Theorem mndtcco 47967

Description: The composition of the category built from a monoid is the monoid operation. (Contributed by Zhi Wang, 22-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndtcbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
mndtcbas.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
mndtcbas.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
mndtchom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mndtchom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
mndtcco.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
mndtcco.o	⊢ (𝜑 → · = (comp‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
mndtcco	⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍) = (+g‘𝑀))

Proof of Theorem mndtcco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndtcco.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → · = (comp‘𝐶))
2		mndtcbas.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
3		mndtcbas.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
4	2, 3	mndtcval 47961	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}⟩})
5		catstr 17918	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}⟩} Struct ⟨1, ;15⟩
6		ccoid 17365	. . . . 5 ⊢ comp = Slot (comp‘ndx)
7		snsstp3 4816	. . . . 5 ⊢ {⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}⟩}
8		snex 5424	. . . . . 6 ⊢ {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩} ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩} ∈ V)
10		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
11	4, 5, 6, 7, 9, 10	strfv3 17144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (comp‘𝐶) = {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩})
12	1, 11	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → · = {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩})
13		mndtcbas.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
14		mndtchom.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
15	2, 3, 13, 14	mndtcob 47964	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑀)
16		mndtchom.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
17	2, 3, 13, 16	mndtcob 47964	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = 𝑀)
18	15, 17	opeq12d 4876	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ = ⟨𝑀, 𝑀⟩)
19		mndtcco.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
20	2, 3, 13, 19	mndtcob 47964	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = 𝑀)
21	12, 18, 20	oveq123d 7425	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍) = (⟨𝑀, 𝑀⟩{⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}𝑀))
22		df-ov 7407	. . 3 ⊢ (⟨𝑀, 𝑀⟩{⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}𝑀) = ({⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}‘⟨⟨𝑀, 𝑀⟩, 𝑀⟩)
23		df-ot 4632	. . . 4 ⊢ ⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩ = ⟨⟨𝑀, 𝑀⟩, 𝑀⟩
24	23	fveq2i 6887	. . 3 ⊢ ({⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}‘⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩) = ({⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}‘⟨⟨𝑀, 𝑀⟩, 𝑀⟩)
25		otex 5458	. . . 4 ⊢ ⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩ ∈ V
26		fvex 6897	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑀) ∈ V
27	25, 26	fvsn 7174	. . 3 ⊢ ({⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}‘⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩) = (+g‘𝑀)
28	22, 24, 27	3eqtr2i 2760	. 2 ⊢ (⟨𝑀, 𝑀⟩{⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}𝑀) = (+g‘𝑀)
29	21, 28	eqtrdi 2782	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍) = (+g‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  {csn 4623  {ctp 4627  ⟨cop 4629  ⟨cotp 4631  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  1c1 11110  5c5 12271  ;cdc 12678  ndxcnx 17132  Basecbs 17150  +_gcplusg 17203  Hom chom 17214  compcco 17215  Mndcmnd 18664  MndToCatcmndtc 47959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-hom 17227  df-cco 17228  df-mndtc 47960

This theorem is referenced by:  mndtcco2  47968  mndtccatid  47969