MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzn0 13511
Description: Properties of a finite interval of integers which is nonempty. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzn0 ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))

Proof of Theorem fzn0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4345 . . 3 ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
2 elfzuz2 13502 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
32exlimiv 1934 . . 3 (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
41, 3sylbi 216 . 2 ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5 eluzfz1 13504 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
65ne0d 4334 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) ≠ ∅)
74, 6impbii 208 1 ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wex 1782  wcel 2107  wne 2941  c0 4321  cfv 6540  (class class class)co 7404  cuz 12818  ...cfz 13480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-neg 11443  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481
This theorem is referenced by:  fzn  13513  fzfi  13933  fseqsupcl  13938  ffz0iswrd  14487  fsumrev2  15724  gsumval3  19767  pmatcollpw3fi  22269  iscmet3  24792  dchrisum0flblem1  26991  pntrsumbnd2  27050  wlkn0  28858  fzdifsuc2  43955  stoweidlem26  44677
  Copyright terms: Public domain W3C validator