Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mndtcco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mndtcco 46372
Description: The composition of the category built from a monoid is the monoid operation. (Contributed by Zhi Wang, 22-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mndtcbas.c (𝜑𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
mndtcbas.m (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
mndtcbas.b (𝜑𝐵 = (Base‘𝐶))
mndtchom.x (𝜑𝑋𝐵)
mndtchom.y (𝜑𝑌𝐵)
mndtcco.z (𝜑𝑍𝐵)
mndtcco.o (𝜑· = (comp‘𝐶))
Assertion
Ref Expression
mndtcco (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌· 𝑍) = (+g𝑀))

Proof of Theorem mndtcco
StepHypRef Expression
1 mndtcco.o . . . 4 (𝜑· = (comp‘𝐶))
2 mndtcbas.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
3 mndtcbas.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
42, 3mndtcval 46366 . . . . 5 (𝜑𝐶 = {⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩}⟩})
5 catstr 17674 . . . . 5 {⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩}⟩} Struct ⟨1, 15⟩
6 ccoid 17124 . . . . 5 comp = Slot (comp‘ndx)
7 snsstp3 4751 . . . . 5 {⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩}⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩}⟩}
8 snex 5354 . . . . . 6 {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩} ∈ V
98a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩} ∈ V)
10 eqid 2738 . . . . 5 (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
114, 5, 6, 7, 9, 10strfv3 16906 . . . 4 (𝜑 → (comp‘𝐶) = {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩})
121, 11eqtrd 2778 . . 3 (𝜑· = {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩})
13 mndtcbas.b . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐶))
14 mndtchom.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
152, 3, 13, 14mndtcob 46369 . . . 4 (𝜑𝑋 = 𝑀)
16 mndtchom.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝐵)
172, 3, 13, 16mndtcob 46369 . . . 4 (𝜑𝑌 = 𝑀)
1815, 17opeq12d 4812 . . 3 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ = ⟨𝑀, 𝑀⟩)
19 mndtcco.z . . . 4 (𝜑𝑍𝐵)
202, 3, 13, 19mndtcob 46369 . . 3 (𝜑𝑍 = 𝑀)
2112, 18, 20oveq123d 7296 . 2 (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌· 𝑍) = (⟨𝑀, 𝑀⟩{⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩}𝑀))
22 df-ov 7278 . . 3 (⟨𝑀, 𝑀⟩{⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩}𝑀) = ({⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩}‘⟨⟨𝑀, 𝑀⟩, 𝑀⟩)
23 df-ot 4570 . . . 4 𝑀, 𝑀, 𝑀⟩ = ⟨⟨𝑀, 𝑀⟩, 𝑀
2423fveq2i 6777 . . 3 ({⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩}‘⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩) = ({⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩}‘⟨⟨𝑀, 𝑀⟩, 𝑀⟩)
25 otex 5380 . . . 4 𝑀, 𝑀, 𝑀⟩ ∈ V
26 fvex 6787 . . . 4 (+g𝑀) ∈ V
2725, 26fvsn 7053 . . 3 ({⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩}‘⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩) = (+g𝑀)
2822, 24, 273eqtr2i 2772 . 2 (⟨𝑀, 𝑀⟩{⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g𝑀)⟩}𝑀) = (+g𝑀)
2921, 28eqtrdi 2794 1 (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌· 𝑍) = (+g𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2106  Vcvv 3432  {csn 4561  {ctp 4565  cop 4567  cotp 4569  cfv 6433  (class class class)co 7275  1c1 10872  5c5 12031  cdc 12437  ndxcnx 16894  Basecbs 16912  +gcplusg 16962  Hom chom 16973  compcco 16974  Mndcmnd 18385  MndToCatcmndtc 46364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-hom 16986  df-cco 16987  df-mndtc 46365
This theorem is referenced by:  mndtcco2  46373  mndtccatid  46374
  Copyright terms: Public domain W3C validator