Theorem taylplem2 24954

Description: Lemma for taylpfval 24955 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
taylpfval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
taylpfval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
taylpfval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
taylpfval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
taylpfval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
taylplem2	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑋 − 𝐵)↑𝑘)) ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑆,𝑘   𝑘,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem taylplem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 11995	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		taylpfval.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 12088	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		fzval2 12898	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0...𝑁) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
5	1, 3, 4	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
6	5	eleq2d 2900	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)))
7	6	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)))
8	7	biimpa 479	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
9		taylpfval.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
10		taylpfval.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
11		taylpfval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
12	2	orcd 869	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
13		taylpfval.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
14	9, 10, 11, 2, 13	taylplem1 24953	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
15	9, 10, 11, 12, 14	taylfvallem1 24947	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑋 − 𝐵)↑𝑘)) ∈ ℂ)
16	8, 15	syldan 593	1 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑋 − 𝐵)↑𝑘)) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3937   ⊆ wss 3938  {cpr 4571  dom cdm 5557  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  ℝcr 10538  0cc0 10539   · cmul 10544  +∞cpnf 10674   − cmin 10872   / cdiv 11299  ℕ₀cn0 11900  ℤcz 11984  [,]cicc 12744  ...cfz 12895  ↑cexp 13432  !cfa 13636   D^𝑛 cdvn 24464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-icc 12748  df-fz 12896  df-seq 13373  df-exp 13433  df-fac 13637  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-rest 16698  df-topn 16699  df-topgen 16719  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-met 20541  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-fbas 20544  df-fg 20545  df-cnfld 20548  df-top 21504  df-topon 21521  df-topsp 21543  df-bases 21556  df-cld 21629  df-ntr 21630  df-cls 21631  df-nei 21708  df-lp 21746  df-perf 21747  df-cnp 21838  df-haus 21925  df-fil 22456  df-fm 22548  df-flim 22549  df-flf 22550  df-xms 22932  df-ms 22933  df-limc 24466  df-dv 24467  df-dvn 24468

This theorem is referenced by:  taylpf  24956  dvtaylp  24960