Theorem fvconstdomi 47714

Description: A constant function's value is dominated by the constant. (An artifact of our function value definition.) (Contributed by Zhi Wang, 18-Sep-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvconstdomi.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvconstdomi	⊢ ((𝐴 × {𝐵})‘𝑋) ≼ 𝐵

Proof of Theorem fvconstdomi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmxpss 6160	. . . . 5 ⊢ dom (𝐴 × {𝐵}) ⊆ 𝐴
2	1	sseli 3970	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ dom (𝐴 × {𝐵}) → 𝑋 ∈ 𝐴)
3		fvconstdomi.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	3	fvconst2 7197	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → ((𝐴 × {𝐵})‘𝑋) = 𝐵)
5	2, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ dom (𝐴 × {𝐵}) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝑋) = 𝐵)
6		domrefg 8979	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 ≼ 𝐵)
7	3, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝐵 ≼ 𝐵
8	5, 7	eqbrtrdi 5177	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ dom (𝐴 × {𝐵}) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝑋) ≼ 𝐵)
9		ndmfv 6916	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ dom (𝐴 × {𝐵}) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝑋) = ∅)
10	3	0dom 9102	. . 3 ⊢ ∅ ≼ 𝐵
11	9, 10	eqbrtrdi 5177	. 2 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ dom (𝐴 × {𝐵}) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝑋) ≼ 𝐵)
12	8, 11	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝐴 × {𝐵})‘𝑋) ≼ 𝐵

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466  ∅c0 4314  {csn 4620   class class class wbr 5138   × cxp 5664  dom cdm 5666  ‘cfv 6533   ≼ cdom 8933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-en 8936  df-dom 8937

This theorem is referenced by:  f1omoALT  47716