Theorem ppisval 27014

Description: The set of primes less than 𝐴 expressed using a finite set of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppisval	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))

Proof of Theorem ppisval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
2	1	elin2d 4168	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ ℙ)
3		prmuz2 16666	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2))
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2))
5		prmz 16645	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ ℤ)
6	2, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
7		flcl 13757	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
8	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
9	1	elin1d 4167	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ (0[,]𝐴))
10		0re 11176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
11		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
12		elicc2 13372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)))
13	10, 11, 12	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)))
14	9, 13	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴))
15	14	simp3d 1144	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ≤ 𝐴)
16		flge 13767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝑥 ≤ (⌊‘𝐴)))
17	6, 16	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝑥 ≤ (⌊‘𝐴)))
18	15, 17	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ≤ (⌊‘𝐴))
19		eluz2 12799	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ (⌊‘𝐴)))
20	6, 8, 18, 19	syl3anbrc 1344	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑥))
21		elfzuzb 13479	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑥)))
22	4, 20, 21	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)))
23	22, 2	elind 4163	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
24	23	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) → 𝑥 ∈ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)))
25	24	ssrdv 3952	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ⊆ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
26		2z 12565	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
27		fzval2 13471	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℤ) → (2...(⌊‘𝐴)) = ((2[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℤ))
28	26, 7, 27	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2...(⌊‘𝐴)) = ((2[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℤ))
29		inss1 4200	. . . . 5 ⊢ ((2[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℤ) ⊆ (2[,](⌊‘𝐴))
30	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
31		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
32		0le2 12288	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 2
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ 2)
34		flle 13761	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
35		iccss 13375	. . . . . 6 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)) → (2[,](⌊‘𝐴)) ⊆ (0[,]𝐴))
36	30, 31, 33, 34, 35	syl22anc 838	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2[,](⌊‘𝐴)) ⊆ (0[,]𝐴))
37	29, 36	sstrid 3958	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((2[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℤ) ⊆ (0[,]𝐴))
38	28, 37	eqsstrd 3981	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2...(⌊‘𝐴)) ⊆ (0[,]𝐴))
39	38	ssrind 4207	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊆ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
40	25, 39	eqssd 3964	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068   ≤ cle 11209  2c2 12241  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793  [,]cicc 13309  ...cfz 13468  ⌊cfl 13752  ℙcprime 16641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fl 13754  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-dvds 16223  df-prm 16642

This theorem is referenced by:  ppisval2  27015  ppifi  27016  ppival2  27038  chtfl  27059  chtprm  27063  chtnprm  27064  ppifl  27070  cht1  27075  chtlepsi  27117  chpval2  27129  chpub  27131  chtvalz  34620