MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tayl0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tayl0 24966
Description: The Taylor series is always defined at the basepoint, with value equal to the value of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
taylfval.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
taylfval.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
taylfval.a (𝜑𝐴𝑆)
taylfval.n (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 = +∞))
taylfval.b ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
taylfval.t 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
Assertion
Ref Expression
tayl0 (𝜑 → (𝐵 ∈ dom 𝑇 ∧ (𝑇𝐵) = (𝐹𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁   𝑆,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑇(𝑘)

Proof of Theorem tayl0
StepHypRef Expression
1 taylfval.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑆)
2 taylfval.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
3 recnprss 24516 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
51, 4sstrd 3963 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
6 fveq2 6663 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
76dmeqd 5762 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
87eleq2d 2901 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↔ 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)))
9 taylfval.b . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
109ralrimiva 3177 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
11 taylfval.n . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 = +∞))
12 elxnn0 11968 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0* ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 = +∞))
13 0xr 10688 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0* → 0 ∈ ℝ*)
15 xnn0xr 11971 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0*𝑁 ∈ ℝ*)
16 xnn0ge0 12527 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0* → 0 ≤ 𝑁)
17 lbicc2 12853 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ*𝑁 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑁) → 0 ∈ (0[,]𝑁))
1814, 15, 16, 17syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0* → 0 ∈ (0[,]𝑁))
1912, 18sylbir 238 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 = +∞) → 0 ∈ (0[,]𝑁))
2011, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ (0[,]𝑁))
21 0zd 11992 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
2220, 21elind 4156 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
238, 10, 22rspcdva 3611 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
24 cnex 10618 . . . . . . . . . 10 ℂ ∈ V
2524a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℂ ∈ V)
26 taylfval.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
27 elpm2r 8422 . . . . . . . . 9 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
2825, 2, 26, 1, 27syl22anc 837 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
29 dvn0 24536 . . . . . . . 8 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
304, 28, 29syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
3130dmeqd 5762 . . . . . 6 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = dom 𝐹)
3226fdmd 6515 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
3331, 32eqtrd 2859 . . . . 5 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐴)
3423, 33eleqtrd 2918 . . . 4 (𝜑𝐵𝐴)
355, 34sseldd 3954 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
36 cnfldbas 20104 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
37 cnfld0 20124 . . . . . . 7 0 = (0g‘ℂfld)
38 cnring 20122 . . . . . . . 8 fld ∈ Ring
39 ringmnd 19309 . . . . . . . 8 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
4038, 39mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
41 ovex 7184 . . . . . . . . 9 (0[,]𝑁) ∈ V
4241inex1 5208 . . . . . . . 8 ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V
4342a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V)
442adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
4528adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
46 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
4746elin2d 4161 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℤ)
4846elin1d 4160 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ (0[,]𝑁))
49 nn0re 11905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
5049rexrd 10691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ*)
51 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 = +∞ → 𝑁 = +∞)
52 pnfxr 10695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 +∞ ∈ ℝ*
5351, 52eqeltrdi 2924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 = +∞ → 𝑁 ∈ ℝ*)
5450, 53jaoi 854 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 = +∞) → 𝑁 ∈ ℝ*)
5511, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ ℝ*)
5655adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ*)
57 elicc1 12781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ*𝑁 ∈ ℝ*) → (𝑘 ∈ (0[,]𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑘𝑘𝑁)))
5813, 56, 57sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (𝑘 ∈ (0[,]𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑘𝑘𝑁)))
5948, 58mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (𝑘 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑘𝑘𝑁))
6059simp2d 1140 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 0 ≤ 𝑘)
61 elnn0z 11993 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑘))
6247, 60, 61sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
63 dvnf 24539 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
6444, 45, 62, 63syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
6564, 9ffvelrnd 6845 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) ∈ ℂ)
6662faccld 13651 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
6766nncnd 11652 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
6866nnne0d 11686 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (!‘𝑘) ≠ 0)
6965, 67, 68divcld 11416 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
70 0cnd 10634 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 0 ∈ ℂ)
7170, 62expcld 13517 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (0↑𝑘) ∈ ℂ)
7269, 71mulcld 10661 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)) ∈ ℂ)
7372fmpttd 6872 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))):((0[,]𝑁) ∩ ℤ)⟶ℂ)
74 eldifi 4089 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0}) → 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
7574, 62sylan2 595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℕ0)
76 eldifsni 4707 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0}) → 𝑘 ≠ 0)
7776adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → 𝑘 ≠ 0)
78 elnnne0 11910 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ≠ 0))
7975, 77, 78sylanbrc 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℕ)
80790expd 13510 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → (0↑𝑘) = 0)
8180oveq2d 7167 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 0))
8269mul01d 10839 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 0) = 0)
8374, 82sylan2 595 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 0) = 0)
8481, 83eqtrd 2859 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)) = 0)
85 zex 11989 . . . . . . . . . 10 ℤ ∈ V
8685inex2 5209 . . . . . . . . 9 ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V
8786a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V)
8884, 87suppss2 7862 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) supp 0) ⊆ {0})
8936, 37, 40, 43, 22, 73, 88gsumpt 19084 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))) = ((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))‘0))
906fveq1d 6665 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵))
91 fveq2 6663 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → (!‘𝑘) = (!‘0))
92 fac0 13643 . . . . . . . . . . 11 (!‘0) = 1
9391, 92syl6eq 2875 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → (!‘𝑘) = 1)
9490, 93oveq12d 7169 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1))
95 oveq2 7159 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → (0↑𝑘) = (0↑0))
96 0exp0e1 13441 . . . . . . . . . 10 (0↑0) = 1
9795, 96syl6eq 2875 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (0↑𝑘) = 1)
9894, 97oveq12d 7169 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1))
99 eqid 2824 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))
100 ovex 7184 . . . . . . . 8 (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1) ∈ V
10198, 99, 100fvmpt 6761 . . . . . . 7 (0 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) → ((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))‘0) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1))
10222, 101syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))‘0) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1))
10330fveq1d 6665 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) = (𝐹𝐵))
104103oveq1d 7166 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) = ((𝐹𝐵) / 1))
10526, 34ffvelrnd 6845 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
106105div1d 11408 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝐵) / 1) = (𝐹𝐵))
107104, 106eqtrd 2859 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) = (𝐹𝐵))
108107oveq1d 7166 . . . . . . 7 (𝜑 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1) = ((𝐹𝐵) · 1))
109105mulid1d 10658 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐵) · 1) = (𝐹𝐵))
110108, 109eqtrd 2859 . . . . . 6 (𝜑 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1) = (𝐹𝐵))
11189, 102, 1103eqtrd 2863 . . . . 5 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))) = (𝐹𝐵))
112 ringcmn 19336 . . . . . . 7 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
11338, 112mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → ℂfld ∈ CMnd)
114 cnfldtps 23392 . . . . . . 7 fld ∈ TopSp
115114a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℂfld ∈ TopSp)
116 mptexg 6977 . . . . . . . 8 (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) ∈ V)
11786, 116mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) ∈ V)
118 funmpt 6383 . . . . . . . 8 Fun (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))
119118a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → Fun (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))))
120 c0ex 10635 . . . . . . . 8 0 ∈ V
121120a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ V)
122 snfi 8592 . . . . . . . 8 {0} ∈ Fin
123122a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → {0} ∈ Fin)
124 suppssfifsupp 8847 . . . . . . 7 ((((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) ∈ V ∧ Fun (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) ∧ 0 ∈ V) ∧ ({0} ∈ Fin ∧ ((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) supp 0) ⊆ {0})) → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) finSupp 0)
125117, 119, 121, 123, 88, 124syl32anc 1375 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) finSupp 0)
12636, 37, 113, 115, 43, 73, 125tsmsid 22754 . . . . 5 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))) ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))))
127111, 126eqeltrrd 2917 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))))
12835subidd 10985 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝐵) = 0)
129128oveq1d 7166 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵𝐵)↑𝑘) = (0↑𝑘))
130129oveq2d 7167 . . . . . 6 (𝜑 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝐵𝐵)↑𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))
131130mpteq2dv 5149 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝐵𝐵)↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))))
132131oveq2d 7167 . . . 4 (𝜑 → (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝐵𝐵)↑𝑘)))) = (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))))
133127, 132eleqtrrd 2919 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝐵𝐵)↑𝑘)))))
134 taylfval.t . . . 4 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
1352, 26, 1, 11, 9, 134eltayl 24964 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝑇(𝐹𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐵) ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝐵𝐵)↑𝑘)))))))
13635, 133, 135mpbir2and 712 . 2 (𝜑𝐵𝑇(𝐹𝐵))
1372, 26, 1, 11, 9, 134taylf 24965 . . 3 (𝜑𝑇:dom 𝑇⟶ℂ)
138 ffun 6508 . . 3 (𝑇:dom 𝑇⟶ℂ → Fun 𝑇)
139 funbrfv2b 6716 . . 3 (Fun 𝑇 → (𝐵𝑇(𝐹𝐵) ↔ (𝐵 ∈ dom 𝑇 ∧ (𝑇𝐵) = (𝐹𝐵))))
140137, 138, 1393syl 18 . 2 (𝜑 → (𝐵𝑇(𝐹𝐵) ↔ (𝐵 ∈ dom 𝑇 ∧ (𝑇𝐵) = (𝐹𝐵))))
141136, 140mpbid 235 1 (𝜑 → (𝐵 ∈ dom 𝑇 ∧ (𝑇𝐵) = (𝐹𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  Vcvv 3480  cdif 3916  cin 3918  wss 3919  {csn 4550  {cpr 4552   class class class wbr 5053  cmpt 5133  dom cdm 5543  Fun wfun 6339  wf 6341  cfv 6345  (class class class)co 7151   supp csupp 7828  pm cpm 8405  Fincfn 8507   finSupp cfsupp 8832  cc 10535  cr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   · cmul 10542  +∞cpnf 10672  *cxr 10674  cle 10676  cmin 10870   / cdiv 11297  cn 11636  0cn0 11896  0*cxnn0 11966  cz 11980  [,]cicc 12740  cexp 13436  !cfa 13640   Σg cgsu 16716  Mndcmnd 17913  CMndccmn 18908  Ringcrg 19299  fldccnfld 20100  TopSpctps 21546   tsums ctsu 22740   D𝑛 cdvn 24476   Tayl ctayl 24957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-inf2 9103  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616  ax-mulf 10617
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-isom 6354  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-supp 7829  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-oadd 8104  df-er 8287  df-map 8406  df-pm 8407  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-fsupp 8833  df-fi 8874  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-xnn0 11967  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-xneg 12506  df-xadd 12507  df-xmul 12508  df-icc 12744  df-fz 12897  df-fzo 13040  df-seq 13376  df-exp 13437  df-fac 13641  df-hash 13698  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-rest 16698  df-topn 16699  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-topgen 16719  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-mulg 18227  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-cring 19302  df-psmet 20092  df-xmet 20093  df-met 20094  df-bl 20095  df-mopn 20096  df-fbas 20097  df-fg 20098  df-cnfld 20101  df-top 21508  df-topon 21525  df-topsp 21547  df-bases 21560  df-cld 21633  df-ntr 21634  df-cls 21635  df-nei 21712  df-lp 21750  df-perf 21751  df-cnp 21842  df-haus 21929  df-fil 22460  df-fm 22552  df-flim 22553  df-flf 22554  df-tsms 22741  df-xms 22936  df-ms 22937  df-limc 24478  df-dv 24479  df-dvn 24480  df-tayl 24959
This theorem is referenced by:  dvntaylp0  24976
  Copyright terms: Public domain W3C validator