MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0ram Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0ram 16953
Description: The Ramsey number when 𝑀 = 0. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
0ram (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ (0 Ramsey 𝐹) = sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑅   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝑉
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem 0ram
Dummy variables 𝑏 𝑑 𝑧 𝑓 𝑐 𝑠 π‘Ž 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖}) = (π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})
2 0nn0 12487 . . . 4 0 ∈ β„•0
32a1i 11 . . 3 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ 0 ∈ β„•0)
4 simpl1 1192 . . 3 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
5 simpl3 1194 . . 3 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0)
65frnd 6726 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ ran 𝐹 βŠ† β„•0)
7 nn0ssz 12581 . . . . . 6 β„•0 βŠ† β„€
86, 7sstrdi 3995 . . . . 5 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ ran 𝐹 βŠ† β„€)
95fdmd 6729 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ dom 𝐹 = 𝑅)
10 simpl2 1193 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ 𝑅 β‰  βˆ…)
119, 10eqnetrd 3009 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ dom 𝐹 β‰  βˆ…)
12 dm0rn0 5925 . . . . . . 7 (dom 𝐹 = βˆ… ↔ ran 𝐹 = βˆ…)
1312necon3bii 2994 . . . . . 6 (dom 𝐹 β‰  βˆ… ↔ ran 𝐹 β‰  βˆ…)
1411, 13sylib 217 . . . . 5 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ ran 𝐹 β‰  βˆ…)
15 simpr 486 . . . . 5 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯)
16 suprzcl2 12922 . . . . 5 ((ran 𝐹 βŠ† β„€ ∧ ran 𝐹 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
178, 14, 15, 16syl3anc 1372 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
186, 17sseldd 3984 . . 3 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ β„•0)
191hashbc0 16938 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ V β†’ (𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})0) = {βˆ…})
2019elv 3481 . . . . . 6 (𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})0) = {βˆ…}
2120feq2i 6710 . . . . 5 (𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})0)βŸΆπ‘… ↔ 𝑓:{βˆ…}βŸΆπ‘…)
2221biimpi 215 . . . 4 (𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})0)βŸΆπ‘… β†’ 𝑓:{βˆ…}βŸΆπ‘…)
23 simprr 772 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ 𝑓:{βˆ…}βŸΆπ‘…)) β†’ 𝑓:{βˆ…}βŸΆπ‘…)
24 0ex 5308 . . . . . . 7 βˆ… ∈ V
2524snid 4665 . . . . . 6 βˆ… ∈ {βˆ…}
26 ffvelcdm 7084 . . . . . 6 ((𝑓:{βˆ…}βŸΆπ‘… ∧ βˆ… ∈ {βˆ…}) β†’ (π‘“β€˜βˆ…) ∈ 𝑅)
2723, 25, 26sylancl 587 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ 𝑓:{βˆ…}βŸΆπ‘…)) β†’ (π‘“β€˜βˆ…) ∈ 𝑅)
28 vex 3479 . . . . . . 7 𝑠 ∈ V
2928pwid 4625 . . . . . 6 𝑠 ∈ 𝒫 𝑠
3029a1i 11 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ 𝑓:{βˆ…}βŸΆπ‘…)) β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑠)
315adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ 𝑓:{βˆ…}βŸΆπ‘…)) β†’ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0)
3231, 27ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ 𝑓:{βˆ…}βŸΆπ‘…)) β†’ (πΉβ€˜(π‘“β€˜βˆ…)) ∈ β„•0)
3332nn0red 12533 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ 𝑓:{βˆ…}βŸΆπ‘…)) β†’ (πΉβ€˜(π‘“β€˜βˆ…)) ∈ ℝ)
3433rexrd 11264 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ 𝑓:{βˆ…}βŸΆπ‘…)) β†’ (πΉβ€˜(π‘“β€˜βˆ…)) ∈ ℝ*)
3518nn0red 12533 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
3635rexrd 11264 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
3736adantr 482 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ 𝑓:{βˆ…}βŸΆπ‘…)) β†’ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
38 hashxrcl 14317 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ V β†’ (β™―β€˜π‘ ) ∈ ℝ*)
3928, 38mp1i 13 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ 𝑓:{βˆ…}βŸΆπ‘…)) β†’ (β™―β€˜π‘ ) ∈ ℝ*)
408adantr 482 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ 𝑓:{βˆ…}βŸΆπ‘…)) β†’ ran 𝐹 βŠ† β„€)
