MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvtaylp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvtaylp 26390
Description: The derivative of the Taylor polynomial is the Taylor polynomial of the derivative of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvtaylp.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvtaylp.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvtaylp.a (𝜑𝐴𝑆)
dvtaylp.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
dvtaylp.b (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
Assertion
Ref Expression
dvtaylp (𝜑 → (ℂ D ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)) = (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐵))

Proof of Theorem dvtaylp
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
21cnfldtopon 24782 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
32toponrestid 22906 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
4 cnelprrecn 11247 . . . . 5 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
54a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
6 toponmax 22911 . . . . 5 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
72, 6mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
8 fzfid 13988 . . . 4 (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
9 dvtaylp.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
10 cnex 11235 . . . . . . . . . . 11 ℂ ∈ V
1110a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℂ ∈ V)
12 dvtaylp.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
13 dvtaylp.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝑆)
14 elpm2r 8873 . . . . . . . . . 10 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
1511, 9, 12, 13, 14syl22anc 837 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
16 elfznn0 13643 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
17 dvnf 25940 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
189, 15, 16, 17syl2an3an 1419 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
19 0z 12616 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℤ
20 dvtaylp.n . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
21 peano2nn0 12559 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2322nn0zd 12631 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
24 fzval2 13536 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (0...(𝑁 + 1)) = ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ ℤ))
2519, 23, 24sylancr 585 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) = ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ ℤ))
2625eleq2d 2811 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ 𝑘 ∈ ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ ℤ)))
2726biimpa 475 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ ℤ))
28 dvtaylp.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
299, 12, 13, 22, 28taylplem1 26382 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
3027, 29syldan 589 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
3118, 30ffvelcdmd 7098 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) ∈ ℂ)
3216adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3332faccld 14296 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
3433nncnd 12275 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
3533nnne0d 12309 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (!‘𝑘) ≠ 0)
3631, 34, 35divcld 12037 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
37363adant3 1129 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
38 simp3 1135 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
39 recnprss 25916 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
409, 39syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
4113, 40sstrd 3989 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
42 dvnbss 25941 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)) ⊆ dom 𝐹)
439, 15, 22, 42syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)) ⊆ dom 𝐹)
4412, 43fssdmd 6745 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)) ⊆ 𝐴)
4544, 28sseldd 3979 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵𝐴)
4641, 45sseldd 3979 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
47463ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
4838, 47subcld 11617 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥𝐵) ∈ ℂ)
49163ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5048, 49expcld 14160 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐵)↑𝑘) ∈ ℂ)
5137, 50mulcld 11280 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)) ∈ ℂ)
52 0cnd 11253 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 = 0) → 0 ∈ ℂ)
5349nn0cnd 12581 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℂ)
5453adantr 479 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ ℂ)
5548adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (𝑥𝐵) ∈ ℂ)
5649adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
57 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → ¬ 𝑘 = 0)
5857neqned 2936 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ≠ 0)
59 elnnne0 12533 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ≠ 0))
6056, 58, 59sylanbrc 581 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ ℕ)
61 nnm1nn0 12560 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
6260, 61syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
6355, 62expcld 14160 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
6454, 63mulcld 11280 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
6552, 64ifclda 4567 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
6637, 65mulcld 11280 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) ∈ ℂ)
674a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
68503expa 1115 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐵)↑𝑘) ∈ ℂ)
69653expa 1115 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
70483expa 1115 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥𝐵) ∈ ℂ)
71 1cnd 11255 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
72 simpr 483 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
7332adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7472, 73expcld 14160 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦𝑘) ∈ ℂ)
75 c0ex 11254 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
76 ovex 7456 . . . . . . . . 9 (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1))) ∈ V
7775, 76ifex 4582 . . . . . . . 8 if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1)))) ∈ V
7877a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1)))) ∈ V)
79 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
8067dvmptid 25972 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
8146ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
82 0cnd 11253 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
8346adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
8467, 83dvmptc 25973 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
8567, 79, 71, 80, 81, 82, 84dvmptsub 25982 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝐵))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 0)))
86 1m0e1 12380 . . . . . . . . 9 (1 − 0) = 1
8786mpteq2i 5257 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 0)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
8885, 87eqtrdi 2781 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝐵))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
89 dvexp2 25969 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑘))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1))))))
9032, 89syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑘))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1))))))
91 oveq1 7430 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑥𝐵) → (𝑦𝑘) = ((𝑥𝐵)↑𝑘))
92 oveq1 7430 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑥𝐵) → (𝑦↑(𝑘 − 1)) = ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))
