MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzval2 13546
Description: An alternative way of expressing a finite set of sequential integers. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
fzval2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀[,]𝑁) ∩ ℤ))

Proof of Theorem fzval2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzval 13545 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑘𝑘𝑁)})
2 zssre 12617 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℝ
3 ressxr 11302 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℝ*
42, 3sstri 4004 . . . . . 6 ℤ ⊆ ℝ*
54sseli 3990 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ*)
64sseli 3990 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ*)
7 iccval 13422 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℝ*𝑁 ∈ ℝ*) → (𝑀[,]𝑁) = {𝑘 ∈ ℝ* ∣ (𝑀𝑘𝑘𝑁)})
85, 6, 7syl2an 596 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀[,]𝑁) = {𝑘 ∈ ℝ* ∣ (𝑀𝑘𝑘𝑁)})
98ineq1d 4226 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀[,]𝑁) ∩ ℤ) = ({𝑘 ∈ ℝ* ∣ (𝑀𝑘𝑘𝑁)} ∩ ℤ))
10 inrab2 4322 . . . 4 ({𝑘 ∈ ℝ* ∣ (𝑀𝑘𝑘𝑁)} ∩ ℤ) = {𝑘 ∈ (ℝ* ∩ ℤ) ∣ (𝑀𝑘𝑘𝑁)}
11 sseqin2 4230 . . . . . 6 (ℤ ⊆ ℝ* ↔ (ℝ* ∩ ℤ) = ℤ)
124, 11mpbi 230 . . . . 5 (ℝ* ∩ ℤ) = ℤ
1312rabeqi 3446 . . . 4 {𝑘 ∈ (ℝ* ∩ ℤ) ∣ (𝑀𝑘𝑘𝑁)} = {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑘𝑘𝑁)}
1410, 13eqtri 2762 . . 3 ({𝑘 ∈ ℝ* ∣ (𝑀𝑘𝑘𝑁)} ∩ ℤ) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑘𝑘𝑁)}
159, 14eqtr2di 2791 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑘𝑘𝑁)} = ((𝑀[,]𝑁) ∩ ℤ))
161, 15eqtrd 2774 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀[,]𝑁) ∩ ℤ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  {crab 3432  cin 3961  wss 3962   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  cr 11151  *cxr 11291  cle 11293  cz 12610  [,]cicc 13386  ...cfz 13543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-xr 11296  df-neg 11492  df-z 12611  df-icc 13390  df-fz 13544
This theorem is referenced by:  dvfsumle  26074  dvfsumleOLD  26075  dvfsumabs  26077  taylplem1  26418  taylplem2  26419  taylpfval  26420  dvtaylp  26426  ppisval  27161
  Copyright terms: Public domain W3C validator