Theorem chpmat0d 22776

Description: The characteristic polynomial of the empty matrix. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
chpmat0.c	⊢ 𝐶 = (∅ CharPlyMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
chpmat0d	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐶‘∅) = (1r‘(Poly1‘𝑅)))

Proof of Theorem chpmat0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fi 8977	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
3		0ex 5250	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
4	3	snid 4617	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ {∅}
5		mat0dimbas0 22408	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
6	4, 5	eleqtrrid 2841	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
7		chpmat0.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (∅ CharPlyMat 𝑅)
8		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (∅ Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅)
9		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅))
10		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
11		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (∅ Mat (Poly1‘𝑅)) = (∅ Mat (Poly1‘𝑅))
12		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (∅ maDet (Poly1‘𝑅)) = (∅ maDet (Poly1‘𝑅))
13		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))) = (-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))
14		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
15		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))) = ( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))
16		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (∅ matToPolyMat 𝑅) = (∅ matToPolyMat 𝑅)
17		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))) = (1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))
18	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	chpmatval 22773	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ ∅ ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅))) → (𝐶‘∅) = ((∅ maDet (Poly1‘𝑅))‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))))
19	1, 2, 6, 18	mp3an2i 1468	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐶‘∅) = ((∅ maDet (Poly1‘𝑅))‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))))
20	10	ply1ring 22186	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Poly1‘𝑅) ∈ Ring)
21		mdet0pr 22534	. . . . 5 ⊢ ((Poly1‘𝑅) ∈ Ring → (∅ maDet (Poly1‘𝑅)) = {⟨∅, (1r‘(Poly1‘𝑅))⟩})
22	21	fveq1d 6834	. . . 4 ⊢ ((Poly1‘𝑅) ∈ Ring → ((∅ maDet (Poly1‘𝑅))‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))) = ({⟨∅, (1r‘(Poly1‘𝑅))⟩}‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))))
23	20, 22	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((∅ maDet (Poly1‘𝑅))‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))) = ({⟨∅, (1r‘(Poly1‘𝑅))⟩}‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))))
24	11	mat0dimid 22410	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Poly1‘𝑅) ∈ Ring → (1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))) = ∅)
25	20, 24	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))) = ∅)
26	25	oveq2d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))) = ((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))∅))
27		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
28	14, 10, 27	vr1cl 22156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
29	11	mat0dimscm 22411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Poly1‘𝑅) ∈ Ring ∧ (var1‘𝑅) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → ((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))∅) = ∅)
30	20, 28, 29	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))∅) = ∅)
31	26, 30	eqtrd 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))) = ∅)
32		d0mat2pmat 22680	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅) = ∅)
33	31, 32	oveq12d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅)) = (∅(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))∅))
34	11	matring 22385	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ (Poly1‘𝑅) ∈ Ring) → (∅ Mat (Poly1‘𝑅)) ∈ Ring)
35	1, 20, 34	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∅ Mat (Poly1‘𝑅)) ∈ Ring)
36		ringgrp 20171	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ Mat (Poly1‘𝑅)) ∈ Ring → (∅ Mat (Poly1‘𝑅)) ∈ Grp)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∅ Mat (Poly1‘𝑅)) ∈ Grp)
38		mat0dimbas0 22408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Poly1‘𝑅) ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))) = {∅})
39	20, 38	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))) = {∅})
40	4, 39	eleqtrrid 2841	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ (Base‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))
41		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))) = (Base‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))
42		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))) = (0g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))
43	41, 42, 13	grpsubid 18952	. . . . . . 7 ⊢ (((∅ Mat (Poly1‘𝑅)) ∈ Grp ∧ ∅ ∈ (Base‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))) → (∅(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))∅) = (0g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))
44	37, 40, 43	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∅(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))∅) = (0g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))
45	33, 44	eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅)) = (0g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))
46	45	fveq2d 6836	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({⟨∅, (1r‘(Poly1‘𝑅))⟩}‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))) = ({⟨∅, (1r‘(Poly1‘𝑅))⟩}‘(0g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))))
47	11	mat0dim0 22409	. . . . . . 7 ⊢ ((Poly1‘𝑅) ∈ Ring → (0g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))) = ∅)
48	20, 47	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))) = ∅)
49	48	fveq2d 6836	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({⟨∅, (1r‘(Poly1‘𝑅))⟩}‘(0g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))) = ({⟨∅, (1r‘(Poly1‘𝑅))⟩}‘∅))
50		fvex 6845	. . . . . 6 ⊢ (1r‘(Poly1‘𝑅)) ∈ V
51	3, 50	fvsn 7125	. . . . 5 ⊢ ({⟨∅, (1r‘(Poly1‘𝑅))⟩}‘∅) = (1r‘(Poly1‘𝑅))
52	49, 51	eqtrdi 2785	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({⟨∅, (1r‘(Poly1‘𝑅))⟩}‘(0g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))) = (1r‘(Poly1‘𝑅)))
53	46, 52	eqtrd 2769	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({⟨∅, (1r‘(Poly1‘𝑅))⟩}‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))) = (1r‘(Poly1‘𝑅)))
54	23, 53	eqtrd 2769	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((∅ maDet (Poly1‘𝑅))‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))) = (1r‘(Poly1‘𝑅)))
55	19, 54	eqtrd 2769	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐶‘∅) = (1r‘(Poly1‘𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∅c0 4283  {csn 4578  ⟨cop 4584  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Fincfn 8881  Basecbs 17134   ·_𝑠 cvsca 17179  0_gc0g 17357  Grpcgrp 18861  -_gcsg 18863  1_rcur 20114  Ringcrg 20166  var₁cv1 22114  Poly₁cpl1 22115   Mat cmat 22349   maDet cmdat 22526   matToPolyMat cmat2pmat 22646   CharPlyMat cchpmat 22768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-addf 11103  ax-mulf 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1513  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-ot 4587  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-ofr 7621  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-sup 9343  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-xnn0 12473  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-rp 12904  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-exp 13983  df-hash 14252  df-word 14435  df-lsw 14484  df-concat 14492  df-s1 14518  df-substr 14563  df-pfx 14593  df-splice 14671  df-reverse 14680  df-s2 14769  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-hom 17199  df-cco 17200  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-prds 17365  df-pws 17367  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-efmnd 18792  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18996  df-subg 19051  df-ghm 19140  df-gim 19186  df-cntz 19244  df-oppg 19273  df-symg 19297  df-pmtr 19369  df-psgn 19418  df-evpm 19419  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-oppr 20271  df-dvdsr 20291  df-unit 20292  df-invr 20322  df-dvr 20335  df-rhm 20406  df-subrng 20477  df-subrg 20501  df-drng 20662  df-lmod 20811  df-lss 20881  df-sra 21123  df-rgmod 21124  df-cnfld 21308  df-zring 21400  df-zrh 21456  df-dsmm 21685  df-frlm 21700  df-psr 21863  df-mvr 21864  df-mpl 21865  df-opsr 21867  df-psr1 22118  df-vr1 22119  df-ply1 22120  df-mamu 22333  df-mat 22350  df-mdet 22527  df-mat2pmat 22649  df-chpmat 22769

This theorem is referenced by: (None)