MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumle 25385
Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsumle.m (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
dvfsumle.a (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
dvfsumle.v ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝑉)
dvfsumle.b (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
dvfsumle.c (𝑥 = 𝑀𝐴 = 𝐶)
dvfsumle.d (𝑥 = 𝑁𝐴 = 𝐷)
dvfsumle.x ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ)
dvfsumle.l ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))) → 𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
dvfsumle (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ≤ (𝐷𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑥,𝑘,𝑀   𝑘,𝑁,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumle
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 13879 . . . 4 (𝑀..^𝑁) ∈ Fin
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
3 dvfsumle.x . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ)
4 dvfsumle.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5 eluzel2 12768 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 eluzelz 12773 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
84, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
9 fzval2 13427 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀[,]𝑁) ∩ ℤ))
106, 8, 9syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ((𝑀[,]𝑁) ∩ ℤ))
11 inss1 4188 . . . . . . . . 9 ((𝑀[,]𝑁) ∩ ℤ) ⊆ (𝑀[,]𝑁)
1210, 11eqsstrdi 3998 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁))
1312sselda 3944 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁))
14 dvfsumle.a . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
15 cncff 24256 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
17 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴)
1817fmpt 7058 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
1916, 18sylibr 233 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ)
20 nfcsb1v 3880 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑦 / 𝑥𝐴
2120nfel1 2923 . . . . . . . . 9 𝑥𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ
22 csbeq1a 3869 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝑦 / 𝑥𝐴)
2322eleq1d 2822 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
2421, 23rspc 3569 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁) → (∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
2519, 24mpan9 507 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
2613, 25syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
2726ralrimiva 3143 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
28 fzofzp1 13669 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
29 csbeq1 3858 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑘 + 1) → 𝑦 / 𝑥𝐴 = (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴)
3029eleq1d 2822 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑘 + 1) → (𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
3130rspccva 3580 . . . . 5 ((∀𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
3227, 28, 31syl2an 596 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
33 elfzofz 13588 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
34 csbeq1 3858 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑘𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝑘 / 𝑥𝐴)
3534eleq1d 2822 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑘 → (𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑘 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
3635rspccva 3580 . . . . 5 ((∀𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
3727, 33, 36syl2an 596 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
3832, 37resubcld 11583 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴) ∈ ℝ)
39 elfzoelz 13572 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
4039adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
4140zred 12607 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
4241recnd 11183 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
43 ax-1cn 11109 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
44 pncan2 11408 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) − 𝑘) = 1)
4542, 43, 44sylancl 586 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑘 + 1) − 𝑘) = 1)
4645oveq2d 7373 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 · ((𝑘 + 1) − 𝑘)) = (𝑋 · 1))
473recnd 11183 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
48 peano2re 11328 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
4941, 48syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
5049recnd 11183 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
5147, 50, 42subdid 11611 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 · ((𝑘 + 1) − 𝑘)) = ((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑋 · 𝑘)))
5247mulid1d 11172 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 · 1) = 𝑋)
5346, 51, 523eqtr3d 2784 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑋 · 𝑘)) = 𝑋)
54 eqid 2736 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
5554mulcn 24230 . . . . . 6 · ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
566zred 12607 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
5756adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
588zred 12607 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
5958adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
60 elfzole1 13580 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀𝑘)
6160adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀𝑘)
6228adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
63 elfzle2 13445 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)
65 iccss 13332 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝑀𝑘 ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)) → (𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀[,]𝑁))
