Theorem mndtchom 49461

Description: The only hom-set of the category built from a monoid is the base set of the monoid. (Contributed by Zhi Wang, 22-Sep-2024.) (Proof shortened by Zhi Wang, 22-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndtcbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
mndtcbas.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
mndtcbas.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
mndtchom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mndtchom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
mndtchom.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
mndtchom	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = (Base‘𝑀))

Proof of Theorem mndtchom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndtchom.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘𝐶))
2		mndtcbas.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
3		mndtcbas.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
4	2, 3	mndtcval 49456	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}⟩})
5		catstr 17973	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}⟩} Struct ⟨1, ;15⟩
6		homid 17426	. . . . 5 ⊢ Hom = Slot (Hom ‘ndx)
7		snsstp2 4793	. . . . 5 ⊢ {⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}⟩}
8		snex 5406	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩} ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩} ∈ V)
10		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
11	4, 5, 6, 7, 9, 10	strfv3 17223	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩})
12	1, 11	eqtrd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩})
13		mndtcbas.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
14		mndtchom.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
15	2, 3, 13, 14	mndtcob 49459	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑀)
16		mndtchom.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
17	2, 3, 13, 16	mndtcob 49459	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = 𝑀)
18	12, 15, 17	oveq123d 7426	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = (𝑀{⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}𝑀))
19		fvex 6889	. . 3 ⊢ (Base‘𝑀) ∈ V
20	19	ovsn2 48837	. 2 ⊢ (𝑀{⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}𝑀) = (Base‘𝑀)
21	18, 20	eqtrdi 2786	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = (Base‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459  {csn 4601  {ctp 4605  ⟨cop 4607  ⟨cotp 4609  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  1c1 11130  5c5 12298  ;cdc 12708  ndxcnx 17212  Basecbs 17228  +_gcplusg 17271  Hom chom 17282  compcco 17283  Mndcmnd 18712  MndToCatcmndtc 49454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-ot 4610  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-struct 17166  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-hom 17295  df-cco 17296  df-mndtc 49455

This theorem is referenced by:  mndtccatid  49464  oppgoppchom  49467  grptcmon  49470  grptcepi  49471