Theorem fvconstdomi 48573

Description: A constant function's value is dominated by the constant. (An artifact of our function value definition.) (Contributed by Zhi Wang, 18-Sep-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvconstdomi.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvconstdomi	⊢ ((𝐴 × {𝐵})‘𝑋) ≼ 𝐵

Proof of Theorem fvconstdomi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmxpss 6202	. . . . 5 ⊢ dom (𝐴 × {𝐵}) ⊆ 𝐴
2	1	sseli 4004	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ dom (𝐴 × {𝐵}) → 𝑋 ∈ 𝐴)
3		fvconstdomi.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	3	fvconst2 7241	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → ((𝐴 × {𝐵})‘𝑋) = 𝐵)
5	2, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ dom (𝐴 × {𝐵}) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝑋) = 𝐵)
6		domrefg 9047	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 ≼ 𝐵)
7	3, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝐵 ≼ 𝐵
8	5, 7	eqbrtrdi 5205	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ dom (𝐴 × {𝐵}) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝑋) ≼ 𝐵)
9		ndmfv 6955	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ dom (𝐴 × {𝐵}) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝑋) = ∅)
10	3	0dom 9172	. . 3 ⊢ ∅ ≼ 𝐵
11	9, 10	eqbrtrdi 5205	. 2 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ dom (𝐴 × {𝐵}) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝑋) ≼ 𝐵)
12	8, 11	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝐴 × {𝐵})‘𝑋) ≼ 𝐵

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  ∅c0 4352  {csn 4648   class class class wbr 5166   × cxp 5698  dom cdm 5700  ‘cfv 6573   ≼ cdom 9001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-en 9004  df-dom 9005

This theorem is referenced by:  f1omoALT  48575