Theorem subfacp1lem2a 34660

Description: Lemma for subfacp1 34666. Properties of a bijection on 𝐾 augmented with the two-element flip to get a bijection on 𝐾 ∪ {1, 𝑀}. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
derang.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
subfacp1lem.a	⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}
subfacp1lem1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
subfacp1lem1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
subfacp1lem1.x	⊢ 𝑀 ∈ V
subfacp1lem1.k	⊢ 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})
subfacp1lem2.5	⊢ 𝐹 = (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})
subfacp1lem2.6	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐾–1-1-onto→𝐾)

Assertion

Ref	Expression
subfacp1lem2a	⊢ (𝜑 → (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ (𝐹‘1) = 𝑀 ∧ (𝐹‘𝑀) = 1))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,𝑥,𝑦,𝐴   𝑓,𝐹,𝑥,𝑦   𝑓,𝑁,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝐷,𝑛   𝑓,𝐾,𝑛,𝑥,𝑦   𝑓,𝑀,𝑥,𝑦   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑓,𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem subfacp1lem2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subfacp1lem2.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐾–1-1-onto→𝐾)
2		1z 12589	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		subfacp1lem1.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ V
4		f1oprswap 6867	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ V) → {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}:{1, 𝑀}–1-1-onto→{1, 𝑀})
5	2, 3, 4	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}:{1, 𝑀}–1-1-onto→{1, 𝑀}
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}:{1, 𝑀}–1-1-onto→{1, 𝑀})
7		derang.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
8		subfac.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
9		subfacp1lem.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}
10		subfacp1lem1.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
11		subfacp1lem1.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
12		subfacp1lem1.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})
13	7, 8, 9, 10, 11, 3, 12	subfacp1lem1 34659	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅ ∧ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) ∧ (♯‘𝐾) = (𝑁 − 1)))
14	13	simp1d 1139	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅)
15		f1oun 6842	. . . 4 ⊢ (((𝐺:𝐾–1-1-onto→𝐾 ∧ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}:{1, 𝑀}–1-1-onto→{1, 𝑀}) ∧ ((𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅ ∧ (𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅)) → (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}))
16	1, 6, 14, 14, 15	syl22anc 836	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}))
17	13	simp2d 1140	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)))
18		subfacp1lem2.5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})
19		f1oeq1 6811	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 = (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}) → (𝐹:(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀})))
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}))
21		f1oeq2 6812	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) → (𝐹:(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀})))
22	20, 21	bitr3id 285	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) → ((𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀})))
23		f1oeq3 6813	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) → (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1))))
24	22, 23	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) → ((𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1))))
25	17, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1))))
26	16, 25	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)))
27		f1ofun 6825	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) → Fun 𝐹)
28	26, 27	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
29		snsspr1 4809	. . . . . 6 ⊢ {⟨1, 𝑀⟩} ⊆ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}
30		ssun2 4165	. . . . . . 7 ⊢ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩} ⊆ (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})
31	30, 18	sseqtrri 4011	. . . . . 6 ⊢ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩} ⊆ 𝐹
32	29, 31	sstri 3983	. . . . 5 ⊢ {⟨1, 𝑀⟩} ⊆ 𝐹
33		1ex 11207	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
34	33	snid 4656	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ {1}
35	3	dmsnop 6205	. . . . . 6 ⊢ dom {⟨1, 𝑀⟩} = {1}
36	34, 35	eleqtrri 2824	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ dom {⟨1, 𝑀⟩}
37		funssfv 6902	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ {⟨1, 𝑀⟩} ⊆ 𝐹 ∧ 1 ∈ dom {⟨1, 𝑀⟩}) → (𝐹‘1) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1))
38	32, 36, 37	mp3an23 1449	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹‘1) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1))
39	28, 38	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1))
40	33, 3	fvsn 7171	. . 3 ⊢ ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀
41	39, 40	eqtrdi 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = 𝑀)
42		snsspr2 4810	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝑀, 1⟩} ⊆ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}
43	42, 31	sstri 3983	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑀, 1⟩} ⊆ 𝐹
44	3	snid 4656	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ {𝑀}
45	33	dmsnop 6205	. . . . . 6 ⊢ dom {⟨𝑀, 1⟩} = {𝑀}
46	44, 45	eleqtrri 2824	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ∈ dom {⟨𝑀, 1⟩}
47		funssfv 6902	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ {⟨𝑀, 1⟩} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑀 ∈ dom {⟨𝑀, 1⟩}) → (𝐹‘𝑀) = ({⟨𝑀, 1⟩}‘𝑀))
48	43, 46, 47	mp3an23 1449	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹‘𝑀) = ({⟨𝑀, 1⟩}‘𝑀))
49	28, 48	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) = ({⟨𝑀, 1⟩}‘𝑀))
50	3, 33	fvsn 7171	. . 3 ⊢ ({⟨𝑀, 1⟩}‘𝑀) = 1
51	49, 50	eqtrdi 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) = 1)
52	26, 41, 51	3jca 1125	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ (𝐹‘1) = 𝑀 ∧ (𝐹‘𝑀) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2701   ≠ wne 2932  ∀wral 3053  Vcvv 3466   ∖ cdif 3937   ∪ cun 3938   ∩ cin 3939   ⊆ wss 3940  ∅c0 4314  {csn 4620  {cpr 4622  ⟨cop 4626   ↦ cmpt 5221  dom cdm 5666  Fun wfun 6527  –1-1-onto→wf1o 6532  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  Fincfn 8935  1c1 11107   + caddc 11109   − cmin 11441  ℕcn 12209  2c2 12264  ℕ₀cn0 12469  ℤcz 12555  ...cfz 13481  ♯chash 14287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-oadd 8465  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-hash 14288

This theorem is referenced by:  subfacp1lem2b  34661  subfacp1lem3  34662  subfacp1lem4  34663  subfacp1lem5  34664