MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumle 25530
Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsumle.m (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
dvfsumle.a (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
dvfsumle.v ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
dvfsumle.b (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡))
dvfsumle.c (π‘₯ = 𝑀 β†’ 𝐴 = 𝐢)
dvfsumle.d (π‘₯ = 𝑁 β†’ 𝐴 = 𝐷)
dvfsumle.x ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
dvfsumle.l ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)))) β†’ 𝑋 ≀ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
dvfsumle (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ≀ (𝐷 βˆ’ 𝐢))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘₯,π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑁,π‘₯   πœ‘,π‘˜,π‘₯   π‘₯,𝑋   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯,π‘˜)   𝐢(π‘˜)   𝐷(π‘˜)   𝑉(π‘˜)   𝑋(π‘˜)

Proof of Theorem dvfsumle
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 13936 . . . 4 (𝑀..^𝑁) ∈ Fin
21a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
3 dvfsumle.x . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
4 dvfsumle.m . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
5 eluzel2 12824 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
7 eluzelz 12829 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
84, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
9 fzval2 13484 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝑀...𝑁) = ((𝑀[,]𝑁) ∩ β„€))
106, 8, 9syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑀...𝑁) = ((𝑀[,]𝑁) ∩ β„€))
11 inss1 4228 . . . . . . . . 9 ((𝑀[,]𝑁) ∩ β„€) βŠ† (𝑀[,]𝑁)
1210, 11eqsstrdi 4036 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑀...𝑁) βŠ† (𝑀[,]𝑁))
1312sselda 3982 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ 𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁))
14 dvfsumle.a . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
15 cncff 24401 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)βŸΆβ„)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)βŸΆβ„)
17 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) = (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴)
1817fmpt 7107 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ ↔ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)βŸΆβ„)
1916, 18sylibr 233 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ)
20 nfcsb1v 3918 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴
2120nfel1 2920 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ
22 csbeq1a 3907 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝐴 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴)
2322eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ))
2421, 23rspc 3601 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ))
2519, 24mpan9 508 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ)
2613, 25syldan 592 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ)
2726ralrimiva 3147 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑀...𝑁)⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ)
28 fzofzp1 13726 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
29 csbeq1 3896 . . . . . . 7 (𝑦 = (π‘˜ + 1) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 = ⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴)
3029eleq1d 2819 . . . . . 6 (𝑦 = (π‘˜ + 1) β†’ (⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ))
3130rspccva 3612 . . . . 5 ((βˆ€π‘¦ ∈ (𝑀...𝑁)⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ ⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ)
3227, 28, 31syl2an 597 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ)
33 elfzofz 13645 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) β†’ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁))
34 csbeq1 3896 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘˜ β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 = β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴)
3534eleq1d 2819 . . . . . 6 (𝑦 = π‘˜ β†’ (⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ ↔ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ))
3635rspccva 3612 . . . . 5 ((βˆ€π‘¦ ∈ (𝑀...𝑁)⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ)
3727, 33, 36syl2an 597 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ)
3832, 37resubcld 11639 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴) ∈ ℝ)
39 elfzoelz 13629 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
4039adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
4140zred 12663 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
4241recnd 11239 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
43 ax-1cn 11165 . . . . . . 7 1 ∈ β„‚
44 pncan2 11464 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ + 1) βˆ’ π‘˜) = 1)
4542, 43, 44sylancl 587 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((π‘˜ + 1) βˆ’ π‘˜) = 1)
4645oveq2d 7422 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑋 Β· ((π‘˜ + 1) βˆ’ π‘˜)) = (𝑋 Β· 1))
473recnd 11239 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
48 peano2re 11384 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ ℝ β†’ (π‘˜ + 1) ∈ ℝ)
4941, 48syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ ℝ)
5049recnd 11239 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„‚)
5147, 50, 42subdid 11667 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑋 Β· ((π‘˜ + 1) βˆ’ π‘˜)) = ((𝑋 Β· (π‘˜ + 1)) βˆ’ (𝑋 Β· π‘˜)))
5247mulridd 11228 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑋 Β· 1) = 𝑋)
5346, 51, 523eqtr3d 2781 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((𝑋 Β· (π‘˜ + 1)) βˆ’ (𝑋 Β· π‘˜)) = 𝑋)
54 eqid 2733 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
5554mulcn 24375 . . . . . 6 Β· ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
566zred 12663 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
5756adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
588zred 12663 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
5958adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
60 elfzole1 13637 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) β†’ 𝑀 ≀ π‘˜)
6160adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑀 ≀ π‘˜)
6228adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
63 elfzle2 13502 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ + 1) ∈ (𝑀...𝑁) β†’ (π‘˜ + 1) ≀ 𝑁)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜ + 1) ≀ 𝑁)
65 iccss 13389 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ≀ π‘˜ ∧ (π‘˜ + 1) ≀ 𝑁)) β†’ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀[,]𝑁))
6657, 59, 61, 64, 65syl22anc 838 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀[,]𝑁))
67 iccssre 13403 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ (𝑀[,]𝑁) βŠ† ℝ)
6856, 58, 67syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑀[,]𝑁) βŠ† ℝ)
6968adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑀[,]𝑁) βŠ† ℝ)
7066, 69sstrd 3992 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) βŠ† ℝ)
71 ax-resscn 11164 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
7270, 71sstrdi 3994 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) βŠ† β„‚)
7371a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
74 cncfmptc 24420 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) βŠ† β„‚ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (𝑦 ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ 𝑋) ∈ ((π‘˜[,](π‘˜ + 1))–cn→ℝ))
753, 72, 73, 74syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑦 ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ 𝑋) ∈ ((π‘˜[,](π‘˜ + 1))–cn→ℝ))
76 cncfmptid 24421 . . . . . . 7 (((π‘˜[,](π‘˜ + 1)) βŠ† ℝ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (𝑦 ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ 𝑦) ∈ ((π‘˜[,](π‘˜ + 1))–cn→ℝ))
7770, 71, 76sylancl 587 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑦 ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ 𝑦) ∈ ((π‘˜[,](π‘˜ + 1))–cn→ℝ))
78 remulcl 11192 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑋 Β· 𝑦) ∈ ℝ)
7954, 55, 75, 77, 71, 78cncfmpt2ss 24424 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑦 ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ (𝑋 Β· 𝑦)) ∈ ((π‘˜[,](π‘˜ + 1))–cn→ℝ))
80 reelprrecn 11199 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
8180a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
8257rexrd 11261 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
83 iooss1 13356 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) β†’ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀(,)(π‘˜ + 1)))
8482, 61, 83syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀(,)(π‘˜ + 1)))
8559rexrd 11261 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ*)
86 iooss2 13357 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ (π‘˜ + 1) ≀ 𝑁) β†’ (𝑀(,)(π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀(,)𝑁))
8785, 64, 86syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑀(,)(π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀(,)𝑁))
8884, 87sstrd 3992 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀(,)𝑁))
89 ioossicc 13407 . . . . . . . . . 10 (𝑀(,)𝑁) βŠ† (𝑀[,]𝑁)
9069, 71sstrdi 3994 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑀[,]𝑁) βŠ† β„‚)
9189, 90sstrid 3993 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑀(,)𝑁) βŠ† β„‚)
9288, 91sstrd 3992 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) βŠ† β„‚)
9392sselda 3982 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1))) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
94 1cnd 11206 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1))) β†’ 1 ∈ β„‚)
9573sselda 3982 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
96 1cnd 11206 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ β„‚)
9781dvmptid 25466 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
98 ioossre 13382 . . . . . . . . 9 (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) βŠ† ℝ
9998a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) βŠ† ℝ)
10054tgioo2 24311 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
101 iooretop 24274 . . . . . . . . 9 (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
102101a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
10381, 95, 96, 97, 99, 100, 54, 102dvmptres 25472 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ↦ 1))
10481, 93, 94, 103, 47dvmptcmul 25473 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ↦ (𝑋 Β· 𝑦))) = (𝑦 ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ↦ (𝑋 Β· 1)))
10552mpteq2dv 5250 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑦 ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ↦ (𝑋 Β· 1)) = (𝑦 ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ↦ 𝑋))
106104, 105eqtrd 2773 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ↦ (𝑋 Β· 𝑦))) = (𝑦 ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ↦ 𝑋))
107 nfcv 2904 . . . . . . 7 Ⅎ𝑦𝐴
108107, 20, 22cbvmpt 5259 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ 𝐴) = (𝑦 ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴)
10966resmptd 6039 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) β†Ύ (π‘˜[,](π‘˜ + 1))) = (π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ 𝐴))
11014adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
111 rescncf 24405 . . . . . . . 8 ((π‘˜[,](π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀[,]𝑁) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) β†Ύ (π‘˜[,](π‘˜ + 1))) ∈ ((π‘˜[,](π‘˜ + 1))–cn→ℝ)))
11266, 110, 111sylc 65 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) β†Ύ (π‘˜[,](π‘˜ + 1))) ∈ ((π‘˜[,](π‘˜ + 1))–cn→ℝ))
113109, 112eqeltrrd 2835 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ 𝐴) ∈ ((π‘˜[,](π‘˜ + 1))–cn→ℝ))
114108, 113eqeltrrid 2839 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑦 ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴) ∈ ((π‘˜[,](π‘˜ + 1))–cn→ℝ))
11516adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)βŸΆβ„)
116115, 18sylibr 233 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ)
11789sseli 3978 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) β†’ 𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁))
11824impcom 409 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ)
119116, 117, 118syl2an 597 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ)
120119recnd 11239 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ β„‚)
12189sseli 3978 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) β†’ π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁))
12216fvmptelcdm 7110 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
123122adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
124121, 123sylan2 594 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
125124fmpttd 7112 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„)
126 ioossre 13382 . . . . . . . . . 10 (𝑀(,)𝑁) βŠ† ℝ
127 dvfre 25460 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„ ∧ (𝑀(,)𝑁) βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))βŸΆβ„)
128125, 126, 127sylancl 587 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))βŸΆβ„)
129 dvfsumle.b . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡))
130129adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡))
131130dmeqd 5904 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = dom (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡))
132 dvfsumle.v . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
133132adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
134133ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐡 ∈ 𝑉)
135 dmmptg 6239 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐡 ∈ 𝑉 β†’ dom (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡) = (𝑀(,)𝑁))
136134, 135syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ dom (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡) = (𝑀(,)𝑁))
137131, 136eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑀(,)𝑁))
138130, 137feq12d 6703 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))βŸΆβ„ ↔ (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„))
139128, 138mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„)
140 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡)
141140fmpt 7107 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐡 ∈ ℝ ↔ (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„)
142139, 141sylibr 233 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐡 ∈ ℝ)
143 nfcsb1v 3918 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡
144143nfel1 2920 . . . . . . . 8 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ
145 csbeq1a 3907 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝐡 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)
146145eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐡 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ))
147144, 146rspc 3601 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐡 ∈ ℝ β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ))
148142, 147mpan9 508 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ)
149107, 20, 22cbvmpt 5259 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴)
150149oveq2i 7417 . . . . . . 7 (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴))
151 nfcv 2904 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦𝐡
152151, 143, 145cbvmpt 5259 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡) = (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)
153130, 150, 1523eqtr3g 2796 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))
15481, 120, 148, 153, 88, 100, 54, 102dvmptres 25472 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴)) = (𝑦 ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))
155 dvfsumle.l . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)))) β†’ 𝑋 ≀ 𝐡)
156155anassrs 469 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1))) β†’ 𝑋 ≀ 𝐡)
157156ralrimiva 3147 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1))𝑋 ≀ 𝐡)
158 nfcv 2904 . . . . . . . 8 β„²π‘₯𝑋
159 nfcv 2904 . . . . . . . 8 β„²π‘₯ ≀
160158, 159, 143nfbr 5195 . . . . . . 7 β„²π‘₯ 𝑋 ≀ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡
161145breq2d 5160 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑋 ≀ 𝐡 ↔ 𝑋 ≀ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))
162160, 161rspc 3601 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1))𝑋 ≀ 𝐡 β†’ 𝑋 ≀ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))
163157, 162mpan9 508 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1))) β†’ 𝑋 ≀ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)
16441rexrd 11261 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ*)
16549rexrd 11261 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ ℝ*)
16641lep1d 12142 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ π‘˜ ≀ (π‘˜ + 1))
167 lbicc2 13438 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ ℝ* ∧ (π‘˜ + 1) ∈ ℝ* ∧ π‘˜ ≀ (π‘˜ + 1)) β†’ π‘˜ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)))
168164, 165, 166, 167syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)))
169 ubicc2 13439 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ ℝ* ∧ (π‘˜ + 1) ∈ ℝ* ∧ π‘˜ ≀ (π‘˜ + 1)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)))
170164, 165, 166, 169syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)))
171 oveq2 7414 . . . . 5 (𝑦 = π‘˜ β†’ (𝑋 Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘˜))
172 oveq2 7414 . . . . 5 (𝑦 = (π‘˜ + 1) β†’ (𝑋 Β· 𝑦) = (𝑋 Β· (π‘˜ + 1)))
17341, 49, 79, 106, 114, 154, 163, 168, 170, 166, 171, 34, 172, 29dvle 25516 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((𝑋 Β· (π‘˜ + 1)) βˆ’ (𝑋 Β· π‘˜)) ≀ (⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴))
17453, 173eqbrtrrd 5172 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑋 ≀ (⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴))
1752, 3, 38, 174fsumle 15742 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)(⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴))
176 vex 3479 . . . . 5 𝑦 ∈ V
177176a1i 11 . . . 4 (𝑦 = 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ V)
178 eqeq2 2745 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑀 β†’ (π‘₯ = 𝑦 ↔ π‘₯ = 𝑀))
179178biimpa 478 . . . . 5 ((𝑦 = 𝑀 ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ π‘₯ = 𝑀)
180 dvfsumle.c . . . . 5 (π‘₯ = 𝑀 β†’ 𝐴 = 𝐢)
181179, 180syl 17 . . . 4 ((𝑦 = 𝑀 ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ 𝐴 = 𝐢)
182177, 181csbied 3931 . . 3 (𝑦 = 𝑀 β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 = 𝐢)
183176a1i 11 . . . 4 (𝑦 = 𝑁 β†’ 𝑦 ∈ V)
184 eqeq2 2745 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑁 β†’ (π‘₯ = 𝑦 ↔ π‘₯ = 𝑁))
185184biimpa 478 . . . . 5 ((𝑦 = 𝑁 ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ π‘₯ = 𝑁)
186 dvfsumle.d . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ 𝐴 = 𝐷)
187185, 186syl 17 . . . 4 ((𝑦 = 𝑁 ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ 𝐴 = 𝐷)
188183, 187csbied 3931 . . 3 (𝑦 = 𝑁 β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 = 𝐷)
18926recnd 11239 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ β„‚)
19034, 29, 182, 188, 4, 189telfsumo2 15746 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)(⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴) = (𝐷 βˆ’ 𝐢))
191175, 190breqtrd 5174 1 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ≀ (𝐷 βˆ’ 𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475  β¦‹csb 3893   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  {cpr 4630   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  Fincfn 8936  β„‚cc 11105  β„cr 11106  1c1 11108   + caddc 11110   Β· cmul 11112  β„*cxr 11244   ≀ cle 11246   βˆ’ cmin 11441  β„€cz 12555  β„€β‰₯cuz 12819  (,)cioo 13321  [,]cicc 13324  ...cfz 13481  ..^cfzo 13624  Ξ£csu 15629  TopOpenctopn 17364  topGenctg 17380  β„‚fldccnfld 20937  β€“cnβ†’ccncf 24384   D cdv 25372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-sum 15630  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-fbas 20934  df-fg 20935  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-ntr 22516  df-cls 22517  df-nei 22594  df-lp 22632  df-perf 22633  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-haus 22811  df-cmp 22883  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-fil 23342  df-fm 23434  df-flim 23435  df-flf 23436  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-cncf 24386  df-limc 25375  df-dv 25376
This theorem is referenced by:  dvfsumge  25531
  Copyright terms: Public domain W3C validator