (𝑑 β‰  (π‘₯ + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏)) β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜(𝑑 βˆ’ 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / ((𝑑 βˆ’ 𝑇) βˆ’ π‘₯)) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)
155111, 154eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ βˆ€π‘ ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})((𝑐 β‰  π‘₯ ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))β€˜π‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) ∧ (𝑑 β‰  (π‘₯ + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏)) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜π‘‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)
156155ex 414 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ βˆ€π‘ ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})((𝑐 β‰  π‘₯ ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))β€˜π‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ ((𝑑 β‰  (π‘₯ + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜π‘‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž))
157156ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ βˆ€π‘ ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})((𝑐 β‰  π‘₯ ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))β€˜π‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})((𝑑 β‰  (π‘₯ + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜π‘‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž))
158 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) β†’ (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))) = (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))))
159 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑐 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘))
160159oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑐 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))
161 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑐 β†’ (𝑦 βˆ’ π‘₯) = (𝑐 βˆ’ π‘₯))
162160, 161oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑐 β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) = (((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑐 βˆ’ π‘₯)))
163162adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ∧ 𝑦 = 𝑐) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) = (((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑐 βˆ’ π‘₯)))
164 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) β†’ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}))
165 ovexd 7444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) β†’ (((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑐 βˆ’ π‘₯)) ∈ V)
166158, 163, 164, 165fvmptd 7006 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) β†’ ((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))β€˜π‘) = (((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑐 βˆ’ π‘₯)))
167166fvoveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))β€˜π‘) βˆ’ 𝑀)) = (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑐 βˆ’ π‘₯)) βˆ’ 𝑀)))
168167ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})((𝑑 β‰  (π‘₯ + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜π‘‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) ∧ (𝑐 β‰  π‘₯ ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏)) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))β€˜π‘) βˆ’ 𝑀)) = (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑐 βˆ’ π‘₯)) βˆ’ 𝑀)))
169 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) β†’ πœ‘)
170 eldifi 4127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
171170adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
172 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘₯ = 𝑐 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↔ 𝑐 ∈ ℝ))
173172anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘₯ = 𝑐 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ℝ)))
174 fvoveq1 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘₯ = 𝑐 β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜(𝑐 + 𝑇)))
175 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘₯ = 𝑐 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘))
176174, 175eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘₯ = 𝑐 β†’ ((πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜(𝑐 + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘)))
177173, 176imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ = 𝑐 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(𝑐 + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘))))
178177, 67chvarvv 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(𝑐 + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘))
179178eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜(𝑐 + 𝑇)))
180169, 171, 179syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜(𝑐 + 𝑇)))
1816ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
182169, 181, 67syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
183182eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)))
184180, 183oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) β†’ ((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜(𝑐 + 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))))
185171recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝑐 ∈ β„‚)
18678adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
187169, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
188185, 186, 187pnpcan2d 11609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) β†’ ((𝑐 + 𝑇) βˆ’ (π‘₯ + 𝑇)) = (𝑐 βˆ’ π‘₯))
189188eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) β†’ (𝑐 βˆ’ π‘₯) = ((𝑐 + 𝑇) βˆ’ (π‘₯ + 𝑇)))
190184, 189oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) β†’ (((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑐 βˆ’ π‘₯)) = (((πΉβ€˜(𝑐 + 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))
191190fvoveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑐 βˆ’ π‘₯)) βˆ’ 𝑀)) = (absβ€˜((((πΉβ€˜(𝑐 + 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) βˆ’ 𝑀)))
192191ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})((𝑑 β‰  (π‘₯ + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜π‘‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑐 βˆ’ π‘₯)) βˆ’ 𝑀)) = (absβ€˜((((πΉβ€˜(𝑐 + 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) βˆ’ 𝑀)))
193 neeq1 3004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 = (𝑐 + 𝑇) β†’ (𝑑 β‰  (π‘₯ + 𝑇) ↔ (𝑐 + 𝑇) β‰  (π‘₯ + 𝑇)))
