Theorem fvconstdomi 49805

Description: A constant function's value is dominated by the constant. (An artifact of our function value definition.) (Contributed by Zhi Wang, 18-Sep-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvconstdomi.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvconstdomi	⊢ ((𝐴 × {𝐵})‘𝑋) ≼ 𝐵

Proof of Theorem fvconstdomi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmxpss 6168	. . . . 5 ⊢ dom (𝐴 × {𝐵}) ⊆ 𝐴
2	1	sseli 3930	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ dom (𝐴 × {𝐵}) → 𝑋 ∈ 𝐴)
3		fvconstdomi.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	3	fvconst2 7206	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → ((𝐴 × {𝐵})‘𝑋) = 𝐵)
5	2, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ dom (𝐴 × {𝐵}) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝑋) = 𝐵)
6		domrefg 8996	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 ≼ 𝐵)
7	3, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝐵 ≼ 𝐵
8	5, 7	eqbrtrdi 5148	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ dom (𝐴 × {𝐵}) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝑋) ≼ 𝐵)
9		ndmfv 6914	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ dom (𝐴 × {𝐵}) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝑋) = ∅)
10	3	0dom 9108	. . 3 ⊢ ∅ ≼ 𝐵
11	9, 10	eqbrtrdi 5148	. 2 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ dom (𝐴 × {𝐵}) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝑋) ≼ 𝐵)
12	8, 11	pm2.61i 184	1 ⊢ ((𝐴 × {𝐵})‘𝑋) ≼ 𝐵

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453  ∅c0 4282  {csn 4587   class class class wbr 5107   × cxp 5657  dom cdm 5659  ‘cfv 6537   ≼ cdom 8953

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-en 8956  df-dom 8957

This theorem is used by:  f1omoALT  49808