Theorem fz0 13453

Description: A finite set of sequential integers is empty if its bounds are not integers. (Contributed by AV, 13-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fz0	⊢ ((𝑀 ∉ ℤ ∨ 𝑁 ∉ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ∅)

Proof of Theorem fz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nel 3035	. . 3 ⊢ (𝑀 ∉ ℤ ↔ ¬ 𝑀 ∈ ℤ)
2		df-nel 3035	. . 3 ⊢ (𝑁 ∉ ℤ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	orbi12i 914	. 2 ⊢ ((𝑀 ∉ ℤ ∨ 𝑁 ∉ ℤ) ↔ (¬ 𝑀 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℤ))
4		ianor 983	. . 3 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ (¬ 𝑀 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℤ))
5		fzf 13425	. . . . 5 ⊢ ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
6	5	fdmi 6671	. . . 4 ⊢ dom ... = (ℤ × ℤ)
7	6	ndmov 7540	. . 3 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ∅)
8	4, 7	sylbir 235	. 2 ⊢ ((¬ 𝑀 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ∅)
9	3, 8	sylbi 217	1 ⊢ ((𝑀 ∉ ℤ ∨ 𝑁 ∉ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∉ wnel 3034  ∅c0 4283  𝒫 cpw 4552   × cxp 5620  (class class class)co 7356  ℤcz 12486  ...cfz 13421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-neg 11365  df-z 12487  df-fz 13422

This theorem is referenced by:  ply1coedeg  33619