MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpmat0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpmat0d 22556
Description: The characteristic polynomial of the empty matrix. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
chpmat0.c ๐ถ = (โˆ… CharPlyMat ๐‘…)
Assertion
Ref Expression
chpmat0d (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (๐ถโ€˜โˆ…) = (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…)))

Proof of Theorem chpmat0d
StepHypRef Expression
1 0fin 9173 . . 3 โˆ… โˆˆ Fin
2 id 22 . . 3 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
3 0ex 5306 . . . . 5 โˆ… โˆˆ V
43snid 4663 . . . 4 โˆ… โˆˆ {โˆ…}
5 mat0dimbas0 22188 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (Baseโ€˜(โˆ… Mat ๐‘…)) = {โˆ…})
64, 5eleqtrrid 2838 . . 3 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ โˆ… โˆˆ (Baseโ€˜(โˆ… Mat ๐‘…)))
7 chpmat0.c . . . 4 ๐ถ = (โˆ… CharPlyMat ๐‘…)
8 eqid 2730 . . . 4 (โˆ… Mat ๐‘…) = (โˆ… Mat ๐‘…)
9 eqid 2730 . . . 4 (Baseโ€˜(โˆ… Mat ๐‘…)) = (Baseโ€˜(โˆ… Mat ๐‘…))
10 eqid 2730 . . . 4 (Poly1โ€˜๐‘…) = (Poly1โ€˜๐‘…)
11 eqid 2730 . . . 4 (โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)) = (โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))
12 eqid 2730 . . . 4 (โˆ… maDet (Poly1โ€˜๐‘…)) = (โˆ… maDet (Poly1โ€˜๐‘…))
13 eqid 2730 . . . 4 (-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = (-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))
14 eqid 2730 . . . 4 (var1โ€˜๐‘…) = (var1โ€˜๐‘…)
15 eqid 2730 . . . 4 ( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = ( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))
16 eqid 2730 . . . 4 (โˆ… matToPolyMat ๐‘…) = (โˆ… matToPolyMat ๐‘…)
17 eqid 2730 . . . 4 (1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = (1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))
187, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17chpmatval 22553 . . 3 ((โˆ… โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง โˆ… โˆˆ (Baseโ€˜(โˆ… Mat ๐‘…))) โ†’ (๐ถโ€˜โˆ…) = ((โˆ… maDet (Poly1โ€˜๐‘…))โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))))
191, 2, 6, 18mp3an2i 1464 . 2 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (๐ถโ€˜โˆ…) = ((โˆ… maDet (Poly1โ€˜๐‘…))โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))))
2010ply1ring 21990 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (Poly1โ€˜๐‘…) โˆˆ Ring)
21 mdet0pr 22314 . . . . 5 ((Poly1โ€˜๐‘…) โˆˆ Ring โ†’ (โˆ… maDet (Poly1โ€˜๐‘…)) = {โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ})
2221fveq1d 6892 . . . 4 ((Poly1โ€˜๐‘…) โˆˆ Ring โ†’ ((โˆ… maDet (Poly1โ€˜๐‘…))โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))) = ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))))
2320, 22syl 17 . . 3 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ((โˆ… maDet (Poly1โ€˜๐‘…))โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))) = ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))))
2411mat0dimid 22190 . . . . . . . . . 10 ((Poly1โ€˜๐‘…) โˆˆ Ring โ†’ (1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = โˆ…)
2520, 24syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = โˆ…)
2625oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))) = ((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))โˆ…))
27 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (Baseโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…)) = (Baseโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))
2814, 10, 27vr1cl 21960 . . . . . . . . 9 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (var1โ€˜๐‘…) โˆˆ (Baseโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…)))
2911mat0dimscm 22191 . . . . . . . . 9 (((Poly1โ€˜๐‘…) โˆˆ Ring โˆง (var1โ€˜๐‘…) โˆˆ (Baseโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))) โ†’ ((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))โˆ…) = โˆ…)
3020, 28, 29syl2anc 582 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))โˆ…) = โˆ…)
3126, 30eqtrd 2770 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))) = โˆ…)
32 d0mat2pmat 22460 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…) = โˆ…)
3331, 32oveq12d 7429 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…)) = (โˆ…(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))โˆ…))
3411matring 22165 . . . . . . . . 9 ((โˆ… โˆˆ Fin โˆง (Poly1โ€˜๐‘…) โˆˆ Ring) โ†’ (โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)) โˆˆ Ring)
351, 20, 34sylancr 585 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)) โˆˆ Ring)
36 ringgrp 20132 . . . . . . . 8 ((โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)) โˆˆ Ring โ†’ (โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)) โˆˆ Grp)
3735, 36syl 17 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)) โˆˆ Grp)
38 mat0dimbas0 22188 . . . . . . . . 9 ((Poly1โ€˜๐‘…) โˆˆ Ring โ†’ (Baseโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = {โˆ…})
3920, 38syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (Baseโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = {โˆ…})
404, 39eleqtrrid 2838 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ โˆ… โˆˆ (Baseโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))
41 eqid 2730 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = (Baseโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))
42 eqid 2730 . . . . . . . 8 (0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = (0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))
4341, 42, 13grpsubid 18943 . . . . . . 7 (((โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)) โˆˆ Grp โˆง โˆ… โˆˆ (Baseโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))) โ†’ (โˆ…(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))โˆ…) = (0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))
4437, 40, 43syl2anc 582 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (โˆ…(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))โˆ…) = (0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))
4533, 44eqtrd 2770 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…)) = (0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))
4645fveq2d 6894 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))) = ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜(0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))))
4711mat0dim0 22189 . . . . . . 7 ((Poly1โ€˜๐‘…) โˆˆ Ring โ†’ (0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = โˆ…)
4820, 47syl 17 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = โˆ…)
4948fveq2d 6894 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜(0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))) = ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜โˆ…))
50 fvex 6903 . . . . . 6 (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…)) โˆˆ V
513, 50fvsn 7180 . . . . 5 ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜โˆ…) = (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))
5249, 51eqtrdi 2786 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜(0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))) = (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…)))
5346, 52eqtrd 2770 . . 3 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))) = (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…)))
5423, 53eqtrd 2770 . 2 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ((โˆ… maDet (Poly1โ€˜๐‘…))โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))) = (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…)))
5519, 54eqtrd 2770 1 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (๐ถโ€˜โˆ…) = (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆ…c0 4321  {csn 4627  โŸจcop 4633  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  Basecbs 17148   ยท๐‘  cvsca 17205  0gc0g 17389  Grpcgrp 18855  -gcsg 18857  1rcur 20075  Ringcrg 20127  var1cv1 21919  Poly1cpl1 21920   Mat cmat 22127   maDet cmdat 22306   matToPolyMat cmat2pmat 22426   CharPlyMat cchpmat 22548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-xor 1508  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-word 14469  df-lsw 14517  df-concat 14525  df-s1 14550  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-splice 14704  df-reverse 14713  df-s2 14803  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-efmnd 18786  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-gim 19173  df-cntz 19222  df-oppg 19251  df-symg 19276  df-pmtr 19351  df-psgn 19400  df-evpm 19401  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-rhm 20363  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-drng 20502  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-cnfld 21145  df-zring 21218  df-zrh 21272  df-dsmm 21506  df-frlm 21521  df-psr 21681  df-mvr 21682  df-mpl 21683  df-opsr 21685  df-psr1 21923  df-vr1 21924  df-ply1 21925  df-mamu 22106  df-mat 22128  df-mdet 22307  df-mat2pmat 22429  df-chpmat 22549
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator