Theorem cvmliftlem4 35470

Description: Lemma for cvmlift 35481. The function 𝑄 will be our lifted path, defined piecewise on each section [(𝑀 − 1) / 𝑁, 𝑀 / 𝑁] for 𝑀 ∈ (1...𝑁). For 𝑀 = 0, it is a "seed" value which makes the rest of the recursion work, a singleton function mapping 0 to 𝑃. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmliftlem.1	⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
cvmliftlem.b	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
cvmliftlem.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
cvmliftlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmliftlem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
cvmliftlem.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
cvmliftlem.e	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘0))
cvmliftlem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
cvmliftlem.t	⊢ (𝜑 → 𝑇:(1...𝑁)⟶∪ 𝑗 ∈ 𝐽 ({𝑗} × (𝑆‘𝑗)))
cvmliftlem.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐺 “ (((𝑘 − 1) / 𝑁)[,](𝑘 / 𝑁))) ⊆ (1st ‘(𝑇‘𝑘)))
cvmliftlem.l	⊢ 𝐿 = (topGen‘ran (,))
cvmliftlem.q	⊢ 𝑄 = seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))

Assertion

Ref	Expression
cvmliftlem4	⊢ (𝑄‘0) = {⟨0, 𝑃⟩}

Distinct variable groups:   𝑣,𝑏,𝑧,𝐵   𝑗,𝑏,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑥,𝐹,𝑣,𝑧   𝑧,𝐿   𝑃,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐶,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑧   𝜑,𝑗,𝑠,𝑥,𝑧   𝑁,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑆,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑗,𝑋   𝐺,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑇,𝑏,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐽,𝑏,𝑗,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑄,𝑏,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,𝑘,𝑚,𝑏)   𝐵(𝑥,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠)   𝐶(𝑥,𝑚)   𝑃(𝑗,𝑠)   𝑄(𝑗,𝑠)   𝑆(𝑚)   𝐽(𝑚)   𝐿(𝑥,𝑣,𝑢,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)   𝑁(𝑗,𝑠)   𝑋(𝑥,𝑧,𝑣,𝑢,𝑘,𝑚,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cvmliftlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmliftlem.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))
2	1	fveq1i 6841	. . . 4 ⊢ (𝑄‘0) = (seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))‘0)
3		0z 12535	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		seq1 13976	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → (seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))‘0) = ((( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩})‘0))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (seq0((𝑥 ∈ V, 𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧 ∈ (((𝑚 − 1) / 𝑁)[,](𝑚 / 𝑁)) ↦ (◡(𝐹 ↾ (℩𝑏 ∈ (2nd ‘(𝑇‘𝑚))(𝑥‘((𝑚 − 1) / 𝑁)) ∈ 𝑏))‘(𝐺‘𝑧)))), (( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}))‘0) = ((( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩})‘0)
6	2, 5	eqtri 2759	. . 3 ⊢ (𝑄‘0) = ((( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩})‘0)
7		fnresi 6627	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ℕ) Fn ℕ
8		c0ex 11138	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
9		snex 5381	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 𝑃⟩} ∈ V
10	8, 9	fnsn 6556	. . . 4 ⊢ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩} Fn {0}
11		0nnn 12213	. . . . . 6 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
12		disjsn 4655	. . . . . 6 ⊢ ((ℕ ∩ {0}) = ∅ ↔ ¬ 0 ∈ ℕ)
13	11, 12	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ (ℕ ∩ {0}) = ∅
14	8	snid 4606	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0}
15	13, 14	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ ((ℕ ∩ {0}) = ∅ ∧ 0 ∈ {0})
16		fvun2 6932	. . . 4 ⊢ ((( I ↾ ℕ) Fn ℕ ∧ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩} Fn {0} ∧ ((ℕ ∩ {0}) = ∅ ∧ 0 ∈ {0})) → ((( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩})‘0) = ({⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}‘0))
17	7, 10, 15, 16	mp3an 1464	. . 3 ⊢ ((( I ↾ ℕ) ∪ {⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩})‘0) = ({⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}‘0)
18	6, 17	eqtri 2759	. 2 ⊢ (𝑄‘0) = ({⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}‘0)
19	8, 9	fvsn 7136	. 2 ⊢ ({⟨0, {⟨0, 𝑃⟩}⟩}‘0) = {⟨0, 𝑃⟩}
20	18, 19	eqtri 2759	1 ⊢ (𝑄‘0) = {⟨0, 𝑃⟩}

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  {crab 3389  Vcvv 3429   ∖ cdif 3886   ∪ cun 3887   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  𝒫 cpw 4541  {csn 4567  ⟨cop 4573  ∪ cuni 4850  ∪ ciun 4933   ↦ cmpt 5166   I cid 5525   × cxp 5629  ^◡ccnv 5630  ran crn 5632   ↾ cres 5633   “ cima 5634   Fn wfn 6493  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  ℩crio 7323  (class class class)co 7367   ∈ cmpo 7369  1^st c1st 7940  2^nd c2nd 7941  0cc0 11038  1c1 11039   − cmin 11377   / cdiv 11807  ℕcn 12174  ℤcz 12524  (,)cioo 13298  [,]cicc 13301  ...cfz 13461  seqcseq 13963   ↾_t crest 17383  topGenctg 17400   Cn ccn 23189  Homeochmeo 23718  IIcii 24842   CovMap ccvm 35437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-seq 13964

This theorem is referenced by:  cvmliftlem7  35473  cvmliftlem13  35478