MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpmat0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpmat0d 22335
Description: The characteristic polynomial of the empty matrix. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
chpmat0.c ๐ถ = (โˆ… CharPlyMat ๐‘…)
Assertion
Ref Expression
chpmat0d (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (๐ถโ€˜โˆ…) = (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…)))

Proof of Theorem chpmat0d
StepHypRef Expression
1 0fin 9170 . . 3 โˆ… โˆˆ Fin
2 id 22 . . 3 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
3 0ex 5307 . . . . 5 โˆ… โˆˆ V
43snid 4664 . . . 4 โˆ… โˆˆ {โˆ…}
5 mat0dimbas0 21967 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (Baseโ€˜(โˆ… Mat ๐‘…)) = {โˆ…})
64, 5eleqtrrid 2840 . . 3 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ โˆ… โˆˆ (Baseโ€˜(โˆ… Mat ๐‘…)))
7 chpmat0.c . . . 4 ๐ถ = (โˆ… CharPlyMat ๐‘…)
8 eqid 2732 . . . 4 (โˆ… Mat ๐‘…) = (โˆ… Mat ๐‘…)
9 eqid 2732 . . . 4 (Baseโ€˜(โˆ… Mat ๐‘…)) = (Baseโ€˜(โˆ… Mat ๐‘…))
10 eqid 2732 . . . 4 (Poly1โ€˜๐‘…) = (Poly1โ€˜๐‘…)
11 eqid 2732 . . . 4 (โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)) = (โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))
12 eqid 2732 . . . 4 (โˆ… maDet (Poly1โ€˜๐‘…)) = (โˆ… maDet (Poly1โ€˜๐‘…))
13 eqid 2732 . . . 4 (-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = (-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))
14 eqid 2732 . . . 4 (var1โ€˜๐‘…) = (var1โ€˜๐‘…)
15 eqid 2732 . . . 4 ( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = ( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))
16 eqid 2732 . . . 4 (โˆ… matToPolyMat ๐‘…) = (โˆ… matToPolyMat ๐‘…)
17 eqid 2732 . . . 4 (1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = (1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))
187, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17chpmatval 22332 . . 3 ((โˆ… โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง โˆ… โˆˆ (Baseโ€˜(โˆ… Mat ๐‘…))) โ†’ (๐ถโ€˜โˆ…) = ((โˆ… maDet (Poly1โ€˜๐‘…))โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))))
191, 2, 6, 18mp3an2i 1466 . 2 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (๐ถโ€˜โˆ…) = ((โˆ… maDet (Poly1โ€˜๐‘…))โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))))
2010ply1ring 21769 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (Poly1โ€˜๐‘…) โˆˆ Ring)
21 mdet0pr 22093 . . . . 5 ((Poly1โ€˜๐‘…) โˆˆ Ring โ†’ (โˆ… maDet (Poly1โ€˜๐‘…)) = {โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ})
2221fveq1d 6893 . . . 4 ((Poly1โ€˜๐‘…) โˆˆ Ring โ†’ ((โˆ… maDet (Poly1โ€˜๐‘…))โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))) = ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))))
2320, 22syl 17 . . 3 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ((โˆ… maDet (Poly1โ€˜๐‘…))โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))) = ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))))
2411mat0dimid 21969 . . . . . . . . . 10 ((Poly1โ€˜๐‘…) โˆˆ Ring โ†’ (1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = โˆ…)
2520, 24syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = โˆ…)
2625oveq2d 7424 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))) = ((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))โˆ…))
27 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Baseโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…)) = (Baseโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))
2814, 10, 27vr1cl 21740 . . . . . . . . 9 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (var1โ€˜๐‘…) โˆˆ (Baseโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…)))
2911mat0dimscm 21970 . . . . . . . . 9 (((Poly1โ€˜๐‘…) โˆˆ Ring โˆง (var1โ€˜๐‘…) โˆˆ (Baseโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))) โ†’ ((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))โˆ…) = โˆ…)
3020, 28, 29syl2anc 584 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))โˆ…) = โˆ…)
3126, 30eqtrd 2772 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))) = โˆ…)
32 d0mat2pmat 22239 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…) = โˆ…)
3331, 32oveq12d 7426 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…)) = (โˆ…(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))โˆ…))
3411matring 21944 . . . . . . . . 9 ((โˆ… โˆˆ Fin โˆง (Poly1โ€˜๐‘…) โˆˆ Ring) โ†’ (โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)) โˆˆ Ring)
351, 20, 34sylancr 587 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)) โˆˆ Ring)
36 ringgrp 20060 . . . . . . . 8 ((โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)) โˆˆ Ring โ†’ (โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)) โˆˆ Grp)
3735, 36syl 17 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)) โˆˆ Grp)
38 mat0dimbas0 21967 . . . . . . . . 9 ((Poly1โ€˜๐‘…) โˆˆ Ring โ†’ (Baseโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = {โˆ…})
3920, 38syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (Baseโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = {โˆ…})
404, 39eleqtrrid 2840 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ โˆ… โˆˆ (Baseโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))
41 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = (Baseโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))
42 eqid 2732 . . . . . . . 8 (0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = (0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))
4341, 42, 13grpsubid 18906 . . . . . . 7 (((โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)) โˆˆ Grp โˆง โˆ… โˆˆ (Baseโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))) โ†’ (โˆ…(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))โˆ…) = (0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))
4437, 40, 43syl2anc 584 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (โˆ…(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))โˆ…) = (0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))
4533, 44eqtrd 2772 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…)) = (0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))
4645fveq2d 6895 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))) = ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜(0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))))
4711mat0dim0 21968 . . . . . . 7 ((Poly1โ€˜๐‘…) โˆˆ Ring โ†’ (0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = โˆ…)
4820, 47syl 17 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))) = โˆ…)
4948fveq2d 6895 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜(0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))) = ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜โˆ…))
50 fvex 6904 . . . . . 6 (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…)) โˆˆ V
513, 50fvsn 7178 . . . . 5 ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜โˆ…) = (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))
5249, 51eqtrdi 2788 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜(0gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))) = (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…)))
5346, 52eqtrd 2772 . . 3 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ({โŸจโˆ…, (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…))โŸฉ}โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))) = (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…)))
5423, 53eqtrd 2772 . 2 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ((โˆ… maDet (Poly1โ€˜๐‘…))โ€˜(((var1โ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))(1rโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…))))(-gโ€˜(โˆ… Mat (Poly1โ€˜๐‘…)))((โˆ… matToPolyMat ๐‘…)โ€˜โˆ…))) = (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…)))
5519, 54eqtrd 2772 1 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (๐ถโ€˜โˆ…) = (1rโ€˜(Poly1โ€˜๐‘…)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ…c0 4322  {csn 4628  โŸจcop 4634  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Fincfn 8938  Basecbs 17143   ยท๐‘  cvsca 17200  0gc0g 17384  Grpcgrp 18818  -gcsg 18820  1rcur 20003  Ringcrg 20055  var1cv1 21699  Poly1cpl1 21700   Mat cmat 21906   maDet cmdat 22085   matToPolyMat cmat2pmat 22205   CharPlyMat cchpmat 22327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-ofr 7670  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-word 14464  df-lsw 14512  df-concat 14520  df-s1 14545  df-substr 14590  df-pfx 14620  df-splice 14699  df-reverse 14708  df-s2 14798  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-efmnd 18749  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-gim 19132  df-cntz 19180  df-oppg 19209  df-symg 19234  df-pmtr 19309  df-psgn 19358  df-evpm 19359  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-rnghom 20250  df-subrg 20316  df-drng 20358  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-cnfld 20944  df-zring 21017  df-zrh 21052  df-dsmm 21286  df-frlm 21301  df-psr 21461  df-mvr 21462  df-mpl 21463  df-opsr 21465  df-psr1 21703  df-vr1 21704  df-ply1 21705  df-mamu 21885  df-mat 21907  df-mdet 22086  df-mat2pmat 22208  df-chpmat 22328
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator