Theorem fzn 12773

Description: A finite set of sequential integers is empty if the bounds are reversed. (Contributed by NM, 22-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzn	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))

Proof of Theorem fzn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzn0 12771	. . . 4 ⊢ ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluz 12107	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
3	1, 2	syl5bb 284	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
4		zre 11835	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5		zre 11835	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6		lenlt 10568	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
7	4, 5, 6	syl2an 595	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
8	3, 7	bitr2d 281	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) ≠ ∅))
9	8	necon4bbid 3024	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2080   ≠ wne 2983  ∅c0 4213   class class class wbr 4964  ‘cfv 6228  (class class class)co 7019  ℝcr 10385   < clt 10524   ≤ cle 10525  ℤcz 11831  ℤ_≥cuz 12093  ...cfz 12742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-op 4481  df-uni 4748  df-iun 4829  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-id 5351  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-1st 7548  df-2nd 7549  df-er 8142  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-neg 10722  df-z 11832  df-uz 12094  df-fz 12743

This theorem is referenced by:  fz1n  12775  fz10  12778  fzsuc2  12815  fzm1  12837  fzon  12908  hashfzp1  13640  isumsplit  15028  arisum2  15049  risefall0lem  15213  prmreclem4  16084  prmreclem5  16085  ppi1  25423  cht1  25424  ppiublem2  25461  lgsdir2lem3  25585  wlkv0  27115  chtvalz  31509  fz0n  32564  poimirlem10  34446  poimirlem23  34459  poimirlem28  34464  fdc  34565  mettrifi  34577  fzisoeu  41121  fzdifsuc2  41131