194 fvoveq1 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑑 = (𝑐 + 𝑇) β†’ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) = (absβ€˜((𝑐 + 𝑇) βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))
195194breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 = (𝑐 + 𝑇) β†’ ((absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏 ↔ (absβ€˜((𝑐 + 𝑇) βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏))
196193, 195anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 = (𝑐 + 𝑇) β†’ ((𝑑 β‰  (π‘₯ + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) ↔ ((𝑐 + 𝑇) β‰  (π‘₯ + 𝑇) ∧ (absβ€˜((𝑐 + 𝑇) βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏)))
197196imbrov2fvoveq 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 = (𝑐 + 𝑇) β†’ (((𝑑 β‰  (π‘₯ + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜π‘‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž) ↔ (((𝑐 + 𝑇) β‰  (π‘₯ + 𝑇) ∧ (absβ€˜((𝑐 + 𝑇) βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜(𝑐 + 𝑇)) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)))
198 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})((𝑑 β‰  (π‘₯ + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜π‘‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})((𝑑 β‰  (π‘₯ + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜π‘‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž))
199170ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})((𝑑 β‰  (π‘₯ + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜π‘‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
2008ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})((𝑑 β‰  (π‘₯ + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜π‘‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
201199, 200readdcld 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})((𝑑 β‰  (π‘₯ + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜π‘‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (𝑐 + 𝑇) ∈ ℝ)
202 eldifsni 4794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) β†’ 𝑐 β‰  π‘₯)
203202adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝑐 β‰  π‘₯)
204185, 186, 187, 203addneintr2d 11422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) β†’ (𝑐 + 𝑇) β‰  (π‘₯ + 𝑇))
205204ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})((𝑑 β‰  (π‘₯ + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜π‘‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (𝑐 + 𝑇) β‰  (π‘₯ + 𝑇))
206 nelsn 4669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑐 + 𝑇) β‰  (π‘₯ + 𝑇) β†’ Β¬ (𝑐 + 𝑇) ∈ {(π‘₯ + 𝑇)})
207205, 206syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})((𝑑 β‰  (π‘₯ + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜π‘‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ Β¬ (𝑐 + 𝑇) ∈ {(π‘₯ + 𝑇)})
208201, 207eldifd 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})((𝑑 β‰  (π‘₯ + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜π‘‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (𝑐 + 𝑇) ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}))
209197, 198, 208rspcdva 3614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})((𝑑 β‰  (π‘₯ + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜π‘‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (((𝑐 + 𝑇) β‰  (π‘₯ + 𝑇) ∧ (absβ€˜((𝑐 + 𝑇) βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜(𝑐 + 𝑇)) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž))
210 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) β†’ (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇)))) = (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇)))))
211 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 = (𝑐 + 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(𝑐 + 𝑇)))
212211oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 = (𝑐 + 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) = ((πΉβ€˜(𝑐 + 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))))
213 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 = (𝑐 + 𝑇) β†’ (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇)) = ((𝑐 + 𝑇) βˆ’ (π‘₯ + 𝑇)))
214212, 213oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 = (𝑐 + 𝑇) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) = (((πΉβ€˜(𝑐 + 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))
215214adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑦 = (𝑐 + 𝑇)) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) = (((πΉβ€˜(𝑐 + 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))
216169, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
217171, 216readdcld 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) β†’ (𝑐 + 𝑇) ∈ ℝ)
218204, 206syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) β†’ Β¬ (𝑐 + 𝑇) ∈ {(π‘₯ + 𝑇)})
219217, 218eldifd 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) β†’ (𝑐 + 𝑇) ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}))
220 ovexd 7444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) β†’ (((πΉβ€˜(𝑐 + 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) ∈ V)
221210, 215, 219, 220fvmptd 7006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) β†’ ((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜(𝑐 + 𝑇)) = (((πΉβ€˜(𝑐 + 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))
222221eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) β†’ (((πΉβ€˜(𝑐 + 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) = ((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜(𝑐 + 𝑇)))
223222ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) ∧ (((𝑐 + 𝑇) β‰  (π‘₯ + 𝑇) ∧ (absβ€˜((𝑐 + 𝑇) βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜(𝑐 + 𝑇)) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)) β†’ (((πΉβ€˜(𝑐 + 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) = ((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜(𝑐 + 𝑇)))
224223fvoveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) ∧ (((𝑐 + 𝑇) β‰  (π‘₯ + 𝑇) ∧ (absβ€˜((𝑐 + 𝑇) βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜(𝑐 + 𝑇)) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)) β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜(𝑐 + 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) βˆ’ 𝑀)) = (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜(𝑐 + 𝑇)) βˆ’ 𝑀)))
225204adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (𝑐 + 𝑇) β‰  (π‘₯ + 𝑇))
226170recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) β†’ 𝑐 ∈ β„‚)
227226ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ 𝑐 ∈ β„‚)
228186adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
229187adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
230227, 228, 229pnpcan2d 11609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ ((𝑐 + 𝑇) βˆ’ (π‘₯ + 𝑇)) = (𝑐 βˆ’ π‘₯))
231230fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 + 𝑇) βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) = (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)))
232 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏)
233231, 232eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((𝑐 + 𝑇) βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏)
234225, 233jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ ((𝑐 + 𝑇) β‰  (π‘₯ + 𝑇) ∧ (absβ€˜((𝑐 + 𝑇) βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏))
235234adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) ∧ (((𝑐 + 𝑇) β‰  (π‘₯ + 𝑇) ∧ (absβ€˜((𝑐 + 𝑇) βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜(𝑐 + 𝑇)) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)) β†’ ((𝑐 + 𝑇) β‰  (π‘₯ + 𝑇) ∧ (absβ€˜((𝑐 + 𝑇) βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏))
236 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) ∧ (((𝑐 + 𝑇) β‰  (π‘₯ + 𝑇) ∧ (absβ€˜((𝑐 + 𝑇) βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜(𝑐 + 𝑇)) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)) β†’ (((𝑐 + 𝑇) β‰  (π‘₯ + 𝑇) ∧ (absβ€˜((𝑐 + 𝑇) βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜(𝑐 + 𝑇)) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž))
237235, 236mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) ∧ (((𝑐 + 𝑇) β‰  (π‘₯ + 𝑇) ∧ (absβ€˜((𝑐 + 𝑇) βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜(𝑐 + 𝑇)) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜(𝑐 + 𝑇)) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)
238224, 237eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) ∧ (((𝑐 + 𝑇) β‰  (π‘₯ + 𝑇) ∧ (absβ€˜((𝑐 + 𝑇) βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜(𝑐 + 𝑇)) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)) β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜(𝑐 + 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)
239238ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ ((((𝑐 + 𝑇) β‰  (π‘₯ + 𝑇) ∧ (absβ€˜((𝑐 + 𝑇) βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜(𝑐 + 𝑇)) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜(𝑐 + 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž))
240239adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})((𝑑 β‰  (π‘₯ + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜π‘‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ ((((𝑐 + 𝑇) β‰  (π‘₯ + 𝑇) ∧ (absβ€˜((𝑐 + 𝑇) βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜(𝑐 + 𝑇)) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž) β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜(𝑐 + 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž))
241209, 240mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})((𝑑 β‰  (π‘₯ + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜π‘‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜(𝑐 + 𝑇)) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)
242192, 241eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})((𝑑 β‰  (π‘₯ + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜π‘‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑐 βˆ’ π‘₯)) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)
243242adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})((𝑑 β‰  (π‘₯ + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜π‘‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) ∧ (𝑐 β‰  π‘₯ ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏)) β†’ (absβ€˜((((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑐 βˆ’ π‘₯)) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)
244168, 243eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})((𝑑 β‰  (π‘₯ + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜π‘‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) ∧ (𝑐 β‰  π‘₯ ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏)) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))β€˜π‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)
245244ex 414 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})((𝑑 β‰  (π‘₯ + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜π‘‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) β†’ ((𝑐 β‰  π‘₯ ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))β€˜π‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž))
246245ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})((𝑑 β‰  (π‘₯ + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜π‘‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)) β†’ βˆ€π‘ ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})((𝑐 β‰  π‘₯ ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))β€˜π‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž))
247157, 246impbida 800 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ (βˆ€π‘ ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})((𝑐 β‰  π‘₯ ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))β€˜π‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})((𝑑 β‰  (π‘₯ + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜π‘‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)))
248247rexbidv 3179 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})((𝑐 β‰  π‘₯ ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))β€˜π‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž) ↔ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘‘ ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})((𝑑 β‰  (π‘₯ + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜π‘‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)))
249248ralbidv 3178 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})((𝑐 β‰  π‘₯ ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))β€˜π‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘‘ ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})((𝑑 β‰  (π‘₯ + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜π‘‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)))
250249anbi2d 630 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ ((𝑀 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})((𝑐 β‰  π‘₯ ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))β€˜π‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž)) ↔ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘‘ ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})((𝑑 β‰  (π‘₯ + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜π‘‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž))))
25138, 36, 7dvlem 25413 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)) ∈ β„‚)
