Theorem mndtchom 50438

Description: The only hom-set of the category built from a monoid is the base set of the monoid. (Contributed by Zhi Wang, 22-Sep-2024.) (Proof shortened by Zhi Wang, 22-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndtcbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
mndtcbas.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
mndtcbas.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
mndtchom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mndtchom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
mndtchom.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
mndtchom	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = (Base‘𝑀))

Proof of Theorem mndtchom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndtchom.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘𝐶))
2		mndtcbas.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
3		mndtcbas.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
4	2, 3	mndtcval 50433	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}⟩})
5		catstr 18043	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}⟩} Struct ⟨1, ;15⟩
6		homid 17491	. . . . 5 ⊢ Hom = Slot (Hom ‘ndx)
7		snsstp2 4785	. . . . 5 ⊢ {⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}⟩}
8		snex 5412	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩} ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩} ∈ V)
10		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
11	4, 5, 6, 7, 9, 10	strfv3 17290	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩})
12	1, 11	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩})
13		mndtcbas.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
14		mndtchom.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
15	2, 3, 13, 14	mndtcob 50436	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑀)
16		mndtchom.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
17	2, 3, 13, 16	mndtcob 50436	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = 𝑀)
18	12, 15, 17	oveq123d 7440	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = (𝑀{⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}𝑀))
19		fvex 6898	. . 3 ⊢ (Base‘𝑀) ∈ V
20	19	ovsn2 49715	. 2 ⊢ (𝑀{⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}𝑀) = (Base‘𝑀)
21	18, 20	eqtrdi 2816	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = (Base‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457  {csn 4591  {ctp 4595  ⟨cop 4597  ⟨cotp 4599  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  1c1 11120  5c5 12317  ;cdc 12731  ndxcnx 17279  Basecbs 17295  +_gcplusg 17336  Hom chom 17347  compcco 17348  Mndcmnd 18828  MndToCatcmndtc 50431

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12732  df-uz 12883  df-fz 13556  df-struct 17233  df-slot 17268  df-ndx 17280  df-base 17296  df-hom 17360  df-cco 17361  df-mndtc 50432

This theorem is used by:  mndtccatid  50441  oppgoppchom  50444  grptcmon  50447  grptcepi  50448