Theorem fz0 13562

Description: A finite set of sequential integers is empty if its bounds are not integers. (Contributed by AV, 13-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fz0	⊢ ((𝑀 ∉ ℤ ∨ 𝑁 ∉ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ∅)

Proof of Theorem fz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nel 3065	. . 3 ⊢ (𝑀 ∉ ℤ ↔ ¬ 𝑀 ∈ ℤ)
2		df-nel 3065	. . 3 ⊢ (𝑁 ∉ ℤ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	orbi12i 927	. 2 ⊢ ((𝑀 ∉ ℤ ∨ 𝑁 ∉ ℤ) ↔ (¬ 𝑀 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℤ))
4		ianor 997	. . 3 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ (¬ 𝑀 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℤ))
5		fzf 13534	. . . . 5 ⊢ ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
6	5	fdmi 6717	. . . 4 ⊢ dom ... = (ℤ × ℤ)
7	6	ndmov 7594	. . 3 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ∅)
8	4, 7	sylbir 238	. 2 ⊢ ((¬ 𝑀 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ∅)
9	3, 8	sylbi 220	1 ⊢ ((𝑀 ∉ ℤ ∨ 𝑁 ∉ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∉ wnel 3064  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4562   × cxp 5659  (class class class)co 7410  ℤcz 12586  ...cfz 13530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-neg 11439  df-z 12587  df-fz 13531

This theorem is referenced by:  ply1coedeg  33879