Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subfacp1lem2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subfacp1lem2a 33831
Description: Lemma for subfacp1 33837. Properties of a bijection on 𝐾 augmented with the two-element flip to get a bijection on 𝐾 ∪ {1, 𝑀}. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
subfacp1lem.a 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}
subfacp1lem1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
subfacp1lem1.m (𝜑𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
subfacp1lem1.x 𝑀 ∈ V
subfacp1lem1.k 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})
subfacp1lem2.5 𝐹 = (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})
subfacp1lem2.6 (𝜑𝐺:𝐾1-1-onto𝐾)
Assertion
Ref Expression
subfacp1lem2a (𝜑 → (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ (𝐹‘1) = 𝑀 ∧ (𝐹𝑀) = 1))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,𝑥,𝑦,𝐴   𝑓,𝐹,𝑥,𝑦   𝑓,𝑁,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝐷,𝑛   𝑓,𝐾,𝑛,𝑥,𝑦   𝑓,𝑀,𝑥,𝑦   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑓,𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem subfacp1lem2a
StepHypRef Expression
1 subfacp1lem2.6 . . . 4 (𝜑𝐺:𝐾1-1-onto𝐾)
2 1z 12538 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
3 subfacp1lem1.x . . . . . 6 𝑀 ∈ V
4 f1oprswap 6829 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ V) → {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}:{1, 𝑀}–1-1-onto→{1, 𝑀})
52, 3, 4mp2an 691 . . . . 5 {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}:{1, 𝑀}–1-1-onto→{1, 𝑀}
65a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}:{1, 𝑀}–1-1-onto→{1, 𝑀})
7 derang.d . . . . . 6 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
8 subfac.n . . . . . 6 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
9 subfacp1lem.a . . . . . 6 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}
10 subfacp1lem1.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
11 subfacp1lem1.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
12 subfacp1lem1.k . . . . . 6 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})
137, 8, 9, 10, 11, 3, 12subfacp1lem1 33830 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅ ∧ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) ∧ (♯‘𝐾) = (𝑁 − 1)))
1413simp1d 1143 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅)
15 f1oun 6804 . . . 4 (((𝐺:𝐾1-1-onto𝐾 ∧ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}:{1, 𝑀}–1-1-onto→{1, 𝑀}) ∧ ((𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅ ∧ (𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅)) → (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}))
161, 6, 14, 14, 15syl22anc 838 . . 3 (𝜑 → (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}))
1713simp2d 1144 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)))
18 subfacp1lem2.5 . . . . . . 7 𝐹 = (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})
19 f1oeq1 6773 . . . . . . 7 (𝐹 = (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}) → (𝐹:(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀})))
2018, 19ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐹:(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}))
21 f1oeq2 6774 . . . . . 6 ((𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) → (𝐹:(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀})))
2220, 21bitr3id 285 . . . . 5 ((𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) → ((𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀})))
23 f1oeq3 6775 . . . . 5 ((𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) → (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1))))
2422, 23bitrd 279 . . . 4 ((𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) → ((𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1))))
2517, 24syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1))))
2616, 25mpbid 231 . 2 (𝜑𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)))
27 f1ofun 6787 . . . . 5 (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) → Fun 𝐹)
2826, 27syl 17 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝐹)
29 snsspr1 4775 . . . . . 6 {⟨1, 𝑀⟩} ⊆ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}
30 ssun2 4134 . . . . . . 7 {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩} ⊆ (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})
3130, 18sseqtrri 3982 . . . . . 6 {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩} ⊆ 𝐹
3229, 31sstri 3954 . . . . 5 {⟨1, 𝑀⟩} ⊆ 𝐹
33 1ex 11156 . . . . . . 7 1 ∈ V
3433snid 4623 . . . . . 6 1 ∈ {1}
353dmsnop 6169 . . . . . 6 dom {⟨1, 𝑀⟩} = {1}
3634, 35eleqtrri 2833 . . . . 5 1 ∈ dom {⟨1, 𝑀⟩}
37 funssfv 6864 . . . . 5 ((Fun 𝐹 ∧ {⟨1, 𝑀⟩} ⊆ 𝐹 ∧ 1 ∈ dom {⟨1, 𝑀⟩}) → (𝐹‘1) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1))
3832, 36, 37mp3an23 1454 . . . 4 (Fun 𝐹 → (𝐹‘1) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1))
3928, 38syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘1) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1))
4033, 3fvsn 7128 . . 3 ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀
4139, 40eqtrdi 2789 . 2 (𝜑 → (𝐹‘1) = 𝑀)
42 snsspr2 4776 . . . . . 6 {⟨𝑀, 1⟩} ⊆ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}
4342, 31sstri 3954 . . . . 5 {⟨𝑀, 1⟩} ⊆ 𝐹
443snid 4623 . . . . . 6 𝑀 ∈ {𝑀}
4533dmsnop 6169 . . . . . 6 dom {⟨𝑀, 1⟩} = {𝑀}
4644, 45eleqtrri 2833 . . . . 5 𝑀 ∈ dom {⟨𝑀, 1⟩}
47 funssfv 6864 . . . . 5 ((Fun 𝐹 ∧ {⟨𝑀, 1⟩} ⊆ 𝐹𝑀 ∈ dom {⟨𝑀, 1⟩}) → (𝐹𝑀) = ({⟨𝑀, 1⟩}‘𝑀))
4843, 46, 47mp3an23 1454 . . . 4 (Fun 𝐹 → (𝐹𝑀) = ({⟨𝑀, 1⟩}‘𝑀))
4928, 48syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑀) = ({⟨𝑀, 1⟩}‘𝑀))
503, 33fvsn 7128 . . 3 ({⟨𝑀, 1⟩}‘𝑀) = 1
5149, 50eqtrdi 2789 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑀) = 1)
5226, 41, 513jca 1129 1 (𝜑 → (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ (𝐹‘1) = 𝑀 ∧ (𝐹𝑀) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  {cab 2710  wne 2940  wral 3061  Vcvv 3444  cdif 3908  cun 3909  cin 3910  wss 3911  c0 4283  {csn 4587  {cpr 4589  cop 4593  cmpt 5189  dom cdm 5634  Fun wfun 6491  1-1-ontowf1o 6496  cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  1c1 11057   + caddc 11059  cmin 11390  cn 12158  2c2 12213  0cn0 12418  cz 12504  ...cfz 13430  chash 14236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-oadd 8417  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-hash 14237
This theorem is referenced by:  subfacp1lem2b  33832  subfacp1lem3  33833  subfacp1lem4  33834  subfacp1lem5  33835
  Copyright terms: Public domain W3C validator