Theorem chpmat0d 22729

Description: The characteristic polynomial of the empty matrix. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
chpmat0.c	⊢ 𝐶 = (∅ CharPlyMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
chpmat0d	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐶‘∅) = (1r‘(Poly1‘𝑅)))

Proof of Theorem chpmat0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fin 9189	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
3		0ex 5301	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
4	3	snid 4660	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ {∅}
5		mat0dimbas0 22361	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
6	4, 5	eleqtrrid 2836	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
7		chpmat0.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (∅ CharPlyMat 𝑅)
8		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (∅ Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅)
9		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅))
10		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
11		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (∅ Mat (Poly1‘𝑅)) = (∅ Mat (Poly1‘𝑅))
12		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (∅ maDet (Poly1‘𝑅)) = (∅ maDet (Poly1‘𝑅))
13		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))) = (-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))
14		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
15		eqid 2728	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))) = ( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))
16		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (∅ matToPolyMat 𝑅) = (∅ matToPolyMat 𝑅)
17		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))) = (1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))
18	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	chpmatval 22726	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ ∅ ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅))) → (𝐶‘∅) = ((∅ maDet (Poly1‘𝑅))‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))))
19	1, 2, 6, 18	mp3an2i 1463	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐶‘∅) = ((∅ maDet (Poly1‘𝑅))‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))))
20	10	ply1ring 22159	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Poly1‘𝑅) ∈ Ring)
21		mdet0pr 22487	. . . . 5 ⊢ ((Poly1‘𝑅) ∈ Ring → (∅ maDet (Poly1‘𝑅)) = {⟨∅, (1r‘(Poly1‘𝑅))⟩})
22	21	fveq1d 6893	. . . 4 ⊢ ((Poly1‘𝑅) ∈ Ring → ((∅ maDet (Poly1‘𝑅))‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))) = ({⟨∅, (1r‘(Poly1‘𝑅))⟩}‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))))
23	20, 22	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((∅ maDet (Poly1‘𝑅))‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))) = ({⟨∅, (1r‘(Poly1‘𝑅))⟩}‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))))
24	11	mat0dimid 22363	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Poly1‘𝑅) ∈ Ring → (1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))) = ∅)
25	20, 24	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))) = ∅)
26	25	oveq2d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))) = ((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))∅))
27		eqid 2728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
28	14, 10, 27	vr1cl 22129	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
29	11	mat0dimscm 22364	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Poly1‘𝑅) ∈ Ring ∧ (var1‘𝑅) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → ((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))∅) = ∅)
30	20, 28, 29	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))∅) = ∅)
31	26, 30	eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))) = ∅)
32		d0mat2pmat 22633	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅) = ∅)
33	31, 32	oveq12d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅)) = (∅(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))∅))
34	11	matring 22338	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ (Poly1‘𝑅) ∈ Ring) → (∅ Mat (Poly1‘𝑅)) ∈ Ring)
35	1, 20, 34	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∅ Mat (Poly1‘𝑅)) ∈ Ring)
36		ringgrp 20171	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ Mat (Poly1‘𝑅)) ∈ Ring → (∅ Mat (Poly1‘𝑅)) ∈ Grp)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∅ Mat (Poly1‘𝑅)) ∈ Grp)
38		mat0dimbas0 22361	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Poly1‘𝑅) ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))) = {∅})
39	20, 38	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))) = {∅})
40	4, 39	eleqtrrid 2836	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ (Base‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))
41		eqid 2728	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))) = (Base‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))
42		eqid 2728	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))) = (0g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))
43	41, 42, 13	grpsubid 18973	. . . . . . 7 ⊢ (((∅ Mat (Poly1‘𝑅)) ∈ Grp ∧ ∅ ∈ (Base‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))) → (∅(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))∅) = (0g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))
44	37, 40, 43	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∅(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))∅) = (0g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))
45	33, 44	eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅)) = (0g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))
46	45	fveq2d 6895	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({⟨∅, (1r‘(Poly1‘𝑅))⟩}‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))) = ({⟨∅, (1r‘(Poly1‘𝑅))⟩}‘(0g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))))
47	11	mat0dim0 22362	. . . . . . 7 ⊢ ((Poly1‘𝑅) ∈ Ring → (0g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))) = ∅)
48	20, 47	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))) = ∅)
49	48	fveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({⟨∅, (1r‘(Poly1‘𝑅))⟩}‘(0g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))) = ({⟨∅, (1r‘(Poly1‘𝑅))⟩}‘∅))
50		fvex 6904	. . . . . 6 ⊢ (1r‘(Poly1‘𝑅)) ∈ V
51	3, 50	fvsn 7184	. . . . 5 ⊢ ({⟨∅, (1r‘(Poly1‘𝑅))⟩}‘∅) = (1r‘(Poly1‘𝑅))
52	49, 51	eqtrdi 2784	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({⟨∅, (1r‘(Poly1‘𝑅))⟩}‘(0g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))) = (1r‘(Poly1‘𝑅)))
53	46, 52	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({⟨∅, (1r‘(Poly1‘𝑅))⟩}‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))) = (1r‘(Poly1‘𝑅)))
54	23, 53	eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((∅ maDet (Poly1‘𝑅))‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))) = (1r‘(Poly1‘𝑅)))
55	19, 54	eqtrd 2768	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐶‘∅) = (1r‘(Poly1‘𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∅c0 4318  {csn 4624  ⟨cop 4630  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8957  Basecbs 17173   ·_𝑠 cvsca 17230  0_gc0g 17414  Grpcgrp 18883  -_gcsg 18885  1_rcur 20114  Ringcrg 20166  var₁cv1 22088  Poly₁cpl1 22089   Mat cmat 22300   maDet cmdat 22479   matToPolyMat cmat2pmat 22599   CharPlyMat cchpmat 22721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-addf 11211  ax-mulf 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-xor 1506  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9380  df-sup 9459  df-oi 9527  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-xnn0 12569  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-rp 13001  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-seq 13993  df-exp 14053  df-hash 14316  df-word 14491  df-lsw 14539  df-concat 14547  df-s1 14572  df-substr 14617  df-pfx 14647  df-splice 14726  df-reverse 14735  df-s2 14825  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-hom 17250  df-cco 17251  df-0g 17416  df-gsum 17417  df-prds 17422  df-pws 17424  df-mre 17559  df-mrc 17560  df-acs 17562  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-mhm 18733  df-submnd 18734  df-efmnd 18814  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-mulg 19017  df-subg 19071  df-ghm 19161  df-gim 19206  df-cntz 19261  df-oppg 19290  df-symg 19315  df-pmtr 19390  df-psgn 19439  df-evpm 19440  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-oppr 20266  df-dvdsr 20289  df-unit 20290  df-invr 20320  df-dvr 20333  df-rhm 20404  df-subrng 20476  df-subrg 20501  df-drng 20619  df-lmod 20738  df-lss 20809  df-sra 21051  df-rgmod 21052  df-cnfld 21273  df-zring 21366  df-zrh 21422  df-dsmm 21659  df-frlm 21674  df-psr 21835  df-mvr 21836  df-mpl 21837  df-opsr 21839  df-psr1 22092  df-vr1 22093  df-ply1 22094  df-mamu 22279  df-mat 22301  df-mdet 22480  df-mat2pmat 22602  df-chpmat 22722

This theorem is referenced by: (None)