MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumle 24089
Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsumle.m (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
dvfsumle.a (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
dvfsumle.v ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝑉)
dvfsumle.b (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
dvfsumle.c (𝑥 = 𝑀𝐴 = 𝐶)
dvfsumle.d (𝑥 = 𝑁𝐴 = 𝐷)
dvfsumle.x ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ)
dvfsumle.l ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))) → 𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
dvfsumle (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ≤ (𝐷𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑥,𝑘,𝑀   𝑘,𝑁,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumle
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 12986 . . . 4 (𝑀..^𝑁) ∈ Fin
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
3 dvfsumle.x . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ)
4 dvfsumle.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5 eluzel2 11896 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 eluzelz 11901 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
84, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
9 fzval2 12541 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀[,]𝑁) ∩ ℤ))
106, 8, 9syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ((𝑀[,]𝑁) ∩ ℤ))
11 inss1 3994 . . . . . . . . 9 ((𝑀[,]𝑁) ∩ ℤ) ⊆ (𝑀[,]𝑁)
1210, 11syl6eqss 3817 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁))
1312sselda 3763 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁))
14 dvfsumle.a . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
15 cncff 22989 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
17 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴)
1817fmpt 6574 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
1916, 18sylibr 225 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ)
20 nfcsb1v 3709 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑦 / 𝑥𝐴
2120nfel1 2922 . . . . . . . . 9 𝑥𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ
22 csbeq1a 3702 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝑦 / 𝑥𝐴)
2322eleq1d 2829 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
2421, 23rspc 3456 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁) → (∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
2519, 24mpan9 502 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
2613, 25syldan 585 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
2726ralrimiva 3113 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
28 fzofzp1 12778 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
29 csbeq1 3696 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑘 + 1) → 𝑦 / 𝑥𝐴 = (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴)
3029eleq1d 2829 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑘 + 1) → (𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
3130rspccva 3461 . . . . 5 ((∀𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
3227, 28, 31syl2an 589 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
33 elfzofz 12698 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
34 csbeq1 3696 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑘𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝑘 / 𝑥𝐴)
3534eleq1d 2829 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑘 → (𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑘 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
3635rspccva 3461 . . . . 5 ((∀𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
3727, 33, 36syl2an 589 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
3832, 37resubcld 10716 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴) ∈ ℝ)
39 elfzoelz 12683 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
4039adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
4140zred 11734 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
4241recnd 10326 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
43 ax-1cn 10251 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
44 pncan2 10546 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) − 𝑘) = 1)
4542, 43, 44sylancl 580 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑘 + 1) − 𝑘) = 1)
4645oveq2d 6862 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 · ((𝑘 + 1) − 𝑘)) = (𝑋 · 1))
473recnd 10326 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
48 peano2re 10467 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
4941, 48syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
5049recnd 10326 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
5147, 50, 42subdid 10744 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 · ((𝑘 + 1) − 𝑘)) = ((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑋 · 𝑘)))
5247mulid1d 10315 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 · 1) = 𝑋)
5346, 51, 523eqtr3d 2807 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑋 · 𝑘)) = 𝑋)
54 eqid 2765 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
5554mulcn 22963 . . . . . 6 · ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
566zred 11734 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
5756adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
588zred 11734 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
5958adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
60 elfzole1 12691 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀𝑘)
6160adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀𝑘)
6228adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
63 elfzle2 12557 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)
65 iccss 12448 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝑀𝑘 ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)) → (𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀[,]𝑁))
6657, 59, 61, 64, 65syl22anc 867 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀[,]𝑁))
67 iccssre 12462 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
6856, 58, 67syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
6968adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
7066, 69sstrd 3773 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ ℝ)
71 ax-resscn 10250 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
7270, 71syl6ss 3775 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ ℂ)
7371a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ℝ ⊆ ℂ)
74 cncfmptc 23007 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑦 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝑋) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ))
