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Theorem tayl0 25737
Description: The Taylor series is always defined at the basepoint, with value equal to the value of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
taylfval.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
taylfval.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
taylfval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
taylfval.n (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ β„•0 ∨ 𝑁 = +∞))
taylfval.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
taylfval.t 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡)
Assertion
Ref Expression
tayl0 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ dom 𝑇 ∧ (π‘‡β€˜π΅) = (πΉβ€˜π΅)))
Distinct variable groups:   𝐡,π‘˜   π‘˜,𝐹   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑁   𝑆,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘˜)   𝑇(π‘˜)

Proof of Theorem tayl0
StepHypRef Expression
1 taylfval.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
2 taylfval.s . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
3 recnprss 25284 . . . . . 6 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
42, 3syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
51, 4sstrd 3959 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
6 fveq2 6847 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 0 β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜0))
76dmeqd 5866 . . . . . . 7 (π‘˜ = 0 β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜0))
87eleq2d 2824 . . . . . 6 (π‘˜ = 0 β†’ (𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) ↔ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜0)))
9 taylfval.b . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
109ralrimiva 3144 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
11 taylfval.n . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ β„•0 ∨ 𝑁 = +∞))
12 elxnn0 12494 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„•0* ↔ (𝑁 ∈ β„•0 ∨ 𝑁 = +∞))
13 0xr 11209 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„•0* β†’ 0 ∈ ℝ*)
15 xnn0xr 12497 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„•0* β†’ 𝑁 ∈ ℝ*)
16 xnn0ge0 13061 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„•0* β†’ 0 ≀ 𝑁)
17 lbicc2 13388 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑁 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑁) β†’ 0 ∈ (0[,]𝑁))
1814, 15, 16, 17syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„•0* β†’ 0 ∈ (0[,]𝑁))
1912, 18sylbir 234 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„•0 ∨ 𝑁 = +∞) β†’ 0 ∈ (0[,]𝑁))
2011, 19syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0[,]𝑁))
21 0zd 12518 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
2220, 21elind 4159 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€))
238, 10, 22rspcdva 3585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜0))
24 cnex 11139 . . . . . . . . . 10 β„‚ ∈ V
2524a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ V)
26 taylfval.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
27 elpm2r 8790 . . . . . . . . 9 (((β„‚ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚}) ∧ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
2825, 2, 26, 1, 27syl22anc 838 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
29 dvn0 25304 . . . . . . . 8 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜0) = 𝐹)
304, 28, 29syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜0) = 𝐹)
3130dmeqd 5866 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜0) = dom 𝐹)
3226fdmd 6684 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
3331, 32eqtrd 2777 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜0) = 𝐴)
3423, 33eleqtrd 2840 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
355, 34sseldd 3950 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
36 cnfldbas 20816 . . . . . . 7 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
37 cnfld0 20837 . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
38 cnring 20835 . . . . . . . 8 β„‚fld ∈ Ring
39 ringmnd 19981 . . . . . . . 8 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ Mnd)
4038, 39mp1i 13 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ β„‚fld ∈ Mnd)
41 ovex 7395 . . . . . . . . 9 (0[,]𝑁) ∈ V
4241inex1 5279 . . . . . . . 8 ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ∈ V
4342a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ∈ V)
442adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
4528adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
46 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€))
4746elin2d 4164 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
4846elin1d 4163 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ π‘˜ ∈ (0[,]𝑁))
49 nn0re 12429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
5049rexrd 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ ℝ*)
51 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 = +∞ β†’ 𝑁 = +∞)
52 pnfxr 11216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 +∞ ∈ ℝ*
5351, 52eqeltrdi 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 = +∞ β†’ 𝑁 ∈ ℝ*)
5450, 53jaoi 856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ β„•0 ∨ 𝑁 = +∞) β†’ 𝑁 ∈ ℝ*)
5511, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ*)
5655adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ*)
