Theorem mndtcco 48175

Description: The composition of the category built from a monoid is the monoid operation. (Contributed by Zhi Wang, 22-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndtcbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
mndtcbas.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
mndtcbas.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
mndtchom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mndtchom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
mndtcco.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
mndtcco.o	⊢ (𝜑 → · = (comp‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
mndtcco	⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍) = (+g‘𝑀))

Proof of Theorem mndtcco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndtcco.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → · = (comp‘𝐶))
2		mndtcbas.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
3		mndtcbas.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
4	2, 3	mndtcval 48169	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}⟩})
5		catstr 17955	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}⟩} Struct ⟨1, ;15⟩
6		ccoid 17402	. . . . 5 ⊢ comp = Slot (comp‘ndx)
7		snsstp3 4826	. . . . 5 ⊢ {⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}⟩}
8		snex 5437	. . . . . 6 ⊢ {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩} ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩} ∈ V)
10		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
11	4, 5, 6, 7, 9, 10	strfv3 17181	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (comp‘𝐶) = {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩})
12	1, 11	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → · = {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩})
13		mndtcbas.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
14		mndtchom.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
15	2, 3, 13, 14	mndtcob 48172	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑀)
16		mndtchom.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
17	2, 3, 13, 16	mndtcob 48172	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = 𝑀)
18	15, 17	opeq12d 4886	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ = ⟨𝑀, 𝑀⟩)
19		mndtcco.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
20	2, 3, 13, 19	mndtcob 48172	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = 𝑀)
21	12, 18, 20	oveq123d 7447	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍) = (⟨𝑀, 𝑀⟩{⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}𝑀))
22		df-ov 7429	. . 3 ⊢ (⟨𝑀, 𝑀⟩{⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}𝑀) = ({⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}‘⟨⟨𝑀, 𝑀⟩, 𝑀⟩)
23		df-ot 4641	. . . 4 ⊢ ⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩ = ⟨⟨𝑀, 𝑀⟩, 𝑀⟩
24	23	fveq2i 6905	. . 3 ⊢ ({⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}‘⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩) = ({⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}‘⟨⟨𝑀, 𝑀⟩, 𝑀⟩)
25		otex 5471	. . . 4 ⊢ ⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩ ∈ V
26		fvex 6915	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑀) ∈ V
27	25, 26	fvsn 7196	. . 3 ⊢ ({⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}‘⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩) = (+g‘𝑀)
28	22, 24, 27	3eqtr2i 2762	. 2 ⊢ (⟨𝑀, 𝑀⟩{⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}𝑀) = (+g‘𝑀)
29	21, 28	eqtrdi 2784	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍) = (+g‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473  {csn 4632  {ctp 4636  ⟨cop 4638  ⟨cotp 4640  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  1c1 11147  5c5 12308  ;cdc 12715  ndxcnx 17169  Basecbs 17187  +_gcplusg 17240  Hom chom 17251  compcco 17252  Mndcmnd 18701  MndToCatcmndtc 48167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-hom 17264  df-cco 17265  df-mndtc 48168

This theorem is referenced by:  mndtcco2  48176  mndtccatid  48177