Theorem mndtcco 46258

Description: The composition of the category built from a monoid is the monoid operation. (Contributed by Zhi Wang, 22-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndtcbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
mndtcbas.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
mndtcbas.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
mndtchom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mndtchom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
mndtcco.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
mndtcco.o	⊢ (𝜑 → · = (comp‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
mndtcco	⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍) = (+g‘𝑀))

Proof of Theorem mndtcco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndtcco.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → · = (comp‘𝐶))
2		mndtcbas.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
3		mndtcbas.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
4	2, 3	mndtcval 46252	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}⟩})
5		catstr 17590	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}⟩} Struct ⟨1, ;15⟩
6		ccoid 17043	. . . . 5 ⊢ comp = Slot (comp‘ndx)
7		snsstp3 4748	. . . . 5 ⊢ {⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}⟩}
8		snex 5349	. . . . . 6 ⊢ {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩} ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩} ∈ V)
10		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
11	4, 5, 6, 7, 9, 10	strfv3 16834	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (comp‘𝐶) = {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩})
12	1, 11	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → · = {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩})
13		mndtcbas.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
14		mndtchom.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
15	2, 3, 13, 14	mndtcob 46255	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑀)
16		mndtchom.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
17	2, 3, 13, 16	mndtcob 46255	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = 𝑀)
18	15, 17	opeq12d 4809	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ = ⟨𝑀, 𝑀⟩)
19		mndtcco.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
20	2, 3, 13, 19	mndtcob 46255	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = 𝑀)
21	12, 18, 20	oveq123d 7276	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍) = (⟨𝑀, 𝑀⟩{⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}𝑀))
22		df-ov 7258	. . 3 ⊢ (⟨𝑀, 𝑀⟩{⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}𝑀) = ({⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}‘⟨⟨𝑀, 𝑀⟩, 𝑀⟩)
23		df-ot 4567	. . . 4 ⊢ ⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩ = ⟨⟨𝑀, 𝑀⟩, 𝑀⟩
24	23	fveq2i 6759	. . 3 ⊢ ({⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}‘⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩) = ({⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}‘⟨⟨𝑀, 𝑀⟩, 𝑀⟩)
25		otex 5374	. . . 4 ⊢ ⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩ ∈ V
26		fvex 6769	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑀) ∈ V
27	25, 26	fvsn 7035	. . 3 ⊢ ({⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}‘⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩) = (+g‘𝑀)
28	22, 24, 27	3eqtr2i 2772	. 2 ⊢ (⟨𝑀, 𝑀⟩{⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}𝑀) = (+g‘𝑀)
29	21, 28	eqtrdi 2795	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ · 𝑍) = (+g‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  {csn 4558  {ctp 4562  ⟨cop 4564  ⟨cotp 4566  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  1c1 10803  5c5 11961  ;cdc 12366  ndxcnx 16822  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  Hom chom 16899  compcco 16900  Mndcmnd 18300  MndToCatcmndtc 46250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-hom 16912  df-cco 16913  df-mndtc 46251

This theorem is referenced by:  mndtcco2  46259  mndtccatid  46260