Theorem fzn0 13517

Description: Properties of a finite interval of integers which is nonempty. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzn0	⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem fzn0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4346	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
2		elfzuz2 13508	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	2	exlimiv 1933	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4	1, 3	sylbi 216	. 2 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		eluzfz1 13510	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
6	5	ne0d 4335	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≠ ∅)
7	4, 6	impbii 208	1 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   ↔ wb 205  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∅c0 4322  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  ℤ_≥cuz 12824  ...cfz 13486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-neg 11449  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487

This theorem is referenced by:  fzn  13519  fzfi  13939  fseqsupcl  13944  ffz0iswrd  14493  fsumrev2  15730  gsumval3  19777  pmatcollpw3fi  22294  iscmet3  24817  dchrisum0flblem1  27018  pntrsumbnd2  27077  wlkn0  28916  fzdifsuc2  44105  stoweidlem26  44827