MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumle 23997
Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsumle.m (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
dvfsumle.a (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
dvfsumle.v ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝑉)
dvfsumle.b (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
dvfsumle.c (𝑥 = 𝑀𝐴 = 𝐶)
dvfsumle.d (𝑥 = 𝑁𝐴 = 𝐷)
dvfsumle.x ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ)
dvfsumle.l ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))) → 𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
dvfsumle (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ≤ (𝐷𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑥,𝑘,𝑀   𝑘,𝑁,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumle
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 12974 . . . 4 (𝑀..^𝑁) ∈ Fin
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
3 dvfsumle.x . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ)
4 dvfsumle.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5 eluzel2 11891 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 eluzelz 11896 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
84, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
9 fzval2 12529 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀[,]𝑁) ∩ ℤ))
106, 8, 9syl2anc 573 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ((𝑀[,]𝑁) ∩ ℤ))
11 inss1 3981 . . . . . . . . 9 ((𝑀[,]𝑁) ∩ ℤ) ⊆ (𝑀[,]𝑁)
1210, 11syl6eqss 3804 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁))
1312sselda 3752 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁))
14 dvfsumle.a . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
15 cncff 22909 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
17 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴)
1817fmpt 6521 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
1916, 18sylibr 224 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ)
20 nfcsb1v 3698 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑦 / 𝑥𝐴
2120nfel1 2928 . . . . . . . . 9 𝑥𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ
22 csbeq1a 3691 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝑦 / 𝑥𝐴)
2322eleq1d 2835 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
2421, 23rspc 3454 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁) → (∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
2519, 24mpan9 496 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
2613, 25syldan 579 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
2726ralrimiva 3115 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
28 fzofzp1 12766 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
29 csbeq1 3685 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑘 + 1) → 𝑦 / 𝑥𝐴 = (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴)
3029eleq1d 2835 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑘 + 1) → (𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
3130rspccva 3459 . . . . 5 ((∀𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
3227, 28, 31syl2an 583 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
33 elfzofz 12686 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
34 csbeq1 3685 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑘𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝑘 / 𝑥𝐴)
3534eleq1d 2835 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑘 → (𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑘 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
3635rspccva 3459 . . . . 5 ((∀𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
3727, 33, 36syl2an 583 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
3832, 37resubcld 10658 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴) ∈ ℝ)
39 elfzoelz 12671 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
4039adantl 467 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
4140zred 11682 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
4241recnd 10268 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
43 ax-1cn 10194 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
44 pncan2 10488 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) − 𝑘) = 1)
4542, 43, 44sylancl 574 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑘 + 1) − 𝑘) = 1)
4645oveq2d 6807 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 · ((𝑘 + 1) − 𝑘)) = (𝑋 · 1))
473recnd 10268 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
48 peano2re 10409 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
4941, 48syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
5049recnd 10268 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
5147, 50, 42subdid 10686 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 · ((𝑘 + 1) − 𝑘)) = ((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑋 · 𝑘)))
5247mulid1d 10257 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 · 1) = 𝑋)
5346, 51, 523eqtr3d 2813 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑋 · 𝑘)) = 𝑋)
54 eqid 2771 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
5554mulcn 22883 . . . . . 6 · ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
566zred 11682 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
5756adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
588zred 11682 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
5958adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
60 elfzole1 12679 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀𝑘)
6160adantl 467 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀𝑘)
6228adantl 467 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
63 elfzle2 12545 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)
65 iccss 12439 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝑀𝑘 ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)) → (𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀[,]𝑁))
6657, 59, 61, 64, 65syl22anc 1477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀[,]𝑁))
67 iccssre 12453 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
6856, 58, 67syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
6968adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
7066, 69sstrd 3762 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ ℝ)
71 ax-resscn 10193 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
7270, 71syl6ss 3764 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ ℂ)
7371a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ℝ ⊆ ℂ)
