Theorem ppisval 27145

Description: The set of primes less than 𝐴 expressed using a finite set of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppisval	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))

Proof of Theorem ppisval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
2	1	elin2d 4157	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ ℙ)
3		prmuz2 16713	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2))
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2))
5		prmz 16692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ ℤ)
6	2, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
7		flcl 13802	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
8	7	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
9	1	elin1d 4156	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ (0[,]𝐴))
10		0re 11180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
11		simpl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
12		elicc2 13412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)))
13	10, 11, 12	sylancr 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (𝑥 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴)))
14	9, 13	mpbid 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐴))
15	14	simp3d 1156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ≤ 𝐴)
16		flge 13812	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝑥 ≤ (⌊‘𝐴)))
17	6, 16	syldan 600	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ 𝑥 ≤ (⌊‘𝐴)))
18	15, 17	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ≤ (⌊‘𝐴))
19		eluz2 12842	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ (⌊‘𝐴)))
20	6, 8, 18, 19	syl3anbrc 1356	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑥))
21		elfzuzb 13520	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝑥)))
22	4, 20, 21	sylanbrc 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ (2...(⌊‘𝐴)))
23	22, 2	elind 4152	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)) → 𝑥 ∈ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
24	23	ex 416	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) → 𝑥 ∈ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ)))
25	24	ssrdv 3942	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ⊆ ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
26		2z 12600	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
27		fzval2 13512	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℤ) → (2...(⌊‘𝐴)) = ((2[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℤ))
28	26, 7, 27	sylancr 596	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2...(⌊‘𝐴)) = ((2[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℤ))
29		inss1 4188	. . . . 5 ⊢ ((2[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℤ) ⊆ (2[,](⌊‘𝐴))
30	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
31		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
32		0le2 12317	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 2
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ 2)
34		flle 13806	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
35		iccss 13415	. . . . . 6 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)) → (2[,](⌊‘𝐴)) ⊆ (0[,]𝐴))
36	30, 31, 33, 34, 35	syl22anc 849	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2[,](⌊‘𝐴)) ⊆ (0[,]𝐴))
37	29, 36	sstrid 3947	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((2[,](⌊‘𝐴)) ∩ ℤ) ⊆ (0[,]𝐴))
38	28, 37	eqsstrd 3970	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2...(⌊‘𝐴)) ⊆ (0[,]𝐴))
39	38	ssrind 4195	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) ⊆ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
40	25, 39	eqssd 3953	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℝcr 11069  0cc0 11070   ≤ cle 11214  2c2 12269  ℤcz 12565  ℤ_≥cuz 12836  [,]cicc 13349  ...cfz 13509  ⌊cfl 13797  ℙcprime 16688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-icc 13353  df-fz 13510  df-fl 13799  df-seq 14012  df-exp 14072  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-dvds 16270  df-prm 16689

This theorem is referenced by:  ppisval2  27146  ppifi  27147  ppival2  27169  chtfl  27190  chtprm  27194  chtnprm  27195  ppifl  27201  cht1  27206  chtlepsi  27247  chpval2  27259  chpub  27261  chtvalz  34887