Theorem chpmat0d 21983

Description: The characteristic polynomial of the empty matrix. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
chpmat0.c	⊢ 𝐶 = (∅ CharPlyMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
chpmat0d	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐶‘∅) = (1r‘(Poly1‘𝑅)))

Proof of Theorem chpmat0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fin 8954	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
3		0ex 5231	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
4	3	snid 4597	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ {∅}
5		mat0dimbas0 21615	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
6	4, 5	eleqtrrid 2846	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
7		chpmat0.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (∅ CharPlyMat 𝑅)
8		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (∅ Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅)
9		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅))
10		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
11		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (∅ Mat (Poly1‘𝑅)) = (∅ Mat (Poly1‘𝑅))
12		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (∅ maDet (Poly1‘𝑅)) = (∅ maDet (Poly1‘𝑅))
13		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))) = (-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))
14		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
15		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))) = ( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))
16		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (∅ matToPolyMat 𝑅) = (∅ matToPolyMat 𝑅)
17		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))) = (1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))
18	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	chpmatval 21980	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ ∅ ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅))) → (𝐶‘∅) = ((∅ maDet (Poly1‘𝑅))‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))))
19	1, 2, 6, 18	mp3an2i 1465	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐶‘∅) = ((∅ maDet (Poly1‘𝑅))‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))))
20	10	ply1ring 21419	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Poly1‘𝑅) ∈ Ring)
21		mdet0pr 21741	. . . . 5 ⊢ ((Poly1‘𝑅) ∈ Ring → (∅ maDet (Poly1‘𝑅)) = {⟨∅, (1r‘(Poly1‘𝑅))⟩})
22	21	fveq1d 6776	. . . 4 ⊢ ((Poly1‘𝑅) ∈ Ring → ((∅ maDet (Poly1‘𝑅))‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))) = ({⟨∅, (1r‘(Poly1‘𝑅))⟩}‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))))
23	20, 22	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((∅ maDet (Poly1‘𝑅))‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))) = ({⟨∅, (1r‘(Poly1‘𝑅))⟩}‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))))
24	11	mat0dimid 21617	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Poly1‘𝑅) ∈ Ring → (1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))) = ∅)
25	20, 24	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))) = ∅)
26	25	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))) = ((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))∅))
27		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
28	14, 10, 27	vr1cl 21388	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
29	11	mat0dimscm 21618	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Poly1‘𝑅) ∈ Ring ∧ (var1‘𝑅) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → ((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))∅) = ∅)
30	20, 28, 29	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))∅) = ∅)
31	26, 30	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))) = ∅)
32		d0mat2pmat 21887	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅) = ∅)
33	31, 32	oveq12d 7293	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅)) = (∅(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))∅))
34	11	matring 21592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ (Poly1‘𝑅) ∈ Ring) → (∅ Mat (Poly1‘𝑅)) ∈ Ring)
35	1, 20, 34	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∅ Mat (Poly1‘𝑅)) ∈ Ring)
36		ringgrp 19788	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ Mat (Poly1‘𝑅)) ∈ Ring → (∅ Mat (Poly1‘𝑅)) ∈ Grp)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∅ Mat (Poly1‘𝑅)) ∈ Grp)
38		mat0dimbas0 21615	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Poly1‘𝑅) ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))) = {∅})
39	20, 38	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))) = {∅})
40	4, 39	eleqtrrid 2846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ (Base‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))
41		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))) = (Base‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))
42		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))) = (0g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))
43	41, 42, 13	grpsubid 18659	. . . . . . 7 ⊢ (((∅ Mat (Poly1‘𝑅)) ∈ Grp ∧ ∅ ∈ (Base‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))) → (∅(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))∅) = (0g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))
44	37, 40, 43	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∅(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))∅) = (0g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))
45	33, 44	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅)) = (0g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))
46	45	fveq2d 6778	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({⟨∅, (1r‘(Poly1‘𝑅))⟩}‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))) = ({⟨∅, (1r‘(Poly1‘𝑅))⟩}‘(0g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))))
47	11	mat0dim0 21616	. . . . . . 7 ⊢ ((Poly1‘𝑅) ∈ Ring → (0g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))) = ∅)
48	20, 47	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))) = ∅)
49	48	fveq2d 6778	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({⟨∅, (1r‘(Poly1‘𝑅))⟩}‘(0g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))) = ({⟨∅, (1r‘(Poly1‘𝑅))⟩}‘∅))
50		fvex 6787	. . . . . 6 ⊢ (1r‘(Poly1‘𝑅)) ∈ V
51	3, 50	fvsn 7053	. . . . 5 ⊢ ({⟨∅, (1r‘(Poly1‘𝑅))⟩}‘∅) = (1r‘(Poly1‘𝑅))
52	49, 51	eqtrdi 2794	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({⟨∅, (1r‘(Poly1‘𝑅))⟩}‘(0g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))) = (1r‘(Poly1‘𝑅)))
53	46, 52	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({⟨∅, (1r‘(Poly1‘𝑅))⟩}‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))) = (1r‘(Poly1‘𝑅)))
54	23, 53	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((∅ maDet (Poly1‘𝑅))‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))) = (1r‘(Poly1‘𝑅)))
55	19, 54	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐶‘∅) = (1r‘(Poly1‘𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∅c0 4256  {csn 4561  ⟨cop 4567  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  Basecbs 16912   ·_𝑠 cvsca 16966  0_gc0g 17150  Grpcgrp 18577  -_gcsg 18579  1_rcur 19737  Ringcrg 19783  var₁cv1 21347  Poly₁cpl1 21348   Mat cmat 21554   maDet cmdat 21733   matToPolyMat cmat2pmat 21853   CharPlyMat cchpmat 21975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1507  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-ofr 7534  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-word 14218  df-lsw 14266  df-concat 14274  df-s1 14301  df-substr 14354  df-pfx 14384  df-splice 14463  df-reverse 14472  df-s2 14561  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-prds 17158  df-pws 17160  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-efmnd 18508  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-gim 18875  df-cntz 18923  df-oppg 18950  df-symg 18975  df-pmtr 19050  df-psgn 19099  df-evpm 19100  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-rnghom 19959  df-drng 19993  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-cnfld 20598  df-zring 20671  df-zrh 20705  df-dsmm 20939  df-frlm 20954  df-psr 21112  df-mvr 21113  df-mpl 21114  df-opsr 21116  df-psr1 21351  df-vr1 21352  df-ply1 21353  df-mamu 21533  df-mat 21555  df-mdet 21734  df-mat2pmat 21856  df-chpmat 21976

This theorem is referenced by: (None)