MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpmat0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpmat0d 22691
Description: The characteristic polynomial of the empty matrix. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
chpmat0.c ๐ถ = (โˆ… CharPlyMat ๐‘…)
Assertion
Ref Expression
chpmat0d (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (๐ถโ€˜โˆ…) = (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…)))

Proof of Theorem chpmat0d
StepHypRef Expression
1 0fin 9173 . . 3 โˆ… โˆˆ Fin
2 id 22 . . 3 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
3 0ex 5300 . . . . 5 โˆ… โˆˆ V
43snid 4659 . . . 4 โˆ… โˆˆ {โˆ…}
5 mat0dimbas0 22323 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (Baseโ€˜(โˆ… Mat ๐‘…)) = {โˆ…})
64, 5eleqtrrid 2834 . . 3 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ โˆ… โˆˆ (Baseโ€˜(โˆ… Mat ๐‘…)))
7 chpmat0.c . . . 4 ๐ถ = (โˆ… CharPlyMat ๐‘…)
8 eqid 2726 . . . 4 (โˆ… Mat ๐‘…) = (โˆ… Mat ๐‘…)
9 eqid 2726 . . . 4 (Baseโ€˜(โˆ… Mat ๐‘…)) = (Baseโ€˜(โˆ… Mat ๐‘…))
10 eqid 2726 . . . 4 (Poly1โ€˜๐‘…) = (Poly1โ€˜๐‘…)
11 eqid 2726 . . . 4 (โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)) = (โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))
12 eqid 2726 . . . 4 (โˆ… maDet (Poly1โ€˜๐‘…)) = (โˆ… maDet (Poly1โ€˜๐‘…))
13 eqid 2726 . . . 4 (-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = (-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))
14 eqid 2726 . . . 4 (var1โ€˜๐‘…) = (var1โ€˜๐‘…)
15 eqid 2726 . . . 4 ( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = ( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))
16 eqid 2726 . . . 4 (โˆ… matToPolyMat ๐‘…) = (โˆ… matToPolyMat ๐‘…)
17 eqid 2726 . . . 4 (1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = (1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))
187, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17chpmatval 22688 . . 3 ((โˆ… โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง โˆ… โˆˆ (Baseโ€˜(โˆ… Mat ๐‘…))) โ†’ (๐ถโ€˜โˆ…) = ((โˆ… maDet (Poly1โ€˜๐‘…))โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))))
191, 2, 6, 18mp3an2i 1462 . 2 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (๐ถโ€˜โˆ…) = ((โˆ… maDet (Poly1โ€˜๐‘…))โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))))
2010ply1ring 22121 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (Poly1โ€˜๐‘…) โˆˆ Ring)
21 mdet0pr 22449 . . . . 5 ((Poly1โ€˜๐‘…) โˆˆ Ring โ†’ (โˆ… maDet (Poly1โ€˜๐‘…)) = {โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ})
2221fveq1d 6887 . . . 4 ((Poly1โ€˜๐‘…) โˆˆ Ring โ†’ ((โˆ… maDet (Poly1โ€˜๐‘…))โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))) = ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))))
2320, 22syl 17 . . 3 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ((โˆ… maDet (Poly1โ€˜๐‘…))โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))) = ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))))
2411mat0dimid 22325 . . . . . . . . . 10 ((Poly1โ€˜๐‘…) โˆˆ Ring โ†’ (1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = โˆ…)
2520, 24syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = โˆ…)
2625oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))) = ((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))โˆ…))
27 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (Baseโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…)) = (Baseโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))
2814, 10, 27vr1cl 22091 . . . . . . . . 9 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (var1โ€˜๐‘…) โˆˆ (Baseโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…)))
2911mat0dimscm 22326 . . . . . . . . 9 (((Poly1โ€˜๐‘…) โˆˆ Ring โˆง (var1โ€˜๐‘…) โˆˆ (Baseโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))) โ†’ ((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))โˆ…) = โˆ…)
3020, 28, 29syl2anc 583 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))โˆ…) = โˆ…)
3126, 30eqtrd 2766 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))) = โˆ…)
32 d0mat2pmat 22595 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…) = โˆ…)
3331, 32oveq12d 7423 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…)) = (โˆ…(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))โˆ…))
3411matring 22300 . . . . . . . . 9 ((โˆ… โˆˆ Fin โˆง (Poly1โ€˜๐‘…) โˆˆ Ring) โ†’ (โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)) โˆˆ Ring)
351, 20, 34sylancr 586 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)) โˆˆ Ring)
36 ringgrp 20143 . . . . . . . 8 ((โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)) โˆˆ Ring โ†’ (โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)) โˆˆ Grp)
3735, 36syl 17 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)) โˆˆ Grp)
38 mat0dimbas0 22323 . . . . . . . . 9 ((Poly1โ€˜๐‘…) โˆˆ Ring โ†’ (Baseโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = {โˆ…})
3920, 38syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (Baseโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = {โˆ…})
404, 39eleqtrrid 2834 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ โˆ… โˆˆ (Baseโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))
41 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = (Baseโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))
42 eqid 2726 . . . . . . . 8 (0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = (0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))
4341, 42, 13grpsubid 18952 . . . . . . 7 (((โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)) โˆˆ Grp โˆง โˆ… โˆˆ (Baseโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))) โ†’ (โˆ…(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))โˆ…) = (0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))
4437, 40, 43syl2anc 583 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (โˆ…(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))โˆ…) = (0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))
4533, 44eqtrd 2766 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…)) = (0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))
4645fveq2d 6889 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))) = ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜(0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))))
4711mat0dim0 22324 . . . . . . 7 ((Poly1โ€˜๐‘…) โˆˆ Ring โ†’ (0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = โˆ…)
4820, 47syl 17 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = โˆ…)
4948fveq2d 6889 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜(0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))) = ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜โˆ…))
50 fvex 6898 . . . . . 6 (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…)) โˆˆ V
513, 50fvsn 7175 . . . . 5 ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜โˆ…) = (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))
5249, 51eqtrdi 2782 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜(0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))) = (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…)))
5346, 52eqtrd 2766 . . 3 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))) = (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…)))
5423, 53eqtrd 2766 . 2 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ((โˆ… maDet (Poly1โ€˜๐‘…))โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))) = (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…)))
5519, 54eqtrd 2766 1 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (๐ถโ€˜โˆ…) = (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ…c0 4317  {csn 4623  โŸจcop 4629  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  Basecbs 17153   ยท๐‘  cvsca 17210  0gc0g 17394  Grpcgrp 18863  -gcsg 18865  1rcur 20086  Ringcrg 20138  var1cv1 22050  Poly1cpl1 22051   Mat cmat 22262   maDet cmdat 22441   matToPolyMat cmat2pmat 22561   CharPlyMat cchpmat 22683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-word 14471  df-lsw 14519  df-concat 14527  df-s1 14552  df-substr 14597  df-pfx 14627  df-splice 14706  df-reverse 14715  df-s2 14805  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-efmnd 18794  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-gim 19184  df-cntz 19233  df-oppg 19262  df-symg 19287  df-pmtr 19362  df-psgn 19411  df-evpm 19412  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-cnfld 21241  df-zring 21334  df-zrh 21390  df-dsmm 21627  df-frlm 21642  df-psr 21803  df-mvr 21804  df-mpl 21805  df-opsr 21807  df-psr1 22054  df-vr1 22055  df-ply1 22056  df-mamu 22241  df-mat 22263  df-mdet 22442  df-mat2pmat 22564  df-chpmat 22684
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator