MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvtaylp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvtaylp 26325
Description: The derivative of the Taylor polynomial is the Taylor polynomial of the derivative of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvtaylp.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
dvtaylp.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
dvtaylp.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
dvtaylp.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
dvtaylp.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑁 + 1)))
Assertion
Ref Expression
dvtaylp (πœ‘ β†’ (β„‚ D ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡)) = (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐡))

Proof of Theorem dvtaylp
Dummy variables 𝑗 π‘˜ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
21cnfldtopon 24719 . . . . 5 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
32toponrestid 22843 . . . 4 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)
4 cnelprrecn 11239 . . . . 5 β„‚ ∈ {ℝ, β„‚}
54a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
6 toponmax 22848 . . . . 5 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) β†’ β„‚ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld))
72, 6mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld))
8 fzfid 13978 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
9 dvtaylp.s . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
10 cnex 11227 . . . . . . . . . . 11 β„‚ ∈ V
1110a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ V)
12 dvtaylp.f . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
13 dvtaylp.a . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
14 elpm2r 8870 . . . . . . . . . 10 (((β„‚ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚}) ∧ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
1511, 9, 12, 13, 14syl22anc 837 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
16 elfznn0 13634 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
17 dvnf 25877 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)βŸΆβ„‚)
189, 15, 16, 17syl2an3an 1419 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)βŸΆβ„‚)
19 0z 12607 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ β„€
20 dvtaylp.n . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
21 peano2nn0 12550 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
2322nn0zd 12622 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„€)
24 fzval2 13527 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ β„€ ∧ (𝑁 + 1) ∈ β„€) β†’ (0...(𝑁 + 1)) = ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ β„€))
2519, 23, 24sylancr 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (0...(𝑁 + 1)) = ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ β„€))
2625eleq2d 2815 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ π‘˜ ∈ ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ β„€)))
2726biimpa 475 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ β„€))
28 dvtaylp.b . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑁 + 1)))
299, 12, 13, 22, 28taylplem1 26317 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ β„€)) β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
3027, 29syldan 589 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
3118, 30ffvelcdmd 7100 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) ∈ β„‚)
3216adantl 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
3332faccld 14283 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (!β€˜π‘˜) ∈ β„•)
3433nncnd 12266 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (!β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3533nnne0d 12300 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (!β€˜π‘˜) β‰  0)
3631, 34, 35divcld 12028 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
37363adant3 1129 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
38 simp3 1135 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
39 recnprss 25853 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
409, 39syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
4113, 40sstrd 3992 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
42 dvnbss 25878 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ (𝑁 + 1) ∈ β„•0) β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑁 + 1)) βŠ† dom 𝐹)
439, 15, 22, 42syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑁 + 1)) βŠ† dom 𝐹)
4412, 43fssdmd 6746 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑁 + 1)) βŠ† 𝐴)
4544, 28sseldd 3983 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐴)
4641, 45sseldd 3983 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
47463ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
4838, 47subcld 11609 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝐡) ∈ β„‚)
49163ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
5048, 49expcld 14150 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
5137, 50mulcld 11272 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
52 0cnd 11245 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ = 0) β†’ 0 ∈ β„‚)
5349nn0cnd 12572 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
5453adantr 479 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ Β¬ π‘˜ = 0) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
5548adantr 479 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ Β¬ π‘˜ = 0) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝐡) ∈ β„‚)
5649adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ Β¬ π‘˜ = 0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
57 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ Β¬ π‘˜ = 0) β†’ Β¬ π‘˜ = 0)
5857neqned 2944 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ Β¬ π‘˜ = 0) β†’ π‘˜ β‰  0)
59 elnnne0 12524 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• ↔ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ π‘˜ β‰  0))
6056, 58, 59sylanbrc 581 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ Β¬ π‘˜ = 0) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
61 nnm1nn0 12551 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ β„•0)
6260, 61syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ Β¬ π‘˜ = 0) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ β„•0)
6355, 62expcld 14150 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ Β¬ π‘˜ = 0) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
6454, 63mulcld 11272 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ Β¬ π‘˜ = 0) β†’ (π‘˜ Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
6552, 64ifclda 4567 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) ∈ β„‚)
6637, 65mulcld 11272 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1))))) ∈ β„‚)
674a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
68503expa 1115 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
69653expa 1115 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) ∈ β„‚)
70483expa 1115 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝐡) ∈ β„‚)
71 1cnd 11247 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 1 ∈ β„‚)
72 simpr 483 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
7332adantr 479 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
7472, 73expcld 14150 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘¦β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
75 c0ex 11246 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
76 ovex 7459 . . . . . . . . 9 (π‘˜ Β· (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1))) ∈ V
7775, 76ifex 4582 . . . . . . . 8 if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) ∈ V
7877a1i 11 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) ∈ V)
79 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
8067dvmptid 25909 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ π‘₯)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 1))
8146ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
82 0cnd 11245 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 0 ∈ β„‚)
8346adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
8467, 83dvmptc 25910 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 𝐡)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 0))
8567, 79, 71, 80, 81, 82, 84dvmptsub 25919 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ βˆ’ 𝐡))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (1 βˆ’ 0)))
86 1m0e1 12371 . . . . . . . . 9 (1 βˆ’ 0) = 1
8786mpteq2i 5257 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (1 βˆ’ 0)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 1)
8885, 87eqtrdi 2784 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ βˆ’ 𝐡))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 1))
89 dvexp2 25906 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (π‘¦β†‘π‘˜))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1))))))
9032, 89syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (π‘¦β†‘π‘˜))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1))))))
91 oveq1 7433 . . . . . . 7 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ 𝐡) β†’ (π‘¦β†‘π‘˜) = ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))
92 oveq1 7433 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ 𝐡) β†’ (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1)) = ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1)))
9392oveq2d 7442 . . . . . . . 8 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ 𝐡) β†’ (π‘˜ Β· (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1))) = (π‘˜ Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1))))
9493ifeq2d 4552 . . . . . . 7 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ 𝐡) β†’ if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· (𝑦↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) = if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
9567, 67, 70, 71, 74, 78, 88, 90, 91, 94dvmptco 25924 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) Β· 1)))
9669mulridd 11269 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) Β· 1) = if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
9796mpteq2dva 5252 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) Β· 1)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1))))))
9895, 97eqtrd 2768 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1))))))
9967, 68, 69, 98, 36dvmptcmul 25916 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))))
1003, 1, 5, 7, 8, 51, 66, 99dvmptfsum 25927 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))))
101 1zzd 12631 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 1 ∈ β„€)
102 0zd 12608 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 0 ∈ β„€)
10320nn0zd 12622 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
104103adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
105 dvfg 25855 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)βŸΆβ„‚)
1069, 105syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)βŸΆβ„‚)
10740, 12, 13dvbss 25850 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐹) βŠ† 𝐴)
108107, 13sstrd 3992 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐹) βŠ† 𝑆)
109 1nn0 12526 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„•0
110109a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•0)
111 dvnadd 25879 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ (1 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜1))β€˜π‘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(1 + 𝑁)))
1129, 15, 110, 20, 111syl22anc 837 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜1))β€˜π‘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(1 + 𝑁)))
113 dvn1 25876 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜1) = (𝑆 D 𝐹))
11440, 15, 113syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜1) = (𝑆 D 𝐹))
115114oveq2d 7442 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜1)) = (𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹)))
116115fveq1d 6904 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜1))β€˜π‘) = ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))β€˜π‘))
