Theorem fzn0 13561

Description: Properties of a finite interval of integers which is nonempty. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzn0	⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem fzn0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4307	. . 3 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
2		elfzuz2 13552	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	2	exlimiv 1960	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4	1, 3	sylbi 220	. 2 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		eluzfz1 13554	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
6	5	ne0d 4295	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≠ ∅)
7	4, 6	impbii 212	1 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   ↔ wb 209  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∅c0 4286  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℤ_≥cuz 12857  ...cfz 13530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-neg 11439  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531

This theorem is referenced by:  fzn  13563  fzfi  14004  fseqsupcl  14009  ffz0iswrd  14574  fsumrev2  15829  gsumval3  19972  pmatcollpw3fi  22942  iscmet3  25452  dchrisum0flblem1  27672  pntrsumbnd2  27731  wlkn0  29970  gsumwrd2dccat  33398  aks6d1c2lem4  42894  aks6d1c2  42897  aks6d1c6lem3  42939  fzdifsuc2  46029  stoweidlem26  46740