Theorem cvmliftlem4 34768

Description: Lemma for cvmlift 34779. The function 𝑄 will be our lifted path, defined piecewise on each section [(𝑀 − 1) / 𝑁, 𝑀 / 𝑁] for 𝑀 ∈ (1...𝑁). For 𝑀 = 0, it is a "seed" value which makes the rest of the recursion work, a singleton function mapping 0 to 𝑃. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmliftlem.1	⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
cvmliftlem.b	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
cvmliftlem.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
cvmliftlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmliftlem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
cvmliftlem.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
cvmliftlem.e	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘0))
cvmliftlem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
cvmliftlem.t	⊢ (𝜑 → 𝑇:(1...𝑁)⟶∪ 𝑗 ∈ 𝐽 ({𝑗} × (𝑆‘𝑗)))
cvmliftlem.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑘)))
cvmliftlem.l	⊢ 𝐿 = (topGen‘ran (,))
cvmliftlem.q	⊢ 𝑄 = seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))

Assertion

Ref	Expression
cvmliftlem4	⊢ (𝑄‘0) = {⟨0, 𝑃⟩}

Distinct variable groups:   𝑣,𝑏,𝑧,𝐵   𝑗,𝑏,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑥,𝐹,𝑣,𝑧   𝑧,𝐿   𝑃,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐶,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑧   𝜑,𝑗,𝑠,𝑥,𝑧   𝑁,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑆,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑗,𝑋   𝐺,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑇,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐽,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑄,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,𝑘,𝑚,𝑏)   𝐵(𝑥,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠)   𝐶(𝑥,𝑚)   𝑃(𝑗,𝑠)   𝑄(𝑗,𝑠)   𝑆(𝑚)   𝐽(𝑚)   𝐿(𝑥,𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)   𝑁(𝑗,𝑠)   𝑋(𝑥,𝑧,𝑣,𝑢,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cvmliftlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmliftlem.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))
2	1	fveq1i 6882	. . . 4 ⊢ (𝑄‘0) = (seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))‘0)
3		0z 12566	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		seq1 13976	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → (seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))‘0) = ((( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩})‘0))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))‘0) = ((( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩})‘0)
6	2, 5	eqtri 2752	. . 3 ⊢ (𝑄‘0) = ((( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩})‘0)
7		fnresi 6669	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ℕ) Fn ℕ
8		c0ex 11205	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
9		snex 5421	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 𝑃⟩} ∈ V
10	8, 9	fnsn 6596	. . . 4 ⊢ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩} Fn {0}
11		0nnn 12245	. . . . . 6 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
12		disjsn 4707	. . . . . 6 ⊢ ((ℕ ∩ {0}) = ∅ ↔ ¬ 0 ∈ ℕ)
13	11, 12	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ (ℕ ∩ {0}) = ∅
14	8	snid 4656	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0}
15	13, 14	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ ((ℕ ∩ {0}) = ∅ ∧ 0 ∈ {0})
16		fvun2 6973	. . . 4 ⊢ ((( I ↾ ℕ) Fn ℕ ∧ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩} Fn {0} ∧ ((ℕ ∩ {0}) = ∅ ∧ 0 ∈ {0})) → ((( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩})‘0) = ({⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}‘0))
17	7, 10, 15, 16	mp3an 1457	. . 3 ⊢ ((( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩})‘0) = ({⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}‘0)
18	6, 17	eqtri 2752	. 2 ⊢ (𝑄‘0) = ({⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}‘0)
19	8, 9	fvsn 7171	. 2 ⊢ ({⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}‘0) = {⟨0, 𝑃⟩}
20	18, 19	eqtri 2752	1 ⊢ (𝑄‘0) = {⟨0, 𝑃⟩}

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3053  {crab 3424  Vcvv 3466   ∖ cdif 3937   ∪ cun 3938   ∩ cin 3939   ⊆ wss 3940  ∅c0 4314  𝒫 cpw 4594  {csn 4620  ⟨cop 4626  ∪ cuni 4899  ∪ ciun 4987   ↦ cmpt 5221   I cid 5563   × cxp 5664  ^◡ccnv 5665  ran crn 5667   ↾ cres 5668   “ cima 5669   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  ℩crio 7356  (class class class)co 7401   ∈ cmpo 7403  1^st c1st 7966  2^nd c2nd 7967  0cc0 11106  1c1 11107   − cmin 11441   / cdiv 11868  ℕcn 12209  ℤcz 12555  (,)cioo 13321  [,]cicc 13324  ...cfz 13481  seqcseq 13963   ↾_t crest 17365  topGenctg 17382   Cn ccn 23050  Homeochmeo 23579  IIcii 24717   CovMap ccvm 34735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-seq 13964

This theorem is referenced by:  cvmliftlem7  34771  cvmliftlem13  34776