MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvpr0o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvpr0o 17442
Description: The value of a function with a domain of (at most) two elements. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2023.)
Assertion
Ref Expression
fvpr0o (𝐴𝑉 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅) = 𝐴)

Proof of Theorem fvpr0o
StepHypRef Expression
1 peano1 7826 . 2 ∅ ∈ ω
2 1n0 8435 . . 3 1o ≠ ∅
32necomi 2999 . 2 ∅ ≠ 1o
4 fvpr1g 7137 . 2 ((∅ ∈ ω ∧ 𝐴𝑉 ∧ ∅ ≠ 1o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅) = 𝐴)
51, 3, 4mp3an13 1453 1 (𝐴𝑉 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  c0 4283  {cpr 4589  cop 4593  cfv 6497  ωcom 7803  1oc1o 8406
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-res 5646  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-om 7804  df-1o 8413
This theorem is referenced by:  fvprif  17444  xpsfeq  17446  xpsfrnel2  17447  xpsff1o  17450  xpsle  17462  dmdprdpr  19829  dprdpr  19830  xpstopnlem1  23163  xpstopnlem2  23165  xpsxmetlem  23735  xpsdsval  23737  xpsmet  23738
  Copyright terms: Public domain W3C validator