MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumle 25385
Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsumle.m (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
dvfsumle.a (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
dvfsumle.v ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
dvfsumle.b (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡))
dvfsumle.c (π‘₯ = 𝑀 β†’ 𝐴 = 𝐢)
dvfsumle.d (π‘₯ = 𝑁 β†’ 𝐴 = 𝐷)
dvfsumle.x ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
dvfsumle.l ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)))) β†’ 𝑋 ≀ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
dvfsumle (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ≀ (𝐷 βˆ’ 𝐢))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘₯,π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑁,π‘₯   πœ‘,π‘˜,π‘₯   π‘₯,𝑋   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯,π‘˜)   𝐢(π‘˜)   𝐷(π‘˜)   𝑉(π‘˜)   𝑋(π‘˜)

Proof of Theorem dvfsumle
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 13879 . . . 4 (𝑀..^𝑁) ∈ Fin
21a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
3 dvfsumle.x . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
4 dvfsumle.m . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
5 eluzel2 12768 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
7 eluzelz 12773 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
84, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
9 fzval2 13427 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝑀...𝑁) = ((𝑀[,]𝑁) ∩ β„€))
106, 8, 9syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑀...𝑁) = ((𝑀[,]𝑁) ∩ β„€))
11 inss1 4188 . . . . . . . . 9 ((𝑀[,]𝑁) ∩ β„€) βŠ† (𝑀[,]𝑁)
1210, 11eqsstrdi 3998 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑀...𝑁) βŠ† (𝑀[,]𝑁))
1312sselda 3944 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ 𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁))
14 dvfsumle.a . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
15 cncff 24256 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)βŸΆβ„)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)βŸΆβ„)
17 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) = (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴)
1817fmpt 7058 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ ↔ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)βŸΆβ„)
1916, 18sylibr 233 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ)
20 nfcsb1v 3880 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴
2120nfel1 2923 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ
22 csbeq1a 3869 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝐴 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴)
2322eleq1d 2822 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ))
2421, 23rspc 3569 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ))
2519, 24mpan9 507 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ)
2613, 25syldan 591 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ)
2726ralrimiva 3143 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑀...𝑁)⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ)
28 fzofzp1 13669 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
29 csbeq1 3858 . . . . . . 7 (𝑦 = (π‘˜ + 1) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 = ⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴)
3029eleq1d 2822 . . . . . 6 (𝑦 = (π‘˜ + 1) β†’ (⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ))
3130rspccva 3580 . . . . 5 ((βˆ€π‘¦ ∈ (𝑀...𝑁)⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ ⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ)
3227, 28, 31syl2an 596 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ)
33 elfzofz 13588 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) β†’ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁))
34 csbeq1 3858 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘˜ β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 = β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴)
3534eleq1d 2822 . . . . . 6 (𝑦 = π‘˜ β†’ (⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ ↔ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ))
3635rspccva 3580 . . . . 5 ((βˆ€π‘¦ ∈ (𝑀...𝑁)⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ)
3727, 33, 36syl2an 596 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ)
3832, 37resubcld 11583 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴) ∈ ℝ)
39 elfzoelz 13572 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
4039adantl 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
4140zred 12607 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
4241recnd 11183 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
43 ax-1cn 11109 . . . . . . 7 1 ∈ β„‚
44 pncan2 11408 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ + 1) βˆ’ π‘˜) = 1)
4542, 43, 44sylancl 586 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((π‘˜ + 1) βˆ’ π‘˜) = 1)
4645oveq2d 7373 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑋 Β· ((π‘˜ + 1) βˆ’ π‘˜)) = (𝑋 Β· 1))
473recnd 11183 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
48 peano2re 11328 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ ℝ β†’ (π‘˜ + 1) ∈ ℝ)
4941, 48syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ ℝ)
5049recnd 11183 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„‚)
5147, 50, 42subdid 11611 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑋 Β· ((π‘˜ + 1) βˆ’ π‘˜)) = ((𝑋 Β· (π‘˜ + 1)) βˆ’ (𝑋 Β· π‘˜)))
5247mulid1d 11172 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑋 Β· 1) = 𝑋)
5346, 51, 523eqtr3d 2784 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((𝑋 Β· (π‘˜ + 1)) βˆ’ (𝑋 Β· π‘˜)) = 𝑋)
54 eqid 2736 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
5554mulcn 24230 . . . . . 6 Β· ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
566zred 12607 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
5756adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
588zred 12607 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
5958adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
60 elfzole1 13580 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) β†’ 𝑀 ≀ π‘˜)
6160adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑀 ≀ π‘˜)
6228adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
63 elfzle2 13445 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ + 1) ∈ (𝑀...𝑁) β†’ (π‘˜ + 1) ≀ 𝑁)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜ + 1) ≀ 𝑁)
65 iccss 13332 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ≀ π‘˜ ∧ (π‘˜ + 1) ≀ 𝑁)) β†’ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀[,]𝑁))
6657, 59, 61, 64, 65syl22anc 837 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀[,]𝑁))
67 iccssre 13346 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ (𝑀[,]𝑁) βŠ† ℝ)
6856, 58, 67syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑀[,]𝑁) βŠ† ℝ)
6968adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑀[,]𝑁) βŠ† ℝ)
7066, 69sstrd 3954 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) βŠ† ℝ)
71 ax-resscn 11108 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
7270, 71sstrdi 3956 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) βŠ† β„‚)
7371a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
74 cncfmptc 24275 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) βŠ† β„‚ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (𝑦 ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ 𝑋) ∈ ((π‘˜[,](π‘˜ + 1))–cn→ℝ))
753, 72, 73, 74syl3anc 1371 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑦 ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ 𝑋) ∈ ((π‘˜[,](π‘˜ + 1))–cn→ℝ))
76 cncfmptid 24276 . . . . . . 7 (((π‘˜[,](π‘˜ + 1)) βŠ† ℝ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (𝑦 ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ 𝑦) ∈ ((π‘˜[,](π‘˜ + 1))–cn→ℝ))
7770, 71, 76sylancl 586 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑦 ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ 𝑦) ∈ ((π‘˜[,](π‘˜ + 1))–cn→ℝ))
78 remulcl 11136 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑋 Β· 𝑦) ∈ ℝ)
7954, 55, 75, 77, 71, 78cncfmpt2ss 24279 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑦 ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ (𝑋 Β· 𝑦)) ∈ ((π‘˜[,](π‘˜ + 1))–cn→ℝ))
80 reelprrecn 11143 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
8180a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
8257rexrd 11205 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
83 iooss1 13299 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) β†’ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀(,)(π‘˜ + 1)))
8482, 61, 83syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀(,)(π‘˜ + 1)))
8559rexrd 11205 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ*)
86 iooss2 13300 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ (π‘˜ + 1) ≀ 𝑁) β†’ (𝑀(,)(π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀(,)𝑁))
8785, 64, 86syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑀(,)(π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀(,)𝑁))
8884, 87sstrd 3954 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀(,)𝑁))
89 ioossicc 13350 . . . . . . . . . 10 (𝑀(,)𝑁) βŠ† (𝑀[,]𝑁)
9069, 71sstrdi 3956 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑀[,]𝑁) βŠ† β„‚)
9189, 90sstrid 3955 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑀(,)𝑁) βŠ† β„‚)
9288, 91sstrd 3954 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) βŠ† β„‚)
9392sselda 3944 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1))) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
94 1cnd 11150 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1))) β†’ 1 ∈ β„‚)
9573sselda 3944 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
96 1cnd 11150 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ β„‚)
9781dvmptid 25321 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
98 ioossre 13325 . . . . . . . . 9 (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) βŠ† ℝ
9998a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) βŠ† ℝ)
