Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mndtcco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mndtcco 49237
Description: The composition of the category built from a monoid is the monoid operation. (Contributed by Zhi Wang, 22-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mndtcbas.c (𝜑𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
mndtcbas.m (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
mndtcbas.b (𝜑𝐵 = (Base‘𝐶))
mndtchom.x (𝜑𝑋𝐵)
mndtchom.y (𝜑𝑌𝐵)
mndtcco.z (𝜑𝑍𝐵)
mndtcco.o (𝜑· = (comp‘𝐶))
Assertion
Ref Expression
mndtcco (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌· 𝑍) = (+g𝑀))

Proof of Theorem mndtcco
StepHypRef Expression
1 mndtcco.o . . . 4 (𝜑· = (comp‘𝐶))
2 mndtcbas.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
3 mndtcbas.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
42, 3mndtcval 49231 . . . . 5 (𝜑𝐶 = {⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩}⟩})
5 catstr 18006 . . . . 5 {⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩}⟩} Struct ⟨1, 15⟩
6 ccoid 17459 . . . . 5 comp = Slot (comp‘ndx)
7 snsstp3 4817 . . . . 5 {⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩}⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩}⟩}
8 snex 5435 . . . . . 6 {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩} ∈ V
98a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩} ∈ V)
10 eqid 2736 . . . . 5 (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
114, 5, 6, 7, 9, 10strfv3 17242 . . . 4 (𝜑 → (comp‘𝐶) = {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩})
121, 11eqtrd 2776 . . 3 (𝜑· = {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩})
13 mndtcbas.b . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐶))
14 mndtchom.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
152, 3, 13, 14mndtcob 49234 . . . 4 (𝜑𝑋 = 𝑀)
16 mndtchom.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝐵)
172, 3, 13, 16mndtcob 49234 . . . 4 (𝜑𝑌 = 𝑀)
1815, 17opeq12d 4880 . . 3 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ = ⟨𝑀, 𝑀⟩)
19 mndtcco.z . . . 4 (𝜑𝑍𝐵)
202, 3, 13, 19mndtcob 49234 . . 3 (𝜑𝑍 = 𝑀)
2112, 18, 20oveq123d 7453 . 2 (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌· 𝑍) = (⟨𝑀, 𝑀⟩{⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩}𝑀))
22 df-ov 7435 . . 3 (⟨𝑀, 𝑀⟩{⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩}𝑀) = ({⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩}‘⟨⟨𝑀, 𝑀⟩, 𝑀⟩)
23 df-ot 4634 . . . 4 𝑀, 𝑀, 𝑀⟩ = ⟨⟨𝑀, 𝑀⟩, 𝑀
2423fveq2i 6908 . . 3 ({⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩}‘⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩) = ({⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩}‘⟨⟨𝑀, 𝑀⟩, 𝑀⟩)
25 otex 5469 . . . 4 𝑀, 𝑀, 𝑀⟩ ∈ V
26 fvex 6918 . . . 4 (+g𝑀) ∈ V
2725, 26fvsn 7202 . . 3 ({⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩}‘⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩) = (+g𝑀)
2822, 24, 273eqtr2i 2770 . 2 (⟨𝑀, 𝑀⟩{⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩}𝑀) = (+g𝑀)
2921, 28eqtrdi 2792 1 (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌· 𝑍) = (+g𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2107  Vcvv 3479  {csn 4625  {ctp 4629  cop 4631  cotp 4633  cfv 6560  (class class class)co 7432  1c1 11157  5c5 12325  cdc 12735  ndxcnx 17231  Basecbs 17248  +gcplusg 17298  Hom chom 17309  compcco 17310  Mndcmnd 18748  MndToCatcmndtc 49229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-ot 4634  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-struct 17185  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-hom 17322  df-cco 17323  df-mndtc 49230
This theorem is referenced by:  mndtcco2  49238  mndtccatid  49239  oppgoppcco  49243
  Copyright terms: Public domain W3C validator