Theorem fz0 13576

Description: A finite set of sequential integers is empty if its bounds are not integers. (Contributed by AV, 13-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fz0	⊢ ((𝑀 ∉ ℤ ∨ 𝑁 ∉ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ∅)

Proof of Theorem fz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nel 3045	. . 3 ⊢ (𝑀 ∉ ℤ ↔ ¬ 𝑀 ∈ ℤ)
2		df-nel 3045	. . 3 ⊢ (𝑁 ∉ ℤ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	orbi12i 914	. 2 ⊢ ((𝑀 ∉ ℤ ∨ 𝑁 ∉ ℤ) ↔ (¬ 𝑀 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℤ))
4		ianor 983	. . 3 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ (¬ 𝑀 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℤ))
5		fzf 13548	. . . . 5 ⊢ ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
6	5	fdmi 6748	. . . 4 ⊢ dom ... = (ℤ × ℤ)
7	6	ndmov 7617	. . 3 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ∅)
8	4, 7	sylbir 235	. 2 ⊢ ((¬ 𝑀 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ∅)
9	3, 8	sylbi 217	1 ⊢ ((𝑀 ∉ ℤ ∨ 𝑁 ∉ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∉ wnel 3044  ∅c0 4339  𝒫 cpw 4605   × cxp 5687  (class class class)co 7431  ℤcz 12611  ...cfz 13544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-neg 11493  df-z 12612  df-fz 13545

This theorem is referenced by: (None)