4115adantr 482 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ 𝑓:{βˆ…}βŸΆπ‘…)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯)
4231ffnd 6719 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ 𝑓:{βˆ…}βŸΆπ‘…)) β†’ 𝐹 Fn 𝑅)
43 fnfvelrn 7083 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝑅 ∧ (π‘“β€˜βˆ…) ∈ 𝑅) β†’ (πΉβ€˜(π‘“β€˜βˆ…)) ∈ ran 𝐹)
4442, 27, 43syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ 𝑓:{βˆ…}βŸΆπ‘…)) β†’ (πΉβ€˜(π‘“β€˜βˆ…)) ∈ ran 𝐹)
45 suprzub 12923 . . . . . . 7 ((ran 𝐹 βŠ† β„€ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ (πΉβ€˜(π‘“β€˜βˆ…)) ∈ ran 𝐹) β†’ (πΉβ€˜(π‘“β€˜βˆ…)) ≀ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
4640, 41, 44, 45syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ 𝑓:{βˆ…}βŸΆπ‘…)) β†’ (πΉβ€˜(π‘“β€˜βˆ…)) ≀ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
47 simprl 770 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ 𝑓:{βˆ…}βŸΆπ‘…)) β†’ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (β™―β€˜π‘ ))
4834, 37, 39, 46, 47xrletrd 13141 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ 𝑓:{βˆ…}βŸΆπ‘…)) β†’ (πΉβ€˜(π‘“β€˜βˆ…)) ≀ (β™―β€˜π‘ ))
4925a1i 11 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ 𝑓:{βˆ…}βŸΆπ‘…)) β†’ βˆ… ∈ {βˆ…})
50 fvex 6905 . . . . . . . 8 (π‘“β€˜βˆ…) ∈ V
5150snid 4665 . . . . . . 7 (π‘“β€˜βˆ…) ∈ {(π‘“β€˜βˆ…)}
5251a1i 11 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ 𝑓:{βˆ…}βŸΆπ‘…)) β†’ (π‘“β€˜βˆ…) ∈ {(π‘“β€˜βˆ…)})
53 ffn 6718 . . . . . . 7 (𝑓:{βˆ…}βŸΆπ‘… β†’ 𝑓 Fn {βˆ…})
54 elpreima 7060 . . . . . . 7 (𝑓 Fn {βˆ…} β†’ (βˆ… ∈ (◑𝑓 β€œ {(π‘“β€˜βˆ…)}) ↔ (βˆ… ∈ {βˆ…} ∧ (π‘“β€˜βˆ…) ∈ {(π‘“β€˜βˆ…)})))
5523, 53, 543syl 18 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ 𝑓:{βˆ…}βŸΆπ‘…)) β†’ (βˆ… ∈ (◑𝑓 β€œ {(π‘“β€˜βˆ…)}) ↔ (βˆ… ∈ {βˆ…} ∧ (π‘“β€˜βˆ…) ∈ {(π‘“β€˜βˆ…)})))
5649, 52, 55mpbir2and 712 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ 𝑓:{βˆ…}βŸΆπ‘…)) β†’ βˆ… ∈ (◑𝑓 β€œ {(π‘“β€˜βˆ…)}))
57 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (𝑐 = (π‘“β€˜βˆ…) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜(π‘“β€˜βˆ…)))
5857breq1d 5159 . . . . . . 7 (𝑐 = (π‘“β€˜βˆ…) β†’ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘§) ↔ (πΉβ€˜(π‘“β€˜βˆ…)) ≀ (β™―β€˜π‘§)))
591hashbc0 16938 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ V β†’ (𝑧(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})0) = {βˆ…})
6059elv 3481 . . . . . . . . . 10 (𝑧(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})0) = {βˆ…}
6160sseq1i 4011 . . . . . . . . 9 ((𝑧(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})0) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐}) ↔ {βˆ…} βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐}))
6224snss 4790 . . . . . . . . 9 (βˆ… ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑐}) ↔ {βˆ…} βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐}))
6361, 62bitr4i 278 . . . . . . . 8 ((𝑧(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})0) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐}) ↔ βˆ… ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑐}))
64 sneq 4639 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = (π‘“β€˜βˆ…) β†’ {𝑐} = {(π‘“β€˜βˆ…)})
6564imaeq2d 6060 . . . . . . . . 9 (𝑐 = (π‘“β€˜βˆ…) β†’ (◑𝑓 β€œ {𝑐}) = (◑𝑓 β€œ {(π‘“β€˜βˆ…)}))
6665eleq2d 2820 . . . . . . . 8 (𝑐 = (π‘“β€˜βˆ…) β†’ (βˆ… ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑐}) ↔ βˆ… ∈ (◑𝑓 β€œ {(π‘“β€˜βˆ…)})))
6763, 66bitrid 283 . . . . . . 7 (𝑐 = (π‘“β€˜βˆ…) β†’ ((𝑧(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})0) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐}) ↔ βˆ… ∈ (◑𝑓 β€œ {(π‘“β€˜βˆ…)})))
6858, 67anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑐 = (π‘“β€˜βˆ…) β†’ (((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ (𝑧(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})0) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐})) ↔ ((πΉβ€˜(π‘“β€˜βˆ…)) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ βˆ… ∈ (◑𝑓 β€œ {(π‘“β€˜βˆ…)}))))
69 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑠 β†’ (β™―β€˜π‘§) = (β™―β€˜π‘ ))
7069breq2d 5161 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑠 β†’ ((πΉβ€˜(π‘“β€˜βˆ…)) ≀ (β™―β€˜π‘§) ↔ (πΉβ€˜(π‘“β€˜βˆ…)) ≀ (β™―β€˜π‘ )))
7170anbi1d 631 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑠 β†’ (((πΉβ€˜(π‘“β€˜βˆ…)) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ βˆ… ∈ (◑𝑓 β€œ {(π‘“β€˜βˆ…)})) ↔ ((πΉβ€˜(π‘“β€˜βˆ…)) ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ βˆ… ∈ (◑𝑓 β€œ {(π‘“β€˜βˆ…)}))))
7268, 71rspc2ev 3625 . . . . 5 (((π‘“β€˜βˆ…) ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑠 ∧ ((πΉβ€˜(π‘“β€˜βˆ…)) ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ βˆ… ∈ (◑𝑓 β€œ {(π‘“β€˜βˆ…)}))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘§ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ (𝑧(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})0) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐})))
7327, 30, 48, 56, 72syl112anc 1375 . . . 4 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ 𝑓:{βˆ…}βŸΆπ‘…)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘§ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ (𝑧(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})0) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐})))
7422, 73sylanr2 682 . . 3 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (β™―β€˜π‘ ) ∧ 𝑓:(𝑠(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})0)βŸΆπ‘…)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘§ ∈ 𝒫 𝑠((πΉβ€˜π‘) ≀ (β™―β€˜π‘§) ∧ (𝑧(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})0) βŠ† (◑𝑓 β€œ {𝑐})))
751, 3, 4, 5, 18, 74ramub 16946 . 2 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ (0 Ramsey 𝐹) ≀ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
76 ffn 6718 . . . . 5 (𝐹:π‘…βŸΆβ„•0 β†’ 𝐹 Fn 𝑅)
77 fvelrnb 6953 . . . . 5 (𝐹 Fn 𝑅 β†’ (sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜π‘) = sup(ran 𝐹, ℝ, < )))
785, 76, 773syl 18 . . . 4 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ (sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜π‘) = sup(ran 𝐹, ℝ, < )))
7917, 78mpbid 231 . . 3 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜π‘) = sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
802a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„•)) β†’ 0 ∈ β„•0)
81 simpll1 1213 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„•)) β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
82 simpll3 1215 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„•)) β†’ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0)
83 nnm1nn0 12513 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π‘) ∈ β„• β†’ ((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
8483ad2antll 728 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„•)) β†’ ((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
85 vex 3479 . . . . . . . . . . . . 13 𝑐 ∈ V
8624, 85f1osn 6874 . . . . . . . . . . . 12 {βŸ¨βˆ…, π‘βŸ©}:{βˆ…}–1-1-ontoβ†’{𝑐}
87 f1of 6834 . . . . . . . . . . . 12 ({βŸ¨βˆ…, π‘βŸ©}:{βˆ…}–1-1-ontoβ†’{𝑐} β†’ {βŸ¨βˆ…, π‘βŸ©}:{βˆ…}⟢{𝑐})
8886, 87ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 {βŸ¨βˆ…, π‘βŸ©}:{βˆ…}⟢{𝑐}
89 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„•)) β†’ 𝑐 ∈ 𝑅)
9089snssd 4813 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„•)) β†’ {𝑐} βŠ† 𝑅)
91 fss 6735 . . . . . . . . . . 11 (({βŸ¨βˆ…, π‘βŸ©}:{βˆ…}⟢{𝑐} ∧ {𝑐} βŠ† 𝑅) β†’ {βŸ¨βˆ…, π‘βŸ©}:{βˆ…}βŸΆπ‘…)
9288, 90, 91sylancr 588 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„•)) β†’ {βŸ¨βˆ…, π‘βŸ©}:{βˆ…}βŸΆπ‘…)
93 ovex 7442 . . . . . . . . . . . 12 (1...((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1)) ∈ V
941hashbc0 16938 . . . . . . . . . . . 12 ((1...((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1)) ∈ V β†’ ((1...((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1))(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})0) = {βˆ…})
9593, 94ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((1...((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1))(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})0) = {βˆ…}
9695feq2i 6710 . . . . . . . . . 10 ({βŸ¨βˆ…, π‘βŸ©}:((1...((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1))(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})0)βŸΆπ‘… ↔ {βŸ¨βˆ…, π‘βŸ©}:{βˆ…}βŸΆπ‘…)
9792, 96sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„•)) β†’ {βŸ¨βˆ…, π‘βŸ©}:((1...((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1))(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})0)βŸΆπ‘…)
9860sseq1i 4011 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})0) βŠ† (β—‘{βŸ¨βˆ…, π‘βŸ©} β€œ {𝑑}) ↔ {βˆ…} βŠ† (β—‘{βŸ¨βˆ…, π‘βŸ©} β€œ {𝑑}))
9924snss 4790 . . . . . . . . . . 11 (βˆ… ∈ (β—‘{βŸ¨βˆ…, π‘βŸ©} β€œ {𝑑}) ↔ {βˆ…} βŠ† (β—‘{βŸ¨βˆ…, π‘βŸ©} β€œ {𝑑}))
10098, 99bitr4i 278 . . . . . . . . . 10 ((𝑧(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})0) βŠ† (β—‘{βŸ¨βˆ…, π‘βŸ©} β€œ {𝑑}) ↔ βˆ… ∈ (β—‘{βŸ¨βˆ…, π‘βŸ©} β€œ {𝑑}))
101 fzfid 13938 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„•)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 βŠ† (1...((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1)))) β†’ (1...((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1)) ∈ Fin)
102 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„•)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 βŠ† (1...((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1)))) β†’ 𝑧 βŠ† (1...((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1)))
103 ssdomg 8996 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1...((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1)) ∈ Fin β†’ (𝑧 βŠ† (1...((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1)) β†’ 𝑧 β‰Ό (1...((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1))))
104101, 102, 103sylc 65 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„•)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 βŠ† (1...((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1)))) β†’ 𝑧 β‰Ό (1...((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1)))
105101, 102ssfid 9267 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„•)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 βŠ† (1...((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1)))) β†’ 𝑧 ∈ Fin)
106 hashdom 14339 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ Fin ∧ (1...((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1)) ∈ Fin) β†’ ((β™―β€˜π‘§) ≀ (β™―β€˜(1...((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1))) ↔ 𝑧 β‰Ό (1...((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1))))
107105, 101, 106syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„•)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 βŠ† (1...((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1)))) β†’ ((β™―β€˜π‘§) ≀ (β™―β€˜(1...((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1))) ↔ 𝑧 β‰Ό (1...((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1))))
108104, 107mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„•)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 βŠ† (1...((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1)))) β†’ (β™―β€˜π‘§) ≀ (β™―β€˜(1...((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1))))
10984adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„•)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 βŠ† (1...((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
110 hashfz1 14306 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1))) = ((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1))
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„•)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 βŠ† (1...((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1)))) β†’ (β™―β€˜(1...((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1))) = ((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1))
112108, 111breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„•)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 βŠ† (1...((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1)))) β†’ (β™―β€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1))
113 hashcl 14316 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π‘§) ∈ β„•0)
114105, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„•)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 βŠ† (1...((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1)))) β†’ (β™―β€˜π‘§) ∈ β„•0)
1155ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„•0)
116115adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„•)) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„•0)
117116adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„•)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 βŠ† (1...((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1)))) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„•0)
118 nn0ltlem1 12622 . . . . . . . . . . . . 13 (((β™―β€˜π‘§) ∈ β„•0 ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„•0) β†’ ((β™―β€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘) ↔ (β™―β€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1)))
119114, 117, 118syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„•)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 βŠ† (1...((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1)))) β†’ ((β™―β€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘) ↔ (β™―β€˜π‘§) ≀ ((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1)))
120112, 119mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„•)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 βŠ† (1...((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1)))) β†’ (β™―β€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘))
12124, 85fvsn 7179 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({βŸ¨βˆ…, π‘βŸ©}β€˜βˆ…) = 𝑐
122 f1ofn 6835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({βŸ¨βˆ…, π‘βŸ©}:{βˆ…}–1-1-ontoβ†’{𝑐} β†’ {βŸ¨βˆ…, π‘βŸ©} Fn {βˆ…})
123 elpreima 7060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({βŸ¨βˆ…, π‘βŸ©} Fn {βˆ…} β†’ (βˆ… ∈ (β—‘{βŸ¨βˆ…, π‘βŸ©} β€œ {𝑑}) ↔ (βˆ… ∈ {βˆ…} ∧ ({βŸ¨βˆ…, π‘βŸ©}β€˜βˆ…) ∈ {𝑑})))
12486, 122, 123mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ… ∈ (β—‘{βŸ¨βˆ…, π‘βŸ©} β€œ {𝑑}) ↔ (βˆ… ∈ {βˆ…} ∧ ({βŸ¨βˆ…, π‘βŸ©}β€˜βˆ…) ∈ {𝑑}))
125124simprbi 498 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ… ∈ (β—‘{βŸ¨βˆ…, π‘βŸ©} β€œ {𝑑}) β†’ ({βŸ¨βˆ…, π‘βŸ©}β€˜βˆ…) ∈ {𝑑})
126121, 125eqeltrrid 2839 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ… ∈ (β—‘{βŸ¨βˆ…, π‘βŸ©} β€œ {𝑑}) β†’ 𝑐 ∈ {𝑑})
127 elsni 4646 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 ∈ {𝑑} β†’ 𝑐 = 𝑑)
128126, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ… ∈ (β—‘{βŸ¨βˆ…, π‘βŸ©} β€œ {𝑑}) β†’ 𝑐 = 𝑑)
129128fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ… ∈ (β—‘{βŸ¨βˆ…, π‘βŸ©} β€œ {𝑑}) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘‘))
130129breq2d 5161 . . . . . . . . . . 11 (βˆ… ∈ (β—‘{βŸ¨βˆ…, π‘βŸ©} β€œ {𝑑}) β†’ ((β™―β€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘) ↔ (β™―β€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘‘)))
131120, 130syl5ibcom 244 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„•)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 βŠ† (1...((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1)))) β†’ (βˆ… ∈ (β—‘{βŸ¨βˆ…, π‘βŸ©} β€œ {𝑑}) β†’ (β™―β€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘‘)))
132100, 131biimtrid 241 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„•)) ∧ (𝑑 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 βŠ† (1...((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1)))) β†’ ((𝑧(π‘Ž ∈ V, 𝑖 ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 π‘Ž ∣ (β™―β€˜π‘) = 𝑖})0) βŠ† (β—‘{βŸ¨βˆ…, π‘βŸ©} β€œ {𝑑}) β†’ (β™―β€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘‘)))
1331, 80, 81, 82, 84, 97, 132ramlb 16952 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„•)) β†’ ((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1) < (0 Ramsey 𝐹))
134 ramubcl 16951 . . . . . . . . . . 11 (((0 ∈ β„•0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ (sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ β„•0 ∧ (0 Ramsey 𝐹) ≀ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))) β†’ (0 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0)
1353, 4, 5, 18, 75, 134syl32anc 1379 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ (0 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0)
136135adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„•)) β†’ (0 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0)
137 nn0lem1lt 12627 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘) ∈ β„•0 ∧ (0 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0) β†’ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (0 Ramsey 𝐹) ↔ ((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1) < (0 Ramsey 𝐹)))
138116, 136, 137syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„•)) β†’ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (0 Ramsey 𝐹) ↔ ((πΉβ€˜π‘) βˆ’ 1) < (0 Ramsey 𝐹)))
139133, 138mpbird 257 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (𝑐 ∈ 𝑅 ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„•)) β†’ (πΉβ€˜π‘) ≀ (0 Ramsey 𝐹))
140139expr 458 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ ((πΉβ€˜π‘) ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜π‘) ≀ (0 Ramsey 𝐹)))
141135adantr 482 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ (0 Ramsey 𝐹) ∈ β„•0)
142141nn0ge0d 12535 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ 0 ≀ (0 Ramsey 𝐹))
143 breq1 5152 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π‘) = 0 β†’ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (0 Ramsey 𝐹) ↔ 0 ≀ (0 Ramsey 𝐹)))
144142, 143syl5ibrcom 246 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ ((πΉβ€˜π‘) = 0 β†’ (πΉβ€˜π‘) ≀ (0 Ramsey 𝐹)))
145 elnn0 12474 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π‘) ∈ β„•0 ↔ ((πΉβ€˜π‘) ∈ β„• ∨ (πΉβ€˜π‘) = 0))
146115, 145sylib 217 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ ((πΉβ€˜π‘) ∈ β„• ∨ (πΉβ€˜π‘) = 0))
147140, 144, 146mpjaod 859 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ (πΉβ€˜π‘) ≀ (0 Ramsey 𝐹))
148 breq1 5152 . . . . 5 ((πΉβ€˜π‘) = sup(ran 𝐹, ℝ, < ) β†’ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (0 Ramsey 𝐹) ↔ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (0 Ramsey 𝐹)))
149147, 148syl5ibcom 244 . . . 4 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ 𝑐 ∈ 𝑅) β†’ ((πΉβ€˜π‘) = sup(ran 𝐹, ℝ, < ) β†’ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (0 Ramsey 𝐹)))
150149rexlimdva 3156 . . 3 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑅 (πΉβ€˜π‘) = sup(ran 𝐹, ℝ, < ) β†’ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (0 Ramsey 𝐹)))
15179, 150mpd 15 . 2 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (0 Ramsey 𝐹))
152135nn0red 12533 . . 3 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ (0 Ramsey 𝐹) ∈ ℝ)
153152, 35letri3d 11356 . 2 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ ((0 Ramsey 𝐹) = sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ↔ ((0 Ramsey 𝐹) ≀ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∧ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ≀ (0 Ramsey 𝐹))))
15475, 151, 153mpbir2and 712 1 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ 𝐹:π‘…βŸΆβ„•0) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ (0 Ramsey 𝐹) = sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  {csn 4629  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5149  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411   β‰Ό cdom 8937  Fincfn 8939  supcsup 9435  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  ...cfz 13484  β™―chash 14290   Ramsey cram 16932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-hash 14291  df-ram 16934
This theorem is referenced by:  0ram2  16954  ramz  16958
  Copyright terms: Public domain W3C validator