9392oveq2d 7439 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑥𝐵) → (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1))) = (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
9493ifeq2d 4552 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑥𝐵) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1)))) = if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))))
9567, 67, 70, 71, 74, 78, 88, 90, 91, 94dvmptco 25987 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥𝐵)↑𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) · 1)))
9669mulridd 11277 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) · 1) = if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))))
9796mpteq2dva 5252 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) · 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))))
9895, 97eqtrd 2765 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥𝐵)↑𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))))
9967, 68, 69, 98, 36dvmptcmul 25979 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))))))
1003, 1, 5, 7, 8, 51, 66, 99dvmptfsum 25990 . . 3 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))))))
101 1zzd 12640 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℤ)
102 0zd 12617 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℤ)
10320nn0zd 12631 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
104103adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℤ)
105 dvfg 25918 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
1069, 105syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
10740, 12, 13dvbss 25913 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝐴)
108107, 13sstrd 3989 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆)
109 1nn0 12535 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ0
110109a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
111 dvnadd 25942 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (1 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + 𝑁)))
1129, 15, 110, 20, 111syl22anc 837 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + 𝑁)))
113 dvn1 25939 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1) = (𝑆 D 𝐹))
11440, 15, 113syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1) = (𝑆 D 𝐹))
115114oveq2d 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1)) = (𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹)))
116115fveq1d 6902 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑁))
117 1cnd 11255 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
11820nn0cnd 12581 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
119117, 118addcomd 11462 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 + 𝑁) = (𝑁 + 1))
120119fveq2d 6904 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + 𝑁)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
121112, 116, 1203eqtr3d 2773 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
122121dmeqd 5911 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑁) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
12328, 122eleqtrrd 2828 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑁))
1249, 106, 108, 20, 123taylplem2 26383 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥𝐵)↑𝑗)) ∈ ℂ)
125 fveq2 6900 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗) = ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1)))
126125fveq1d 6902 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 − 1) → (((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵))
127 fveq2 6900 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 − 1) → (!‘𝑗) = (!‘(𝑘 − 1)))
128126, 127oveq12d 7441 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) = ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))))
129 oveq2 7431 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((𝑥𝐵)↑𝑗) = ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))
130128, 129oveq12d 7441 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 − 1) → (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥𝐵)↑𝑗)) = (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
131101, 102, 104, 124, 130fsumshft 15779 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥𝐵)↑𝑗)) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
132 elfznn 13579 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
133132adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
134133nnne0d 12309 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ≠ 0)
135 ifnefalse 4544 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ≠ 0 → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
136134, 135syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
137136oveq2d 7439 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))))
138 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝜑)
139 fz1ssfz0 13646 . . . . . . . . . . . 12 (1...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1))
140139sseli 3974 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
141140adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
142138, 141, 36syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
143133nncnd 12275 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
144 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑥 ∈ ℂ)
14546ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
146144, 145subcld 11617 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑥𝐵) ∈ ℂ)
147133, 61syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
148146, 147expcld 14160 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
149142, 143, 148mulassd 11283 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 𝑘) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))))
150 facp1 14290 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑘 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑘 − 1)) · ((𝑘 − 1) + 1)))
151147, 150syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘((𝑘 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑘 − 1)) · ((𝑘 − 1) + 1)))
152 1cnd 11255 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
153143, 152npcand 11621 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
154153fveq2d 6904 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘((𝑘 − 1) + 1)) = (!‘𝑘))
155153oveq2d 7439 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((!‘(𝑘 − 1)) · ((𝑘 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑘 − 1)) · 𝑘))
156151, 154, 1553eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘𝑘) = ((!‘(𝑘 − 1)) · 𝑘))
157156oveq2d 7439 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / (!‘𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / ((!‘(𝑘 − 1)) · 𝑘)))
15832nn0cnd 12581 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
15931, 158, 34, 35div23d 12074 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / (!‘𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 𝑘))
160138, 141, 159syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / (!‘𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 𝑘))
161138, 141, 31syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) ∈ ℂ)
162147faccld 14296 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘(𝑘 − 1)) ∈ ℕ)
163162nncnd 12275 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
164162nnne0d 12309 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘(𝑘 − 1)) ≠ 0)
165161, 163, 143, 164, 134divcan5rd 12064 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / ((!‘(𝑘 − 1)) · 𝑘)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))))
1669ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
16715ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
168109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℕ0)
169 dvnadd 25942 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (1 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘(𝑘 − 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + (𝑘 − 1))))
170166, 167, 168, 147, 169syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘(𝑘 − 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + (𝑘 − 1))))
171114ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1) = (𝑆 D 𝐹))
172171oveq2d 7439 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1)) = (𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹)))
173172fveq1d 6902 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘(𝑘 − 1)) = ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1)))
174152, 143pncan3d 11620 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (1 + (𝑘 − 1)) = 𝑘)
175174fveq2d 6904 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + (𝑘 − 1))) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
176170, 173, 1753eqtr3rd 2774 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1)))
177176fveq1d 6902 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵))
178177oveq1d 7438 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) = ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))))
179165, 178eqtrd 2765 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / ((!‘(𝑘 − 1)) · 𝑘)) = ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))))
180157, 160, 1793eqtr3d 2773 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 𝑘) = ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))))
181180oveq1d 7438 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 𝑘) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))) = (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
182137, 149, 1813eqtr2d 2771 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
183182sumeq2dv 15702 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
184 0p1e1 12381 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
185184oveq1i 7433 . . . . . . 7 ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) = (1...(𝑁 + 1))
186185sumeq1i 15697 . . . . . 6 Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))
187183, 186eqtr4di 2783 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
188139a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (1...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1)))
18969an32s 650 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
190140, 189sylan2 591 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
191142, 190mulcld 11280 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) ∈ ℂ)
192 eldif 3956 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
19359biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ≠ 0) → 𝑘 ∈ ℕ)
19416, 193sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑘 ≠ 0) → 𝑘 ∈ ℕ)
195 nnuz 12912 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℕ = (ℤ‘1)
196194, 195eleqtrdi 2835 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑘 ≠ 0) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
197 elfzuz3 13547 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑘))
198197adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑘 ≠ 0) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑘))
199 elfzuzb 13544 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ‘1) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑘)))
200196, 198, 199sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑘 ≠ 0) → 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
201200ex 411 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑘 ≠ 0 → 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
202201adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑘 ≠ 0 → 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
203202necon1bd 2947 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (¬ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 = 0))
204203impr 453 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)))) → 𝑘 = 0)
205192, 204sylan2b 592 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → 𝑘 = 0)
206205iftrued 4540 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) = 0)
207206oveq2d 7439 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 0))
208 eldifi 4125 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
20936adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
210208, 209sylan2 591 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
211210mul01d 11459 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 0) = 0)
212207, 211eqtrd 2765 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = 0)
213 fzfid 13988 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
214188, 191, 212, 213fsumss 15724 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))))
215131, 187, 2143eqtr2rd 2772 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥𝐵)↑𝑗)))
216215mpteq2dva 5252 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥𝐵)↑𝑗))))
217100, 216eqtrd 2765 . 2 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥𝐵)↑𝑗))))
218 eqid 2725 . . . 4 ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
2199, 12, 13, 22, 28, 218taylpfval 26384 . . 3 (𝜑 → ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))
220219oveq2d 7439 . 2 (𝜑 → (ℂ D ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))))
221 eqid 2725 . . 3 (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐵) = (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐵)
2229, 106, 108, 20, 123, 221taylpfval 26384 . 2 (𝜑 → (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐵) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥𝐵)↑𝑗))))
223217, 220, 2223eqtr4d 2775 1 (𝜑 → (ℂ D ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)) = (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  Vcvv 3461  cdif 3943  cin 3945  wss 3946  ifcif 4532  {cpr 4634  cmpt 5235  dom cdm 5681  wf 6549  cfv 6553  (class class class)co 7423  pm cpm 8855  cc 11152  cr 11153  0cc0 11154  1c1 11155   + caddc 11157   · cmul 11159  cmin 11490   / cdiv 11917  cn 12259  0cn0 12519  cz 12605  cuz 12869  [,]cicc 13376  ...cfz 13533  cexp 14076  !cfa 14285  Σcsu 15685  TopOpenctopn 17431  fldccnfld 21335  TopOnctopon 22895   D cdv 25875   D𝑛 cdvn 25876   Tayl ctayl 26372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-inf2 9680  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231  ax-pre-sup 11232  ax-addf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7689  df-om 7876  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-map 8856  df-pm 8857  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9402  df-fi 9450  df-sup 9481  df-inf 9482  df-oi 9549  df-card 9978  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11918  df-nn 12260  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12520  df-z 12606  df-dec 12725  df-uz 12870  df-q 12980  df-rp 13024  df-xneg 13141  df-xadd 13142  df-xmul 13143  df-icc 13380  df-fz 13534  df-fzo 13677  df-seq 14017  df-exp 14077  df-fac 14286  df-hash 14343  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-clim 15485  df-sum 15686  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-starv 17276  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-ip 17279  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ds 17283  df-unif 17284  df-hom 17285  df-cco 17286  df-rest 17432  df-topn 17433  df-0g 17451  df-gsum 17452  df-topgen 17453  df-pt 17454  df-prds 17457  df-xrs 17512  df-qtop 17517  df-imas 17518  df-xps 17520  df-mre 17594  df-mrc 17595  df-acs 17597  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-submnd 18769  df-grp 18926  df-minusg 18927  df-mulg 19057  df-cntz 19306  df-cmn 19775  df-abl 19776  df-mgp 20113  df-ur 20160  df-ring 20213  df-cring 20214  df-psmet 21327  df-xmet 21328  df-met 21329  df-bl 21330  df-mopn 21331  df-fbas 21332  df-fg 21333  df-cnfld 21336  df-top 22879  df-topon 22896  df-topsp 22918  df-bases 22932  df-cld 23006  df-ntr 23007  df-cls 23008  df-nei 23085  df-lp 23123  df-perf 23124  df-cn 23214  df-cnp 23215  df-haus 23302  df-tx 23549  df-hmeo 23742  df-fil 23833  df-fm 23925  df-flim 23926  df-flf 23927  df-tsms 24114  df-xms 24309  df-ms 24310  df-tms 24311  df-cncf 24881  df-limc 25878  df-dv 25879  df-dvn 25880  df-tayl 26374
This theorem is referenced by:  dvntaylp  26391
  Copyright terms: Public domain W3C validator