Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpmat0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpmat0d 21445
 Description: The characteristic polynomial of the empty matrix. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
chpmat0.c 𝐶 = (∅ CharPlyMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
chpmat0d (𝑅 ∈ Ring → (𝐶‘∅) = (1r‘(Poly1𝑅)))

Proof of Theorem chpmat0d
StepHypRef Expression
1 0fin 8744 . . 3 ∅ ∈ Fin
2 id 22 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
3 0ex 5198 . . . . 5 ∅ ∈ V
43snid 4587 . . . 4 ∅ ∈ {∅}
5 mat0dimbas0 21078 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
64, 5eleqtrrid 2923 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
7 chpmat0.c . . . 4 𝐶 = (∅ CharPlyMat 𝑅)
8 eqid 2824 . . . 4 (∅ Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅)
9 eqid 2824 . . . 4 (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅))
10 eqid 2824 . . . 4 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
11 eqid 2824 . . . 4 (∅ Mat (Poly1𝑅)) = (∅ Mat (Poly1𝑅))
12 eqid 2824 . . . 4 (∅ maDet (Poly1𝑅)) = (∅ maDet (Poly1𝑅))
13 eqid 2824 . . . 4 (-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅))) = (-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))
14 eqid 2824 . . . 4 (var1𝑅) = (var1𝑅)
15 eqid 2824 . . . 4 ( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅))) = ( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))
16 eqid 2824 . . . 4 (∅ matToPolyMat 𝑅) = (∅ matToPolyMat 𝑅)
17 eqid 2824 . . . 4 (1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅))) = (1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))
187, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17chpmatval 21442 . . 3 ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ ∅ ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅))) → (𝐶‘∅) = ((∅ maDet (Poly1𝑅))‘(((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))))
191, 2, 6, 18mp3an2i 1463 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (𝐶‘∅) = ((∅ maDet (Poly1𝑅))‘(((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))))
2010ply1ring 20419 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (Poly1𝑅) ∈ Ring)
21 mdet0pr 21204 . . . . 5 ((Poly1𝑅) ∈ Ring → (∅ maDet (Poly1𝑅)) = {⟨∅, (1r‘(Poly1𝑅))⟩})
2221fveq1d 6664 . . . 4 ((Poly1𝑅) ∈ Ring → ((∅ maDet (Poly1𝑅))‘(((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))) = ({⟨∅, (1r‘(Poly1𝑅))⟩}‘(((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))))
2320, 22syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ((∅ maDet (Poly1𝑅))‘(((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))) = ({⟨∅, (1r‘(Poly1𝑅))⟩}‘(((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))))
2411mat0dimid 21080 . . . . . . . . . 10 ((Poly1𝑅) ∈ Ring → (1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅))) = ∅)
2520, 24syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅))) = ∅)
2625oveq2d 7166 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → ((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))) = ((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))∅))
27 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1𝑅))
2814, 10, 27vr1cl 20388 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (var1𝑅) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
2911mat0dimscm 21081 . . . . . . . . 9 (((Poly1𝑅) ∈ Ring ∧ (var1𝑅) ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → ((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))∅) = ∅)
3020, 28, 29syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → ((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))∅) = ∅)
3126, 30eqtrd 2859 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → ((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))) = ∅)
32 d0mat2pmat 21349 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → ((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅) = ∅)
3331, 32oveq12d 7168 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅)) = (∅(-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))∅))
3411matring 21055 . . . . . . . . 9 ((∅ ∈ Fin ∧ (Poly1𝑅) ∈ Ring) → (∅ Mat (Poly1𝑅)) ∈ Ring)
351, 20, 34sylancr 590 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (∅ Mat (Poly1𝑅)) ∈ Ring)
36 ringgrp 19305 . . . . . . . 8 ((∅ Mat (Poly1𝑅)) ∈ Ring → (∅ Mat (Poly1𝑅)) ∈ Grp)
3735, 36syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (∅ Mat (Poly1𝑅)) ∈ Grp)
38 mat0dimbas0 21078 . . . . . . . . 9 ((Poly1𝑅) ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat (Poly1𝑅))) = {∅})
3920, 38syl 17 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat (Poly1𝑅))) = {∅})
404, 39eleqtrrid 2923 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ (Base‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))
41 eqid 2824 . . . . . . . 8 (Base‘(∅ Mat (Poly1𝑅))) = (Base‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))
42 eqid 2824 . . . . . . . 8 (0g‘(∅ Mat (Poly1𝑅))) = (0g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))
4341, 42, 13grpsubid 18186 . . . . . . 7 (((∅ Mat (Poly1𝑅)) ∈ Grp ∧ ∅ ∈ (Base‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))) → (∅(-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))∅) = (0g‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))
4437, 40, 43syl2anc 587 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (∅(-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))∅) = (0g‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))
4533, 44eqtrd 2859 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅)) = (0g‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))
4645fveq2d 6666 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ({⟨∅, (1r‘(Poly1𝑅))⟩}‘(((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))) = ({⟨∅, (1r‘(Poly1𝑅))⟩}‘(0g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))))
4711mat0dim0 21079 . . . . . . 7 ((Poly1𝑅) ∈ Ring → (0g‘(∅ Mat (Poly1𝑅))) = ∅)
4820, 47syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (0g‘(∅ Mat (Poly1𝑅))) = ∅)
4948fveq2d 6666 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → ({⟨∅, (1r‘(Poly1𝑅))⟩}‘(0g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))) = ({⟨∅, (1r‘(Poly1𝑅))⟩}‘∅))
50 fvex 6675 . . . . . 6 (1r‘(Poly1𝑅)) ∈ V
513, 50fvsn 6935 . . . . 5 ({⟨∅, (1r‘(Poly1𝑅))⟩}‘∅) = (1r‘(Poly1𝑅))
5249, 51syl6eq 2875 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ({⟨∅, (1r‘(Poly1𝑅))⟩}‘(0g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))) = (1r‘(Poly1𝑅)))
5346, 52eqtrd 2859 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ({⟨∅, (1r‘(Poly1𝑅))⟩}‘(((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))) = (1r‘(Poly1𝑅)))
5423, 53eqtrd 2859 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ((∅ maDet (Poly1𝑅))‘(((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))) = (1r‘(Poly1𝑅)))
5519, 54eqtrd 2859 1 (𝑅 ∈ Ring → (𝐶‘∅) = (1r‘(Poly1𝑅)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∅c0 4277  {csn 4551  ⟨cop 4557  ‘cfv 6344  (class class class)co 7150  Fincfn 8506  Basecbs 16486   ·𝑠 cvsca 16572  0gc0g 16716  Grpcgrp 18106  -gcsg 18108  1rcur 19254  Ringcrg 19300  var1cv1 20347  Poly1cpl1 20348   Mat cmat 21019   maDet cmdat 21196   matToPolyMat cmat2pmat 21315   CharPlyMat cchpmat 21437 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-addf 10615  ax-mulf 10616 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-ot 4560  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-iin 4909  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7404  df-ofr 7405  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7828  df-tpos 7889  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-2o 8100  df-oadd 8103  df-er 8286  df-map 8405  df-pm 8406  df-ixp 8459  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-fsupp 8832  df-sup 8904  df-oi 8972  df-card 9366  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11700  df-3 11701  df-4 11702  df-5 11703  df-6 11704  df-7 11705  df-8 11706  df-9 11707  df-n0 11898  df-xnn0 11968  df-z 11982  df-dec 12099  df-uz 12244  df-rp 12390  df-fz 12898  df-fzo 13041  df-seq 13377  df-exp 13438  df-hash 13699  df-word 13870  df-lsw 13918  df-concat 13926  df-s1 13953  df-substr 14006  df-pfx 14036  df-splice 14115  df-reverse 14124  df-s2 14213  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-starv 16583  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-ip 16586  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-unif 16591  df-hom 16592  df-cco 16593  df-0g 16718  df-gsum 16719  df-prds 16724  df-pws 16726  df-mre 16860  df-mrc 16861  df-acs 16863  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-mhm 17959  df-submnd 17960  df-efmnd 18037  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-sbg 18111  df-mulg 18228  df-subg 18279  df-ghm 18359  df-gim 18402  df-cntz 18450  df-oppg 18477  df-symg 18499  df-pmtr 18573  df-psgn 18622  df-evpm 18623  df-cmn 18911  df-abl 18912  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302  df-cring 19303  df-oppr 19379  df-dvdsr 19397  df-unit 19398  df-invr 19428  df-dvr 19439  df-rnghom 19473  df-drng 19507  df-subrg 19536  df-lmod 19639  df-lss 19707  df-sra 19947  df-rgmod 19948  df-psr 20139  df-mvr 20140  df-mpl 20141  df-opsr 20143  df-psr1 20351  df-vr1 20352  df-ply1 20353  df-cnfld 20549  df-zring 20621  df-zrh 20654  df-dsmm 20879  df-frlm 20894  df-mamu 20998  df-mat 21020  df-mdet 21197  df-mat2pmat 21318  df-chpmat 21438 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator