Theorem fvpr0o 17522

Description: The value of a function with a domain of (at most) two elements. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fvpr0o	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅) = 𝐴)

Proof of Theorem fvpr0o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7865	. 2 ⊢ ∅ ∈ ω
2		1n0 8452	. . 3 ⊢ 1o ≠ ∅
3	2	necomi 2979	. 2 ⊢ ∅ ≠ 1o
4		fvpr1g 7164	. 2 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ≠ 1o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅) = 𝐴)
5	1, 3, 4	mp3an13 1454	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∅c0 4296  {cpr 4591  ⟨cop 4595  ‘cfv 6511  ωcom 7842  1_oc1o 8427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-res 5650  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519  df-om 7843  df-1o 8434

This theorem is referenced by:  fvprif  17524  xpsfeq  17526  xpsfrnel2  17527  xpsff1o  17530  xpsle  17542  dmdprdpr  19981  dprdpr  19982  xpstopnlem1  23696  xpstopnlem2  23698  xpsxmetlem  24267  xpsdsval  24269  xpsmet  24270