MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tayl0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tayl0 26341
Description: The Taylor series is always defined at the basepoint, with value equal to the value of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
taylfval.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
taylfval.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
taylfval.a (𝜑𝐴𝑆)
taylfval.n (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 = +∞))
taylfval.b ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
taylfval.t 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
Assertion
Ref Expression
tayl0 (𝜑 → (𝐵 ∈ dom 𝑇 ∧ (𝑇𝐵) = (𝐹𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁   𝑆,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑇(𝑘)

Proof of Theorem tayl0
StepHypRef Expression
1 taylfval.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑆)
2 taylfval.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
3 recnprss 25877 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
51, 4sstrd 3987 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
6 fveq2 6896 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
76dmeqd 5908 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
87eleq2d 2811 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↔ 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)))
9 taylfval.b . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
109ralrimiva 3135 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
11 taylfval.n . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 = +∞))
12 elxnn0 12579 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0* ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 = +∞))
13 0xr 11293 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0* → 0 ∈ ℝ*)
15 xnn0xr 12582 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0*𝑁 ∈ ℝ*)
16 xnn0ge0 13148 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0* → 0 ≤ 𝑁)
17 lbicc2 13476 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ*𝑁 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑁) → 0 ∈ (0[,]𝑁))
1814, 15, 16, 17syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0* → 0 ∈ (0[,]𝑁))
1912, 18sylbir 234 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 = +∞) → 0 ∈ (0[,]𝑁))
2011, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ (0[,]𝑁))
21 0zd 12603 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
2220, 21elind 4192 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
238, 10, 22rspcdva 3607 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
24 cnex 11221 . . . . . . . . . 10 ℂ ∈ V
2524a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℂ ∈ V)
26 taylfval.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
27 elpm2r 8864 . . . . . . . . 9 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
2825, 2, 26, 1, 27syl22anc 837 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
29 dvn0 25898 . . . . . . . 8 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
304, 28, 29syl2anc 582 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
3130dmeqd 5908 . . . . . 6 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = dom 𝐹)
3226fdmd 6733 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
3331, 32eqtrd 2765 . . . . 5 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐴)
3423, 33eleqtrd 2827 . . . 4 (𝜑𝐵𝐴)
355, 34sseldd 3977 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
36 cnfldbas 21300 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
37 cnfld0 21337 . . . . . . 7 0 = (0g‘ℂfld)
38 cnring 21335 . . . . . . . 8 fld ∈ Ring
39 ringmnd 20195 . . . . . . . 8 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
4038, 39mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
41 ovex 7452 . . . . . . . . 9 (0[,]𝑁) ∈ V
4241inex1 5318 . . . . . . . 8 ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V
4342a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V)
442adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
4528adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
46 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
4746elin2d 4197 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℤ)
4846elin1d 4196 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ (0[,]𝑁))
49 nn0re 12514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
5049rexrd 11296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ*)
51 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 = +∞ → 𝑁 = +∞)
52 pnfxr 11300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 +∞ ∈ ℝ*
5351, 52eqeltrdi 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 = +∞ → 𝑁 ∈ ℝ*)
5450, 53jaoi 855 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 = +∞) → 𝑁 ∈ ℝ*)
5511, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ ℝ*)
5655adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ*)
57 elicc1 13403 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ*𝑁 ∈ ℝ*) → (𝑘 ∈ (0[,]𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑘𝑘𝑁)))
5813, 56, 57sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (𝑘 ∈ (0[,]𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑘𝑘𝑁)))
5948, 58mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (𝑘 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑘𝑘𝑁))
6059simp2d 1140 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 0 ≤ 𝑘)
61 elnn0z 12604 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑘))
6247, 60, 61sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
63 dvnf 25901 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
6444, 45, 62, 63syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
6564, 9ffvelcdmd 7094 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) ∈ ℂ)
6662faccld 14279 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
6766nncnd 12261 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
6866nnne0d 12295 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (!‘𝑘) ≠ 0)
6965, 67, 68divcld 12023 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
70 0cnd 11239 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 0 ∈ ℂ)
7170, 62expcld 14146 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (0↑𝑘) ∈ ℂ)
7269, 71mulcld 11266 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)) ∈ ℂ)
7372fmpttd 7124 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))):((0[,]𝑁) ∩ ℤ)⟶ℂ)
74 eldifi 4123 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0}) → 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
7574, 62sylan2 591 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℕ0)
76 eldifsni 4795 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0}) → 𝑘 ≠ 0)
7776adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → 𝑘 ≠ 0)
78 elnnne0 12519 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ≠ 0))
7975, 77, 78sylanbrc 581 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℕ)
80790expd 14139 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → (0↑𝑘) = 0)
8180oveq2d 7435 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 0))
8269mul01d 11445 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 0) = 0)
8374, 82sylan2 591 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 0) = 0)
8481, 83eqtrd 2765 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)) = 0)
85 zex 12600 . . . . . . . . . 10 ℤ ∈ V
8685inex2 5319 . . . . . . . . 9 ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V
8786a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V)
8884, 87suppss2 8206 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) supp 0) ⊆ {0})
8936, 37, 40, 43, 22, 73, 88gsumpt 19929 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))) = ((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))‘0))
906fveq1d 6898 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵))
91 fveq2 6896 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → (!‘𝑘) = (!‘0))
92 fac0 14271 . . . . . . . . . . 11 (!‘0) = 1
9391, 92eqtrdi 2781 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → (!‘𝑘) = 1)
9490, 93oveq12d 7437 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1))
95 oveq2 7427 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → (0↑𝑘) = (0↑0))
96 0exp0e1 14067 . . . . . . . . . 10 (0↑0) = 1
9795, 96eqtrdi 2781 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (0↑𝑘) = 1)
9894, 97oveq12d 7437 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1))
99 eqid 2725 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))
100 ovex 7452 . . . . . . . 8 (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1) ∈ V
10198, 99, 100fvmpt 7004 . . . . . . 7 (0 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) → ((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))‘0) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1))
10222, 101syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))‘0) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1))
10330fveq1d 6898 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) = (𝐹𝐵))
104103oveq1d 7434 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) = ((𝐹𝐵) / 1))
10526, 34ffvelcdmd 7094 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
106105div1d 12015 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝐵) / 1) = (𝐹𝐵))
107104, 106eqtrd 2765 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) = (𝐹𝐵))
108107oveq1d 7434 . . . . . . 7 (𝜑 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1) = ((𝐹𝐵) · 1))
109105mulridd 11263 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐵) · 1) = (𝐹𝐵))
110108, 109eqtrd 2765 . . . . . 6 (𝜑 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1) = (𝐹𝐵))
11189, 102, 1103eqtrd 2769 . . . . 5 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))) = (𝐹𝐵))
112 ringcmn 20230 . . . . . . 7 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
11338, 112mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → ℂfld ∈ CMnd)
114 cnfldtps 24738 . . . . . . 7 fld ∈ TopSp
115114a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℂfld ∈ TopSp)
116 mptexg 7233 . . . . . . . 8 (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) ∈ V)
11786, 116mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) ∈ V)
118 funmpt 6592 . . . . . . . 8 Fun (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))
119118a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → Fun (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))))
120 c0ex 11240 . . . . . . . 8 0 ∈ V
121120a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ V)
122 snfi 9069 . . . . . . . 8 {0} ∈ Fin
123122a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → {0} ∈ Fin)
124 suppssfifsupp 9405 . . . . . . 7 ((((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) ∈ V ∧ Fun (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) ∧ 0 ∈ V) ∧ ({0} ∈ Fin ∧ ((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) supp 0) ⊆ {0})) → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) finSupp 0)
125117, 119, 121, 123, 88, 124syl32anc 1375 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) finSupp 0)
12636, 37, 113, 115, 43, 73, 125tsmsid 24088 . . . . 5 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))) ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))))
127111, 126eqeltrrd 2826 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))))
12835subidd 11591 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝐵) = 0)
129128oveq1d 7434 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵𝐵)↑𝑘) = (0↑𝑘))
130129oveq2d 7435 . . . . . 6 (𝜑 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝐵𝐵)↑𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))
131130mpteq2dv 5251 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝐵𝐵)↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))))
132131oveq2d 7435 . . . 4 (𝜑 → (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝐵𝐵)↑𝑘)))) = (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))))
133127, 132eleqtrrd 2828 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝐵𝐵)↑𝑘)))))
134 taylfval.t . . . 4 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
1352, 26, 1, 11, 9, 134eltayl 26339 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝑇(𝐹𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐵) ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝐵𝐵)↑𝑘)))))))
13635, 133, 135mpbir2and 711 . 2 (𝜑𝐵𝑇(𝐹𝐵))
1372, 26, 1, 11, 9, 134taylf 26340 . . 3 (𝜑𝑇:dom 𝑇⟶ℂ)
138 ffun 6726 . . 3 (𝑇:dom 𝑇⟶ℂ → Fun 𝑇)
139 funbrfv2b 6955 . . 3 (Fun 𝑇 → (𝐵𝑇(𝐹𝐵) ↔ (𝐵 ∈ dom 𝑇 ∧ (𝑇𝐵) = (𝐹𝐵))))
140137, 138, 1393syl 18 . 2 (𝜑 → (𝐵𝑇(𝐹𝐵) ↔ (𝐵 ∈ dom 𝑇 ∧ (𝑇𝐵) = (𝐹𝐵))))
141136, 140mpbid 231 1 (𝜑 → (𝐵 ∈ dom 𝑇 ∧ (𝑇𝐵) = (𝐹𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  Vcvv 3461  cdif 3941  cin 3943  wss 3944  {csn 4630  {cpr 4632   class class class wbr 5149  cmpt 5232  dom cdm 5678  Fun wfun 6543  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419   supp csupp 8165  pm cpm 8846  Fincfn 8964   finSupp cfsupp 9387  cc 11138  cr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   · cmul 11145  +∞cpnf 11277  *cxr 11279  cle 11281  cmin 11476   / cdiv 11903  cn 12245  0cn0 12505  0*cxnn0 12577  cz 12591  [,]cicc 13362  cexp 14062  !cfa 14268   Σg cgsu 17425  Mndcmnd 18697  CMndccmn 19747  Ringcrg 20185  fldccnfld 21296  TopSpctps 22878   tsums ctsu 24074   D𝑛 cdvn 25837   Tayl ctayl 26332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-addf 11219
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-exp 14063  df-fac 14269  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-rest 17407  df-topn 17408  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-topgen 17428  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-mulg 19032  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-ur 20134  df-ring 20187  df-cring 20188  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-cnfld 21297  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-lp 23084  df-perf 23085  df-cnp 23176  df-haus 23263  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-tsms 24075  df-xms 24270  df-ms 24271  df-limc 25839  df-dv 25840  df-dvn 25841  df-tayl 26334
This theorem is referenced by:  dvntaylp0  26352
  Copyright terms: Public domain W3C validator