74 cncfmptc 22927 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑦 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝑋) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ))
753, 72, 73, 74syl3anc 1476 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝑋) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ))
76 cncfmptid 22928 . . . . . . 7 (((𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑦 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝑦) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ))
7770, 71, 76sylancl 574 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝑦) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ))
78 remulcl 10221 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑋 · 𝑦) ∈ ℝ)
7954, 55, 75, 77, 71, 78cncfmpt2ss 22931 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ (𝑋 · 𝑦)) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ))
80 reelprrecn 10228 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
8180a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
8257rexrd 10289 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
83 iooss1 12408 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ*𝑀𝑘) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)(𝑘 + 1)))
8482, 61, 83syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)(𝑘 + 1)))
8559rexrd 10289 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ*)
86 iooss2 12409 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
8785, 64, 86syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
8884, 87sstrd 3762 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
89 ioossicc 12457 . . . . . . . . . 10 (𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁)
9069, 71syl6ss 3764 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℂ)
9189, 90syl5ss 3763 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℂ)
9288, 91sstrd 3762 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ ℂ)
9392sselda 3752 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → 𝑦 ∈ ℂ)
94 1cnd 10256 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
9573sselda 3752 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
96 1cnd 10256 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
9781dvmptid 23933 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
98 ioossre 12433 . . . . . . . . 9 (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ ℝ
9998a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ ℝ)
10054tgioo2 22819 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
101 iooretop 22782 . . . . . . . . 9 (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ∈ (topGen‘ran (,))
102101a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ∈ (topGen‘ran (,)))
10381, 95, 96, 97, 99, 100, 54, 102dvmptres 23939 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ 1))
10481, 93, 94, 103, 47dvmptcmul 23940 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋 · 1)))
10552mpteq2dv 4879 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋 · 1)) = (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ 𝑋))
106104, 105eqtrd 2805 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ 𝑋))
107 nfcv 2913 . . . . . . 7 𝑦𝐴
108107, 20, 22cbvmpt 4883 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝐴) = (𝑦 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐴)
10966resmptd 5591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ↾ (𝑘[,](𝑘 + 1))) = (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝐴))
11014adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
111 rescncf 22913 . . . . . . . 8 ((𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀[,]𝑁) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ↾ (𝑘[,](𝑘 + 1))) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ)))
11266, 110, 111sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ↾ (𝑘[,](𝑘 + 1))) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ))
113109, 112eqeltrrd 2851 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ))
114108, 113syl5eqelr 2855 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐴) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ))
11516adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
116115, 18sylibr 224 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ)
11789sseli 3748 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) → 𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁))
11824impcom 394 . . . . . . . 8 ((∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
119116, 117, 118syl2an 583 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
120119recnd 10268 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
12189sseli 3748 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) → 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁))
12219r19.21bi 3081 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
123122adantlr 694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
124121, 123sylan2 580 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
125 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)
126124, 125fmptd 6525 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
127 ioossre 12433 . . . . . . . . . 10 (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ
128 dvfre 23927 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ ∧ (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ)
129126, 127, 128sylancl 574 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ)
130 dvfsumle.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
131130adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
132131dmeqd 5462 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
133 dvfsumle.v . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝑉)
134133adantlr 694 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝑉)
135134ralrimiva 3115 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵𝑉)
136 dmmptg 5774 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵𝑉 → dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑀(,)𝑁))
137135, 136syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑀(,)𝑁))
138132, 137eqtrd 2805 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑀(,)𝑁))
139131, 138feq12d 6171 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ))
140129, 139mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
141 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵)
142141fmpt 6521 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
143140, 142sylibr 224 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵 ∈ ℝ)
144 nfcsb1v 3698 . . . . . . . . 9 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵
145144nfel1 2928 . . . . . . . 8 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ
146 csbeq1a 3691 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵)
147146eleq1d 2835 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
148145, 147rspc 3454 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) → (∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵 ∈ ℝ → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
149143, 148mpan9 496 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
150107, 20, 22cbvmpt 4883 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐴)
151150oveq2i 6802 . . . . . . 7 (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐴))
152 nfcv 2913 . . . . . . . 8 𝑦𝐵
153152, 144, 146cbvmpt 4883 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐵)
154131, 151, 1533eqtr3g 2828 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐵))
15581, 120, 149, 154, 88, 100, 54, 102dvmptres 23939 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐵))
156 dvfsumle.l . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))) → 𝑋𝐵)
157156anassrs 453 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → 𝑋𝐵)
158157ralrimiva 3115 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))𝑋𝐵)
159 nfcv 2913 . . . . . . . 8 𝑥𝑋
160 nfcv 2913 . . . . . . . 8 𝑥
161159, 160, 144nfbr 4833 . . . . . . 7 𝑥 𝑋𝑦 / 𝑥𝐵
162146breq2d 4798 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑋𝐵𝑋𝑦 / 𝑥𝐵))
163161, 162rspc 3454 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) → (∀𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))𝑋𝐵𝑋𝑦 / 𝑥𝐵))
164158, 163mpan9 496 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → 𝑋𝑦 / 𝑥𝐵)
16541rexrd 10289 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ*)
16649rexrd 10289 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ*)
16741lep1d 11155 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
168 lbicc2 12488 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℝ* ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ*𝑘 ≤ (𝑘 + 1)) → 𝑘 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)))
169165, 166, 167, 168syl3anc 1476 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)))
170 ubicc2 12489 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℝ* ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ*𝑘 ≤ (𝑘 + 1)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)))
171165, 166, 167, 170syl3anc 1476 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)))
172 oveq2 6799 . . . . 5 (𝑦 = 𝑘 → (𝑋 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑘))
173 oveq2 6799 . . . . 5 (𝑦 = (𝑘 + 1) → (𝑋 · 𝑦) = (𝑋 · (𝑘 + 1)))
17441, 49, 79, 106, 114, 155, 164, 169, 171, 167, 172, 34, 173, 29dvle 23983 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑋 · 𝑘)) ≤ ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))
17553, 174eqbrtrrd 4810 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ≤ ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))
1762, 3, 38, 175fsumle 14731 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))
177 vex 3354 . . . . 5 𝑦 ∈ V
178177a1i 11 . . . 4 (𝑦 = 𝑀𝑦 ∈ V)
179 eqeq2 2782 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑀 → (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑀))
180179biimpa 462 . . . . 5 ((𝑦 = 𝑀𝑥 = 𝑦) → 𝑥 = 𝑀)
181 dvfsumle.c . . . . 5 (𝑥 = 𝑀𝐴 = 𝐶)
182180, 181syl 17 . . . 4 ((𝑦 = 𝑀𝑥 = 𝑦) → 𝐴 = 𝐶)
183178, 182csbied 3709 . . 3 (𝑦 = 𝑀𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝐶)
184177a1i 11 . . . 4 (𝑦 = 𝑁𝑦 ∈ V)
185 eqeq2 2782 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑁 → (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑁))
186185biimpa 462 . . . . 5 ((𝑦 = 𝑁𝑥 = 𝑦) → 𝑥 = 𝑁)
187 dvfsumle.d . . . . 5 (𝑥 = 𝑁𝐴 = 𝐷)
188186, 187syl 17 . . . 4 ((𝑦 = 𝑁𝑥 = 𝑦) → 𝐴 = 𝐷)
189184, 188csbied 3709 . . 3 (𝑦 = 𝑁𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝐷)
19026recnd 10268 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
19134, 29, 183, 189, 4, 190telfsumo2 14735 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴) = (𝐷𝐶))
192176, 191breqtrd 4812 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ≤ (𝐷𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  Vcvv 3351  csb 3682  cin 3722  wss 3723  {cpr 4318   class class class wbr 4786  cmpt 4863  dom cdm 5249  ran crn 5250  cres 5251  wf 6025  cfv 6029  (class class class)co 6791  Fincfn 8107  cc 10134  cr 10135  1c1 10137   + caddc 10139   · cmul 10141  *cxr 10273  cle 10275  cmin 10466  cz 11577  cuz 11886  (,)cioo 12373  [,]cicc 12376  ...cfz 12526  ..^cfzo 12666  Σcsu 14617  TopOpenctopn 16283  topGenctg 16299  fldccnfld 19954  cnccncf 22892   D cdv 23840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214  ax-addf 10215  ax-mulf 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-isom 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-of 7042  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-supp 7445  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-2o 7712  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-pm 8010  df-ixp 8061  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-fsupp 8430  df-fi 8471  df-sup 8502  df-inf 8503  df-oi 8569  df-card 8963  df-cda 9190  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12144  df-xadd 12145  df-xmul 12146  df-ioo 12377  df-ico 12379  df-icc 12380  df-fz 12527  df-fzo 12667  df-seq 13002  df-exp 13061  df-hash 13315  df-cj 14040  df-re 14041  df-im 14042  df-sqrt 14176  df-abs 14177  df-clim 14420  df-sum 14618  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16155  df-mulr 16156  df-starv 16157  df-sca 16158  df-vsca 16159  df-ip 16160  df-tset 16161  df-ple 16162  df-ds 16165  df-unif 16166  df-hom 16167  df-cco 16168  df-rest 16284  df-topn 16285  df-0g 16303  df-gsum 16304  df-topgen 16305  df-pt 16306  df-prds 16309  df-xrs 16363  df-qtop 16368  df-imas 16369  df-xps 16371  df-mre 16447  df-mrc 16448  df-acs 16450  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-met 19948  df-bl 19949  df-mopn 19950  df-fbas 19951  df-fg 19952  df-cnfld 19955  df-top 20912  df-topon 20929  df-topsp 20951  df-bases 20964  df-cld 21037  df-ntr 21038  df-cls 21039  df-nei 21116  df-lp 21154  df-perf 21155  df-cn 21245  df-cnp 21246  df-haus 21333  df-cmp 21404  df-tx 21579  df-hmeo 21772  df-fil 21863  df-fm 21955  df-flim 21956  df-flf 21957  df-xms 22338  df-ms 22339  df-tms 22340  df-cncf 22894  df-limc 23843  df-dv 23844
This theorem is referenced by:  dvfsumge  23998
  Copyright terms: Public domain W3C validator