10054tgioo2 24166 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
101 iooretop 24129 . . . . . . . . 9 (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
102101a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
10381, 95, 96, 97, 99, 100, 54, 102dvmptres 25327 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ↦ 1))
10481, 93, 94, 103, 47dvmptcmul 25328 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ↦ (𝑋 Β· 𝑦))) = (𝑦 ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ↦ (𝑋 Β· 1)))
10552mpteq2dv 5207 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑦 ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ↦ (𝑋 Β· 1)) = (𝑦 ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ↦ 𝑋))
106104, 105eqtrd 2776 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ↦ (𝑋 Β· 𝑦))) = (𝑦 ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ↦ 𝑋))
107 nfcv 2907 . . . . . . 7 Ⅎ𝑦𝐴
108107, 20, 22cbvmpt 5216 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ 𝐴) = (𝑦 ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴)
10966resmptd 5994 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) β†Ύ (π‘˜[,](π‘˜ + 1))) = (π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ 𝐴))
11014adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
111 rescncf 24260 . . . . . . . 8 ((π‘˜[,](π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀[,]𝑁) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) β†Ύ (π‘˜[,](π‘˜ + 1))) ∈ ((π‘˜[,](π‘˜ + 1))–cn→ℝ)))
11266, 110, 111sylc 65 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) β†Ύ (π‘˜[,](π‘˜ + 1))) ∈ ((π‘˜[,](π‘˜ + 1))–cn→ℝ))
113109, 112eqeltrrd 2838 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ 𝐴) ∈ ((π‘˜[,](π‘˜ + 1))–cn→ℝ))
114108, 113eqeltrrid 2842 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑦 ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴) ∈ ((π‘˜[,](π‘˜ + 1))–cn→ℝ))
11516adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)βŸΆβ„)
116115, 18sylibr 233 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ)
11789sseli 3940 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) β†’ 𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁))
11824impcom 408 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ)
119116, 117, 118syl2an 596 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ)
120119recnd 11183 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ β„‚)
12189sseli 3940 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) β†’ π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁))
12216fvmptelcdm 7061 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
123122adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
124121, 123sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
125124fmpttd 7063 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„)
126 ioossre 13325 . . . . . . . . . 10 (𝑀(,)𝑁) βŠ† ℝ
127 dvfre 25315 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„ ∧ (𝑀(,)𝑁) βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))βŸΆβ„)
128125, 126, 127sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))βŸΆβ„)
129 dvfsumle.b . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡))
130129adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡))
131130dmeqd 5861 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = dom (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡))
132 dvfsumle.v . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
133132adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
134133ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐡 ∈ 𝑉)
135 dmmptg 6194 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐡 ∈ 𝑉 β†’ dom (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡) = (𝑀(,)𝑁))
136134, 135syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ dom (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡) = (𝑀(,)𝑁))
137131, 136eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑀(,)𝑁))
138130, 137feq12d 6656 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))βŸΆβ„ ↔ (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„))
139128, 138mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„)
140 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡)
141140fmpt 7058 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐡 ∈ ℝ ↔ (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„)
142139, 141sylibr 233 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐡 ∈ ℝ)
143 nfcsb1v 3880 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡
144143nfel1 2923 . . . . . . . 8 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ
145 csbeq1a 3869 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝐡 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)
146145eleq1d 2822 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐡 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ))
147144, 146rspc 3569 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐡 ∈ ℝ β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ))
148142, 147mpan9 507 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ)
