MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppisval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ppisval 25614
Description: The set of primes less than 𝐴 expressed using a finite set of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppisval (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))

Proof of Theorem ppisval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
21elin2d 4180 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ ℙ)
3 prmuz2 16035 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ (ℤ‘2))
42, 3syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ (ℤ‘2))
5 prmz 16014 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ ℤ)
62, 5syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
7 flcl 13160 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
87adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
91elin1d 4179 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ (0[,]𝐴))
10 0re 10637 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
11 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
12 elicc2 12796 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥𝐴)))
1310, 11, 12sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥𝐴)))
149, 13mpbid 233 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥𝐴))
1514simp3d 1138 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥𝐴)
16 flge 13170 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥𝐴𝑥 ≤ (⌊‘𝐴)))
176, 16syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (𝑥𝐴𝑥 ≤ (⌊‘𝐴)))
1815, 17mpbid 233 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ≤ (⌊‘𝐴))
19 eluz2 12243 . . . . . . 7 ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ (⌊‘𝐴)))
206, 8, 18, 19syl3anbrc 1337 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑥))
21 elfzuzb 12897 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ𝑥)))
224, 20, 21sylanbrc 583 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)))
2322, 2elind 4175 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
2423ex 413 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) → 𝑥 ∈ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)))
2524ssrdv 3977 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ⊆ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
26 2z 12008 . . . . 5 2 ∈ ℤ
27 fzval2 12890 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℤ) → (2...(⌊‘𝐴)) = ((2[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℤ))
2826, 7, 27sylancr 587 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (2...(⌊‘𝐴)) = ((2[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℤ))
29 inss1 4209 . . . . 5 ((2[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℤ) ⊆ (2[,](⌊‘𝐴))
3010a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
31 id 22 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
32 0le2 11733 . . . . . . 7 0 ≤ 2
3332a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ 2)
34 flle 13164 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
35 iccss 12799 . . . . . 6 (((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)) → (2[,](⌊‘𝐴)) ⊆ (0[,]𝐴))
3630, 31, 33, 34, 35syl22anc 836 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (2[,](⌊‘𝐴)) ⊆ (0[,]𝐴))
3729, 36sstrid 3982 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((2[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℤ) ⊆ (0[,]𝐴))
3828, 37eqsstrd 4009 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (2...(⌊‘𝐴)) ⊆ (0[,]𝐴))
3938ssrind 4216 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊆ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
4025, 39eqssd 3988 1 (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  cin 3939  wss 3940   class class class wbr 5063  cfv 6354  (class class class)co 7150  cr 10530  0cc0 10531  cle 10670  2c2 11686  cz 11975  cuz 12237  [,]cicc 12736  ...cfz 12887  cfl 13155  cprime 16010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12385  df-icc 12740  df-fz 12888  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13425  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-dvds 15603  df-prm 16011
This theorem is referenced by:  ppisval2  25615  ppifi  25616  ppival2  25638  chtfl  25659  chtprm  25663  chtnprm  25664  ppifl  25670  cht1  25675  chtlepsi  25715  chpval2  25727  chpub  25729  chtvalz  31805
  Copyright terms: Public domain W3C validator