MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpmat0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpmat0d 22764
Description: The characteristic polynomial of the empty matrix. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
chpmat0.c ๐ถ = (โˆ… CharPlyMat ๐‘…)
Assertion
Ref Expression
chpmat0d (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (๐ถโ€˜โˆ…) = (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…)))

Proof of Theorem chpmat0d
StepHypRef Expression
1 0fin 9204 . . 3 โˆ… โˆˆ Fin
2 id 22 . . 3 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
3 0ex 5311 . . . . 5 โˆ… โˆˆ V
43snid 4669 . . . 4 โˆ… โˆˆ {โˆ…}
5 mat0dimbas0 22396 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (Baseโ€˜(โˆ… Mat ๐‘…)) = {โˆ…})
64, 5eleqtrrid 2836 . . 3 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ โˆ… โˆˆ (Baseโ€˜(โˆ… Mat ๐‘…)))
7 chpmat0.c . . . 4 ๐ถ = (โˆ… CharPlyMat ๐‘…)
8 eqid 2728 . . . 4 (โˆ… Mat ๐‘…) = (โˆ… Mat ๐‘…)
9 eqid 2728 . . . 4 (Baseโ€˜(โˆ… Mat ๐‘…)) = (Baseโ€˜(โˆ… Mat ๐‘…))
10 eqid 2728 . . . 4 (Poly1โ€˜๐‘…) = (Poly1โ€˜๐‘…)
11 eqid 2728 . . . 4 (โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)) = (โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))
12 eqid 2728 . . . 4 (โˆ… maDet (Poly1โ€˜๐‘…)) = (โˆ… maDet (Poly1โ€˜๐‘…))
13 eqid 2728 . . . 4 (-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = (-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))
14 eqid 2728 . . . 4 (var1โ€˜๐‘…) = (var1โ€˜๐‘…)
15 eqid 2728 . . . 4 ( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = ( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))
16 eqid 2728 . . . 4 (โˆ… matToPolyMat ๐‘…) = (โˆ… matToPolyMat ๐‘…)
17 eqid 2728 . . . 4 (1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = (1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))
187, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17chpmatval 22761 . . 3 ((โˆ… โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง โˆ… โˆˆ (Baseโ€˜(โˆ… Mat ๐‘…))) โ†’ (๐ถโ€˜โˆ…) = ((โˆ… maDet (Poly1โ€˜๐‘…))โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))))
191, 2, 6, 18mp3an2i 1462 . 2 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (๐ถโ€˜โˆ…) = ((โˆ… maDet (Poly1โ€˜๐‘…))โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))))
2010ply1ring 22185 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (Poly1โ€˜๐‘…) โˆˆ Ring)
21 mdet0pr 22522 . . . . 5 ((Poly1โ€˜๐‘…) โˆˆ Ring โ†’ (โˆ… maDet (Poly1โ€˜๐‘…)) = {โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ})
2221fveq1d 6904 . . . 4 ((Poly1โ€˜๐‘…) โˆˆ Ring โ†’ ((โˆ… maDet (Poly1โ€˜๐‘…))โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))) = ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))))
2320, 22syl 17 . . 3 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ((โˆ… maDet (Poly1โ€˜๐‘…))โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))) = ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))))
2411mat0dimid 22398 . . . . . . . . . 10 ((Poly1โ€˜๐‘…) โˆˆ Ring โ†’ (1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = โˆ…)
2520, 24syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = โˆ…)
2625oveq2d 7442 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))) = ((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))โˆ…))
27 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (Baseโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…)) = (Baseโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))
2814, 10, 27vr1cl 22155 . . . . . . . . 9 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (var1โ€˜๐‘…) โˆˆ (Baseโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…)))
2911mat0dimscm 22399 . . . . . . . . 9 (((Poly1โ€˜๐‘…) โˆˆ Ring โˆง (var1โ€˜๐‘…) โˆˆ (Baseโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))) โ†’ ((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))โˆ…) = โˆ…)
3020, 28, 29syl2anc 582 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))โˆ…) = โˆ…)
3126, 30eqtrd 2768 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))) = โˆ…)
32 d0mat2pmat 22668 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…) = โˆ…)
3331, 32oveq12d 7444 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…)) = (โˆ…(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))โˆ…))
3411matring 22373 . . . . . . . . 9 ((โˆ… โˆˆ Fin โˆง (Poly1โ€˜๐‘…) โˆˆ Ring) โ†’ (โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)) โˆˆ Ring)
351, 20, 34sylancr 585 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)) โˆˆ Ring)
36 ringgrp 20192 . . . . . . . 8 ((โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)) โˆˆ Ring โ†’ (โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)) โˆˆ Grp)
3735, 36syl 17 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)) โˆˆ Grp)
