Theorem mndtchom 50074

Description: The only hom-set of the category built from a monoid is the base set of the monoid. (Contributed by Zhi Wang, 22-Sep-2024.) (Proof shortened by Zhi Wang, 22-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndtcbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
mndtcbas.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
mndtcbas.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
mndtchom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mndtchom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
mndtchom.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
mndtchom	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = (Base‘𝑀))

Proof of Theorem mndtchom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndtchom.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘𝐶))
2		mndtcbas.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
3		mndtcbas.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
4	2, 3	mndtcval 50069	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}⟩})
5		catstr 17918	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}⟩} Struct ⟨1, ;15⟩
6		homid 17366	. . . . 5 ⊢ Hom = Slot (Hom ‘ndx)
7		snsstp2 4748	. . . . 5 ⊢ {⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}⟩}
8		snex 5368	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩} ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩} ∈ V)
10		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
11	4, 5, 6, 7, 9, 10	strfv3 17165	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩})
12	1, 11	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩})
13		mndtcbas.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
14		mndtchom.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
15	2, 3, 13, 14	mndtcob 50072	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑀)
16		mndtchom.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
17	2, 3, 13, 16	mndtcob 50072	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = 𝑀)
18	12, 15, 17	oveq123d 7377	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = (𝑀{⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}𝑀))
19		fvex 6840	. . 3 ⊢ (Base‘𝑀) ∈ V
20	19	ovsn2 49351	. 2 ⊢ (𝑀{⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}𝑀) = (Base‘𝑀)
21	18, 20	eqtrdi 2790	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = (Base‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431  {csn 4555  {ctp 4559  ⟨cop 4561  ⟨cotp 4563  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  1c1 11030  5c5 12230  ;cdc 12635  ndxcnx 17154  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  Hom chom 17222  compcco 17223  Mndcmnd 18693  MndToCatcmndtc 50067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-ot 4564  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-hom 17235  df-cco 17236  df-mndtc 50068

This theorem is referenced by:  mndtccatid  50077  oppgoppchom  50080  grptcmon  50083  grptcepi  50084