Theorem fz0 13679

Description: A finite set of sequential integers is empty if its bounds are not integers. (Contributed by AV, 13-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fz0	⊢ ((𝑀 ∉ ℤ ∨ 𝑁 ∉ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ∅)

Proof of Theorem fz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nel 3062	. . 3 ⊢ (𝑀 ∉ ℤ ↔ ¬ 𝑀 ∈ ℤ)
2		df-nel 3062	. . 3 ⊢ (𝑁 ∉ ℤ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	orbi12i 928	. 2 ⊢ ((𝑀 ∉ ℤ ∨ 𝑁 ∉ ℤ) ↔ (¬ 𝑀 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℤ))
4		ianor 997	. . 3 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ (¬ 𝑀 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℤ))
5		fzf 13650	. . . . 5 ⊢ ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
6	5	fdmi 6726	. . . 4 ⊢ dom ... = (ℤ × ℤ)
7	6	ndmov 7609	. . 3 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ∅)
8	4, 7	sylbir 238	. 2 ⊢ ((¬ 𝑀 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ∅)
9	3, 8	sylbi 220	1 ⊢ ((𝑀 ∉ ℤ ∨ 𝑁 ∉ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∉ wnel 3061  ∅c0 4277  𝒫 cpw 4556   × cxp 5649  (class class class)co 7424  ℤcz 12700  ...cfz 13646

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-neg 11551  df-z 12701  df-fz 13647

This theorem is used by:  ply1coedeg  34171