753, 72, 73, 74syl3anc 1490 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝑋) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ))
76 cncfmptid 23008 . . . . . . 7 (((𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑦 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝑦) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ))
7770, 71, 76sylancl 580 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝑦) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ))
78 remulcl 10278 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑋 · 𝑦) ∈ ℝ)
7954, 55, 75, 77, 71, 78cncfmpt2ss 23011 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ (𝑋 · 𝑦)) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ))
80 reelprrecn 10285 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
8180a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
8257rexrd 10347 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
83 iooss1 12417 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ*𝑀𝑘) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)(𝑘 + 1)))
8482, 61, 83syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)(𝑘 + 1)))
8559rexrd 10347 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ*)
86 iooss2 12418 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
8785, 64, 86syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
8884, 87sstrd 3773 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
89 ioossicc 12466 . . . . . . . . . 10 (𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁)
9069, 71syl6ss 3775 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℂ)
9189, 90syl5ss 3774 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℂ)
9288, 91sstrd 3773 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ ℂ)
9392sselda 3763 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → 𝑦 ∈ ℂ)
94 1cnd 10292 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
9573sselda 3763 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
96 1cnd 10292 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
9781dvmptid 24025 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
98 ioossre 12442 . . . . . . . . 9 (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ ℝ
9998a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ ℝ)
10054tgioo2 22899 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
101 iooretop 22862 . . . . . . . . 9 (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ∈ (topGen‘ran (,))
102101a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ∈ (topGen‘ran (,)))
10381, 95, 96, 97, 99, 100, 54, 102dvmptres 24031 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ 1))
10481, 93, 94, 103, 47dvmptcmul 24032 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋 · 1)))
10552mpteq2dv 4906 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋 · 1)) = (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ 𝑋))
106104, 105eqtrd 2799 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ 𝑋))
107 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑦𝐴
108107, 20, 22cbvmpt 4910 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝐴) = (𝑦 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐴)
10966resmptd 5631 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ↾ (𝑘[,](𝑘 + 1))) = (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝐴))
11014adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
111 rescncf 22993 . . . . . . . 8 ((𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀[,]𝑁) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ↾ (𝑘[,](𝑘 + 1))) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ)))
11266, 110, 111sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ↾ (𝑘[,](𝑘 + 1))) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ))
113109, 112eqeltrrd 2845 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ))
114108, 113syl5eqelr 2849 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐴) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ))
11516adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
116115, 18sylibr 225 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ)
11789sseli 3759 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) → 𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁))
11824impcom 396 . . . . . . . 8 ((∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
119116, 117, 118syl2an 589 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
120119recnd 10326 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
12189sseli 3759 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) → 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁))
12219r19.21bi 3079 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
123122adantlr 706 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
124121, 123sylan2 586 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
125124fmpttd 6579 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
126 ioossre 12442 . . . . . . . . . 10 (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ
127 dvfre 24019 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ ∧ (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ)
128125, 126, 127sylancl 580 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ)
129 dvfsumle.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
130129adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
131130dmeqd 5496 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
132 dvfsumle.v . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝑉)
133132adantlr 706 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝑉)
134133ralrimiva 3113 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵𝑉)
135 dmmptg 5820 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵𝑉 → dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑀(,)𝑁))
136134, 135syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑀(,)𝑁))
137131, 136eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑀(,)𝑁))
138130, 137feq12d 6213 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ))
139128, 138mpbid 223 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
140 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵)
141140fmpt 6574 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
142139, 141sylibr 225 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵 ∈ ℝ)
143 nfcsb1v 3709 . . . . . . . . 9 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵
144143nfel1 2922 . . . . . . . 8 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ
145 csbeq1a 3702 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵)
146145eleq1d 2829 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
