Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mndtchom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mndtchom 48192
Description: The only hom-set of the category built from a monoid is the base set of the monoid. (Contributed by Zhi Wang, 22-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mndtcbas.c (πœ‘ β†’ 𝐢 = (MndToCatβ€˜π‘€))
mndtcbas.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
mndtcbas.b (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ))
mndtchom.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
mndtchom.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
mndtchom.h (πœ‘ β†’ 𝐻 = (Hom β€˜πΆ))
Assertion
Ref Expression
mndtchom (πœ‘ β†’ (π‘‹π»π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘€))

Proof of Theorem mndtchom
StepHypRef Expression
1 mndtchom.h . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 = (Hom β€˜πΆ))
2 mndtcbas.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (MndToCatβ€˜π‘€))
3 mndtcbas.m . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
42, 3mndtcval 48187 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 = {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom β€˜ndx), {βŸ¨π‘€, 𝑀, (Baseβ€˜π‘€)⟩}⟩, ⟨(compβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘€, 𝑀, π‘€βŸ©, (+gβ€˜π‘€)⟩}⟩})
5 catstr 17957 . . . . 5 {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom β€˜ndx), {βŸ¨π‘€, 𝑀, (Baseβ€˜π‘€)⟩}⟩, ⟨(compβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘€, 𝑀, π‘€βŸ©, (+gβ€˜π‘€)⟩}⟩} Struct ⟨1, 15⟩
6 homid 17402 . . . . 5 Hom = Slot (Hom β€˜ndx)
7 snsstp2 4825 . . . . 5 {⟨(Hom β€˜ndx), {βŸ¨π‘€, 𝑀, (Baseβ€˜π‘€)⟩}⟩} βŠ† {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom β€˜ndx), {βŸ¨π‘€, 𝑀, (Baseβ€˜π‘€)⟩}⟩, ⟨(compβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘€, 𝑀, π‘€βŸ©, (+gβ€˜π‘€)⟩}⟩}
8 snex 5437 . . . . . 6 {βŸ¨π‘€, 𝑀, (Baseβ€˜π‘€)⟩} ∈ V
98a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {βŸ¨π‘€, 𝑀, (Baseβ€˜π‘€)⟩} ∈ V)
10 eqid 2728 . . . . 5 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
114, 5, 6, 7, 9, 10strfv3 17183 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Hom β€˜πΆ) = {βŸ¨π‘€, 𝑀, (Baseβ€˜π‘€)⟩})
121, 11eqtrd 2768 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 = {βŸ¨π‘€, 𝑀, (Baseβ€˜π‘€)⟩})
13 mndtcbas.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ))
14 mndtchom.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
152, 3, 13, 14mndtcob 48190 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 = 𝑀)
16 mndtchom.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
172, 3, 13, 16mndtcob 48190 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ = 𝑀)
1812, 15, 17oveq123d 7447 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘‹π»π‘Œ) = (𝑀{βŸ¨π‘€, 𝑀, (Baseβ€˜π‘€)⟩}𝑀))
19 df-ot 4641 . . . . 5 βŸ¨π‘€, 𝑀, (Baseβ€˜π‘€)⟩ = βŸ¨βŸ¨π‘€, π‘€βŸ©, (Baseβ€˜π‘€)⟩
2019sneqi 4643 . . . 4 {βŸ¨π‘€, 𝑀, (Baseβ€˜π‘€)⟩} = {βŸ¨βŸ¨π‘€, π‘€βŸ©, (Baseβ€˜π‘€)⟩}
2120oveqi 7439 . . 3 (𝑀{βŸ¨π‘€, 𝑀, (Baseβ€˜π‘€)⟩}𝑀) = (𝑀{βŸ¨βŸ¨π‘€, π‘€βŸ©, (Baseβ€˜π‘€)⟩}𝑀)
22 df-ov 7429 . . 3 (𝑀{βŸ¨βŸ¨π‘€, π‘€βŸ©, (Baseβ€˜π‘€)⟩}𝑀) = ({βŸ¨βŸ¨π‘€, π‘€βŸ©, (Baseβ€˜π‘€)⟩}β€˜βŸ¨π‘€, π‘€βŸ©)
23 opex 5470 . . . 4 βŸ¨π‘€, π‘€βŸ© ∈ V
24 fvex 6915 . . . 4 (Baseβ€˜π‘€) ∈ V
2523, 24fvsn 7196 . . 3 ({βŸ¨βŸ¨π‘€, π‘€βŸ©, (Baseβ€˜π‘€)⟩}β€˜βŸ¨π‘€, π‘€βŸ©) = (Baseβ€˜π‘€)
2621, 22, 253eqtri 2760 . 2 (𝑀{βŸ¨π‘€, 𝑀, (Baseβ€˜π‘€)⟩}𝑀) = (Baseβ€˜π‘€)
2718, 26eqtrdi 2784 1 (πœ‘ β†’ (π‘‹π»π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473  {csn 4632  {ctp 4636  βŸ¨cop 4638  βŸ¨cotp 4640  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  1c1 11149  5c5 12310  cdc 12717  ndxcnx 17171  Basecbs 17189  +gcplusg 17242  Hom chom 17253  compcco 17254  Mndcmnd 18703  MndToCatcmndtc 48185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-fz 13527  df-struct 17125  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-hom 17266  df-cco 17267  df-mndtc 48186
This theorem is referenced by:  mndtccatid  48195  grptcmon  48198  grptcepi  48199
  Copyright terms: Public domain W3C validator