38 mat0dimbas0 22396 . . . . . . . . 9 ((Poly1โ€˜๐‘…) โˆˆ Ring โ†’ (Baseโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = {โˆ…})
3920, 38syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (Baseโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = {โˆ…})
404, 39eleqtrrid 2836 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ โˆ… โˆˆ (Baseโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))
41 eqid 2728 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = (Baseโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))
42 eqid 2728 . . . . . . . 8 (0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = (0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))
4341, 42, 13grpsubid 18994 . . . . . . 7 (((โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)) โˆˆ Grp โˆง โˆ… โˆˆ (Baseโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))) โ†’ (โˆ…(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))โˆ…) = (0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))
4437, 40, 43syl2anc 582 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (โˆ…(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))โˆ…) = (0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))
4533, 44eqtrd 2768 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…)) = (0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))
4645fveq2d 6906 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))) = ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜(0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))))
4711mat0dim0 22397 . . . . . . 7 ((Poly1โ€˜๐‘…) โˆˆ Ring โ†’ (0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = โˆ…)
4820, 47syl 17 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = โˆ…)
4948fveq2d 6906 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜(0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))) = ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜โˆ…))
50 fvex 6915 . . . . . 6 (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…)) โˆˆ V
513, 50fvsn 7196 . . . . 5 ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜โˆ…) = (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))
5249, 51eqtrdi 2784 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜(0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))) = (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…)))
5346, 52eqtrd 2768 . . 3 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))) = (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…)))
5423, 53eqtrd 2768 . 2 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ((โˆ… maDet (Poly1โ€˜๐‘…))โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))) = (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…)))
5519, 54eqtrd 2768 1 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (๐ถโ€˜โˆ…) = (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ…c0 4326  {csn 4632  โŸจcop 4638  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Fincfn 8972  Basecbs 17189   ยท๐‘  cvsca 17246  0gc0g 17430  Grpcgrp 18904  -gcsg 18906  1rcur 20135  Ringcrg 20187  var1cv1 22113  Poly1cpl1 22114   Mat cmat 22335   maDet cmdat 22514   matToPolyMat cmat2pmat 22634   CharPlyMat cchpmat 22756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-addf 11227  ax-mulf 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-ofr 7693  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-tpos 8240  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-sup 9475  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-xnn0 12585  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14332  df-word 14507  df-lsw 14555  df-concat 14563  df-s1 14588  df-substr 14633  df-pfx 14663  df-splice 14742  df-reverse 14751  df-s2 14841  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-hom 17266  df-cco 17267  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-prds 17438  df-pws 17440  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-efmnd 18835  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19038  df-subg 19092  df-ghm 19182  df-gim 19227  df-cntz 19282  df-oppg 19311  df-symg 19336  df-pmtr 19411  df-psgn 19460  df-evpm 19461  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-cring 20190  df-oppr 20287  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-invr 20341  df-dvr 20354  df-rhm 20425  df-subrng 20497  df-subrg 20522  df-drng 20640  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-sra 21072  df-rgmod 21073  df-cnfld 21294  df-zring 21387  df-zrh 21443  df-dsmm 21680  df-frlm 21695  df-psr 21856  df-mvr 21857  df-mpl 21858  df-opsr 21860  df-psr1 22117  df-vr1 22118  df-ply1 22119  df-mamu 22319  df-mat 22336  df-mdet 22515  df-mat2pmat 22637  df-chpmat 22757
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator