Theorem fvpr0o 17478

Description: The value of a function with a domain of (at most) two elements. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fvpr0o	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅) = 𝐴)

Proof of Theorem fvpr0o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7829	. 2 ⊢ ∅ ∈ ω
2		1n0 8413	. . 3 ⊢ 1o ≠ ∅
3	2	necomi 2984	. 2 ⊢ ∅ ≠ 1o
4		fvpr1g 7134	. 2 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ≠ 1o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅) = 𝐴)
5	1, 3, 4	mp3an13 1454	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∅c0 4283  {cpr 4580  ⟨cop 4584  ‘cfv 6490  ωcom 7806  1_oc1o 8388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-res 5634  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fv 6498  df-om 7807  df-1o 8395

This theorem is referenced by:  fvprif  17480  xpsfeq  17482  xpsfrnel2  17483  xpsff1o  17486  xpsle  17498  dmdprdpr  19978  dprdpr  19979  xpstopnlem1  23751  xpstopnlem2  23753  xpsxmetlem  24321  xpsdsval  24323  xpsmet  24324