Theorem mndtchom 47984

Description: The only hom-set of the category built from a monoid is the base set of the monoid. (Contributed by Zhi Wang, 22-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndtcbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
mndtcbas.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
mndtcbas.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
mndtchom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mndtchom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
mndtchom.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
mndtchom	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = (Base‘𝑀))

Proof of Theorem mndtchom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndtchom.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘𝐶))
2		mndtcbas.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
3		mndtcbas.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
4	2, 3	mndtcval 47979	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}⟩})
5		catstr 17921	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}⟩} Struct ⟨1, ;15⟩
6		homid 17366	. . . . 5 ⊢ Hom = Slot (Hom ‘ndx)
7		snsstp2 4815	. . . . 5 ⊢ {⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}⟩}
8		snex 5424	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩} ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩} ∈ V)
10		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
11	4, 5, 6, 7, 9, 10	strfv3 17147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩})
12	1, 11	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩})
13		mndtcbas.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
14		mndtchom.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
15	2, 3, 13, 14	mndtcob 47982	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑀)
16		mndtchom.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
17	2, 3, 13, 16	mndtcob 47982	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = 𝑀)
18	12, 15, 17	oveq123d 7426	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = (𝑀{⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}𝑀))
19		df-ot 4632	. . . . 5 ⊢ ⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩ = ⟨⟨𝑀, 𝑀⟩, (Base‘𝑀)⟩
20	19	sneqi 4634	. . . 4 ⊢ {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩} = {⟨⟨𝑀, 𝑀⟩, (Base‘𝑀)⟩}
21	20	oveqi 7418	. . 3 ⊢ (𝑀{⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}𝑀) = (𝑀{⟨⟨𝑀, 𝑀⟩, (Base‘𝑀)⟩}𝑀)
22		df-ov 7408	. . 3 ⊢ (𝑀{⟨⟨𝑀, 𝑀⟩, (Base‘𝑀)⟩}𝑀) = ({⟨⟨𝑀, 𝑀⟩, (Base‘𝑀)⟩}‘⟨𝑀, 𝑀⟩)
23		opex 5457	. . . 4 ⊢ ⟨𝑀, 𝑀⟩ ∈ V
24		fvex 6898	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) ∈ V
25	23, 24	fvsn 7175	. . 3 ⊢ ({⟨⟨𝑀, 𝑀⟩, (Base‘𝑀)⟩}‘⟨𝑀, 𝑀⟩) = (Base‘𝑀)
26	21, 22, 25	3eqtri 2758	. 2 ⊢ (𝑀{⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}𝑀) = (Base‘𝑀)
27	18, 26	eqtrdi 2782	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = (Base‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  {csn 4623  {ctp 4627  ⟨cop 4629  ⟨cotp 4631  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  1c1 11113  5c5 12274  ;cdc 12681  ndxcnx 17135  Basecbs 17153  +_gcplusg 17206  Hom chom 17217  compcco 17218  Mndcmnd 18667  MndToCatcmndtc 47977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-hom 17230  df-cco 17231  df-mndtc 47978

This theorem is referenced by:  mndtccatid  47987  grptcmon  47990  grptcepi  47991