MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tayl0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tayl0 25721
Description: The Taylor series is always defined at the basepoint, with value equal to the value of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
taylfval.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
taylfval.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
taylfval.a (𝜑𝐴𝑆)
taylfval.n (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 = +∞))
taylfval.b ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
taylfval.t 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
Assertion
Ref Expression
tayl0 (𝜑 → (𝐵 ∈ dom 𝑇 ∧ (𝑇𝐵) = (𝐹𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁   𝑆,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑇(𝑘)

Proof of Theorem tayl0
StepHypRef Expression
1 taylfval.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑆)
2 taylfval.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
3 recnprss 25268 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
51, 4sstrd 3954 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
6 fveq2 6842 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
76dmeqd 5861 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
87eleq2d 2823 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ↔ 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)))
9 taylfval.b . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
109ralrimiva 3143 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
11 taylfval.n . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 = +∞))
12 elxnn0 12487 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0* ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 = +∞))
13 0xr 11202 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0* → 0 ∈ ℝ*)
15 xnn0xr 12490 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0*𝑁 ∈ ℝ*)
16 xnn0ge0 13054 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0* → 0 ≤ 𝑁)
17 lbicc2 13381 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ*𝑁 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑁) → 0 ∈ (0[,]𝑁))
1814, 15, 16, 17syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0* → 0 ∈ (0[,]𝑁))
1912, 18sylbir 234 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 = +∞) → 0 ∈ (0[,]𝑁))
2011, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ (0[,]𝑁))
21 0zd 12511 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
2220, 21elind 4154 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
238, 10, 22rspcdva 3582 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
24 cnex 11132 . . . . . . . . . 10 ℂ ∈ V
2524a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℂ ∈ V)
26 taylfval.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
27 elpm2r 8783 . . . . . . . . 9 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
2825, 2, 26, 1, 27syl22anc 837 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
29 dvn0 25288 . . . . . . . 8 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
304, 28, 29syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
3130dmeqd 5861 . . . . . 6 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = dom 𝐹)
3226fdmd 6679 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
3331, 32eqtrd 2776 . . . . 5 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐴)
3423, 33eleqtrd 2840 . . . 4 (𝜑𝐵𝐴)
355, 34sseldd 3945 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
36 cnfldbas 20800 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
37 cnfld0 20821 . . . . . . 7 0 = (0g‘ℂfld)
38 cnring 20819 . . . . . . . 8 fld ∈ Ring
39 ringmnd 19974 . . . . . . . 8 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
4038, 39mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂfld ∈ Mnd)
41 ovex 7390 . . . . . . . . 9 (0[,]𝑁) ∈ V
4241inex1 5274 . . . . . . . 8 ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V
4342a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V)
442adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
4528adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
46 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
4746elin2d 4159 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℤ)
4846elin1d 4158 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ (0[,]𝑁))
49 nn0re 12422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
5049rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ*)
51 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 = +∞ → 𝑁 = +∞)
52 pnfxr 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 +∞ ∈ ℝ*
5351, 52eqeltrdi 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 = +∞ → 𝑁 ∈ ℝ*)
5450, 53jaoi 855 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 = +∞) → 𝑁 ∈ ℝ*)
5511, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ ℝ*)
5655adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ*)
57 elicc1 13308 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ*𝑁 ∈ ℝ*) → (𝑘 ∈ (0[,]𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑘𝑘𝑁)))
5813, 56, 57sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (𝑘 ∈ (0[,]𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑘𝑘𝑁)))
5948, 58mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (𝑘 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑘𝑘𝑁))
6059simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 0 ≤ 𝑘)
61 elnn0z 12512 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑘))
6247, 60, 61sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
63 dvnf 25291 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
6444, 45, 62, 63syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
6564, 9ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) ∈ ℂ)
6662faccld 14184 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
6766nncnd 12169 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
6866nnne0d 12203 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (!‘𝑘) ≠ 0)
6965, 67, 68divcld 11931 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
70 0cnd 11148 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 0 ∈ ℂ)
7170, 62expcld 14051 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (0↑𝑘) ∈ ℂ)
7269, 71mulcld 11175 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)) ∈ ℂ)
7372fmpttd 7063 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))):((0[,]𝑁) ∩ ℤ)⟶ℂ)
74 eldifi 4086 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0}) → 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
7574, 62sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℕ0)
76 eldifsni 4750 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0}) → 𝑘 ≠ 0)
7776adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → 𝑘 ≠ 0)
78 elnnne0 12427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ≠ 0))
7975, 77, 78sylanbrc 583 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℕ)
80790expd 14044 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → (0↑𝑘) = 0)
8180oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 0))
8269mul01d 11354 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 0) = 0)
8374, 82sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 0) = 0)
8481, 83eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∖ {0})) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)) = 0)
85 zex 12508 . . . . . . . . . 10 ℤ ∈ V
8685inex2 5275 . . . . . . . . 9 ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V
8786a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V)
8884, 87suppss2 8131 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) supp 0) ⊆ {0})
8936, 37, 40, 43, 22, 73, 88gsumpt 19739 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))) = ((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))‘0))
906fveq1d 6844 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵))
91 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → (!‘𝑘) = (!‘0))
92 fac0 14176 . . . . . . . . . . 11 (!‘0) = 1
9391, 92eqtrdi 2792 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → (!‘𝑘) = 1)
9490, 93oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1))
95 oveq2 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → (0↑𝑘) = (0↑0))
96 0exp0e1 13972 . . . . . . . . . 10 (0↑0) = 1
9795, 96eqtrdi 2792 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (0↑𝑘) = 1)
9894, 97oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1))
99 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))
100 ovex 7390 . . . . . . . 8 (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1) ∈ V
10198, 99, 100fvmpt 6948 . . . . . . 7 (0 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) → ((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))‘0) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1))
10222, 101syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))‘0) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1))
10330fveq1d 6844 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) = (𝐹𝐵))
104103oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) = ((𝐹𝐵) / 1))
10526, 34ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
106105div1d 11923 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝐵) / 1) = (𝐹𝐵))
107104, 106eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) = (𝐹𝐵))
108107oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝜑 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1) = ((𝐹𝐵) · 1))
109105mulid1d 11172 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐵) · 1) = (𝐹𝐵))
110108, 109eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0)‘𝐵) / 1) · 1) = (𝐹𝐵))
11189, 102, 1103eqtrd 2780 . . . . 5 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))) = (𝐹𝐵))
112 ringcmn 20003 . . . . . . 7 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
11338, 112mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → ℂfld ∈ CMnd)
114 cnfldtps 24141 . . . . . . 7 fld ∈ TopSp
115114a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℂfld ∈ TopSp)
116 mptexg 7171 . . . . . . . 8 (((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) ∈ V)
11786, 116mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) ∈ V)
118 funmpt 6539 . . . . . . . 8 Fun (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))
119118a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → Fun (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))))
120 c0ex 11149 . . . . . . . 8 0 ∈ V
121120a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ V)
122 snfi 8988 . . . . . . . 8 {0} ∈ Fin
123122a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → {0} ∈ Fin)
124 suppssfifsupp 9320 . . . . . . 7 ((((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) ∈ V ∧ Fun (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) ∧ 0 ∈ V) ∧ ({0} ∈ Fin ∧ ((𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) supp 0) ⊆ {0})) → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) finSupp 0)
125117, 119, 121, 123, 88, 124syl32anc 1378 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))) finSupp 0)
12636, 37, 113, 115, 43, 73, 125tsmsid 23491 . . . . 5 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))) ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))))
127111, 126eqeltrrd 2839 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))))
12835subidd 11500 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝐵) = 0)
129128oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵𝐵)↑𝑘) = (0↑𝑘))
130129oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝜑 → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝐵𝐵)↑𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))
131130mpteq2dv 5207 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝐵𝐵)↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘))))
132131oveq2d 7373 . . . 4 (𝜑 → (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝐵𝐵)↑𝑘)))) = (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (0↑𝑘)))))
133127, 132eleqtrrd 2841 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝐵𝐵)↑𝑘)))))
134 taylfval.t . . . 4 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
1352, 26, 1, 11, 9, 134eltayl 25719 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝑇(𝐹𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐵) ∈ (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝐵𝐵)↑𝑘)))))))
13635, 133, 135mpbir2and 711 . 2 (𝜑𝐵𝑇(𝐹𝐵))
1372, 26, 1, 11, 9, 134taylf 25720 . . 3 (𝜑𝑇:dom 𝑇⟶ℂ)
138 ffun 6671 . . 3 (𝑇:dom 𝑇⟶ℂ → Fun 𝑇)
139 funbrfv2b 6900 . . 3 (Fun 𝑇 → (𝐵𝑇(𝐹𝐵) ↔ (𝐵 ∈ dom 𝑇 ∧ (𝑇𝐵) = (𝐹𝐵))))
140137, 138, 1393syl 18 . 2 (𝜑 → (𝐵𝑇(𝐹𝐵) ↔ (𝐵 ∈ dom 𝑇 ∧ (𝑇𝐵) = (𝐹𝐵))))
141136, 140mpbid 231 1 (𝜑 → (𝐵 ∈ dom 𝑇 ∧ (𝑇𝐵) = (𝐹𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  Vcvv 3445  cdif 3907  cin 3909  wss 3910  {csn 4586  {cpr 4588   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  Fun wfun 6490  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357   supp csupp 8092  pm cpm 8766  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9305  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  *cxr 11188  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  0cn0 12413  0*cxnn0 12485  cz 12499  [,]cicc 13267  cexp 13967  !cfa 14173   Σg cgsu 17322  Mndcmnd 18556  CMndccmn 19562  Ringcrg 19964  fldccnfld 20796  TopSpctps 22281   tsums ctsu 23477   D𝑛 cdvn 25228   Tayl ctayl 25712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-tsms 23478  df-xms 23673  df-ms 23674  df-limc 25230  df-dv 25231  df-dvn 25232  df-tayl 25714
This theorem is referenced by:  dvntaylp0  25731
  Copyright terms: Public domain W3C validator