Theorem meetfval2 18458

Description: Value of meet function for a poset. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.) (Revised by NM, 9-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
meetfval.u	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
meetfval.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
meetfval2	⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → ∧ = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑧 = (𝐺‘{𝑥, 𝑦}))})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐾   𝑧,𝐺

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦)   ∧ (𝑥,𝑦,𝑧)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem meetfval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meetfval.u	. . 3 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
2		meetfval.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
3	1, 2	meetfval 18457	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → ∧ = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦}𝐺𝑧})
4	1	glbfun 18435	. . . . 5 ⊢ Fun 𝐺
5		funbrfv2b 6979	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐺 → ({𝑥, 𝑦}𝐺𝑧 ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘{𝑥, 𝑦}) = 𝑧)))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ({𝑥, 𝑦}𝐺𝑧 ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘{𝑥, 𝑦}) = 𝑧))
7		eqcom 2747	. . . . 5 ⊢ ((𝐺‘{𝑥, 𝑦}) = 𝑧 ↔ 𝑧 = (𝐺‘{𝑥, 𝑦}))
8	7	anbi2i 622	. . . 4 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘{𝑥, 𝑦}) = 𝑧) ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑧 = (𝐺‘{𝑥, 𝑦})))
9	6, 8	bitri 275	. . 3 ⊢ ({𝑥, 𝑦}𝐺𝑧 ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑧 = (𝐺‘{𝑥, 𝑦})))
10	9	oprabbii 7517	. 2 ⊢ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦}𝐺𝑧} = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑧 = (𝐺‘{𝑥, 𝑦}))}
11	3, 10	eqtrdi 2796	1 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → ∧ = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑧 = (𝐺‘{𝑥, 𝑦}))})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {cpr 4650   class class class wbr 5166  dom cdm 5700  Fun wfun 6567  ‘cfv 6573  {coprab 7449  glbcglb 18380  meetcmee 18382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-oprab 7452  df-glb 18417  df-meet 18419

This theorem is referenced by:  meetdm  18459  meetval  18461