Theorem fvpr0o 17743

Description: The value of a function with a domain of (at most) two elements. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fvpr0o	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅) = 𝐴)

Proof of Theorem fvpr0o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7907	. 2 ⊢ ∅ ∈ ω
2		1n0 8506	. . 3 ⊢ 1o ≠ ∅
3	2	necomi 3012	. 2 ⊢ ∅ ≠ 1o
4		fvpr1g 7202	. 2 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ≠ 1o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅) = 𝐴)
5	1, 3, 4	mp3an13 1481	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958  ∅c0 4280  {cpr 4589  ⟨cop 4837  ‘cfv 6546  ωcom 7884  1_oc1o 8480

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pr 5394

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3416  df-v 3455  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-opab 5170  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-res 5666  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fv 6554  df-om 7885  df-1o 8487

This theorem is used by:  fvprif  17745  xpsfeq  17747  xpsfrnel2  17748  xpsff1o  17751  xpsle  17763  dmdprdpr  20277  dprdpr  20278  xpstopnlem1  24140  xpstopnlem2  24142  xpsxmetlem  24710  xpsdsval  24712  xpsmet  24713