Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mndtcco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mndtcco 48894
Description: The composition of the category built from a monoid is the monoid operation. (Contributed by Zhi Wang, 22-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mndtcbas.c (𝜑𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
mndtcbas.m (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
mndtcbas.b (𝜑𝐵 = (Base‘𝐶))
mndtchom.x (𝜑𝑋𝐵)
mndtchom.y (𝜑𝑌𝐵)
mndtcco.z (𝜑𝑍𝐵)
mndtcco.o (𝜑· = (comp‘𝐶))
Assertion
Ref Expression
mndtcco (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌· 𝑍) = (+g𝑀))

Proof of Theorem mndtcco
StepHypRef Expression
1 mndtcco.o . . . 4 (𝜑· = (comp‘𝐶))
2 mndtcbas.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
3 mndtcbas.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
42, 3mndtcval 48888 . . . . 5 (𝜑𝐶 = {⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩}⟩})
5 catstr 18013 . . . . 5 {⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩}⟩} Struct ⟨1, 15⟩
6 ccoid 17460 . . . . 5 comp = Slot (comp‘ndx)
7 snsstp3 4823 . . . . 5 {⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩}⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩}⟩}
8 snex 5442 . . . . . 6 {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩} ∈ V
98a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩} ∈ V)
10 eqid 2735 . . . . 5 (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
114, 5, 6, 7, 9, 10strfv3 17239 . . . 4 (𝜑 → (comp‘𝐶) = {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩})
121, 11eqtrd 2775 . . 3 (𝜑· = {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩})
13 mndtcbas.b . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐶))
14 mndtchom.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
152, 3, 13, 14mndtcob 48891 . . . 4 (𝜑𝑋 = 𝑀)
16 mndtchom.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝐵)
172, 3, 13, 16mndtcob 48891 . . . 4 (𝜑𝑌 = 𝑀)
1815, 17opeq12d 4886 . . 3 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ = ⟨𝑀, 𝑀⟩)
19 mndtcco.z . . . 4 (𝜑𝑍𝐵)
202, 3, 13, 19mndtcob 48891 . . 3 (𝜑𝑍 = 𝑀)
2112, 18, 20oveq123d 7452 . 2 (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌· 𝑍) = (⟨𝑀, 𝑀⟩{⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩}𝑀))
22 df-ov 7434 . . 3 (⟨𝑀, 𝑀⟩{⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩}𝑀) = ({⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩}‘⟨⟨𝑀, 𝑀⟩, 𝑀⟩)
23 df-ot 4640 . . . 4 𝑀, 𝑀, 𝑀⟩ = ⟨⟨𝑀, 𝑀⟩, 𝑀
2423fveq2i 6910 . . 3 ({⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩}‘⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩) = ({⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩}‘⟨⟨𝑀, 𝑀⟩, 𝑀⟩)
25 otex 5476 . . . 4 𝑀, 𝑀, 𝑀⟩ ∈ V
26 fvex 6920 . . . 4 (+g𝑀) ∈ V
2725, 26fvsn 7201 . . 3 ({⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩}‘⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩) = (+g𝑀)
2822, 24, 273eqtr2i 2769 . 2 (⟨𝑀, 𝑀⟩{⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩}𝑀) = (+g𝑀)
2921, 28eqtrdi 2791 1 (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌· 𝑍) = (+g𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  {csn 4631  {ctp 4635  cop 4637  cotp 4639  cfv 6563  (class class class)co 7431  1c1 11154  5c5 12322  cdc 12731  ndxcnx 17227  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  Hom chom 17309  compcco 17310  Mndcmnd 18760  MndToCatcmndtc 48886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-hom 17322  df-cco 17323  df-mndtc 48887
This theorem is referenced by:  mndtcco2  48895  mndtccatid  48896  oppgoppcco  48900
  Copyright terms: Public domain W3C validator