Theorem tayl0 26352

Description: The Taylor series is always defined at the basepoint, with value equal to the value of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
taylfval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
taylfval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
taylfval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
taylfval.n	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
taylfval.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
taylfval.t	⊢ 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)

Assertion

Ref	Expression
tayl0	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ dom 𝑇 ∧ (𝑇‘𝐵) = (𝐹‘𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁   𝑆,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑇(𝑘)

Proof of Theorem tayl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		taylfval.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
2		taylfval.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
3		recnprss 25896	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
5	1, 4	sstrd 3932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
6		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
7	6	dmeqd 5854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
8	7	eleq2d 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↔ 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)))
9		taylfval.b	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
10	9	ralrimiva 3132	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
11		taylfval.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
12		elxnn0 12510	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0* ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
13		0xr 11190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0* → 0 ∈ ℝ*)
15		xnn0xr 12513	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0* → 𝑁 ∈ ℝ*)
16		xnn0ge0 13083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0* → 0 ≤ 𝑁)
17		lbicc2 13415	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑁 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑁) → 0 ∈ (0[,]𝑁))
18	14, 15, 16, 17	syl3anc 1379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0* → 0 ∈ (0[,]𝑁))
19	12, 18	sylbir 236	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞) → 0 ∈ (0[,]𝑁))
20	11, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0[,]𝑁))
21		0zd 12534	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
22	20, 21	elind 4136	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
23	8, 10, 22	rspcdva 3568	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
24		cnex 11117	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
26		taylfval.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
27		elpm2r 8789	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
28	25, 2, 26, 1, 27	syl22anc 844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
29		dvn0 25916	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
30	4, 28, 29	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
31	30	dmeqd 5854	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = dom 𝐹)
32	26	fdmd 6672	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
33	31, 32	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐴)
34	23, 33	eleqtrd 2842	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
35	5, 34	sseldd 3923	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
36		cnfldbas 21358	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
37		cnfld0 21378	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
38		cnring 21376	. . . . . . . 8 ⊢ ℂfld ∈ Ring
39		ringmnd 20222	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
40	38, 39	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
41		ovex 7396	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]𝑁) ∈ V
42	41	inex1 5252	. . . . . . . 8 ⊢ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V
43	42	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V)
44	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
45	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
46		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
47	46	elin2d 4141	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℤ)
48	46	elin1d 4140	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ (0[,]𝑁))
49		nn0re 12444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
50	49	rexrd 11193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ*)
51		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 = +∞ → 𝑁 = +∞)
52		pnfxr 11197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
53	51, 52	eqeltrdi 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 = +∞ → 𝑁 ∈ ℝ*)
54	50, 53	jaoi 863	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞) → 𝑁 ∈ ℝ*)
55	11, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ*)
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ*)
57		elicc1 13340	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑁 ∈ ℝ*) → (𝑘 ∈ (0[,]𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
58	13, 56, 57	sylancr 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (𝑘 ∈ (0[,]𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
59	48, 58	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (𝑘 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁))
60	59	simp2d 1149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 0 ≤ 𝑘)
61		elnn0z 12535	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑘))
62	47, 60, 61	sylanbrc 589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
63		dvnf 25919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
64	44, 45, 62, 63	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
65	64, 9	ffvelcdmd 7033	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) ∈ ℂ)
66	62	faccld 14244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
67	66	nncnd 12188	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
68	66	nnne0d 12225	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (!‘𝑘) ≠ 0)
69	65, 67, 68	divcld 11929	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
70		0cnd 11135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 0 ∈ ℂ)
71	70, 62	expcld 14106	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (0↑𝑘) ∈ ℂ)
72	69, 71	mulcld 11163	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)) ∈ ℂ)
73	72	fmpttd 7063	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))):((0[,]𝑁) ∩ ℤ)⟶ℂ)
74		eldifi 4068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0}) → 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
75	74, 62	sylan2 599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℕ0)
76		eldifsni 4730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0}) → 𝑘 ≠ 0)
77	76	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → 𝑘 ≠ 0)
78		elnnne0 12449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ≠ 0))
79	75, 77, 78	sylanbrc 589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℕ)
80	79	0expd 14099	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → (0↑𝑘) = 0)
81	80	oveq2d 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 0))
82	69	mul01d 11343	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 0) = 0)
83	74, 82	sylan2 599	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 0) = 0)
84	81, 83	eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)) = 0)
85		zex 12531	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ∈ V
86	85	inex2 5253	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V
87	86	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V)
88	84, 87	suppss2 8147	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) supp 0) ⊆ {0})
89	36, 37, 40, 43, 22, 73, 88	gsumpt 19935	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))) = ((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))‘0))
90	6	fveq1d 6836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵))
91		fveq2 6834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 0 → (!‘𝑘) = (!‘0))
92		fac0 14236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (!‘0) = 1
93	91, 92	eqtrdi 2791	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (!‘𝑘) = 1)
94	90, 93	oveq12d 7381	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1))
95		oveq2 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (0↑𝑘) = (0↑0))
96		0exp0e1 14026	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0↑0) = 1
97	95, 96	eqtrdi 2791	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (0↑𝑘) = 1)
98	94, 97	oveq12d 7381	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1))
99		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))
100		ovex 7396	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1) ∈ V
101	98, 99, 100	fvmpt 6942	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) → ((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))‘0) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1))
102	22, 101	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))‘0) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1))
103	30	fveq1d 6836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) = (𝐹‘𝐵))
104	103	oveq1d 7378	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) = ((𝐹‘𝐵) / 1))
105	26, 34	ffvelcdmd 7033	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
106	105	div1d 11921	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) / 1) = (𝐹‘𝐵))
107	104, 106	eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) = (𝐹‘𝐵))
108	107	oveq1d 7378	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1) = ((𝐹‘𝐵) · 1))
109	105	mulridd 11160	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) · 1) = (𝐹‘𝐵))
110	108, 109	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1) = (𝐹‘𝐵))
111	89, 102, 110	3eqtrd 2779	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))) = (𝐹‘𝐵))
112		ringcmn 20261	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
113	38, 112	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ CMnd)
114		cnfldtps 24767	. . . . . . 7 ⊢ ℂfld ∈ TopSp
115	114	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ TopSp)
116		mptexg 7172	. . . . . . . 8 ⊢ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) ∈ V)
117	86, 116	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) ∈ V)
118		funmpt 6530	. . . . . . . 8 ⊢ Fun (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))
119	118	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))))
120		c0ex 11136	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
121	120	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
122		snfi 8987	. . . . . . . 8 ⊢ {0} ∈ Fin
123	122	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {0} ∈ Fin)
124		suppssfifsupp 9290	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) ∈ V ∧ Fun (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) ∧ 0 ∈ V) ∧ ({0} ∈ Fin ∧ ((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) supp 0) ⊆ {0})) → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) finSupp 0)
125	117, 119, 121, 123, 88, 124	syl32anc 1386	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) finSupp 0)
126	36, 37, 113, 115, 43, 73, 125	tsmsid 24130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))) ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))))
127	111, 126	eqeltrrd 2841	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))))
128	35	subidd 11491	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐵) = 0)
129	128	oveq1d 7378	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐵)↑𝑘) = (0↑𝑘))
130	129	oveq2d 7379	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝐵 − 𝐵)↑𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))
131	130	mpteq2dv 5173	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝐵 − 𝐵)↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))))
132	131	oveq2d 7379	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝐵 − 𝐵)↑𝑘)))) = (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))))
133	127, 132	eleqtrrd 2843	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝐵 − 𝐵)↑𝑘)))))
134		taylfval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
135	2, 26, 1, 11, 9, 134	eltayl 26350	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝑇(𝐹‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝐵 − 𝐵)↑𝑘)))))))
136	35, 133, 135	mpbir2and 719	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑇(𝐹‘𝐵))
137	2, 26, 1, 11, 9, 134	taylf 26351	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇:dom 𝑇⟶ℂ)
138		ffun 6665	. . 3 ⊢ (𝑇:dom 𝑇⟶ℂ → Fun 𝑇)
139		funbrfv2b 6891	. . 3 ⊢ (Fun 𝑇 → (𝐵𝑇(𝐹‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ dom 𝑇 ∧ (𝑇‘𝐵) = (𝐹‘𝐵))))
140	137, 138, 139	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝑇(𝐹‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ dom 𝑇 ∧ (𝑇‘𝐵) = (𝐹‘𝐵))))
141	136, 140	mpbid 233	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ dom 𝑇 ∧ (𝑇‘𝐵) = (𝐹‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  Vcvv 3432   ∖ cdif 3887   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  {csn 4562  {cpr 4564   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5160  dom cdm 5625  Fun wfun 6486  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   supp csupp 8107   ↑_pm cpm 8771  Fincfn 8890   finSupp cfsupp 9271  ℂcc 11034  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037   · cmul 11041  +∞cpnf 11174  ℝ^*cxr 11176   ≤ cle 11178   − cmin 11375   / cdiv 11805  ℕcn 12172  ℕ₀cn0 12435  ℕ₀^*cxnn0 12508  ℤcz 12522  [,]cicc 13299  ↑cexp 14021  !cfa 14233   Σ_g cgsu 17401  Mndcmnd 18700  CMndccmn 19753  Ringcrg 20212  ℂ_fldccnfld 21354  TopSpctps 22922   tsums ctsu 24116   D^𝑛 cdvn 25856   Tayl ctayl 26343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114  ax-addf 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-fi 9321  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-xneg 13061  df-xadd 13062  df-xmul 13063  df-icc 13303  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-exp 14022  df-fac 14234  df-hash 14291  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-rest 17383  df-topn 17384  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-topgen 17404  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-mulg 19042  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-ur 20161  df-ring 20214  df-cring 20215  df-psmet 21346  df-xmet 21347  df-met 21348  df-bl 21349  df-mopn 21350  df-fbas 21351  df-fg 21352  df-cnfld 21355  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22936  df-cld 23009  df-ntr 23010  df-cls 23011  df-nei 23088  df-lp 23126  df-perf 23127  df-cnp 23218  df-haus 23305  df-fil 23836  df-fm 23928  df-flim 23929  df-flf 23930  df-tsms 24117  df-xms 24310  df-ms 24311  df-limc 25858  df-dv 25859  df-dvn 25860  df-tayl 26345

This theorem is referenced by:  dvntaylp0  26362