MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpmat0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpmat0d 22183
Description: The characteristic polynomial of the empty matrix. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
chpmat0.c 𝐶 = (∅ CharPlyMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
chpmat0d (𝑅 ∈ Ring → (𝐶‘∅) = (1r‘(Poly1𝑅)))

Proof of Theorem chpmat0d
StepHypRef Expression
1 0fin 9115 . . 3 ∅ ∈ Fin
2 id 22 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
3 0ex 5264 . . . . 5 ∅ ∈ V
43snid 4622 . . . 4 ∅ ∈ {∅}
5 mat0dimbas0 21815 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
64, 5eleqtrrid 2845 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
7 chpmat0.c . . . 4 𝐶 = (∅ CharPlyMat 𝑅)
8 eqid 2736 . . . 4 (∅ Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅)
9 eqid 2736 . . . 4 (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅))
10 eqid 2736 . . . 4 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
11 eqid 2736 . . . 4 (∅ Mat (Poly1𝑅)) = (∅ Mat (Poly1𝑅))
12 eqid 2736 . . . 4 (∅ maDet (Poly1𝑅)) = (∅ maDet (Poly1𝑅))
13 eqid 2736 . . . 4 (-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅))) = (-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))
14 eqid 2736 . . . 4 (var1𝑅) = (var1𝑅)
15 eqid 2736 . . . 4 ( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅))) = ( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))
16 eqid 2736 . . . 4 (∅ matToPolyMat 𝑅) = (∅ matToPolyMat 𝑅)
17 eqid 2736 . . . 4 (1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅))) = (1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))
187, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17chpmatval 22180 . . 3 ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ ∅ ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅))) → (𝐶‘∅) = ((∅ maDet (Poly1𝑅))‘(((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))))
191, 2, 6, 18mp3an2i 1466 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (𝐶‘∅) = ((∅ maDet (Poly1𝑅))‘(((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))))
2010ply1ring 21619 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (Poly1𝑅) ∈ Ring)
21 mdet0pr 21941 . . . . 5 ((Poly1𝑅) ∈ Ring → (∅ maDet (Poly1𝑅)) = {⟨∅, (1r‘(Poly1𝑅))⟩})
2221fveq1d 6844 . . . 4 ((Poly1𝑅) ∈ Ring → ((∅ maDet (Poly1𝑅))‘(((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))) = ({⟨∅, (1r‘(Poly1𝑅))⟩}‘(((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))))
2320, 22syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ((∅ maDet (Poly1𝑅))‘(((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))) = ({⟨∅, (1r‘(Poly1𝑅))⟩}‘(((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))))
2411mat0dimid 21817 . . . . . . . . . 10 ((Poly1𝑅) ∈ Ring → (1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅))) = ∅)
2520, 24syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅))) = ∅)
2625oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → ((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))) = ((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))∅))
27 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1𝑅))
2814, 10, 27vr1cl 21588 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (var1𝑅) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
2911mat0dimscm 21818 . . . . . . . . 9 (((Poly1𝑅) ∈ Ring ∧ (var1𝑅) ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → ((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))∅) = ∅)
3020, 28, 29syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → ((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))∅) = ∅)
3126, 30eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → ((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))) = ∅)
32 d0mat2pmat 22087 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → ((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅) = ∅)
3331, 32oveq12d 7375 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅)) = (∅(-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))∅))
3411matring 21792 . . . . . . . . 9 ((∅ ∈ Fin ∧ (Poly1𝑅) ∈ Ring) → (∅ Mat (Poly1𝑅)) ∈ Ring)
351, 20, 34sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (∅ Mat (Poly1𝑅)) ∈ Ring)
36 ringgrp 19969 . . . . . . . 8 ((∅ Mat (Poly1𝑅)) ∈ Ring → (∅ Mat (Poly1𝑅)) ∈ Grp)
3735, 36syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (∅ Mat (Poly1𝑅)) ∈ Grp)
38 mat0dimbas0 21815 . . . . . . . . 9 ((Poly1𝑅) ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat (Poly1𝑅))) = {∅})
3920, 38syl 17 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat (Poly1𝑅))) = {∅})
404, 39eleqtrrid 2845 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ (Base‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))
41 eqid 2736 . . . . . . . 8 (Base‘(∅ Mat (Poly1𝑅))) = (Base‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))
42 eqid 2736 . . . . . . . 8 (0g‘(∅ Mat (Poly1𝑅))) = (0g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))
4341, 42, 13grpsubid 18831 . . . . . . 7 (((∅ Mat (Poly1𝑅)) ∈ Grp ∧ ∅ ∈ (Base‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))) → (∅(-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))∅) = (0g‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))
4437, 40, 43syl2anc 584 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (∅(-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))∅) = (0g‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))
4533, 44eqtrd 2776 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅)) = (0g‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))
4645fveq2d 6846 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ({⟨∅, (1r‘(Poly1𝑅))⟩}‘(((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))) = ({⟨∅, (1r‘(Poly1𝑅))⟩}‘(0g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))))
4711mat0dim0 21816 . . . . . . 7 ((Poly1𝑅) ∈ Ring → (0g‘(∅ Mat (Poly1𝑅))) = ∅)
4820, 47syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (0g‘(∅ Mat (Poly1𝑅))) = ∅)
4948fveq2d 6846 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → ({⟨∅, (1r‘(Poly1𝑅))⟩}‘(0g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))) = ({⟨∅, (1r‘(Poly1𝑅))⟩}‘∅))
50 fvex 6855 . . . . . 6 (1r‘(Poly1𝑅)) ∈ V
513, 50fvsn 7127 . . . . 5 ({⟨∅, (1r‘(Poly1𝑅))⟩}‘∅) = (1r‘(Poly1𝑅))
5249, 51eqtrdi 2792 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ({⟨∅, (1r‘(Poly1𝑅))⟩}‘(0g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))) = (1r‘(Poly1𝑅)))
5346, 52eqtrd 2776 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ({⟨∅, (1r‘(Poly1𝑅))⟩}‘(((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))) = (1r‘(Poly1𝑅)))
5423, 53eqtrd 2776 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ((∅ maDet (Poly1𝑅))‘(((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))) = (1r‘(Poly1𝑅)))
5519, 54eqtrd 2776 1 (𝑅 ∈ Ring → (𝐶‘∅) = (1r‘(Poly1𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  c0 4282  {csn 4586  cop 4592  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  Basecbs 17083   ·𝑠 cvsca 17137  0gc0g 17321  Grpcgrp 18748  -gcsg 18750  1rcur 19913  Ringcrg 19964  var1cv1 21547  Poly1cpl1 21548   Mat cmat 21754   maDet cmdat 21933   matToPolyMat cmat2pmat 22053   CharPlyMat cchpmat 22175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-word 14403  df-lsw 14451  df-concat 14459  df-s1 14484  df-substr 14529  df-pfx 14559  df-splice 14638  df-reverse 14647  df-s2 14737  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-efmnd 18679  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-gim 19049  df-cntz 19097  df-oppg 19124  df-symg 19149  df-pmtr 19224  df-psgn 19273  df-evpm 19274  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-rnghom 20146  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-cnfld 20797  df-zring 20870  df-zrh 20904  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-psr 21311  df-mvr 21312  df-mpl 21313  df-opsr 21315  df-psr1 21551  df-vr1 21552  df-ply1 21553  df-mamu 21733  df-mat 21755  df-mdet 21934  df-mat2pmat 22056  df-chpmat 22176
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator