Theorem subfacp1lem2a 33142

Description: Lemma for subfacp1 33148. Properties of a bijection on 𝐾 augmented with the two-element flip to get a bijection on 𝐾 ∪ {1, 𝑀}. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
derang.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
subfacp1lem.a	⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}
subfacp1lem1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
subfacp1lem1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
subfacp1lem1.x	⊢ 𝑀 ∈ V
subfacp1lem1.k	⊢ 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})
subfacp1lem2.5	⊢ 𝐹 = (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})
subfacp1lem2.6	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐾–1-1-onto→𝐾)

Assertion

Ref	Expression
subfacp1lem2a	⊢ (𝜑 → (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ (𝐹‘1) = 𝑀 ∧ (𝐹‘𝑀) = 1))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,𝑥,𝑦,𝐴   𝑓,𝐹,𝑥,𝑦   𝑓,𝑁,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝐷,𝑛   𝑓,𝐾,𝑛,𝑥,𝑦   𝑓,𝑀,𝑥,𝑦   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑓,𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem subfacp1lem2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subfacp1lem2.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐾–1-1-onto→𝐾)
2		1z 12350	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		subfacp1lem1.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ V
4		f1oprswap 6760	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ V) → {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}:{1, 𝑀}–1-1-onto→{1, 𝑀})
5	2, 3, 4	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}:{1, 𝑀}–1-1-onto→{1, 𝑀}
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}:{1, 𝑀}–1-1-onto→{1, 𝑀})
7		derang.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
8		subfac.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
9		subfacp1lem.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}
10		subfacp1lem1.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
11		subfacp1lem1.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
12		subfacp1lem1.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})
13	7, 8, 9, 10, 11, 3, 12	subfacp1lem1 33141	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅ ∧ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) ∧ (♯‘𝐾) = (𝑁 − 1)))
14	13	simp1d 1141	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅)
15		f1oun 6735	. . . 4 ⊢ (((𝐺:𝐾–1-1-onto→𝐾 ∧ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}:{1, 𝑀}–1-1-onto→{1, 𝑀}) ∧ ((𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅ ∧ (𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅)) → (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}))
16	1, 6, 14, 14, 15	syl22anc 836	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}))
17	13	simp2d 1142	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)))
18		subfacp1lem2.5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})
19		f1oeq1 6704	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 = (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}) → (𝐹:(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀})))
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}))
21		f1oeq2 6705	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) → (𝐹:(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀})))
22	20, 21	bitr3id 285	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) → ((𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀})))
23		f1oeq3 6706	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) → (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1))))
24	22, 23	bitrd 278	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) → ((𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1))))
25	17, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1))))
26	16, 25	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)))
27		f1ofun 6718	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) → Fun 𝐹)
28	26, 27	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
29		snsspr1 4747	. . . . . 6 ⊢ {⟨1, 𝑀⟩} ⊆ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}
30		ssun2 4107	. . . . . . 7 ⊢ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩} ⊆ (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})
31	30, 18	sseqtrri 3958	. . . . . 6 ⊢ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩} ⊆ 𝐹
32	29, 31	sstri 3930	. . . . 5 ⊢ {⟨1, 𝑀⟩} ⊆ 𝐹
33		1ex 10971	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
34	33	snid 4597	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ {1}
35	3	dmsnop 6119	. . . . . 6 ⊢ dom {⟨1, 𝑀⟩} = {1}
36	34, 35	eleqtrri 2838	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ dom {⟨1, 𝑀⟩}
37		funssfv 6795	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ {⟨1, 𝑀⟩} ⊆ 𝐹 ∧ 1 ∈ dom {⟨1, 𝑀⟩}) → (𝐹‘1) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1))
38	32, 36, 37	mp3an23 1452	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹‘1) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1))
39	28, 38	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1))
40	33, 3	fvsn 7053	. . 3 ⊢ ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀
41	39, 40	eqtrdi 2794	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = 𝑀)
42		snsspr2 4748	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝑀, 1⟩} ⊆ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}
43	42, 31	sstri 3930	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑀, 1⟩} ⊆ 𝐹
44	3	snid 4597	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ {𝑀}
45	33	dmsnop 6119	. . . . . 6 ⊢ dom {⟨𝑀, 1⟩} = {𝑀}
46	44, 45	eleqtrri 2838	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ∈ dom {⟨𝑀, 1⟩}
47		funssfv 6795	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ {⟨𝑀, 1⟩} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑀 ∈ dom {⟨𝑀, 1⟩}) → (𝐹‘𝑀) = ({⟨𝑀, 1⟩}‘𝑀))
48	43, 46, 47	mp3an23 1452	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹‘𝑀) = ({⟨𝑀, 1⟩}‘𝑀))
49	28, 48	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) = ({⟨𝑀, 1⟩}‘𝑀))
50	3, 33	fvsn 7053	. . 3 ⊢ ({⟨𝑀, 1⟩}‘𝑀) = 1
51	49, 50	eqtrdi 2794	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) = 1)
52	26, 41, 51	3jca 1127	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ (𝐹‘1) = 𝑀 ∧ (𝐹‘𝑀) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {cab 2715   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884   ∪ cun 3885   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  {csn 4561  {cpr 4563  ⟨cop 4567   ↦ cmpt 5157  dom cdm 5589  Fun wfun 6427  –1-1-onto→wf1o 6432  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  1c1 10872   + caddc 10874   − cmin 11205  ℕcn 11973  2c2 12028  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ...cfz 13239  ♯chash 14044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-hash 14045

This theorem is referenced by:  subfacp1lem2b  33143  subfacp1lem3  33144  subfacp1lem4  33145  subfacp1lem5  33146