6657, 59, 61, 64, 65syl22anc 837 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀[,]𝑁))
67 iccssre 13346 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
6856, 58, 67syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
6968adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
7066, 69sstrd 3954 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ ℝ)
71 ax-resscn 11108 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
7270, 71sstrdi 3956 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ ℂ)
7371a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ℝ ⊆ ℂ)
74 cncfmptc 24275 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑦 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝑋) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ))
753, 72, 73, 74syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝑋) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ))
76 cncfmptid 24276 . . . . . . 7 (((𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑦 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝑦) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ))
7770, 71, 76sylancl 586 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝑦) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ))
78 remulcl 11136 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑋 · 𝑦) ∈ ℝ)
7954, 55, 75, 77, 71, 78cncfmpt2ss 24279 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ (𝑋 · 𝑦)) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ))
80 reelprrecn 11143 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
8180a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
8257rexrd 11205 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
83 iooss1 13299 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ*𝑀𝑘) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)(𝑘 + 1)))
8482, 61, 83syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)(𝑘 + 1)))
8559rexrd 11205 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ*)
86 iooss2 13300 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
8785, 64, 86syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
8884, 87sstrd 3954 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
89 ioossicc 13350 . . . . . . . . . 10 (𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁)
9069, 71sstrdi 3956 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℂ)
9189, 90sstrid 3955 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℂ)
9288, 91sstrd 3954 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ ℂ)
9392sselda 3944 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → 𝑦 ∈ ℂ)
94 1cnd 11150 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
9573sselda 3944 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
96 1cnd 11150 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
9781dvmptid 25321 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
98 ioossre 13325 . . . . . . . . 9 (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ ℝ
9998a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ ℝ)
10054tgioo2 24166 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
101 iooretop 24129 . . . . . . . . 9 (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ∈ (topGen‘ran (,))
102101a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ∈ (topGen‘ran (,)))
10381, 95, 96, 97, 99, 100, 54, 102dvmptres 25327 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ 1))
10481, 93, 94, 103, 47dvmptcmul 25328 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋 · 1)))
10552mpteq2dv 5207 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋 · 1)) = (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ 𝑋))
106104, 105eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ 𝑋))
107 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑦𝐴
108107, 20, 22cbvmpt 5216 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝐴) = (𝑦 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐴)
10966resmptd 5994 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ↾ (𝑘[,](𝑘 + 1))) = (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝐴))
11014adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
111 rescncf 24260 . . . . . . . 8 ((𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀[,]𝑁) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ↾ (𝑘[,](𝑘 + 1))) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ)))
11266, 110, 111sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ↾ (𝑘[,](𝑘 + 1))) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ))
113109, 112eqeltrrd 2839 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ))
114108, 113eqeltrrid 2843 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐴) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ))
11516adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
116115, 18sylibr 233 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ)
11789sseli 3940 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) → 𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁))
11824impcom 408 . . . . . . . 8 ((∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
119116, 117, 118syl2an 596 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
120119recnd 11183 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
12189sseli 3940 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) → 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁))
12216fvmptelcdm 7061 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
123122adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
124121, 123sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
125124fmpttd 7063 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
126 ioossre 13325 . . . . . . . . . 10 (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ
127 dvfre 25315 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ ∧ (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ)
128125, 126, 127sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ)
