Theorem ppisval 25044

Description: The set of primes less than 𝐴 expressed using a finite set of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppisval	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))

Proof of Theorem ppisval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss2 3982	. . . . . . . 8 ⊢ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ⊆ ℙ
2		simpr 471	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
3	1, 2	sseldi 3750	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ ℙ)
4		prmuz2 15608	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2))
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2))
6		prmz 15589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ ℤ)
7	3, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
8		flcl 12797	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
9	8	adantr 466	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
10		inss1 3981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ⊆ (0[,]𝐴)
11	10, 2	sseldi 3750	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ (0[,]𝐴))
12		0re 10240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		simpl 468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
14		elicc2 12436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)))
15	12, 13, 14	sylancr 575	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)))
16	11, 15	mpbid 222	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴))
17	16	simp3d 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ≤ 𝐴)
18		flge 12807	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝑥 ≤ (⌊‘𝐴)))
19	7, 18	syldan 579	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝑥 ≤ (⌊‘𝐴)))
20	17, 19	mpbid 222	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ≤ (⌊‘𝐴))
21		eluz2 11892	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ (⌊‘𝐴)))
22	7, 9, 20, 21	syl3anbrc 1428	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑥))
23		elfzuzb 12536	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑥)))
24	5, 22, 23	sylanbrc 572	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)))
25	24, 3	elind 3949	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
26	25	ex 397	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) → 𝑥 ∈ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)))
27	26	ssrdv 3758	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ⊆ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
28		2z 11609	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
29		fzval2 12529	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℤ) → (2...(⌊‘𝐴)) = ((2[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℤ))
30	28, 8, 29	sylancr 575	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2...(⌊‘𝐴)) = ((2[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℤ))
31		inss1 3981	. . . . 5 ⊢ ((2[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℤ) ⊆ (2[,](⌊‘𝐴))
32	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
33		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
34		0le2 11311	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 2
35	34	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ 2)
36		flle 12801	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
37		iccss 12439	. . . . . 6 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)) → (2[,](⌊‘𝐴)) ⊆ (0[,]𝐴))
38	32, 33, 35, 36, 37	syl22anc 1477	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2[,](⌊‘𝐴)) ⊆ (0[,]𝐴))
39	31, 38	syl5ss 3763	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((2[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℤ) ⊆ (0[,]𝐴))
40	30, 39	eqsstrd 3788	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2...(⌊‘𝐴)) ⊆ (0[,]𝐴))
41	40	ssrind 3988	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊆ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
42	27, 41	eqssd 3769	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3722   ⊆ wss 3723   class class class wbr 4786  ‘cfv 6029  (class class class)co 6791  ℝcr 10135  0cc0 10136   ≤ cle 10275  2c2 11270  ℤcz 11577  ℤ_≥cuz 11886  [,]cicc 12376  ...cfz 12526  ⌊cfl 12792  ℙcprime 15585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-2o 7712  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-sup 8502  df-inf 8503  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11887  df-rp 12029  df-icc 12380  df-fz 12527  df-fl 12794  df-seq 13002  df-exp 13061  df-cj 14040  df-re 14041  df-im 14042  df-sqrt 14176  df-abs 14177  df-dvds 15183  df-prm 15586

This theorem is referenced by:  ppisval2  25045  ppifi  25046  ppival2  25068  chtfl  25089  chtprm  25093  chtnprm  25094  ppifl  25100  cht1  25105  chtlepsi  25145  chpval2  25157  chpub  25159  chtvalz  31040