57 elicc1 13315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑁 ∈ ℝ*) β†’ (π‘˜ ∈ (0[,]𝑁) ↔ (π‘˜ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ 𝑁)))
5813, 56, 57sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ (π‘˜ ∈ (0[,]𝑁) ↔ (π‘˜ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ 𝑁)))
5948, 58mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ (π‘˜ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ 𝑁))
6059simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ 0 ≀ π‘˜)
61 elnn0z 12519 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„•0 ↔ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ 0 ≀ π‘˜))
6247, 60, 61sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
63 dvnf 25307 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)βŸΆβ„‚)
6444, 45, 62, 63syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)βŸΆβ„‚)
6564, 9ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) ∈ β„‚)
6662faccld 14191 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ (!β€˜π‘˜) ∈ β„•)
6766nncnd 12176 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ (!β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
6866nnne0d 12210 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ (!β€˜π‘˜) β‰  0)
6965, 67, 68divcld 11938 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
70 0cnd 11155 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ 0 ∈ β„‚)
7170, 62expcld 14058 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ (0β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
7269, 71mulcld 11182 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (0β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
7372fmpttd 7068 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (0β†‘π‘˜))):((0[,]𝑁) ∩ β„€)βŸΆβ„‚)
74 eldifi 4091 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (((0[,]𝑁) ∩ β„€) βˆ– {0}) β†’ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€))
7574, 62sylan2 594 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0[,]𝑁) ∩ β„€) βˆ– {0})) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
76 eldifsni 4755 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (((0[,]𝑁) ∩ β„€) βˆ– {0}) β†’ π‘˜ β‰  0)
7776adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0[,]𝑁) ∩ β„€) βˆ– {0})) β†’ π‘˜ β‰  0)
78 elnnne0 12434 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• ↔ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ π‘˜ β‰  0))
7975, 77, 78sylanbrc 584 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0[,]𝑁) ∩ β„€) βˆ– {0})) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
80790expd 14051 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0[,]𝑁) ∩ β„€) βˆ– {0})) β†’ (0β†‘π‘˜) = 0)
8180oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0[,]𝑁) ∩ β„€) βˆ– {0})) β†’ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (0β†‘π‘˜)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· 0))
8269mul01d 11361 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· 0) = 0)
8374, 82sylan2 594 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0[,]𝑁) ∩ β„€) βˆ– {0})) β†’ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· 0) = 0)
8481, 83eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (((0[,]𝑁) ∩ β„€) βˆ– {0})) β†’ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (0β†‘π‘˜)) = 0)
85 zex 12515 . . . . . . . . . 10 β„€ ∈ V
8685inex2 5280 . . . . . . . . 9 ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ∈ V
8786a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ∈ V)
8884, 87suppss2 8136 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (0β†‘π‘˜))) supp 0) βŠ† {0})
8936, 37, 40, 43, 22, 73, 88gsumpt 19746 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (0β†‘π‘˜)))) = ((π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (0β†‘π‘˜)))β€˜0))
906fveq1d 6849 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 0 β†’ (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜0)β€˜π΅))
91 fveq2 6847 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 0 β†’ (!β€˜π‘˜) = (!β€˜0))
92 fac0 14183 . . . . . . . . . . 11 (!β€˜0) = 1
9391, 92eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 0 β†’ (!β€˜π‘˜) = 1)
9490, 93oveq12d 7380 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 0 β†’ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜0)β€˜π΅) / 1))
95 oveq2 7370 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 0 β†’ (0β†‘π‘˜) = (0↑0))
96 0exp0e1 13979 . . . . . . . . . 10 (0↑0) = 1
9795, 96eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 0 β†’ (0β†‘π‘˜) = 1)
9894, 97oveq12d 7380 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 0 β†’ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (0β†‘π‘˜)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜0)β€˜π΅) / 1) Β· 1))
99 eqid 2737 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (0β†‘π‘˜))) = (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (0β†‘π‘˜)))
100 ovex 7395 . . . . . . . 8 (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜0)β€˜π΅) / 1) Β· 1) ∈ V
10198, 99, 100fvmpt 6953 . . . . . . 7 (0 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) β†’ ((π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (0β†‘π‘˜)))β€˜0) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜0)β€˜π΅) / 1) Β· 1))
10222, 101syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (0β†‘π‘˜)))β€˜0) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜0)β€˜π΅) / 1) Β· 1))
