MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpmat0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpmat0d 22206
Description: The characteristic polynomial of the empty matrix. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
chpmat0.c ๐ถ = (โˆ… CharPlyMat ๐‘…)
Assertion
Ref Expression
chpmat0d (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (๐ถโ€˜โˆ…) = (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…)))

Proof of Theorem chpmat0d
StepHypRef Expression
1 0fin 9121 . . 3 โˆ… โˆˆ Fin
2 id 22 . . 3 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
3 0ex 5268 . . . . 5 โˆ… โˆˆ V
43snid 4626 . . . 4 โˆ… โˆˆ {โˆ…}
5 mat0dimbas0 21838 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (Baseโ€˜(โˆ… Mat ๐‘…)) = {โˆ…})
64, 5eleqtrrid 2841 . . 3 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ โˆ… โˆˆ (Baseโ€˜(โˆ… Mat ๐‘…)))
7 chpmat0.c . . . 4 ๐ถ = (โˆ… CharPlyMat ๐‘…)
8 eqid 2733 . . . 4 (โˆ… Mat ๐‘…) = (โˆ… Mat ๐‘…)
9 eqid 2733 . . . 4 (Baseโ€˜(โˆ… Mat ๐‘…)) = (Baseโ€˜(โˆ… Mat ๐‘…))
10 eqid 2733 . . . 4 (Poly1โ€˜๐‘…) = (Poly1โ€˜๐‘…)
11 eqid 2733 . . . 4 (โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)) = (โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))
12 eqid 2733 . . . 4 (โˆ… maDet (Poly1โ€˜๐‘…)) = (โˆ… maDet (Poly1โ€˜๐‘…))
13 eqid 2733 . . . 4 (-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = (-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))
14 eqid 2733 . . . 4 (var1โ€˜๐‘…) = (var1โ€˜๐‘…)
15 eqid 2733 . . . 4 ( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = ( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))
16 eqid 2733 . . . 4 (โˆ… matToPolyMat ๐‘…) = (โˆ… matToPolyMat ๐‘…)
17 eqid 2733 . . . 4 (1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = (1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))
187, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17chpmatval 22203 . . 3 ((โˆ… โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง โˆ… โˆˆ (Baseโ€˜(โˆ… Mat ๐‘…))) โ†’ (๐ถโ€˜โˆ…) = ((โˆ… maDet (Poly1โ€˜๐‘…))โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))))
191, 2, 6, 18mp3an2i 1467 . 2 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (๐ถโ€˜โˆ…) = ((โˆ… maDet (Poly1โ€˜๐‘…))โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))))
2010ply1ring 21642 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (Poly1โ€˜๐‘…) โˆˆ Ring)
21 mdet0pr 21964 . . . . 5 ((Poly1โ€˜๐‘…) โˆˆ Ring โ†’ (โˆ… maDet (Poly1โ€˜๐‘…)) = {โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ})
2221fveq1d 6848 . . . 4 ((Poly1โ€˜๐‘…) โˆˆ Ring โ†’ ((โˆ… maDet (Poly1โ€˜๐‘…))โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))) = ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))))
2320, 22syl 17 . . 3 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ((โˆ… maDet (Poly1โ€˜๐‘…))โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))) = ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))))
2411mat0dimid 21840 . . . . . . . . . 10 ((Poly1โ€˜๐‘…) โˆˆ Ring โ†’ (1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = โˆ…)
2520, 24syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = โˆ…)
2625oveq2d 7377 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))) = ((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))โˆ…))
27 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Baseโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…)) = (Baseโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))
2814, 10, 27vr1cl 21611 . . . . . . . . 9 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (var1โ€˜๐‘…) โˆˆ (Baseโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…)))
2911mat0dimscm 21841 . . . . . . . . 9 (((Poly1โ€˜๐‘…) โˆˆ Ring โˆง (var1โ€˜๐‘…) โˆˆ (Baseโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))) โ†’ ((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))โˆ…) = โˆ…)
3020, 28, 29syl2anc 585 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))โˆ…) = โˆ…)
3126, 30eqtrd 2773 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))) = โˆ…)
32 d0mat2pmat 22110 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…) = โˆ…)
3331, 32oveq12d 7379 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…)) = (โˆ…(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))โˆ…))
3411matring 21815 . . . . . . . . 9 ((โˆ… โˆˆ Fin โˆง (Poly1โ€˜๐‘…) โˆˆ Ring) โ†’ (โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)) โˆˆ Ring)
