Theorem fzf 13534

Description: Establish the domain and codomain of the finite integer sequence function. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fzf	⊢ ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ

Proof of Theorem fzf

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 12595	. . . 4 ⊢ ℤ ∈ V
2		ssrab2 4034	. . . 4 ⊢ {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛)} ⊆ ℤ
3	1, 2	elpwi2 5306	. . 3 ⊢ {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛)} ∈ 𝒫 ℤ
4	3	rgen2w 3084	. 2 ⊢ ∀𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ ℤ {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛)} ∈ 𝒫 ℤ
5		df-fz 13531	. . 3 ⊢ ... = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛)})
6	5	fmpo 8061	. 2 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℤ ∀𝑛 ∈ ℤ {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑚 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑛)} ∈ 𝒫 ℤ ↔ ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ)
7	4, 6	mpbi 233	1 ⊢ ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ

Syntax hints:   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  {crab 3416  Vcvv 3455  𝒫 cpw 4562   class class class wbr 5109   × cxp 5659  ⟶wf 6532   ≤ cle 11239  ℤcz 12586  ...cfz 13530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-neg 11439  df-z 12587  df-fz 13531

This theorem is referenced by:  elfz2  13537  fz0  13562  fzoval  13684  gsumval2a  18738  gsumval3  19972  topnfbey  30820