10330fveq1d 6849 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜0)β€˜π΅) = (πΉβ€˜π΅))
104103oveq1d 7377 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜0)β€˜π΅) / 1) = ((πΉβ€˜π΅) / 1))
10526, 34ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ β„‚)
106105div1d 11930 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΅) / 1) = (πΉβ€˜π΅))
107104, 106eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜0)β€˜π΅) / 1) = (πΉβ€˜π΅))
108107oveq1d 7377 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜0)β€˜π΅) / 1) Β· 1) = ((πΉβ€˜π΅) Β· 1))
109105mulid1d 11179 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΅) Β· 1) = (πΉβ€˜π΅))
110108, 109eqtrd 2777 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜0)β€˜π΅) / 1) Β· 1) = (πΉβ€˜π΅))
11189, 102, 1103eqtrd 2781 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (0β†‘π‘˜)))) = (πΉβ€˜π΅))
112 ringcmn 20010 . . . . . . 7 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
11338, 112mp1i 13 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
114 cnfldtps 24157 . . . . . . 7 β„‚fld ∈ TopSp
115114a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ β„‚fld ∈ TopSp)
116 mptexg 7176 . . . . . . . 8 (((0[,]𝑁) ∩ β„€) ∈ V β†’ (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (0β†‘π‘˜))) ∈ V)
11786, 116mp1i 13 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (0β†‘π‘˜))) ∈ V)
118 funmpt 6544 . . . . . . . 8 Fun (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (0β†‘π‘˜)))
119118a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Fun (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (0β†‘π‘˜))))
120 c0ex 11156 . . . . . . . 8 0 ∈ V
121120a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ V)
122 snfi 8995 . . . . . . . 8 {0} ∈ Fin
123122a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {0} ∈ Fin)
124 suppssfifsupp 9327 . . . . . . 7 ((((π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (0β†‘π‘˜))) ∈ V ∧ Fun (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (0β†‘π‘˜))) ∧ 0 ∈ V) ∧ ({0} ∈ Fin ∧ ((π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (0β†‘π‘˜))) supp 0) βŠ† {0})) β†’ (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (0β†‘π‘˜))) finSupp 0)
125117, 119, 121, 123, 88, 124syl32anc 1379 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (0β†‘π‘˜))) finSupp 0)
12636, 37, 113, 115, 43, 73, 125tsmsid 23507 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (0β†‘π‘˜)))) ∈ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (0β†‘π‘˜)))))
127111, 126eqeltrrd 2839 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (0β†‘π‘˜)))))
12835subidd 11507 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐡) = 0)
129128oveq1d 7377 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜) = (0β†‘π‘˜))
130129oveq2d 7378 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((𝐡 βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (0β†‘π‘˜)))
131130mpteq2dv 5212 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((𝐡 βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))) = (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (0β†‘π‘˜))))
132131oveq2d 7378 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((𝐡 βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))) = (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (0β†‘π‘˜)))))
133127, 132eleqtrrd 2841 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((𝐡 βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))))
134 taylfval.t . . . 4 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡)
1352, 26, 1, 11, 9, 134eltayl 25735 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡𝑇(πΉβ€˜π΅) ↔ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π΅) ∈ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((𝐡 βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))))))
13635, 133, 135mpbir2and 712 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡𝑇(πΉβ€˜π΅))
1372, 26, 1, 11, 9, 134taylf 25736 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇:dom π‘‡βŸΆβ„‚)
138 ffun 6676 . . 3 (𝑇:dom π‘‡βŸΆβ„‚ β†’ Fun 𝑇)
139 funbrfv2b 6905 . . 3 (Fun 𝑇 β†’ (𝐡𝑇(πΉβ€˜π΅) ↔ (𝐡 ∈ dom 𝑇 ∧ (π‘‡β€˜π΅) = (πΉβ€˜π΅))))
140137, 138, 1393syl 18 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡𝑇(πΉβ€˜π΅) ↔ (𝐡 ∈ dom 𝑇 ∧ (π‘‡β€˜π΅) = (πΉβ€˜π΅))))
141136, 140mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ dom 𝑇 ∧ (π‘‡β€˜π΅) = (πΉβ€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  {csn 4591  {cpr 4593   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638  Fun wfun 6495  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   supp csupp 8097   ↑pm cpm 8773  Fincfn 8890   finSupp cfsupp 9312  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   Β· cmul 11063  +∞cpnf 11193  β„*cxr 11195   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  β„•cn 12160  β„•0cn0 12420  β„•0*cxnn0 12492  β„€cz 12506  [,]cicc 13274  β†‘cexp 13974  !cfa 14180   Ξ£g cgsu 17329  Mndcmnd 18563  CMndccmn 19569  Ringcrg 19971  β„‚fldccnfld 20812  TopSpctps 22297   tsums ctsu 23493   D𝑛 cdvn 25244   Tayl ctayl 25728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-tsms 23494  df-xms 23689  df-ms 23690  df-limc 25246  df-dv 25247  df-dvn 25248  df-tayl 25730
This theorem is referenced by:  dvntaylp0  25747
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