147144, 146rspc 3456 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) → (∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵 ∈ ℝ → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
148142, 147mpan9 502 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
149107, 20, 22cbvmpt 4910 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐴)
150149oveq2i 6857 . . . . . . 7 (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐴))
151 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑦𝐵
152151, 143, 145cbvmpt 4910 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐵)
153130, 150, 1523eqtr3g 2822 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐵))
15481, 120, 148, 153, 88, 100, 54, 102dvmptres 24031 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐵))
155 dvfsumle.l . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))) → 𝑋𝐵)
156155anassrs 459 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → 𝑋𝐵)
157156ralrimiva 3113 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))𝑋𝐵)
158 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑥𝑋
159 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑥
160158, 159, 143nfbr 4858 . . . . . . 7 𝑥 𝑋𝑦 / 𝑥𝐵
161145breq2d 4823 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑋𝐵𝑋𝑦 / 𝑥𝐵))
162160, 161rspc 3456 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) → (∀𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))𝑋𝐵𝑋𝑦 / 𝑥𝐵))
163157, 162mpan9 502 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → 𝑋𝑦 / 𝑥𝐵)
16441rexrd 10347 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ*)
16549rexrd 10347 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ*)
16641lep1d 11213 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
167 lbicc2 12497 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℝ* ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ*𝑘 ≤ (𝑘 + 1)) → 𝑘 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)))
168164, 165, 166, 167syl3anc 1490 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)))
169 ubicc2 12498 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℝ* ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ*𝑘 ≤ (𝑘 + 1)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)))
170164, 165, 166, 169syl3anc 1490 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)))
171 oveq2 6854 . . . . 5 (𝑦 = 𝑘 → (𝑋 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑘))
172 oveq2 6854 . . . . 5 (𝑦 = (𝑘 + 1) → (𝑋 · 𝑦) = (𝑋 · (𝑘 + 1)))
17341, 49, 79, 106, 114, 154, 163, 168, 170, 166, 171, 34, 172, 29dvle 24075 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑋 · 𝑘)) ≤ ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))
17453, 173eqbrtrrd 4835 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ≤ ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))
1752, 3, 38, 174fsumle 14829 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))
176 vex 3353 . . . . 5 𝑦 ∈ V
177176a1i 11 . . . 4 (𝑦 = 𝑀𝑦 ∈ V)
178 eqeq2 2776 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑀 → (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑀))
179178biimpa 468 . . . . 5 ((𝑦 = 𝑀𝑥 = 𝑦) → 𝑥 = 𝑀)
180 dvfsumle.c . . . . 5 (𝑥 = 𝑀𝐴 = 𝐶)
181179, 180syl 17 . . . 4 ((𝑦 = 𝑀𝑥 = 𝑦) → 𝐴 = 𝐶)
182177, 181csbied 3720 . . 3 (𝑦 = 𝑀𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝐶)
183176a1i 11 . . . 4 (𝑦 = 𝑁𝑦 ∈ V)
184 eqeq2 2776 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑁 → (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑁))
185184biimpa 468 . . . . 5 ((𝑦 = 𝑁𝑥 = 𝑦) → 𝑥 = 𝑁)
186 dvfsumle.d . . . . 5 (𝑥 = 𝑁𝐴 = 𝐷)
187185, 186syl 17 . . . 4 ((𝑦 = 𝑁𝑥 = 𝑦) → 𝐴 = 𝐷)
188183, 187csbied 3720 . . 3 (𝑦 = 𝑁𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝐷)
18926recnd 10326 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
19034, 29, 182, 188, 4, 189telfsumo2 14833 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴) = (𝐷𝐶))
191175, 190breqtrd 4837 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ≤ (𝐷𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  Vcvv 3350  csb 3693  cin 3733  wss 3734  {cpr 4338   class class class wbr 4811  cmpt 4890  dom cdm 5279  ran crn 5280  cres 5281  wf 6066  cfv 6070  (class class class)co 6846  Fincfn 8164  cc 10191  cr 10192  1c1 10194   + caddc 10196   · cmul 10198  *cxr 10331  cle 10333  cmin 10524  cz 11628  cuz 11891  (,)cioo 12382  [,]cicc 12385  ...cfz 12538  ..^cfzo 12678  Σcsu 14715  TopOpenctopn 16362  topGenctg 16378  fldccnfld 20033  cnccncf 22972   D cdv 23932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-inf2 8757  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271  ax-addf 10272  ax-mulf 10273
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-of 7099  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-supp 7502  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-2o 7769  df-oadd 7772  df-er 7951  df-map 8066  df-pm 8067  df-ixp 8118  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-fsupp 8487  df-fi 8528  df-sup 8559  df-inf 8560  df-oi 8626  df-card 9020  df-cda 9247  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-div 10943  df-nn 11279  df-2 11339  df-3 11340  df-4 11341  df-5 11342  df-6 11343  df-7 11344  df-8 11345  df-9 11346  df-n0 11543  df-z 11629  df-dec 11746  df-uz 11892  df-q 11995  df-rp 12034  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12386  df-ico 12388  df-icc 12389  df-fz 12539  df-fzo 12679  df-seq 13014  df-exp 13073  df-hash 13327  df-cj 14138  df-re 14139  df-im 14140  df-sqrt 14274  df-abs 14275  df-clim 14518  df-sum 14716  df-struct 16146  df-ndx 16147  df-slot 16148  df-base 16150  df-sets 16151  df-ress 16152  df-plusg 16241  df-mulr 16242  df-starv 16243  df-sca 16244  df-vsca 16245  df-ip 16246  df-tset 16247  df-ple 16248  df-ds 16250  df-unif 16251  df-hom 16252  df-cco 16253  df-rest 16363  df-topn 16364  df-0g 16382  df-gsum 16383  df-topgen 16384  df-pt 16385  df-prds 16388  df-xrs 16442  df-qtop 16447  df-imas 16448  df-xps 16450  df-mre 16526  df-mrc 16527  df-acs 16529  df-mgm 17522  df-sgrp 17564  df-mnd 17575  df-submnd 17616  df-mulg 17822  df-cntz 18027  df-cmn 18475  df-psmet 20025  df-xmet 20026  df-met 20027  df-bl 20028  df-mopn 20029  df-fbas 20030  df-fg 20031  df-cnfld 20034  df-top 20992  df-topon 21009  df-topsp 21031  df-bases 21044  df-cld 21117  df-ntr 21118  df-cls 21119  df-nei 21196  df-lp 21234  df-perf 21235  df-cn 21325  df-cnp 21326  df-haus 21413  df-cmp 21484  df-tx 21659  df-hmeo 21852  df-fil 21943  df-fm 22035  df-flim 22036  df-flf 22037  df-xms 22418  df-ms 22419  df-tms 22420  df-cncf 22974  df-limc 23935  df-dv 23936
This theorem is referenced by:  dvfsumge  24090
  Copyright terms: Public domain W3C validator