149107, 20, 22cbvmpt 5216 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴)
150149oveq2i 7368 . . . . . . 7 (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴))
151 nfcv 2907 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦𝐡
152151, 143, 145cbvmpt 5216 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡) = (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)
153130, 150, 1523eqtr3g 2799 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))
15481, 120, 148, 153, 88, 100, 54, 102dvmptres 25327 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴)) = (𝑦 ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))
155 dvfsumle.l . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)))) β†’ 𝑋 ≀ 𝐡)
156155anassrs 468 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1))) β†’ 𝑋 ≀ 𝐡)
157156ralrimiva 3143 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1))𝑋 ≀ 𝐡)
158 nfcv 2907 . . . . . . . 8 β„²π‘₯𝑋
159 nfcv 2907 . . . . . . . 8 β„²π‘₯ ≀
160158, 159, 143nfbr 5152 . . . . . . 7 β„²π‘₯ 𝑋 ≀ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡
161145breq2d 5117 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑋 ≀ 𝐡 ↔ 𝑋 ≀ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))
162160, 161rspc 3569 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1))𝑋 ≀ 𝐡 β†’ 𝑋 ≀ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))
163157, 162mpan9 507 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1))) β†’ 𝑋 ≀ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)
16441rexrd 11205 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ*)
16549rexrd 11205 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ ℝ*)
16641lep1d 12086 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ π‘˜ ≀ (π‘˜ + 1))
167 lbicc2 13381 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ ℝ* ∧ (π‘˜ + 1) ∈ ℝ* ∧ π‘˜ ≀ (π‘˜ + 1)) β†’ π‘˜ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)))
168164, 165, 166, 167syl3anc 1371 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)))
169 ubicc2 13382 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ ℝ* ∧ (π‘˜ + 1) ∈ ℝ* ∧ π‘˜ ≀ (π‘˜ + 1)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)))
170164, 165, 166, 169syl3anc 1371 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)))
171 oveq2 7365 . . . . 5 (𝑦 = π‘˜ β†’ (𝑋 Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘˜))
172 oveq2 7365 . . . . 5 (𝑦 = (π‘˜ + 1) β†’ (𝑋 Β· 𝑦) = (𝑋 Β· (π‘˜ + 1)))
17341, 49, 79, 106, 114, 154, 163, 168, 170, 166, 171, 34, 172, 29dvle 25371 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((𝑋 Β· (π‘˜ + 1)) βˆ’ (𝑋 Β· π‘˜)) ≀ (⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴))
17453, 173eqbrtrrd 5129 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑋 ≀ (⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴))
1752, 3, 38, 174fsumle 15684 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)(⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴))
176 vex 3449 . . . . 5 𝑦 ∈ V
177176a1i 11 . . . 4 (𝑦 = 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ V)
178 eqeq2 2748 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑀 β†’ (π‘₯ = 𝑦 ↔ π‘₯ = 𝑀))
179178biimpa 477 . . . . 5 ((𝑦 = 𝑀 ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ π‘₯ = 𝑀)
180 dvfsumle.c . . . . 5 (π‘₯ = 𝑀 β†’ 𝐴 = 𝐢)
181179, 180syl 17 . . . 4 ((𝑦 = 𝑀 ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ 𝐴 = 𝐢)
182177, 181csbied 3893 . . 3 (𝑦 = 𝑀 β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 = 𝐢)
183176a1i 11 . . . 4 (𝑦 = 𝑁 β†’ 𝑦 ∈ V)
184 eqeq2 2748 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑁 β†’ (π‘₯ = 𝑦 ↔ π‘₯ = 𝑁))
185184biimpa 477 . . . . 5 ((𝑦 = 𝑁 ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ π‘₯ = 𝑁)
186 dvfsumle.d . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ 𝐴 = 𝐷)
187185, 186syl 17 . . . 4 ((𝑦 = 𝑁 ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ 𝐴 = 𝐷)
188183, 187csbied 3893 . . 3 (𝑦 = 𝑁 β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 = 𝐷)
18926recnd 11183 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ β„‚)
19034, 29, 182, 188, 4, 189telfsumo2 15688 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)(⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴) = (𝐷 βˆ’ 𝐢))
191175, 190breqtrd 5131 1 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ≀ (𝐷 βˆ’ 𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3064  Vcvv 3445  β¦‹csb 3855   ∩ cin 3909   βŠ† wss 3910  {cpr 4588   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5633  ran crn 5634   β†Ύ cres 5635  βŸΆwf 6492  β€˜cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  β„‚cc 11049  β„cr 11050  1c1 11052   + caddc 11054   Β· cmul 11056  β„*cxr 11188   ≀ cle 11190   βˆ’ cmin 11385  β„€cz 12499  β„€β‰₯cuz 12763  (,)cioo 13264  [,]cicc 13267  ...cfz 13424  ..^cfzo 13567  Ξ£csu 15570  TopOpenctopn 17303  topGenctg 17319  β„‚fldccnfld 20796  β€“cnβ†’ccncf 24239   D cdv 25227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by:  dvfsumge  25386
  Copyright terms: Public domain W3C validator