MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvpr0o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvpr0o 17606
Description: The value of a function with a domain of (at most) two elements. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2023.)
Assertion
Ref Expression
fvpr0o (𝐴𝑉 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅) = 𝐴)

Proof of Theorem fvpr0o
StepHypRef Expression
1 peano1 7911 . 2 ∅ ∈ ω
2 1n0 8525 . . 3 1o ≠ ∅
32necomi 2993 . 2 ∅ ≠ 1o
4 fvpr1g 7210 . 2 ((∅ ∈ ω ∧ 𝐴𝑉 ∧ ∅ ≠ 1o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅) = 𝐴)
51, 3, 4mp3an13 1451 1 (𝐴𝑉 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  c0 4339  {cpr 4633  cop 4637  cfv 6563  ωcom 7887  1oc1o 8498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-res 5701  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505
This theorem is referenced by:  fvprif  17608  xpsfeq  17610  xpsfrnel2  17611  xpsff1o  17614  xpsle  17626  dmdprdpr  20084  dprdpr  20085  xpstopnlem1  23833  xpstopnlem2  23835  xpsxmetlem  24405  xpsdsval  24407  xpsmet  24408
  Copyright terms: Public domain W3C validator