Theorem fvpr0o 17589

Description: The value of a function with a domain of (at most) two elements. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fvpr0o	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅) = 𝐴)

Proof of Theorem fvpr0o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7869	. 2 ⊢ ∅ ∈ ω
2		1n0 8456	. . 3 ⊢ 1o ≠ ∅
3	2	necomi 3011	. 2 ⊢ ∅ ≠ 1o
4		fvpr1g 7174	. 2 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ≠ 1o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅) = 𝐴)
5	1, 3, 4	mp3an13 1473	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘∅) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∅c0 4285  {cpr 4584  ⟨cop 4588  ‘cfv 6521  ωcom 7846  1_oc1o 8430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-res 5659  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fv 6529  df-om 7847  df-1o 8437

This theorem is referenced by:  fvprif  17591  xpsfeq  17593  xpsfrnel2  17594  xpsff1o  17597  xpsle  17609  dmdprdpr  20091  dprdpr  20092  xpstopnlem1  23869  xpstopnlem2  23871  xpsxmetlem  24439  xpsdsval  24441  xpsmet  24442