129 dvfsumle.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
130129adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
131130dmeqd 5861 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
132 dvfsumle.v . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝑉)
133132adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝑉)
134133ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵𝑉)
135 dmmptg 6194 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵𝑉 → dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑀(,)𝑁))
136134, 135syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑀(,)𝑁))
137131, 136eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑀(,)𝑁))
138130, 137feq12d 6656 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ))
139128, 138mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
140 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵)
141140fmpt 7058 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
142139, 141sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵 ∈ ℝ)
143 nfcsb1v 3880 . . . . . . . . 9 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵
144143nfel1 2923 . . . . . . . 8 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ
145 csbeq1a 3869 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵)
146145eleq1d 2822 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
147144, 146rspc 3569 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) → (∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵 ∈ ℝ → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
148142, 147mpan9 507 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
149107, 20, 22cbvmpt 5216 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐴)
150149oveq2i 7368 . . . . . . 7 (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐴))
151 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑦𝐵
152151, 143, 145cbvmpt 5216 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐵)
153130, 150, 1523eqtr3g 2799 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐵))
15481, 120, 148, 153, 88, 100, 54, 102dvmptres 25327 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐵))
155 dvfsumle.l . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))) → 𝑋𝐵)
156155anassrs 468 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → 𝑋𝐵)
157156ralrimiva 3143 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))𝑋𝐵)
158 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑥𝑋
159 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑥
160158, 159, 143nfbr 5152 . . . . . . 7 𝑥 𝑋𝑦 / 𝑥𝐵
161145breq2d 5117 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑋𝐵𝑋𝑦 / 𝑥𝐵))
162160, 161rspc 3569 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) → (∀𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))𝑋𝐵𝑋𝑦 / 𝑥𝐵))
163157, 162mpan9 507 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → 𝑋𝑦 / 𝑥𝐵)
16441rexrd 11205 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ*)
16549rexrd 11205 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ*)
16641lep1d 12086 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
167 lbicc2 13381 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℝ* ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ*𝑘 ≤ (𝑘 + 1)) → 𝑘 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)))
168164, 165, 166, 167syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)))
169 ubicc2 13382 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℝ* ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ*𝑘 ≤ (𝑘 + 1)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)))
170164, 165, 166, 169syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)))
171 oveq2 7365 . . . . 5 (𝑦 = 𝑘 → (𝑋 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑘))
172 oveq2 7365 . . . . 5 (𝑦 = (𝑘 + 1) → (𝑋 · 𝑦) = (𝑋 · (𝑘 + 1)))
17341, 49, 79, 106, 114, 154, 163, 168, 170, 166, 171, 34, 172, 29dvle 25371 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑋 · 𝑘)) ≤ ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))
17453, 173eqbrtrrd 5129 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ≤ ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))
1752, 3, 38, 174fsumle 15684 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))
176 vex 3449 . . . . 5 𝑦 ∈ V
177176a1i 11 . . . 4 (𝑦 = 𝑀𝑦 ∈ V)
178 eqeq2 2748 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑀 → (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑀))
179178biimpa 477 . . . . 5 ((𝑦 = 𝑀𝑥 = 𝑦) → 𝑥 = 𝑀)
180 dvfsumle.c . . . . 5 (𝑥 = 𝑀𝐴 = 𝐶)
181179, 180syl 17 . . . 4 ((𝑦 = 𝑀𝑥 = 𝑦) → 𝐴 = 𝐶)
182177, 181csbied 3893 . . 3 (𝑦 = 𝑀𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝐶)
183176a1i 11 . . . 4 (𝑦 = 𝑁𝑦 ∈ V)
184 eqeq2 2748 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑁 → (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑁))
185184biimpa 477 . . . . 5 ((𝑦 = 𝑁𝑥 = 𝑦) → 𝑥 = 𝑁)
186 dvfsumle.d . . . . 5 (𝑥 = 𝑁𝐴 = 𝐷)
187185, 186syl 17 . . . 4 ((𝑦 = 𝑁𝑥 = 𝑦) → 𝐴 = 𝐷)
188183, 187csbied 3893 . . 3 (𝑦 = 𝑁𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝐷)
18926recnd 11183 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
19034, 29, 182, 188, 4, 189telfsumo2 15688 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴) = (𝐷𝐶))
191175, 190breqtrd 5131 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ≤ (𝐷𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3445  csb 3855  cin 3909  wss 3910  {cpr 4588   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  ran crn 5634  cres 5635  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  cc 11049  cr 11050  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  *cxr 11188  cle 11190  cmin 11385  cz 12499  cuz 12763  (,)cioo 13264  [,]cicc 13267  ...cfz 13424  ..^cfzo 13567  Σcsu 15570  TopOpenctopn 17303  topGenctg 17319  fldccnfld 20796  cnccncf 24239   D cdv 25227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by:  dvfsumge  25386
  Copyright terms: Public domain W3C validator