Theorem fvconstdomi 49382

Description: A constant function's value is dominated by the constant. (An artifact of our function value definition.) (Contributed by Zhi Wang, 18-Sep-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvconstdomi.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvconstdomi	⊢ ((𝐴 × {𝐵})‘𝑋) ≼ 𝐵

Proof of Theorem fvconstdomi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmxpss 6122	. . . . 5 ⊢ dom (𝐴 × {𝐵}) ⊆ 𝐴
2	1	sseli 3911	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ dom (𝐴 × {𝐵}) → 𝑋 ∈ 𝐴)
3		fvconstdomi.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	3	fvconst2 7148	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → ((𝐴 × {𝐵})‘𝑋) = 𝐵)
5	2, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ dom (𝐴 × {𝐵}) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝑋) = 𝐵)
6		domrefg 8924	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 ≼ 𝐵)
7	3, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝐵 ≼ 𝐵
8	5, 7	eqbrtrdi 5111	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ dom (𝐴 × {𝐵}) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝑋) ≼ 𝐵)
9		ndmfv 6859	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ dom (𝐴 × {𝐵}) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝑋) = ∅)
10	3	0dom 9035	. . 3 ⊢ ∅ ≼ 𝐵
11	9, 10	eqbrtrdi 5111	. 2 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ dom (𝐴 × {𝐵}) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝑋) ≼ 𝐵)
12	8, 11	pm2.61i 183	1 ⊢ ((𝐴 × {𝐵})‘𝑋) ≼ 𝐵

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431  ∅c0 4261  {csn 4555   class class class wbr 5072   × cxp 5616  dom cdm 5618  ‘cfv 6485   ≼ cdom 8881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-en 8884  df-dom 8885

This theorem is referenced by:  f1omoALT  49385