Theorem mndtchom 48411

Description: The only hom-set of the category built from a monoid is the base set of the monoid. (Contributed by Zhi Wang, 22-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndtcbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
mndtcbas.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
mndtcbas.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
mndtchom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mndtchom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
mndtchom.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
mndtchom	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = (Base‘𝑀))

Proof of Theorem mndtchom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndtchom.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘𝐶))
2		mndtcbas.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
3		mndtcbas.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
4	2, 3	mndtcval 48406	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}⟩})
5		catstr 17981	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}⟩} Struct ⟨1, ;15⟩
6		homid 17426	. . . . 5 ⊢ Hom = Slot (Hom ‘ndx)
7		snsstp2 4826	. . . . 5 ⊢ {⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}⟩}
8		snex 5437	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩} ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩} ∈ V)
10		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
11	4, 5, 6, 7, 9, 10	strfv3 17207	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩})
12	1, 11	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩})
13		mndtcbas.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
14		mndtchom.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
15	2, 3, 13, 14	mndtcob 48409	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑀)
16		mndtchom.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
17	2, 3, 13, 16	mndtcob 48409	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = 𝑀)
18	12, 15, 17	oveq123d 7445	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = (𝑀{⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}𝑀))
19		df-ot 4642	. . . . 5 ⊢ ⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩ = ⟨⟨𝑀, 𝑀⟩, (Base‘𝑀)⟩
20	19	sneqi 4644	. . . 4 ⊢ {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩} = {⟨⟨𝑀, 𝑀⟩, (Base‘𝑀)⟩}
21	20	oveqi 7437	. . 3 ⊢ (𝑀{⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}𝑀) = (𝑀{⟨⟨𝑀, 𝑀⟩, (Base‘𝑀)⟩}𝑀)
22		df-ov 7427	. . 3 ⊢ (𝑀{⟨⟨𝑀, 𝑀⟩, (Base‘𝑀)⟩}𝑀) = ({⟨⟨𝑀, 𝑀⟩, (Base‘𝑀)⟩}‘⟨𝑀, 𝑀⟩)
23		opex 5470	. . . 4 ⊢ ⟨𝑀, 𝑀⟩ ∈ V
24		fvex 6914	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) ∈ V
25	23, 24	fvsn 7195	. . 3 ⊢ ({⟨⟨𝑀, 𝑀⟩, (Base‘𝑀)⟩}‘⟨𝑀, 𝑀⟩) = (Base‘𝑀)
26	21, 22, 25	3eqtri 2758	. 2 ⊢ (𝑀{⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}𝑀) = (Base‘𝑀)
27	18, 26	eqtrdi 2782	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = (Base‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3462  {csn 4633  {ctp 4637  ⟨cop 4639  ⟨cotp 4641  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  1c1 11159  5c5 12322  ;cdc 12729  ndxcnx 17195  Basecbs 17213  +_gcplusg 17266  Hom chom 17277  compcco 17278  Mndcmnd 18727  MndToCatcmndtc 48404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-ot 4642  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13539  df-struct 17149  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-hom 17290  df-cco 17291  df-mndtc 48405

This theorem is referenced by:  mndtccatid  48414  grptcmon  48417  grptcepi  48418