Theorem mndtcco 49247

Description: The composition of the category built from a monoid is the monoid operation. (Contributed by Zhi Wang, 22-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndtcbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
mndtcbas.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
mndtcbas.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
mndtchom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mndtchom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
mndtcco.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
mndtcco.o	⊢ (𝜑 → · = (comp‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
mndtcco	⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍) = (+g‘𝑀))

Proof of Theorem mndtcco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndtcco.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → · = (comp‘𝐶))
2		mndtcbas.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
3		mndtcbas.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
4	2, 3	mndtcval 49241	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}⟩})
5		catstr 17958	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}⟩} Struct ⟨1, ;15⟩
6		ccoid 17413	. . . . 5 ⊢ comp = Slot (comp‘ndx)
7		snsstp3 4791	. . . . 5 ⊢ {⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}⟩}
8		snex 5403	. . . . . 6 ⊢ {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩} ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩} ∈ V)
10		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
11	4, 5, 6, 7, 9, 10	strfv3 17208	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (comp‘𝐶) = {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩})
12	1, 11	eqtrd 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → · = {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩})
13		mndtcbas.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
14		mndtchom.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
15	2, 3, 13, 14	mndtcob 49244	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑀)
16		mndtchom.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
17	2, 3, 13, 16	mndtcob 49244	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = 𝑀)
18	15, 17	opeq12d 4854	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ = ⟨𝑀, 𝑀⟩)
19		mndtcco.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
20	2, 3, 13, 19	mndtcob 49244	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = 𝑀)
21	12, 18, 20	oveq123d 7420	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍) = (⟨𝑀, 𝑀⟩{⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}𝑀))
22		df-ov 7402	. . 3 ⊢ (⟨𝑀, 𝑀⟩{⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}𝑀) = ({⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}‘⟨⟨𝑀, 𝑀⟩, 𝑀⟩)
23		df-ot 4608	. . . 4 ⊢ ⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩ = ⟨⟨𝑀, 𝑀⟩, 𝑀⟩
24	23	fveq2i 6875	. . 3 ⊢ ({⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}‘⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩) = ({⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}‘⟨⟨𝑀, 𝑀⟩, 𝑀⟩)
25		otex 5437	. . . 4 ⊢ ⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩ ∈ V
26		fvex 6885	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑀) ∈ V
27	25, 26	fvsn 7169	. . 3 ⊢ ({⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}‘⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩) = (+g‘𝑀)
28	22, 24, 27	3eqtr2i 2763	. 2 ⊢ (⟨𝑀, 𝑀⟩{⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}𝑀) = (+g‘𝑀)
29	21, 28	eqtrdi 2785	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍) = (+g‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3457  {csn 4599  {ctp 4603  ⟨cop 4605  ⟨cotp 4607  ‘cfv 6527  (class class class)co 7399  1c1 11122  5c5 12290  ;cdc 12700  ndxcnx 17197  Basecbs 17213  +_gcplusg 17256  Hom chom 17267  compcco 17268  Mndcmnd 18697  MndToCatcmndtc 49239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-tp 4604  df-op 4606  df-ot 4608  df-uni 4881  df-iun 4966  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-om 7856  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8474  df-er 8713  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12233  df-2 12295  df-3 12296  df-4 12297  df-5 12298  df-6 12299  df-7 12300  df-8 12301  df-9 12302  df-n0 12494  df-z 12581  df-dec 12701  df-uz 12845  df-fz 13514  df-struct 17151  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17214  df-hom 17280  df-cco 17281  df-mndtc 49240

This theorem is referenced by:  mndtcco2  49248  mndtccatid  49249  oppgoppcco  49253