MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylplem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem taylplem2 24963
Description: Lemma for taylpfval 24964 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
taylpfval.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
taylpfval.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
taylpfval.a (𝜑𝐴𝑆)
taylpfval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
taylpfval.b (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
Assertion
Ref Expression
taylplem2 (((𝜑𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑋𝐵)↑𝑘)) ∈ ℂ)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑆,𝑘   𝑘,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem taylplem2
StepHypRef Expression
1 0z 11984 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
2 taylpfval.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
32nn0zd 12077 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
4 fzval2 12892 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0...𝑁) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
51, 3, 4sylancr 590 . . . . 5 (𝜑 → (0...𝑁) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
65eleq2d 2878 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)))
76adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)))
87biimpa 480 . 2 (((𝜑𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
9 taylpfval.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
10 taylpfval.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
11 taylpfval.a . . 3 (𝜑𝐴𝑆)
122orcd 870 . . 3 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 = +∞))
13 taylpfval.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
149, 10, 11, 2, 13taylplem1 24962 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
159, 10, 11, 12, 14taylfvallem1 24956 . 2 (((𝜑𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑋𝐵)↑𝑘)) ∈ ℂ)
168, 15syldan 594 1 (((𝜑𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑋𝐵)↑𝑘)) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  cin 3883  wss 3884  {cpr 4530  dom cdm 5523  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530   · cmul 10535  +∞cpnf 10665  cmin 10863   / cdiv 11290  0cn0 11889  cz 11973  [,]cicc 12733  ...cfz 12889  cexp 13429  !cfa 13633   D𝑛 cdvn 24471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-icc 12737  df-fz 12890  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-rest 16692  df-topn 16693  df-topgen 16713  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-cnfld 20096  df-top 21503  df-topon 21520  df-topsp 21542  df-bases 21555  df-cld 21628  df-ntr 21629  df-cls 21630  df-nei 21707  df-lp 21745  df-perf 21746  df-cnp 21837  df-haus 21924  df-fil 22455  df-fm 22547  df-flim 22548  df-flf 22549  df-xms 22931  df-ms 22932  df-limc 24473  df-dv 24474  df-dvn 24475
This theorem is referenced by:  taylpf  24965  dvtaylp  24969
  Copyright terms: Public domain W3C validator