MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzn 13412
Description: A finite set of sequential integers is empty if the bounds are reversed. (Contributed by NM, 22-Aug-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzn ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))

Proof of Theorem fzn
StepHypRef Expression
1 fzn0 13410 . . . 4 ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluz 12736 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑁))
31, 2bitrid 283 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑀𝑁))
4 zre 12462 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5 zre 12462 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6 lenlt 11192 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
74, 5, 6syl2an 597 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
83, 7bitr2d 280 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) ≠ ∅))
98necon4bbid 2984 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2942  c0 4281   class class class wbr 5104  cfv 6494  (class class class)co 7352  cr 11009   < clt 11148  cle 11149  cz 12458  cuz 12722  ...cfz 13379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5530  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-1st 7914  df-2nd 7915  df-er 8607  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-neg 11347  df-z 12459  df-uz 12723  df-fz 13380
This theorem is referenced by:  fz1n  13414  fz10  13417  fzsuc2  13454  fzm1  13476  fzon  13548  hashfzp1  14285  isumsplit  15685  arisum2  15706  risefall0lem  15869  prmreclem4  16751  prmreclem5  16752  ppi1  26465  cht1  26466  ppiublem2  26503  lgsdir2lem3  26627  wlkv0  28428  chtvalz  33046  fz0n  34113  poimirlem10  36020  poimirlem23  36033  poimirlem28  36038  fdc  36136  mettrifi  36148  sticksstones11  40496  metakunt24  40532  fzisoeu  43433  fzdifsuc2  43443
  Copyright terms: Public domain W3C validator