Theorem tayl0 25041

Description: The Taylor series is always defined at the basepoint, with value equal to the value of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
taylfval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
taylfval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
taylfval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
taylfval.n	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
taylfval.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
taylfval.t	⊢ 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)

Assertion

Ref	Expression
tayl0	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ dom 𝑇 ∧ (𝑇‘𝐵) = (𝐹‘𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁   𝑆,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑇(𝑘)

Proof of Theorem tayl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		taylfval.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
2		taylfval.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
3		recnprss 24588	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
5	1, 4	sstrd 3898	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
6		fveq2 6651	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
7	6	dmeqd 5738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
8	7	eleq2d 2836	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↔ 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)))
9		taylfval.b	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
10	9	ralrimiva 3111	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
11		taylfval.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
12		elxnn0 11993	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0* ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
13		0xr 10711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0* → 0 ∈ ℝ*)
15		xnn0xr 11996	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0* → 𝑁 ∈ ℝ*)
16		xnn0ge0 12554	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0* → 0 ≤ 𝑁)
17		lbicc2 12881	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑁 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑁) → 0 ∈ (0[,]𝑁))
18	14, 15, 16, 17	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0* → 0 ∈ (0[,]𝑁))
19	12, 18	sylbir 238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞) → 0 ∈ (0[,]𝑁))
20	11, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0[,]𝑁))
21		0zd 12017	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
22	20, 21	elind 4095	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
23	8, 10, 22	rspcdva 3541	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
24		cnex 10641	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
26		taylfval.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
27		elpm2r 8427	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
28	25, 2, 26, 1, 27	syl22anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
29		dvn0 24608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
30	4, 28, 29	syl2anc 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
31	30	dmeqd 5738	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = dom 𝐹)
32	26	fdmd 6501	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
33	31, 32	eqtrd 2794	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐴)
34	23, 33	eleqtrd 2853	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
35	5, 34	sseldd 3889	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
36		cnfldbas 20155	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
37		cnfld0 20175	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
38		cnring 20173	. . . . . . . 8 ⊢ ℂfld ∈ Ring
39		ringmnd 19360	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
40	38, 39	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
41		ovex 7176	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]𝑁) ∈ V
42	41	inex1 5180	. . . . . . . 8 ⊢ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V
43	42	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V)
44	2	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
45	28	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
46		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
47	46	elin2d 4100	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℤ)
48	46	elin1d 4099	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ (0[,]𝑁))
49		nn0re 11928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
50	49	rexrd 10714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ*)
51		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 = +∞ → 𝑁 = +∞)
52		pnfxr 10718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
53	51, 52	eqeltrdi 2859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 = +∞ → 𝑁 ∈ ℝ*)
54	50, 53	jaoi 855	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞) → 𝑁 ∈ ℝ*)
55	11, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ*)
56	55	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ*)
57		elicc1 12808	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑁 ∈ ℝ*) → (𝑘 ∈ (0[,]𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
58	13, 56, 57	sylancr 591	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (𝑘 ∈ (0[,]𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
59	48, 58	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (𝑘 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁))
60	59	simp2d 1141	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 0 ≤ 𝑘)
61		elnn0z 12018	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑘))
62	47, 60, 61	sylanbrc 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
63		dvnf 24611	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
64	44, 45, 62, 63	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
65	64, 9	ffvelrnd 6836	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) ∈ ℂ)
66	62	faccld 13679	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
67	66	nncnd 11675	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
68	66	nnne0d 11709	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (!‘𝑘) ≠ 0)
69	65, 67, 68	divcld 11439	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
70		0cnd 10657	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 0 ∈ ℂ)
71	70, 62	expcld 13545	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (0↑𝑘) ∈ ℂ)
72	69, 71	mulcld 10684	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)) ∈ ℂ)
73	72	fmpttd 6863	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))):((0[,]𝑁) ∩ ℤ)⟶ℂ)
74		eldifi 4028	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0}) → 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
75	74, 62	sylan2 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℕ0)
76		eldifsni 4673	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0}) → 𝑘 ≠ 0)
77	76	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → 𝑘 ≠ 0)
78		elnnne0 11933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ≠ 0))
79	75, 77, 78	sylanbrc 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℕ)
80	79	0expd 13538	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → (0↑𝑘) = 0)
81	80	oveq2d 7159	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 0))
82	69	mul01d 10862	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 0) = 0)
83	74, 82	sylan2 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 0) = 0)
84	81, 83	eqtrd 2794	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)) = 0)
85		zex 12014	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ∈ V
86	85	inex2 5181	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V
87	86	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V)
88	84, 87	suppss2 7867	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) supp 0) ⊆ {0})
89	36, 37, 40, 43, 22, 73, 88	gsumpt 19135	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))) = ((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))‘0))
90	6	fveq1d 6653	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵))
91		fveq2 6651	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 0 → (!‘𝑘) = (!‘0))
92		fac0 13671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (!‘0) = 1
93	91, 92	eqtrdi 2810	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (!‘𝑘) = 1)
94	90, 93	oveq12d 7161	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1))
95		oveq2 7151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (0↑𝑘) = (0↑0))
96		0exp0e1 13469	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0↑0) = 1
97	95, 96	eqtrdi 2810	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (0↑𝑘) = 1)
98	94, 97	oveq12d 7161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1))
99		eqid 2759	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))
100		ovex 7176	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1) ∈ V
101	98, 99, 100	fvmpt 6752	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) → ((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))‘0) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1))
102	22, 101	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))‘0) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1))
103	30	fveq1d 6653	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) = (𝐹‘𝐵))
104	103	oveq1d 7158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) = ((𝐹‘𝐵) / 1))
105	26, 34	ffvelrnd 6836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
106	105	div1d 11431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) / 1) = (𝐹‘𝐵))
107	104, 106	eqtrd 2794	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) = (𝐹‘𝐵))
108	107	oveq1d 7158	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1) = ((𝐹‘𝐵) · 1))
109	105	mulid1d 10681	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) · 1) = (𝐹‘𝐵))
110	108, 109	eqtrd 2794	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1) = (𝐹‘𝐵))
111	89, 102, 110	3eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))) = (𝐹‘𝐵))
112		ringcmn 19387	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
113	38, 112	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ CMnd)
114		cnfldtps 23464	. . . . . . 7 ⊢ ℂfld ∈ TopSp
115	114	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ TopSp)
116		mptexg 6968	. . . . . . . 8 ⊢ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) ∈ V)
117	86, 116	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) ∈ V)
118		funmpt 6366	. . . . . . . 8 ⊢ Fun (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))
119	118	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))))
120		c0ex 10658	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
121	120	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
122		snfi 8607	. . . . . . . 8 ⊢ {0} ∈ Fin
123	122	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {0} ∈ Fin)
124		suppssfifsupp 8866	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) ∈ V ∧ Fun (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) ∧ 0 ∈ V) ∧ ({0} ∈ Fin ∧ ((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) supp 0) ⊆ {0})) → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) finSupp 0)
125	117, 119, 121, 123, 88, 124	syl32anc 1376	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) finSupp 0)
126	36, 37, 113, 115, 43, 73, 125	tsmsid 22825	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))) ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))))
127	111, 126	eqeltrrd 2852	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))))
128	35	subidd 11008	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐵) = 0)
129	128	oveq1d 7158	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐵)↑𝑘) = (0↑𝑘))
130	129	oveq2d 7159	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝐵 − 𝐵)↑𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))
131	130	mpteq2dv 5121	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝐵 − 𝐵)↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))))
132	131	oveq2d 7159	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝐵 − 𝐵)↑𝑘)))) = (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))))
133	127, 132	eleqtrrd 2854	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝐵 − 𝐵)↑𝑘)))))
134		taylfval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
135	2, 26, 1, 11, 9, 134	eltayl 25039	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝑇(𝐹‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝐵 − 𝐵)↑𝑘)))))))
136	35, 133, 135	mpbir2and 713	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑇(𝐹‘𝐵))
137	2, 26, 1, 11, 9, 134	taylf 25040	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇:dom 𝑇⟶ℂ)
138		ffun 6494	. . 3 ⊢ (𝑇:dom 𝑇⟶ℂ → Fun 𝑇)
139		funbrfv2b 6704	. . 3 ⊢ (Fun 𝑇 → (𝐵𝑇(𝐹‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ dom 𝑇 ∧ (𝑇‘𝐵) = (𝐹‘𝐵))))
140	137, 138, 139	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝑇(𝐹‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ dom 𝑇 ∧ (𝑇‘𝐵) = (𝐹‘𝐵))))
141	136, 140	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ dom 𝑇 ∧ (𝑇‘𝐵) = (𝐹‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 845   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2949  Vcvv 3407   ∖ cdif 3851   ∩ cin 3853   ⊆ wss 3854  {csn 4515  {cpr 4517   class class class wbr 5025   ↦ cmpt 5105  dom cdm 5517  Fun wfun 6322  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143   supp csupp 7828   ↑_pm cpm 8410  Fincfn 8520   finSupp cfsupp 8851  ℂcc 10558  ℝcr 10559  0cc0 10560  1c1 10561   · cmul 10565  +∞cpnf 10695  ℝ^*cxr 10697   ≤ cle 10699   − cmin 10893   / cdiv 11320  ℕcn 11659  ℕ₀cn0 11919  ℕ₀^*cxnn0 11991  ℤcz 12005  [,]cicc 12767  ↑cexp 13464  !cfa 13668   Σ_g cgsu 16757  Mndcmnd 17962  CMndccmn 18958  Ringcrg 19350  ℂ_fldccnfld 20151  TopSpctps 21617   tsums ctsu 22811   D^𝑛 cdvn 24548   Tayl ctayl 25032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5149  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-inf2 9122  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637  ax-pre-sup 10638  ax-addf 10639  ax-mulf 10640

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rmo 3076  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-int 4832  df-iun 4878  df-iin 4879  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-se 5477  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-supp 7829  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-pm 8412  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-fin 8524  df-fsupp 8852  df-fi 8893  df-sup 8924  df-inf 8925  df-oi 8992  df-card 9386  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-div 11321  df-nn 11660  df-2 11722  df-3 11723  df-4 11724  df-5 11725  df-6 11726  df-7 11727  df-8 11728  df-9 11729  df-n0 11920  df-xnn0 11992  df-z 12006  df-dec 12123  df-uz 12268  df-q 12374  df-rp 12416  df-xneg 12533  df-xadd 12534  df-xmul 12535  df-icc 12771  df-fz 12925  df-fzo 13068  df-seq 13404  df-exp 13465  df-fac 13669  df-hash 13726  df-cj 14491  df-re 14492  df-im 14493  df-sqrt 14627  df-abs 14628  df-struct 16528  df-ndx 16529  df-slot 16530  df-base 16532  df-sets 16533  df-ress 16534  df-plusg 16621  df-mulr 16622  df-starv 16623  df-tset 16627  df-ple 16628  df-ds 16630  df-unif 16631  df-rest 16739  df-topn 16740  df-0g 16758  df-gsum 16759  df-topgen 16760  df-mre 16900  df-mrc 16901  df-acs 16903  df-mgm 17903  df-sgrp 17952  df-mnd 17963  df-submnd 18008  df-grp 18157  df-minusg 18158  df-mulg 18277  df-cntz 18499  df-cmn 18960  df-abl 18961  df-mgp 19293  df-ur 19305  df-ring 19352  df-cring 19353  df-psmet 20143  df-xmet 20144  df-met 20145  df-bl 20146  df-mopn 20147  df-fbas 20148  df-fg 20149  df-cnfld 20152  df-top 21579  df-topon 21596  df-topsp 21618  df-bases 21631  df-cld 21704  df-ntr 21705  df-cls 21706  df-nei 21783  df-lp 21821  df-perf 21822  df-cnp 21913  df-haus 22000  df-fil 22531  df-fm 22623  df-flim 22624  df-flf 22625  df-tsms 22812  df-xms 23007  df-ms 23008  df-limc 24550  df-dv 24551  df-dvn 24552  df-tayl 25034

This theorem is referenced by:  dvntaylp0  25051