351, 20, 34sylancr 588 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)) โˆˆ Ring)
36 ringgrp 19977 . . . . . . . 8 ((โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)) โˆˆ Ring โ†’ (โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)) โˆˆ Grp)
3735, 36syl 17 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)) โˆˆ Grp)
38 mat0dimbas0 21838 . . . . . . . . 9 ((Poly1โ€˜๐‘…) โˆˆ Ring โ†’ (Baseโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = {โˆ…})
3920, 38syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (Baseโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = {โˆ…})
404, 39eleqtrrid 2841 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ โˆ… โˆˆ (Baseโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))
41 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = (Baseโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))
42 eqid 2733 . . . . . . . 8 (0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = (0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))
4341, 42, 13grpsubid 18839 . . . . . . 7 (((โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)) โˆˆ Grp โˆง โˆ… โˆˆ (Baseโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))) โ†’ (โˆ…(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))โˆ…) = (0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))
4437, 40, 43syl2anc 585 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (โˆ…(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))โˆ…) = (0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))
4533, 44eqtrd 2773 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…)) = (0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))
4645fveq2d 6850 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))) = ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜(0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))))
4711mat0dim0 21839 . . . . . . 7 ((Poly1โ€˜๐‘…) โˆˆ Ring โ†’ (0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = โˆ…)
4820, 47syl 17 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = โˆ…)
4948fveq2d 6850 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜(0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))) = ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜โˆ…))
50 fvex 6859 . . . . . 6 (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…)) โˆˆ V
513, 50fvsn 7131 . . . . 5 ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜โˆ…) = (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))
5249, 51eqtrdi 2789 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜(0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))) = (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…)))
5346, 52eqtrd 2773 . . 3 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))) = (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…)))
5423, 53eqtrd 2773 . 2 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ((โˆ… maDet (Poly1โ€˜๐‘…))โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))) = (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…)))
5519, 54eqtrd 2773 1 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (๐ถโ€˜โˆ…) = (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ…c0 4286  {csn 4590  โŸจcop 4596  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Fincfn 8889  Basecbs 17091   ยท๐‘  cvsca 17145  0gc0g 17329  Grpcgrp 18756  -gcsg 18758  1rcur 19921  Ringcrg 19972  var1cv1 21570  Poly1cpl1 21571   Mat cmat 21777   maDet cmdat 21956   matToPolyMat cmat2pmat 22076   CharPlyMat cchpmat 22198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-word 14412  df-lsw 14460  df-concat 14468  df-s1 14493  df-substr 14538  df-pfx 14568  df-splice 14647  df-reverse 14656  df-s2 14746  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-submnd 18610  df-efmnd 18687  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-gim 19057  df-cntz 19105  df-oppg 19132  df-symg 19157  df-pmtr 19232  df-psgn 19281  df-evpm 19282  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-rnghom 20156  df-drng 20221  df-subrg 20262  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-cnfld 20820  df-zring 20893  df-zrh 20927  df-dsmm 21161  df-frlm 21176  df-psr 21334  df-mvr 21335  df-mpl 21336  df-opsr 21338  df-psr1 21574  df-vr1 21575  df-ply1 21576  df-mamu 21756  df-mat 21778  df-mdet 21957  df-mat2pmat 22079  df-chpmat 22199
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator