Theorem tayl0 26338

Description: The Taylor series is always defined at the basepoint, with value equal to the value of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
taylfval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
taylfval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
taylfval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
taylfval.n	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
taylfval.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
taylfval.t	⊢ 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)

Assertion

Ref	Expression
tayl0	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ dom 𝑇 ∧ (𝑇‘𝐵) = (𝐹‘𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁   𝑆,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑇(𝑘)

Proof of Theorem tayl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		taylfval.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
2		taylfval.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
3		recnprss 25881	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
5	1, 4	sstrd 3933	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
6		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
7	6	dmeqd 5854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
8	7	eleq2d 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↔ 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)))
9		taylfval.b	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
10	9	ralrimiva 3130	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
11		taylfval.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
12		elxnn0 12503	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0* ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
13		0xr 11183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0* → 0 ∈ ℝ*)
15		xnn0xr 12506	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0* → 𝑁 ∈ ℝ*)
16		xnn0ge0 13076	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0* → 0 ≤ 𝑁)
17		lbicc2 13408	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑁 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑁) → 0 ∈ (0[,]𝑁))
18	14, 15, 16, 17	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0* → 0 ∈ (0[,]𝑁))
19	12, 18	sylbir 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞) → 0 ∈ (0[,]𝑁))
20	11, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0[,]𝑁))
21		0zd 12527	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
22	20, 21	elind 4141	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
23	8, 10, 22	rspcdva 3566	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
24		cnex 11110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
26		taylfval.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
27		elpm2r 8785	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
28	25, 2, 26, 1, 27	syl22anc 839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
29		dvn0 25901	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
30	4, 28, 29	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
31	30	dmeqd 5854	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = dom 𝐹)
32	26	fdmd 6672	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
33	31, 32	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐴)
34	23, 33	eleqtrd 2839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
35	5, 34	sseldd 3923	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
36		cnfldbas 21348	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
37		cnfld0 21382	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
38		cnring 21380	. . . . . . . 8 ⊢ ℂfld ∈ Ring
39		ringmnd 20215	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
40	38, 39	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
41		ovex 7393	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]𝑁) ∈ V
42	41	inex1 5254	. . . . . . . 8 ⊢ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V
43	42	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V)
44	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
45	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
46		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
47	46	elin2d 4146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℤ)
48	46	elin1d 4145	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ (0[,]𝑁))
49		nn0re 12437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
50	49	rexrd 11186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ*)
51		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 = +∞ → 𝑁 = +∞)
52		pnfxr 11190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
53	51, 52	eqeltrdi 2845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 = +∞ → 𝑁 ∈ ℝ*)
54	50, 53	jaoi 858	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞) → 𝑁 ∈ ℝ*)
55	11, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ*)
56	55	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ*)
57		elicc1 13333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑁 ∈ ℝ*) → (𝑘 ∈ (0[,]𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
58	13, 56, 57	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (𝑘 ∈ (0[,]𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
59	48, 58	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (𝑘 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁))
60	59	simp2d 1144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 0 ≤ 𝑘)
61		elnn0z 12528	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑘))
62	47, 60, 61	sylanbrc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
63		dvnf 25904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
64	44, 45, 62, 63	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
65	64, 9	ffvelcdmd 7031	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) ∈ ℂ)
66	62	faccld 14237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
67	66	nncnd 12181	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
68	66	nnne0d 12218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (!‘𝑘) ≠ 0)
69	65, 67, 68	divcld 11922	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
70		0cnd 11128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 0 ∈ ℂ)
71	70, 62	expcld 14099	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (0↑𝑘) ∈ ℂ)
72	69, 71	mulcld 11156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)) ∈ ℂ)
73	72	fmpttd 7061	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))):((0[,]𝑁) ∩ ℤ)⟶ℂ)
74		eldifi 4072	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0}) → 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
75	74, 62	sylan2 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℕ0)
76		eldifsni 4734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0}) → 𝑘 ≠ 0)
77	76	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → 𝑘 ≠ 0)
78		elnnne0 12442	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ≠ 0))
79	75, 77, 78	sylanbrc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℕ)
80	79	0expd 14092	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → (0↑𝑘) = 0)
