Theorem mndtcco 49867

Description: The composition of the category built from a monoid is the monoid operation. (Contributed by Zhi Wang, 22-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndtcbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
mndtcbas.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
mndtcbas.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
mndtchom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mndtchom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
mndtcco.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
mndtcco.o	⊢ (𝜑 → · = (comp‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
mndtcco	⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍) = (+g‘𝑀))

Proof of Theorem mndtcco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndtcco.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → · = (comp‘𝐶))
2		mndtcbas.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
3		mndtcbas.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
4	2, 3	mndtcval 49861	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}⟩})
5		catstr 17886	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}⟩} Struct ⟨1, ;15⟩
6		ccoid 17336	. . . . 5 ⊢ comp = Slot (comp‘ndx)
7		snsstp3 4773	. . . . 5 ⊢ {⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}⟩}
8		snex 5380	. . . . . 6 ⊢ {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩} ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩} ∈ V)
10		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
11	4, 5, 6, 7, 9, 10	strfv3 17133	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (comp‘𝐶) = {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩})
12	1, 11	eqtrd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → · = {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩})
13		mndtcbas.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
14		mndtchom.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
15	2, 3, 13, 14	mndtcob 49864	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑀)
16		mndtchom.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
17	2, 3, 13, 16	mndtcob 49864	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = 𝑀)
18	15, 17	opeq12d 4836	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ = ⟨𝑀, 𝑀⟩)
19		mndtcco.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
20	2, 3, 13, 19	mndtcob 49864	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = 𝑀)
21	12, 18, 20	oveq123d 7379	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍) = (⟨𝑀, 𝑀⟩{⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}𝑀))
22		df-ov 7361	. . 3 ⊢ (⟨𝑀, 𝑀⟩{⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}𝑀) = ({⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}‘⟨⟨𝑀, 𝑀⟩, 𝑀⟩)
23		df-ot 4588	. . . 4 ⊢ ⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩ = ⟨⟨𝑀, 𝑀⟩, 𝑀⟩
24	23	fveq2i 6836	. . 3 ⊢ ({⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}‘⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩) = ({⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}‘⟨⟨𝑀, 𝑀⟩, 𝑀⟩)
25		otex 5412	. . . 4 ⊢ ⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩ ∈ V
26		fvex 6846	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑀) ∈ V
27	25, 26	fvsn 7127	. . 3 ⊢ ({⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}‘⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩) = (+g‘𝑀)
28	22, 24, 27	3eqtr2i 2764	. 2 ⊢ (⟨𝑀, 𝑀⟩{⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}𝑀) = (+g‘𝑀)
29	21, 28	eqtrdi 2786	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍) = (+g‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3439  {csn 4579  {ctp 4583  ⟨cop 4585  ⟨cotp 4587  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  1c1 11029  5c5 12205  ;cdc 12609  ndxcnx 17122  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  Hom chom 17190  compcco 17191  Mndcmnd 18661  MndToCatcmndtc 49859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13426  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-hom 17203  df-cco 17204  df-mndtc 49860

This theorem is referenced by:  mndtcco2  49868  mndtccatid  49869  oppgoppcco  49873