Theorem chpmat0d 22728

Description: The characteristic polynomial of the empty matrix. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
chpmat0.c	⊢ 𝐶 = (∅ CharPlyMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
chpmat0d	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐶‘∅) = (1r‘(Poly1‘𝑅)))

Proof of Theorem chpmat0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fi 9016	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
3		0ex 5265	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
4	3	snid 4629	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ {∅}
5		mat0dimbas0 22360	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
6	4, 5	eleqtrrid 2836	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
7		chpmat0.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (∅ CharPlyMat 𝑅)
8		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (∅ Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅)
9		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅))
10		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
11		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (∅ Mat (Poly1‘𝑅)) = (∅ Mat (Poly1‘𝑅))
12		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (∅ maDet (Poly1‘𝑅)) = (∅ maDet (Poly1‘𝑅))
13		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))) = (-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))
14		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
15		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))) = ( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))
16		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (∅ matToPolyMat 𝑅) = (∅ matToPolyMat 𝑅)
17		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))) = (1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))
18	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	chpmatval 22725	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ ∅ ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅))) → (𝐶‘∅) = ((∅ maDet (Poly1‘𝑅))‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))))
19	1, 2, 6, 18	mp3an2i 1468	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐶‘∅) = ((∅ maDet (Poly1‘𝑅))‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))))
20	10	ply1ring 22139	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Poly1‘𝑅) ∈ Ring)
21		mdet0pr 22486	. . . . 5 ⊢ ((Poly1‘𝑅) ∈ Ring → (∅ maDet (Poly1‘𝑅)) = {⟨∅, (1r‘(Poly1‘𝑅))⟩})
22	21	fveq1d 6863	. . . 4 ⊢ ((Poly1‘𝑅) ∈ Ring → ((∅ maDet (Poly1‘𝑅))‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))) = ({⟨∅, (1r‘(Poly1‘𝑅))⟩}‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))))
23	20, 22	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((∅ maDet (Poly1‘𝑅))‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))) = ({⟨∅, (1r‘(Poly1‘𝑅))⟩}‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))))
24	11	mat0dimid 22362	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Poly1‘𝑅) ∈ Ring → (1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))) = ∅)
25	20, 24	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))) = ∅)
26	25	oveq2d 7406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))) = ((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))∅))
27		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
28	14, 10, 27	vr1cl 22109	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
29	11	mat0dimscm 22363	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Poly1‘𝑅) ∈ Ring ∧ (var1‘𝑅) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → ((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))∅) = ∅)
30	20, 28, 29	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))∅) = ∅)
31	26, 30	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))) = ∅)
32		d0mat2pmat 22632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅) = ∅)
33	31, 32	oveq12d 7408	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅)) = (∅(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))∅))
34	11	matring 22337	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ (Poly1‘𝑅) ∈ Ring) → (∅ Mat (Poly1‘𝑅)) ∈ Ring)
35	1, 20, 34	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∅ Mat (Poly1‘𝑅)) ∈ Ring)
36		ringgrp 20154	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ Mat (Poly1‘𝑅)) ∈ Ring → (∅ Mat (Poly1‘𝑅)) ∈ Grp)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∅ Mat (Poly1‘𝑅)) ∈ Grp)
38		mat0dimbas0 22360	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Poly1‘𝑅) ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))) = {∅})
39	20, 38	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))) = {∅})
40	4, 39	eleqtrrid 2836	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ (Base‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))
41		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))) = (Base‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))
42		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))) = (0g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))
43	41, 42, 13	grpsubid 18963	. . . . . . 7 ⊢ (((∅ Mat (Poly1‘𝑅)) ∈ Grp ∧ ∅ ∈ (Base‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))) → (∅(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))∅) = (0g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))
44	37, 40, 43	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∅(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))∅) = (0g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))
45	33, 44	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅)) = (0g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))
46	45	fveq2d 6865	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({⟨∅, (1r‘(Poly1‘𝑅))⟩}‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))) = ({⟨∅, (1r‘(Poly1‘𝑅))⟩}‘(0g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))))
47	11	mat0dim0 22361	. . . . . . 7 ⊢ ((Poly1‘𝑅) ∈ Ring → (0g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))) = ∅)
48	20, 47	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))) = ∅)
49	48	fveq2d 6865	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({⟨∅, (1r‘(Poly1‘𝑅))⟩}‘(0g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))) = ({⟨∅, (1r‘(Poly1‘𝑅))⟩}‘∅))
50		fvex 6874	. . . . . 6 ⊢ (1r‘(Poly1‘𝑅)) ∈ V
51	3, 50	fvsn 7158	. . . . 5 ⊢ ({⟨∅, (1r‘(Poly1‘𝑅))⟩}‘∅) = (1r‘(Poly1‘𝑅))
52	49, 51	eqtrdi 2781	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({⟨∅, (1r‘(Poly1‘𝑅))⟩}‘(0g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))) = (1r‘(Poly1‘𝑅)))
53	46, 52	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({⟨∅, (1r‘(Poly1‘𝑅))⟩}‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))) = (1r‘(Poly1‘𝑅)))
54	23, 53	eqtrd 2765	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((∅ maDet (Poly1‘𝑅))‘(((var1‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1‘𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))) = (1r‘(Poly1‘𝑅)))
55	19, 54	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐶‘∅) = (1r‘(Poly1‘𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4299  {csn 4592  ⟨cop 4598  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Fincfn 8921  Basecbs 17186   ·_𝑠 cvsca 17231  0_gc0g 17409  Grpcgrp 18872  -_gcsg 18874  1_rcur 20097  Ringcrg 20149  var₁cv1 22067  Poly₁cpl1 22068   Mat cmat 22301   maDet cmdat 22478   matToPolyMat cmat2pmat 22598   CharPlyMat cchpmat 22720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-addf 11154  ax-mulf 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-ot 4601  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-ofr 7657  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-word 14486  df-lsw 14535  df-concat 14543  df-s1 14568  df-substr 14613  df-pfx 14643  df-splice 14722  df-reverse 14731  df-s2 14821  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-prds 17417  df-pws 17419  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-submnd 18718  df-efmnd 18803  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-mulg 19007  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-gim 19198  df-cntz 19256  df-oppg 19285  df-symg 19307  df-pmtr 19379  df-psgn 19428  df-evpm 19429  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-dvr 20317  df-rhm 20388  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-drng 20647  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-sra 21087  df-rgmod 21088  df-cnfld 21272  df-zring 21364  df-zrh 21420  df-dsmm 21648  df-frlm 21663  df-psr 21825  df-mvr 21826  df-mpl 21827  df-opsr 21829  df-psr1 22071  df-vr1 22072  df-ply1 22073  df-mamu 22285  df-mat 22302  df-mdet 22479  df-mat2pmat 22601  df-chpmat 22721

This theorem is referenced by: (None)