Theorem tayl0 26285

Description: The Taylor series is always defined at the basepoint, with value equal to the value of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
taylfval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
taylfval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
taylfval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
taylfval.n	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
taylfval.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
taylfval.t	⊢ 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)

Assertion

Ref	Expression
tayl0	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ dom 𝑇 ∧ (𝑇‘𝐵) = (𝐹‘𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁   𝑆,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑇(𝑘)

Proof of Theorem tayl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		taylfval.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
2		taylfval.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
3		recnprss 25821	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
5	1, 4	sstrd 3948	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
6		fveq2 6826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
7	6	dmeqd 5852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
8	7	eleq2d 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↔ 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)))
9		taylfval.b	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
10	9	ralrimiva 3121	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
11		taylfval.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
12		elxnn0 12477	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0* ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
13		0xr 11181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0* → 0 ∈ ℝ*)
15		xnn0xr 12480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0* → 𝑁 ∈ ℝ*)
16		xnn0ge0 13054	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0* → 0 ≤ 𝑁)
17		lbicc2 13385	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑁 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑁) → 0 ∈ (0[,]𝑁))
18	14, 15, 16, 17	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0* → 0 ∈ (0[,]𝑁))
19	12, 18	sylbir 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞) → 0 ∈ (0[,]𝑁))
20	11, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0[,]𝑁))
21		0zd 12501	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
22	20, 21	elind 4153	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
23	8, 10, 22	rspcdva 3580	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
24		cnex 11109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
26		taylfval.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
27		elpm2r 8779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
28	25, 2, 26, 1, 27	syl22anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
29		dvn0 25842	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
30	4, 28, 29	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
31	30	dmeqd 5852	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = dom 𝐹)
32	26	fdmd 6666	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
33	31, 32	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐴)
34	23, 33	eleqtrd 2830	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
35	5, 34	sseldd 3938	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
36		cnfldbas 21283	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
37		cnfld0 21317	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
38		cnring 21315	. . . . . . . 8 ⊢ ℂfld ∈ Ring
39		ringmnd 20146	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
40	38, 39	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
41		ovex 7386	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]𝑁) ∈ V
42	41	inex1 5259	. . . . . . . 8 ⊢ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V
43	42	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V)
44	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
45	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
46		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
47	46	elin2d 4158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℤ)
48	46	elin1d 4157	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ (0[,]𝑁))
49		nn0re 12411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
50	49	rexrd 11184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ*)
51		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 = +∞ → 𝑁 = +∞)
52		pnfxr 11188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
53	51, 52	eqeltrdi 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 = +∞ → 𝑁 ∈ ℝ*)
54	50, 53	jaoi 857	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞) → 𝑁 ∈ ℝ*)
55	11, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ*)
56	55	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ*)
57		elicc1 13310	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑁 ∈ ℝ*) → (𝑘 ∈ (0[,]𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
58	13, 56, 57	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (𝑘 ∈ (0[,]𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
59	48, 58	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (𝑘 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁))
60	59	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 0 ≤ 𝑘)
61		elnn0z 12502	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑘))
62	47, 60, 61	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
63		dvnf 25845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
64	44, 45, 62, 63	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
65	64, 9	ffvelcdmd 7023	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) ∈ ℂ)
66	62	faccld 14209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
67	66	nncnd 12162	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
68	66	nnne0d 12196	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (!‘𝑘) ≠ 0)
69	65, 67, 68	divcld 11918	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
70		0cnd 11127	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 0 ∈ ℂ)
71	70, 62	expcld 14071	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (0↑𝑘) ∈ ℂ)
72	69, 71	mulcld 11154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)) ∈ ℂ)
73	72	fmpttd 7053	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))):((0[,]𝑁) ∩ ℤ)⟶ℂ)
74		eldifi 4084	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0}) → 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
75	74, 62	sylan2 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℕ0)
76		eldifsni 4744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0}) → 𝑘 ≠ 0)
77	76	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → 𝑘 ≠ 0)
78		elnnne0 12416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ≠ 0))
79	75, 77, 78	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℕ)
80	79	0expd 14064	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → (0↑𝑘) = 0)
81	80	oveq2d 7369	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 0))
82	69	mul01d 11333	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 0) = 0)
83	74, 82	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 0) = 0)
84	81, 83	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)) = 0)
85		zex 12498	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ∈ V
86	85	inex2 5260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V
87	86	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V)
88	84, 87	suppss2 8140	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) supp 0) ⊆ {0})
89	36, 37, 40, 43, 22, 73, 88	gsumpt 19859	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))) = ((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))‘0))
90	6	fveq1d 6828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵))
91		fveq2 6826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 0 → (!‘𝑘) = (!‘0))
92		fac0 14201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (!‘0) = 1
93	91, 92	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (!‘𝑘) = 1)
94	90, 93	oveq12d 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1))
95		oveq2 7361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (0↑𝑘) = (0↑0))
96		0exp0e1 13991	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0↑0) = 1
97	95, 96	eqtrdi 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (0↑𝑘) = 1)
98	94, 97	oveq12d 7371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1))
99		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))
100		ovex 7386	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1) ∈ V
101	98, 99, 100	fvmpt 6934	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) → ((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))‘0) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1))
102	22, 101	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))‘0) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1))
103	30	fveq1d 6828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) = (𝐹‘𝐵))
104	103	oveq1d 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) = ((𝐹‘𝐵) / 1))
105	26, 34	ffvelcdmd 7023	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
106	105	div1d 11910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) / 1) = (𝐹‘𝐵))
107	104, 106	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) = (𝐹‘𝐵))
108	107	oveq1d 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1) = ((𝐹‘𝐵) · 1))
109	105	mulridd 11151	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) · 1) = (𝐹‘𝐵))
110	108, 109	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1) = (𝐹‘𝐵))
111	89, 102, 110	3eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))) = (𝐹‘𝐵))
112		ringcmn 20185	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
113	38, 112	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ CMnd)
114		cnfldtps 24681	. . . . . . 7 ⊢ ℂfld ∈ TopSp
115	114	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ TopSp)
116		mptexg 7161	. . . . . . . 8 ⊢ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) ∈ V)
117	86, 116	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) ∈ V)
118		funmpt 6524	. . . . . . . 8 ⊢ Fun (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))
119	118	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))))
120		c0ex 11128	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
121	120	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
122		snfi 8975	. . . . . . . 8 ⊢ {0} ∈ Fin
123	122	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {0} ∈ Fin)
124		suppssfifsupp 9289	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) ∈ V ∧ Fun (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) ∧ 0 ∈ V) ∧ ({0} ∈ Fin ∧ ((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) supp 0) ⊆ {0})) → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) finSupp 0)
125	117, 119, 121, 123, 88, 124	syl32anc 1380	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) finSupp 0)
126	36, 37, 113, 115, 43, 73, 125	tsmsid 24043	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))) ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))))
127	111, 126	eqeltrrd 2829	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))))
128	35	subidd 11481	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐵) = 0)
129	128	oveq1d 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐵)↑𝑘) = (0↑𝑘))
130	129	oveq2d 7369	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝐵 − 𝐵)↑𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))
131	130	mpteq2dv 5189	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝐵 − 𝐵)↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))))
132	131	oveq2d 7369	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝐵 − 𝐵)↑𝑘)))) = (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))))
133	127, 132	eleqtrrd 2831	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝐵 − 𝐵)↑𝑘)))))
134		taylfval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
135	2, 26, 1, 11, 9, 134	eltayl 26283	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝑇(𝐹‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝐵 − 𝐵)↑𝑘)))))))
136	35, 133, 135	mpbir2and 713	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑇(𝐹‘𝐵))
137	2, 26, 1, 11, 9, 134	taylf 26284	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇:dom 𝑇⟶ℂ)
138		ffun 6659	. . 3 ⊢ (𝑇:dom 𝑇⟶ℂ → Fun 𝑇)
139		funbrfv2b 6884	. . 3 ⊢ (Fun 𝑇 → (𝐵𝑇(𝐹‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ dom 𝑇 ∧ (𝑇‘𝐵) = (𝐹‘𝐵))))
140	137, 138, 139	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝑇(𝐹‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ dom 𝑇 ∧ (𝑇‘𝐵) = (𝐹‘𝐵))))
141	136, 140	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ dom 𝑇 ∧ (𝑇‘𝐵) = (𝐹‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3438   ∖ cdif 3902   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  {csn 4579  {cpr 4581   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  dom cdm 5623  Fun wfun 6480  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   supp csupp 8100   ↑_pm cpm 8761  Fincfn 8879   finSupp cfsupp 9270  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   · cmul 11033  +∞cpnf 11165  ℝ^*cxr 11167   ≤ cle 11169   − cmin 11365   / cdiv 11795  ℕcn 12146  ℕ₀cn0 12402  ℕ₀^*cxnn0 12475  ℤcz 12489  [,]cicc 13269  ↑cexp 13986  !cfa 14198   Σ_g cgsu 17362  Mndcmnd 18626  CMndccmn 19677  Ringcrg 20136  ℂ_fldccnfld 21279  TopSpctps 22835   tsums ctsu 24029   D^𝑛 cdvn 25781   Tayl ctayl 26276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13927  df-exp 13987  df-fac 14199  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-submnd 18676  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-mulg 18965  df-cntz 19214  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-ur 20085  df-ring 20138  df-cring 20139  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22797  df-topon 22814  df-topsp 22836  df-bases 22849  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-nei 23001  df-lp 23039  df-perf 23040  df-cnp 23131  df-haus 23218  df-fil 23749  df-fm 23841  df-flim 23842  df-flf 23843  df-tsms 24030  df-xms 24224  df-ms 24225  df-limc 25783  df-dv 25784  df-dvn 25785  df-tayl 26278

This theorem is referenced by:  dvntaylp0  26296