Theorem subfacp1lem2a 35167

Description: Lemma for subfacp1 35173. Properties of a bijection on 𝐾 augmented with the two-element flip to get a bijection on 𝐾 ∪ {1, 𝑀}. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
derang.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
subfacp1lem.a	⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}
subfacp1lem1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
subfacp1lem1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
subfacp1lem1.x	⊢ 𝑀 ∈ V
subfacp1lem1.k	⊢ 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})
subfacp1lem2.5	⊢ 𝐹 = (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})
subfacp1lem2.6	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐾–1-1-onto→𝐾)

Assertion

Ref	Expression
subfacp1lem2a	⊢ (𝜑 → (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ (𝐹‘1) = 𝑀 ∧ (𝐹‘𝑀) = 1))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,𝑥,𝑦,𝐴   𝑓,𝐹,𝑥,𝑦   𝑓,𝑁,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝐷,𝑛   𝑓,𝐾,𝑛,𝑥,𝑦   𝑓,𝑀,𝑥,𝑦   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑓,𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem subfacp1lem2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subfacp1lem2.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐾–1-1-onto→𝐾)
2		1z 12563	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		subfacp1lem1.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ V
4		f1oprswap 6844	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ V) → {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}:{1, 𝑀}–1-1-onto→{1, 𝑀})
5	2, 3, 4	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}:{1, 𝑀}–1-1-onto→{1, 𝑀}
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}:{1, 𝑀}–1-1-onto→{1, 𝑀})
7		derang.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
8		subfac.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
9		subfacp1lem.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}
10		subfacp1lem1.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
11		subfacp1lem1.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
12		subfacp1lem1.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})
13	7, 8, 9, 10, 11, 3, 12	subfacp1lem1 35166	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅ ∧ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) ∧ (♯‘𝐾) = (𝑁 − 1)))
14	13	simp1d 1142	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅)
15		f1oun 6819	. . . 4 ⊢ (((𝐺:𝐾–1-1-onto→𝐾 ∧ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}:{1, 𝑀}–1-1-onto→{1, 𝑀}) ∧ ((𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅ ∧ (𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅)) → (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}))
16	1, 6, 14, 14, 15	syl22anc 838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}))
17	13	simp2d 1143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)))
18		subfacp1lem2.5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})
19		f1oeq1 6788	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 = (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}) → (𝐹:(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀})))
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}))
21		f1oeq2 6789	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) → (𝐹:(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀})))
22	20, 21	bitr3id 285	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) → ((𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀})))
23		f1oeq3 6790	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) → (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1))))
24	22, 23	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) → ((𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1))))
25	17, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1))))
26	16, 25	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)))
27		f1ofun 6802	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) → Fun 𝐹)
28	26, 27	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
29		snsspr1 4778	. . . . . 6 ⊢ {⟨1, 𝑀⟩} ⊆ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}
30		ssun2 4142	. . . . . . 7 ⊢ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩} ⊆ (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})
31	30, 18	sseqtrri 3996	. . . . . 6 ⊢ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩} ⊆ 𝐹
32	29, 31	sstri 3956	. . . . 5 ⊢ {⟨1, 𝑀⟩} ⊆ 𝐹
33		1ex 11170	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
34	33	snid 4626	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ {1}
35	3	dmsnop 6189	. . . . . 6 ⊢ dom {⟨1, 𝑀⟩} = {1}
36	34, 35	eleqtrri 2827	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ dom {⟨1, 𝑀⟩}
37		funssfv 6879	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ {⟨1, 𝑀⟩} ⊆ 𝐹 ∧ 1 ∈ dom {⟨1, 𝑀⟩}) → (𝐹‘1) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1))
38	32, 36, 37	mp3an23 1455	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹‘1) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1))
39	28, 38	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1))
40	33, 3	fvsn 7155	. . 3 ⊢ ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀
41	39, 40	eqtrdi 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = 𝑀)
42		snsspr2 4779	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝑀, 1⟩} ⊆ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}
43	42, 31	sstri 3956	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑀, 1⟩} ⊆ 𝐹
44	3	snid 4626	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ {𝑀}
45	33	dmsnop 6189	. . . . . 6 ⊢ dom {⟨𝑀, 1⟩} = {𝑀}
46	44, 45	eleqtrri 2827	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ∈ dom {⟨𝑀, 1⟩}
47		funssfv 6879	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ {⟨𝑀, 1⟩} ⊆ 𝐹 ∧ 𝑀 ∈ dom {⟨𝑀, 1⟩}) → (𝐹‘𝑀) = ({⟨𝑀, 1⟩}‘𝑀))
48	43, 46, 47	mp3an23 1455	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝐹‘𝑀) = ({⟨𝑀, 1⟩}‘𝑀))
49	28, 48	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) = ({⟨𝑀, 1⟩}‘𝑀))
50	3, 33	fvsn 7155	. . 3 ⊢ ({⟨𝑀, 1⟩}‘𝑀) = 1
51	49, 50	eqtrdi 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) = 1)
52	26, 41, 51	3jca 1128	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ (𝐹‘1) = 𝑀 ∧ (𝐹‘𝑀) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  Vcvv 3447   ∖ cdif 3911   ∪ cun 3912   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  {csn 4589  {cpr 4591  ⟨cop 4595   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5638  Fun wfun 6505  –1-1-onto→wf1o 6510  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Fincfn 8918  1c1 11069   + caddc 11071   − cmin 11405  ℕcn 12186  2c2 12241  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ...cfz 13468  ♯chash 14295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-hash 14296

This theorem is referenced by:  subfacp1lem2b  35168  subfacp1lem3  35169  subfacp1lem4  35170  subfacp1lem5  35171