MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzval2 13433
Description: An alternative way of expressing a finite set of sequential integers. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
fzval2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀[,]𝑁) ∩ ℤ))

Proof of Theorem fzval2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzval 13432 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑘𝑘𝑁)})
2 zssre 12511 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℝ
3 ressxr 11204 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℝ*
42, 3sstri 3954 . . . . . 6 ℤ ⊆ ℝ*
54sseli 3941 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ*)
64sseli 3941 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ*)
7 iccval 13309 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℝ*𝑁 ∈ ℝ*) → (𝑀[,]𝑁) = {𝑘 ∈ ℝ* ∣ (𝑀𝑘𝑘𝑁)})
85, 6, 7syl2an 597 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀[,]𝑁) = {𝑘 ∈ ℝ* ∣ (𝑀𝑘𝑘𝑁)})
98ineq1d 4172 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀[,]𝑁) ∩ ℤ) = ({𝑘 ∈ ℝ* ∣ (𝑀𝑘𝑘𝑁)} ∩ ℤ))
10 inrab2 4268 . . . 4 ({𝑘 ∈ ℝ* ∣ (𝑀𝑘𝑘𝑁)} ∩ ℤ) = {𝑘 ∈ (ℝ* ∩ ℤ) ∣ (𝑀𝑘𝑘𝑁)}
11 sseqin2 4176 . . . . . 6 (ℤ ⊆ ℝ* ↔ (ℝ* ∩ ℤ) = ℤ)
124, 11mpbi 229 . . . . 5 (ℝ* ∩ ℤ) = ℤ
1312rabeqi 3419 . . . 4 {𝑘 ∈ (ℝ* ∩ ℤ) ∣ (𝑀𝑘𝑘𝑁)} = {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑘𝑘𝑁)}
1410, 13eqtri 2761 . . 3 ({𝑘 ∈ ℝ* ∣ (𝑀𝑘𝑘𝑁)} ∩ ℤ) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑘𝑘𝑁)}
159, 14eqtr2di 2790 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ (𝑀𝑘𝑘𝑁)} = ((𝑀[,]𝑁) ∩ ℤ))
161, 15eqtrd 2773 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀[,]𝑁) ∩ ℤ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  {crab 3406  cin 3910  wss 3911   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  cr 11055  *cxr 11193  cle 11195  cz 12504  [,]cicc 13273  ...cfz 13430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-xr 11198  df-neg 11393  df-z 12505  df-icc 13277  df-fz 13431
This theorem is referenced by:  dvfsumle  25401  dvfsumabs  25403  taylplem1  25738  taylplem2  25739  taylpfval  25740  dvtaylp  25745  ppisval  26469
  Copyright terms: Public domain W3C validator