Theorem tayl0 25530

Description: The Taylor series is always defined at the basepoint, with value equal to the value of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
taylfval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
taylfval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
taylfval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
taylfval.n	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
taylfval.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
taylfval.t	⊢ 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)

Assertion

Ref	Expression
tayl0	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ dom 𝑇 ∧ (𝑇‘𝐵) = (𝐹‘𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁   𝑆,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑇(𝑘)

Proof of Theorem tayl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		taylfval.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
2		taylfval.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
3		recnprss 25077	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
5	1, 4	sstrd 3932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
6		fveq2 6783	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
7	6	dmeqd 5817	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
8	7	eleq2d 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↔ 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)))
9		taylfval.b	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
10	9	ralrimiva 3104	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
11		taylfval.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
12		elxnn0 12316	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0* ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
13		0xr 11031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0* → 0 ∈ ℝ*)
15		xnn0xr 12319	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0* → 𝑁 ∈ ℝ*)
16		xnn0ge0 12878	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0* → 0 ≤ 𝑁)
17		lbicc2 13205	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑁 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑁) → 0 ∈ (0[,]𝑁))
18	14, 15, 16, 17	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0* → 0 ∈ (0[,]𝑁))
19	12, 18	sylbir 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞) → 0 ∈ (0[,]𝑁))
20	11, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0[,]𝑁))
21		0zd 12340	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
22	20, 21	elind 4129	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
23	8, 10, 22	rspcdva 3563	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
24		cnex 10961	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
26		taylfval.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
27		elpm2r 8642	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
28	25, 2, 26, 1, 27	syl22anc 836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
29		dvn0 25097	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
30	4, 28, 29	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
31	30	dmeqd 5817	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = dom 𝐹)
32	26	fdmd 6620	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
33	31, 32	eqtrd 2779	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐴)
34	23, 33	eleqtrd 2842	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
35	5, 34	sseldd 3923	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
36		cnfldbas 20610	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
37		cnfld0 20631	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
38		cnring 20629	. . . . . . . 8 ⊢ ℂfld ∈ Ring
39		ringmnd 19802	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
40	38, 39	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
41		ovex 7317	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]𝑁) ∈ V
42	41	inex1 5242	. . . . . . . 8 ⊢ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V
43	42	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V)
44	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
45	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
46		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
47	46	elin2d 4134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℤ)
48	46	elin1d 4133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ (0[,]𝑁))
49		nn0re 12251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
50	49	rexrd 11034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ*)
51		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 = +∞ → 𝑁 = +∞)
52		pnfxr 11038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
53	51, 52	eqeltrdi 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 = +∞ → 𝑁 ∈ ℝ*)
54	50, 53	jaoi 854	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞) → 𝑁 ∈ ℝ*)
55	11, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ*)
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ*)
57		elicc1 13132	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑁 ∈ ℝ*) → (𝑘 ∈ (0[,]𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
58	13, 56, 57	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (𝑘 ∈ (0[,]𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
59	48, 58	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (𝑘 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁))
60	59	simp2d 1142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 0 ≤ 𝑘)
61		elnn0z 12341	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑘))
62	47, 60, 61	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
63		dvnf 25100	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
64	44, 45, 62, 63	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
65	64, 9	ffvelrnd 6971	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) ∈ ℂ)
66	62	faccld 14007	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
67	66	nncnd 11998	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
68	66	nnne0d 12032	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (!‘𝑘) ≠ 0)
69	65, 67, 68	divcld 11760	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
70		0cnd 10977	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 0 ∈ ℂ)
71	70, 62	expcld 13873	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (0↑𝑘) ∈ ℂ)
72	69, 71	mulcld 11004	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)) ∈ ℂ)
73	72	fmpttd 6998	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))):((0[,]𝑁) ∩ ℤ)⟶ℂ)
74		eldifi 4062	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0}) → 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
75	74, 62	sylan2 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℕ0)
76		eldifsni 4724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0}) → 𝑘 ≠ 0)
77	76	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → 𝑘 ≠ 0)
78		elnnne0 12256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ≠ 0))
79	75, 77, 78	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℕ)
80	79	0expd 13866	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → (0↑𝑘) = 0)
81	80	oveq2d 7300	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 0))
82	69	mul01d 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 0) = 0)
83	74, 82	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 0) = 0)
84	81, 83	eqtrd 2779	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)) = 0)
85		zex 12337	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ∈ V
86	85	inex2 5243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V
87	86	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V)
88	84, 87	suppss2 8025	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) supp 0) ⊆ {0})
89	36, 37, 40, 43, 22, 73, 88	gsumpt 19572	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))) = ((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))‘0))
90	6	fveq1d 6785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵))
91		fveq2 6783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 0 → (!‘𝑘) = (!‘0))
92		fac0 13999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (!‘0) = 1
93	91, 92	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (!‘𝑘) = 1)
94	90, 93	oveq12d 7302	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1))
95		oveq2 7292	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (0↑𝑘) = (0↑0))
96		0exp0e1 13796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0↑0) = 1
97	95, 96	eqtrdi 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (0↑𝑘) = 1)
98	94, 97	oveq12d 7302	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1))
99		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))
100		ovex 7317	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1) ∈ V
101	98, 99, 100	fvmpt 6884	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) → ((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))‘0) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1))
102	22, 101	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))‘0) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1))
103	30	fveq1d 6785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) = (𝐹‘𝐵))
104	103	oveq1d 7299	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) = ((𝐹‘𝐵) / 1))
105	26, 34	ffvelrnd 6971	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
106	105	div1d 11752	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) / 1) = (𝐹‘𝐵))
107	104, 106	eqtrd 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) = (𝐹‘𝐵))
108	107	oveq1d 7299	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1) = ((𝐹‘𝐵) · 1))
109	105	mulid1d 11001	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) · 1) = (𝐹‘𝐵))
110	108, 109	eqtrd 2779	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1) = (𝐹‘𝐵))
111	89, 102, 110	3eqtrd 2783	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))) = (𝐹‘𝐵))
112		ringcmn 19829	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
113	38, 112	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ CMnd)
114		cnfldtps 23950	. . . . . . 7 ⊢ ℂfld ∈ TopSp
115	114	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ TopSp)
116		mptexg 7106	. . . . . . . 8 ⊢ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) ∈ V)
117	86, 116	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) ∈ V)
118		funmpt 6479	. . . . . . . 8 ⊢ Fun (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))
119	118	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))))
120		c0ex 10978	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
121	120	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
122		snfi 8843	. . . . . . . 8 ⊢ {0} ∈ Fin
123	122	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {0} ∈ Fin)
124		suppssfifsupp 9152	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) ∈ V ∧ Fun (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) ∧ 0 ∈ V) ∧ ({0} ∈ Fin ∧ ((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) supp 0) ⊆ {0})) → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) finSupp 0)
125	117, 119, 121, 123, 88, 124	syl32anc 1377	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) finSupp 0)
126	36, 37, 113, 115, 43, 73, 125	tsmsid 23300	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))) ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))))
127	111, 126	eqeltrrd 2841	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))))
128	35	subidd 11329	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐵) = 0)
129	128	oveq1d 7299	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐵)↑𝑘) = (0↑𝑘))
130	129	oveq2d 7300	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝐵 − 𝐵)↑𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))
131	130	mpteq2dv 5177	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝐵 − 𝐵)↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))))
132	131	oveq2d 7300	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝐵 − 𝐵)↑𝑘)))) = (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))))
133	127, 132	eleqtrrd 2843	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝐵 − 𝐵)↑𝑘)))))
134		taylfval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
135	2, 26, 1, 11, 9, 134	eltayl 25528	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝑇(𝐹‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝐵 − 𝐵)↑𝑘)))))))
136	35, 133, 135	mpbir2and 710	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑇(𝐹‘𝐵))
137	2, 26, 1, 11, 9, 134	taylf 25529	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇:dom 𝑇⟶ℂ)
138		ffun 6612	. . 3 ⊢ (𝑇:dom 𝑇⟶ℂ → Fun 𝑇)
139		funbrfv2b 6836	. . 3 ⊢ (Fun 𝑇 → (𝐵𝑇(𝐹‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ dom 𝑇 ∧ (𝑇‘𝐵) = (𝐹‘𝐵))))
140	137, 138, 139	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝑇(𝐹‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ dom 𝑇 ∧ (𝑇‘𝐵) = (𝐹‘𝐵))))
141	136, 140	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ dom 𝑇 ∧ (𝑇‘𝐵) = (𝐹‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2944  Vcvv 3433   ∖ cdif 3885   ∩ cin 3887   ⊆ wss 3888  {csn 4562  {cpr 4564   class class class wbr 5075   ↦ cmpt 5158  dom cdm 5590  Fun wfun 6431  ⟶wf 6433  ‘cfv 6437  (class class class)co 7284   supp csupp 7986   ↑_pm cpm 8625  Fincfn 8742   finSupp cfsupp 9137  ℂcc 10878  ℝcr 10879  0cc0 10880  1c1 10881   · cmul 10885  +∞cpnf 11015  ℝ^*cxr 11017   ≤ cle 11019   − cmin 11214   / cdiv 11641  ℕcn 11982  ℕ₀cn0 12242  ℕ₀^*cxnn0 12314  ℤcz 12328  [,]cicc 13091  ↑cexp 13791  !cfa 13996   Σ_g cgsu 17160  Mndcmnd 18394  CMndccmn 19395  Ringcrg 19792  ℂ_fldccnfld 20606  TopSpctps 22090   tsums ctsu 23286   D^𝑛 cdvn 25037   Tayl ctayl 25521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-rep 5210  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-inf2 9408  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957  ax-pre-sup 10958  ax-addf 10959  ax-mulf 10960

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-iin 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-isom 6446  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-supp 7987  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-1o 8306  df-er 8507  df-map 8626  df-pm 8627  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-fin 8746  df-fsupp 9138  df-fi 9179  df-sup 9210  df-inf 9211  df-oi 9278  df-card 9706  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-div 11642  df-nn 11983  df-2 12045  df-3 12046  df-4 12047  df-5 12048  df-6 12049  df-7 12050  df-8 12051  df-9 12052  df-n0 12243  df-xnn0 12315  df-z 12329  df-dec 12447  df-uz 12592  df-q 12698  df-rp 12740  df-xneg 12857  df-xadd 12858  df-xmul 12859  df-icc 13095  df-fz 13249  df-fzo 13392  df-seq 13731  df-exp 13792  df-fac 13997  df-hash 14054  df-cj 14819  df-re 14820  df-im 14821  df-sqrt 14955  df-abs 14956  df-struct 16857  df-sets 16874  df-slot 16892  df-ndx 16904  df-base 16922  df-ress 16951  df-plusg 16984  df-mulr 16985  df-starv 16986  df-tset 16990  df-ple 16991  df-ds 16993  df-unif 16994  df-rest 17142  df-topn 17143  df-0g 17161  df-gsum 17162  df-topgen 17163  df-mre 17304  df-mrc 17305  df-acs 17307  df-mgm 18335  df-sgrp 18384  df-mnd 18395  df-submnd 18440  df-grp 18589  df-minusg 18590  df-mulg 18710  df-cntz 18932  df-cmn 19397  df-abl 19398  df-mgp 19730  df-ur 19747  df-ring 19794  df-cring 19795  df-psmet 20598  df-xmet 20599  df-met 20600  df-bl 20601  df-mopn 20602  df-fbas 20603  df-fg 20604  df-cnfld 20607  df-top 22052  df-topon 22069  df-topsp 22091  df-bases 22105  df-cld 22179  df-ntr 22180  df-cls 22181  df-nei 22258  df-lp 22296  df-perf 22297  df-cnp 22388  df-haus 22475  df-fil 23006  df-fm 23098  df-flim 23099  df-flf 23100  df-tsms 23287  df-xms 23482  df-ms 23483  df-limc 25039  df-dv 25040  df-dvn 25041  df-tayl 25523

This theorem is referenced by:  dvntaylp0  25540