252251fmpttd 7115 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))):(ℝ βˆ– {π‘₯})βŸΆβ„‚)
25336ssdifssd 4143 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ (ℝ βˆ– {π‘₯}) βŠ† β„‚)
254252, 253, 78ellimc3 25396 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ (𝑀 ∈ ((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯) ↔ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯})((𝑐 β‰  π‘₯ ∧ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ π‘₯)) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯)))β€˜π‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž))))
25538, 36, 10dvlem 25413 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) ∈ β„‚)
256255fmpttd 7115 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇)))):(ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})βŸΆβ„‚)
25736ssdifssd 4143 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) βŠ† β„‚)
25810recnd 11242 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ (π‘₯ + 𝑇) ∈ β„‚)
259256, 257, 258ellimc3 25396 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ (𝑀 ∈ ((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇)))) limβ„‚ (π‘₯ + 𝑇)) ↔ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘‘ ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)})((𝑑 β‰  (π‘₯ + 𝑇) ∧ (absβ€˜(𝑑 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) < 𝑏) β†’ (absβ€˜(((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))β€˜π‘‘) βˆ’ 𝑀)) < π‘Ž))))
260250, 254, 2593bitr4d 311 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ (𝑀 ∈ ((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯) ↔ 𝑀 ∈ ((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇)))) limβ„‚ (π‘₯ + 𝑇))))
261260eqrdv 2731 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ ((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯) = ((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇)))) limβ„‚ (π‘₯ + 𝑇)))
262 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘§))
263262oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) = ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))))
264 oveq1 7416 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 β†’ (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇)) = (𝑧 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇)))
265263, 264oveq12d 7427 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))) = (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑧 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))
266265cbvmptv 5262 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇)))) = (𝑧 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑧 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))
267266oveq1i 7419 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑦 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇)))) limβ„‚ (π‘₯ + 𝑇)) = ((𝑧 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑧 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇)))) limβ„‚ (π‘₯ + 𝑇))
268261, 267eqtrdi 2789 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ ((𝑦 ∈ (ℝ βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑦 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯) = ((𝑧 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑧 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇)))) limβ„‚ (π‘₯ + 𝑇)))
26941, 268eleqtrd 2836 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑧 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑧 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇)))) limβ„‚ (π‘₯ + 𝑇)))
270 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑧 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇)))) = (𝑧 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑧 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇))))
27135a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
272 ssidd 4006 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† ℝ)
27332, 33, 270, 271, 37, 272eldv 25415 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ + 𝑇)(ℝ D 𝐹)(πΊβ€˜π‘₯) ↔ ((π‘₯ + 𝑇) ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜β„) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑧 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑧 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇)))) limβ„‚ (π‘₯ + 𝑇)))))
274273adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ ((π‘₯ + 𝑇)(ℝ D 𝐹)(πΊβ€˜π‘₯) ↔ ((π‘₯ + 𝑇) ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜β„) ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑧 ∈ (ℝ βˆ– {(π‘₯ + 𝑇)}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇))) / (𝑧 βˆ’ (π‘₯ + 𝑇)))) limβ„‚ (π‘₯ + 𝑇)))))
27519, 269, 274mpbir2and 712 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ (π‘₯ + 𝑇)(ℝ D 𝐹)(πΊβ€˜π‘₯))
2763a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ 𝐺 = (ℝ D 𝐹))
277276breqd 5160 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ ((π‘₯ + 𝑇)𝐺(πΊβ€˜π‘₯) ↔ (π‘₯ + 𝑇)(ℝ D 𝐹)(πΊβ€˜π‘₯)))
278275, 277mpbird 257 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ (π‘₯ + 𝑇)𝐺(πΊβ€˜π‘₯))
2793a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (ℝ D 𝐹))
280279funeqd 6571 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Fun 𝐺 ↔ Fun (ℝ D 𝐹)))
28127, 280mpbird 257 . . . 4 (πœ‘ β†’ Fun 𝐺)
282281adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ Fun 𝐺)
283 funbrfv2b 6950 . . 3 (Fun 𝐺 β†’ ((π‘₯ + 𝑇)𝐺(πΊβ€˜π‘₯) ↔ ((π‘₯ + 𝑇) ∈ dom 𝐺 ∧ (πΊβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΊβ€˜π‘₯))))
284282, 283syl 17 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ ((π‘₯ + 𝑇)𝐺(πΊβ€˜π‘₯) ↔ ((π‘₯ + 𝑇) ∈ dom 𝐺 ∧ (πΊβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΊβ€˜π‘₯))))
285278, 284mpbid 231 1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ ((π‘₯ + 𝑇) ∈ dom 𝐺 ∧ (πΊβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΊβ€˜π‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  ran crn 5678  Fun wfun 6538  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109   + caddc 11113   < clt 11248   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„+crp 12974  (,)cioo 13324  abscabs 15181  TopOpenctopn 17367  topGenctg 17383  β„‚fldccnfld 20944  Topctop 22395  intcnt 22521   limβ„‚ climc 25379   D cdv 25380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-icc 13331  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-rest 17368  df-topn 17369  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by:  fourierdlem94  44916  fourierdlem97  44919  fourierdlem113  44935
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