Theorem meetfval2 18441

Description: Value of meet function for a poset. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.) (Revised by NM, 9-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
meetfval.u	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
meetfval.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
meetfval2	⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → ∧ = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑧 = (𝐺‘{𝑥, 𝑦}))})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐾   𝑧,𝐺

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦)   ∧ (𝑥,𝑦,𝑧)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem meetfval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meetfval.u	. . 3 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
2		meetfval.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
3	1, 2	meetfval 18440	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → ∧ = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦}𝐺𝑧})
4	1	glbfun 18418	. . . . 5 ⊢ Fun 𝐺
5		funbrfv2b 6939	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐺 → ({𝑥, 𝑦}𝐺𝑧 ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘{𝑥, 𝑦}) = 𝑧)))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ({𝑥, 𝑦}𝐺𝑧 ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘{𝑥, 𝑦}) = 𝑧))
7		eqcom 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝐺‘{𝑥, 𝑦}) = 𝑧 ↔ 𝑧 = (𝐺‘{𝑥, 𝑦}))
8	7	anbi2i 634	. . . 4 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘{𝑥, 𝑦}) = 𝑧) ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑧 = (𝐺‘{𝑥, 𝑦})))
9	6, 8	bitri 278	. . 3 ⊢ ({𝑥, 𝑦}𝐺𝑧 ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑧 = (𝐺‘{𝑥, 𝑦})))
10	9	oprabbii 7478	. 2 ⊢ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦}𝐺𝑧} = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑧 = (𝐺‘{𝑥, 𝑦}))}
11	3, 10	eqtrdi 2820	1 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑉 → ∧ = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑧 = (𝐺‘{𝑥, 𝑦}))})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {cpr 4596   class class class wbr 5113  dom cdm 5662  Fun wfun 6531  ‘cfv 6537  {coprab 7412  glbcglb 18365  meetcmee 18367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-oprab 7415  df-glb 18400  df-meet 18402

This theorem is referenced by:  meetdm  18442  meetval  18444