81	80	oveq2d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 0))
82	69	mul01d 11336	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 0) = 0)
83	74, 82	sylan2 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 0) = 0)
84	81, 83	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)) = 0)
85		zex 12524	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ∈ V
86	85	inex2 5255	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V
87	86	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V)
88	84, 87	suppss2 8143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) supp 0) ⊆ {0})
89	36, 37, 40, 43, 22, 73, 88	gsumpt 19928	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))) = ((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))‘0))
90	6	fveq1d 6836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵))
91		fveq2 6834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 0 → (!‘𝑘) = (!‘0))
92		fac0 14229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (!‘0) = 1
93	91, 92	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (!‘𝑘) = 1)
94	90, 93	oveq12d 7378	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1))
95		oveq2 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → (0↑𝑘) = (0↑0))
96		0exp0e1 14019	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0↑0) = 1
97	95, 96	eqtrdi 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (0↑𝑘) = 1)
98	94, 97	oveq12d 7378	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1))
99		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))
100		ovex 7393	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1) ∈ V
101	98, 99, 100	fvmpt 6941	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) → ((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))‘0) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1))
102	22, 101	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))‘0) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1))
103	30	fveq1d 6836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) = (𝐹‘𝐵))
104	103	oveq1d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) = ((𝐹‘𝐵) / 1))
105	26, 34	ffvelcdmd 7031	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
106	105	div1d 11914	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) / 1) = (𝐹‘𝐵))
107	104, 106	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) = (𝐹‘𝐵))
108	107	oveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1) = ((𝐹‘𝐵) · 1))
109	105	mulridd 11153	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) · 1) = (𝐹‘𝐵))
110	108, 109	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1) = (𝐹‘𝐵))
111	89, 102, 110	3eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))) = (𝐹‘𝐵))
112		ringcmn 20254	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
113	38, 112	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ CMnd)
114		cnfldtps 24752	. . . . . . 7 ⊢ ℂfld ∈ TopSp
115	114	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ TopSp)
116		mptexg 7169	. . . . . . . 8 ⊢ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) ∈ V)
117	86, 116	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) ∈ V)
118		funmpt 6530	. . . . . . . 8 ⊢ Fun (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))
119	118	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))))
120		c0ex 11129	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
121	120	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
122		snfi 8983	. . . . . . . 8 ⊢ {0} ∈ Fin
123	122	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {0} ∈ Fin)
124		suppssfifsupp 9286	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) ∈ V ∧ Fun (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) ∧ 0 ∈ V) ∧ ({0} ∈ Fin ∧ ((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) supp 0) ⊆ {0})) → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) finSupp 0)
125	117, 119, 121, 123, 88, 124	syl32anc 1381	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) finSupp 0)
126	36, 37, 113, 115, 43, 73, 125	tsmsid 24115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))) ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))))
127	111, 126	eqeltrrd 2838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))))
128	35	subidd 11484	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐵) = 0)
129	128	oveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐵)↑𝑘) = (0↑𝑘))
130	129	oveq2d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝐵 − 𝐵)↑𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))
131	130	mpteq2dv 5180	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝐵 − 𝐵)↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))))
132	131	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝐵 − 𝐵)↑𝑘)))) = (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))))
133	127, 132	eleqtrrd 2840	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝐵 − 𝐵)↑𝑘)))))
134		taylfval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
135	2, 26, 1, 11, 9, 134	eltayl 26336	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝑇(𝐹‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝐵 − 𝐵)↑𝑘)))))))
136	35, 133, 135	mpbir2and 714	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑇(𝐹‘𝐵))
137	2, 26, 1, 11, 9, 134	taylf 26337	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇:dom 𝑇⟶ℂ)
138		ffun 6665	. . 3 ⊢ (𝑇:dom 𝑇⟶ℂ → Fun 𝑇)
139		funbrfv2b 6891	. . 3 ⊢ (Fun 𝑇 → (𝐵𝑇(𝐹‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ dom 𝑇 ∧ (𝑇‘𝐵) = (𝐹‘𝐵))))
140	137, 138, 139	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝑇(𝐹‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ dom 𝑇 ∧ (𝑇‘𝐵) = (𝐹‘𝐵))))
141	136, 140	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ dom 𝑇 ∧ (𝑇‘𝐵) = (𝐹‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  {csn 4568  {cpr 4570   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5624  Fun wfun 6486  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   supp csupp 8103   ↑_pm cpm 8767  Fincfn 8886   finSupp cfsupp 9267  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   · cmul 11034  +∞cpnf 11167  ℝ^*cxr 11169   ≤ cle 11171   − cmin 11368   / cdiv 11798  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  ℕ₀^*cxnn0 12501  ℤcz 12515  [,]cicc 13292  ↑cexp 14014  !cfa 14226   Σ_g cgsu 17394  Mndcmnd 18693  CMndccmn 19746  Ringcrg 20205  ℂ_fldccnfld 21344  TopSpctps 22907   tsums ctsu 24101   D^𝑛 cdvn 25841   Tayl ctayl 26329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-ur 20154  df-ring 20207  df-cring 20208  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-fbas 21341  df-fg 21342  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-nei 23073  df-lp 23111  df-perf 23112  df-cnp 23203  df-haus 23290  df-fil 23821  df-fm 23913  df-flim 23914  df-flf 23915  df-tsms 24102  df-xms 24295  df-ms 24296  df-limc 25843  df-dv 25844  df-dvn 25845  df-tayl 26331

This theorem is referenced by:  dvntaylp0  26349