Theorem fz0 13544

Description: A finite set of sequential integers is empty if its bounds are not integers. (Contributed by AV, 13-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fz0	⊢ ((𝑀 ∉ ℤ ∨ 𝑁 ∉ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ∅)

Proof of Theorem fz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nel 3062	. . 3 ⊢ (𝑀 ∉ ℤ ↔ ¬ 𝑀 ∈ ℤ)
2		df-nel 3062	. . 3 ⊢ (𝑁 ∉ ℤ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	orbi12i 925	. 2 ⊢ ((𝑀 ∉ ℤ ∨ 𝑁 ∉ ℤ) ↔ (¬ 𝑀 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℤ))
4		ianor 995	. . 3 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ (¬ 𝑀 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℤ))
5		fzf 13516	. . . . 5 ⊢ ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
6	5	fdmi 6703	. . . 4 ⊢ dom ... = (ℤ × ℤ)
7	6	ndmov 7580	. . 3 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ∅)
8	4, 7	sylbir 237	. 2 ⊢ ((¬ 𝑀 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ∅)
9	3, 8	sylbi 219	1 ⊢ ((𝑀 ∉ ℤ ∨ 𝑁 ∉ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ∉ wnel 3061  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4555   × cxp 5645  (class class class)co 7396  ℤcz 12568  ...cfz 13512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-neg 11417  df-z 12569  df-fz 13513

This theorem is referenced by:  ply1coedeg  33785