Theorem fzval2 13655

Description: An alternative way of expressing a finite set of sequential integers. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fzval2	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀[,]𝑁) ∩ ℤ))

Proof of Theorem fzval2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzval 13654	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)})
2		zssre 12713	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
3		ressxr 11366	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
4	2, 3	sstri 3922	. . . . . 6 ⊢ ℤ ⊆ ℝ*
5	4	sseli 3909	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ*)
6	4	sseli 3909	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ*)
7		iccval 13528	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝑁 ∈ ℝ*) → (𝑀[,]𝑁) = {𝑘 ∈ ℝ* ∣ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)})
8	5, 6, 7	syl2an 608	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀[,]𝑁) = {𝑘 ∈ ℝ* ∣ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)})
9	8	ineq1d 4119	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀[,]𝑁) ∩ ℤ) = ({𝑘 ∈ ℝ* ∣ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)} ∩ ℤ))
10		inrab2 4265	. . . 4 ⊢ ({𝑘 ∈ ℝ* ∣ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)} ∩ ℤ) = {𝑘 ∈ (ℝ* ∩ ℤ) ∣ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)}
11		sseqin2 4123	. . . . . 6 ⊢ (ℤ ⊆ ℝ* ↔ (ℝ* ∩ ℤ) = ℤ)
12	4, 11	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ (ℝ* ∩ ℤ) = ℤ
13	12	rabeqi 3429	. . . 4 ⊢ {𝑘 ∈ (ℝ* ∩ ℤ) ∣ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)} = {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)}
14	10, 13	eqtri 2786	. . 3 ⊢ ({𝑘 ∈ ℝ* ∣ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)} ∩ ℤ) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)}
15	9, 14	eqtr2di 2815	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)} = ((𝑀[,]𝑁) ∩ ℤ))
16	1, 15	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀[,]𝑁) ∩ ℤ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  {crab 3416   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092   class class class wbr 5106  (class class class)co 7430  ℝcr 11212  ℝ^*cxr 11355   ≤ cle 11357  ℤcz 12706  [,]cicc 13492  ...cfz 13652

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fv 6555  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-xr 11360  df-neg 11557  df-z 12707  df-icc 13496  df-fz 13653

This theorem is used by:  dvfsumle  26356  dvfsumabs  26358  taylplem1  26705  taylplem2  26706  taylpfval  26707  dvtaylp  26712  ppisval  27446