Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subfacp1lem2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subfacp1lem2a 35164
Description: Lemma for subfacp1 35170. Properties of a bijection on 𝐾 augmented with the two-element flip to get a bijection on 𝐾 ∪ {1, 𝑀}. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
subfacp1lem.a 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}
subfacp1lem1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
subfacp1lem1.m (𝜑𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
subfacp1lem1.x 𝑀 ∈ V
subfacp1lem1.k 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})
subfacp1lem2.5 𝐹 = (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})
subfacp1lem2.6 (𝜑𝐺:𝐾1-1-onto𝐾)
Assertion
Ref Expression
subfacp1lem2a (𝜑 → (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ (𝐹‘1) = 𝑀 ∧ (𝐹𝑀) = 1))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,𝑥,𝑦,𝐴   𝑓,𝐹,𝑥,𝑦   𝑓,𝑁,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝐷,𝑛   𝑓,𝐾,𝑛,𝑥,𝑦   𝑓,𝑀,𝑥,𝑦   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑓,𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem subfacp1lem2a
StepHypRef Expression
1 subfacp1lem2.6 . . . 4 (𝜑𝐺:𝐾1-1-onto𝐾)
2 1z 12644 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
3 subfacp1lem1.x . . . . . 6 𝑀 ∈ V
4 f1oprswap 6892 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ V) → {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}:{1, 𝑀}–1-1-onto→{1, 𝑀})
52, 3, 4mp2an 692 . . . . 5 {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}:{1, 𝑀}–1-1-onto→{1, 𝑀}
65a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}:{1, 𝑀}–1-1-onto→{1, 𝑀})
7 derang.d . . . . . 6 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
8 subfac.n . . . . . 6 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
9 subfacp1lem.a . . . . . 6 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}
10 subfacp1lem1.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
11 subfacp1lem1.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
12 subfacp1lem1.k . . . . . 6 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})
137, 8, 9, 10, 11, 3, 12subfacp1lem1 35163 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅ ∧ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) ∧ (♯‘𝐾) = (𝑁 − 1)))
1413simp1d 1141 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅)
15 f1oun 6867 . . . 4 (((𝐺:𝐾1-1-onto𝐾 ∧ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}:{1, 𝑀}–1-1-onto→{1, 𝑀}) ∧ ((𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅ ∧ (𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅)) → (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}))
161, 6, 14, 14, 15syl22anc 839 . . 3 (𝜑 → (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}))
1713simp2d 1142 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)))
18 subfacp1lem2.5 . . . . . . 7 𝐹 = (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})
19 f1oeq1 6836 . . . . . . 7 (𝐹 = (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}) → (𝐹:(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀})))
2018, 19ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐹:(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}))
21 f1oeq2 6837 . . . . . 6 ((𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) → (𝐹:(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀})))
2220, 21bitr3id 285 . . . . 5 ((𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) → ((𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀})))
23 f1oeq3 6838 . . . . 5 ((𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) → (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1))))
2422, 23bitrd 279 . . . 4 ((𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) → ((𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1))))
2517, 24syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1))))
2616, 25mpbid 232 . 2 (𝜑𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)))
27 f1ofun 6850 . . . . 5 (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) → Fun 𝐹)
2826, 27syl 17 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝐹)
29 snsspr1 4818 . . . . . 6 {⟨1, 𝑀⟩} ⊆ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}
30 ssun2 4188 . . . . . . 7 {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩} ⊆ (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})
3130, 18sseqtrri 4032 . . . . . 6 {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩} ⊆ 𝐹
3229, 31sstri 4004 . . . . 5 {⟨1, 𝑀⟩} ⊆ 𝐹
33 1ex 11254 . . . . . . 7 1 ∈ V
3433snid 4666 . . . . . 6 1 ∈ {1}
353dmsnop 6237 . . . . . 6 dom {⟨1, 𝑀⟩} = {1}
3634, 35eleqtrri 2837 . . . . 5 1 ∈ dom {⟨1, 𝑀⟩}
37 funssfv 6927 . . . . 5 ((Fun 𝐹 ∧ {⟨1, 𝑀⟩} ⊆ 𝐹 ∧ 1 ∈ dom {⟨1, 𝑀⟩}) → (𝐹‘1) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1))
3832, 36, 37mp3an23 1452 . . . 4 (Fun 𝐹 → (𝐹‘1) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1))
3928, 38syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘1) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1))
4033, 3fvsn 7200 . . 3 ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀
4139, 40eqtrdi 2790 . 2 (𝜑 → (𝐹‘1) = 𝑀)
42 snsspr2 4819 . . . . . 6 {⟨𝑀, 1⟩} ⊆ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}
4342, 31sstri 4004 . . . . 5 {⟨𝑀, 1⟩} ⊆ 𝐹
443snid 4666 . . . . . 6 𝑀 ∈ {𝑀}
4533dmsnop 6237 . . . . . 6 dom {⟨𝑀, 1⟩} = {𝑀}
4644, 45eleqtrri 2837 . . . . 5 𝑀 ∈ dom {⟨𝑀, 1⟩}
47 funssfv 6927 . . . . 5 ((Fun 𝐹 ∧ {⟨𝑀, 1⟩} ⊆ 𝐹𝑀 ∈ dom {⟨𝑀, 1⟩}) → (𝐹𝑀) = ({⟨𝑀, 1⟩}‘𝑀))
4843, 46, 47mp3an23 1452 . . . 4 (Fun 𝐹 → (𝐹𝑀) = ({⟨𝑀, 1⟩}‘𝑀))
4928, 48syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑀) = ({⟨𝑀, 1⟩}‘𝑀))
503, 33fvsn 7200 . . 3 ({⟨𝑀, 1⟩}‘𝑀) = 1
5149, 50eqtrdi 2790 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑀) = 1)
5226, 41, 513jca 1127 1 (𝜑 → (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ (𝐹‘1) = 𝑀 ∧ (𝐹𝑀) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  {cab 2711  wne 2937  wral 3058  Vcvv 3477  cdif 3959  cun 3960  cin 3961  wss 3962  c0 4338  {csn 4630  {cpr 4632  cop 4636  cmpt 5230  dom cdm 5688  Fun wfun 6556  1-1-ontowf1o 6561  cfv 6562  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  1c1 11153   + caddc 11155  cmin 11489  cn 12263  2c2 12318  0cn0 12523  cz 12610  ...cfz 13543  chash 14365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-hash 14366
This theorem is referenced by:  subfacp1lem2b  35165  subfacp1lem3  35166  subfacp1lem4  35167  subfacp1lem5  35168
  Copyright terms: Public domain W3C validator