Theorem ppisval 27066

Description: The set of primes less than 𝐴 expressed using a finite set of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppisval	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))

Proof of Theorem ppisval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
2	1	elin2d 4180	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ ℙ)
3		prmuz2 16715	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2))
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2))
5		prmz 16694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ ℤ)
6	2, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
7		flcl 13812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
8	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
9	1	elin1d 4179	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ (0[,]𝐴))
10		0re 11237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
11		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
12		elicc2 13428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)))
13	10, 11, 12	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)))
14	9, 13	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴))
15	14	simp3d 1144	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ≤ 𝐴)
16		flge 13822	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝑥 ≤ (⌊‘𝐴)))
17	6, 16	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝑥 ≤ (⌊‘𝐴)))
18	15, 17	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ≤ (⌊‘𝐴))
19		eluz2 12858	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ (⌊‘𝐴)))
20	6, 8, 18, 19	syl3anbrc 1344	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑥))
21		elfzuzb 13535	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑥)))
22	4, 20, 21	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)))
23	22, 2	elind 4175	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
24	23	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) → 𝑥 ∈ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)))
25	24	ssrdv 3964	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ⊆ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
26		2z 12624	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
27		fzval2 13527	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℤ) → (2...(⌊‘𝐴)) = ((2[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℤ))
28	26, 7, 27	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2...(⌊‘𝐴)) = ((2[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℤ))
29		inss1 4212	. . . . 5 ⊢ ((2[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℤ) ⊆ (2[,](⌊‘𝐴))
30	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
31		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
32		0le2 12342	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 2
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ 2)
34		flle 13816	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
35		iccss 13431	. . . . . 6 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)) → (2[,](⌊‘𝐴)) ⊆ (0[,]𝐴))
36	30, 31, 33, 34, 35	syl22anc 838	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2[,](⌊‘𝐴)) ⊆ (0[,]𝐴))
37	29, 36	sstrid 3970	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((2[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℤ) ⊆ (0[,]𝐴))
38	28, 37	eqsstrd 3993	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2...(⌊‘𝐴)) ⊆ (0[,]𝐴))
39	38	ssrind 4219	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊆ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
40	25, 39	eqssd 3976	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3925   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  0cc0 11129   ≤ cle 11270  2c2 12295  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  [,]cicc 13365  ...cfz 13524  ⌊cfl 13807  ℙcprime 16690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fl 13809  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-dvds 16273  df-prm 16691

This theorem is referenced by:  ppisval2  27067  ppifi  27068  ppival2  27090  chtfl  27111  chtprm  27115  chtnprm  27116  ppifl  27122  cht1  27127  chtlepsi  27169  chpval2  27181  chpub  27183  chtvalz  34661