117 1cnd 11247 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
11820nn0cnd 12572 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
119117, 118addcomd 11454 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (1 + 𝑁) = (𝑁 + 1))
120119fveq2d 6906 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(1 + 𝑁)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑁 + 1)))
121112, 116, 1203eqtr3d 2776 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))β€˜π‘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑁 + 1)))
122121dmeqd 5912 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))β€˜π‘) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(𝑁 + 1)))
12328, 122eleqtrrd 2832 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))β€˜π‘))
1249, 106, 108, 20, 123taylplem2 26318 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) β†’ (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))β€˜π‘—)β€˜π΅) / (!β€˜π‘—)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑𝑗)) ∈ β„‚)
125 fveq2 6902 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (π‘˜ βˆ’ 1) β†’ ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))β€˜π‘—) = ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))β€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))
126125fveq1d 6904 . . . . . . . 8 (𝑗 = (π‘˜ βˆ’ 1) β†’ (((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))β€˜π‘—)β€˜π΅) = (((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜π΅))
127 fveq2 6902 . . . . . . . 8 (𝑗 = (π‘˜ βˆ’ 1) β†’ (!β€˜π‘—) = (!β€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))
128126, 127oveq12d 7444 . . . . . . 7 (𝑗 = (π‘˜ βˆ’ 1) β†’ ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))β€˜π‘—)β€˜π΅) / (!β€˜π‘—)) = ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜π΅) / (!β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))
129 oveq2 7434 . . . . . . 7 (𝑗 = (π‘˜ βˆ’ 1) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑𝑗) = ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1)))
130128, 129oveq12d 7444 . . . . . 6 (𝑗 = (π‘˜ βˆ’ 1) β†’ (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))β€˜π‘—)β€˜π΅) / (!β€˜π‘—)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑𝑗)) = (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜π΅) / (!β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1))))
131101, 102, 104, 124, 130fsumshft 15766 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))β€˜π‘—)β€˜π΅) / (!β€˜π‘—)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑𝑗)) = Ξ£π‘˜ ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜π΅) / (!β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1))))
132 elfznn 13570 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
133132adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
134133nnne0d 12300 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ π‘˜ β‰  0)
135 ifnefalse 4544 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ β‰  0 β†’ if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) = (π‘˜ Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1))))
136134, 135syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) = (π‘˜ Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1))))
137136oveq2d 7442 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1))))) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘˜ Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
138 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ πœ‘)
139 fz1ssfz0 13637 . . . . . . . . . . . 12 (1...(𝑁 + 1)) βŠ† (0...(𝑁 + 1))
140139sseli 3978 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1)) β†’ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1)))
141140adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1)))
142138, 141, 36syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
143133nncnd 12266 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
144 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
14546ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
146144, 145subcld 11609 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝐡) ∈ β„‚)
147133, 61syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ β„•0)
148146, 147expcld 14150 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
149142, 143, 148mulassd 11275 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ ((((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· π‘˜) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1))) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘˜ Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))
150 facp1 14277 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ βˆ’ 1) ∈ β„•0 β†’ (!β€˜((π‘˜ βˆ’ 1) + 1)) = ((!β€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· ((π‘˜ βˆ’ 1) + 1)))
151147, 150syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ (!β€˜((π‘˜ βˆ’ 1) + 1)) = ((!β€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· ((π‘˜ βˆ’ 1) + 1)))
152 1cnd 11247 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ 1 ∈ β„‚)
153143, 152npcand 11613 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ ((π‘˜ βˆ’ 1) + 1) = π‘˜)
154153fveq2d 6906 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ (!β€˜((π‘˜ βˆ’ 1) + 1)) = (!β€˜π‘˜))
155153oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ ((!β€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· ((π‘˜ βˆ’ 1) + 1)) = ((!β€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· π‘˜))
156151, 154, 1553eqtr3d 2776 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ (!β€˜π‘˜) = ((!β€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· π‘˜))
157156oveq2d 7442 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) Β· π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) Β· π‘˜) / ((!β€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· π‘˜)))
15832nn0cnd 12572 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
15931, 158, 34, 35div23d 12065 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) Β· π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· π‘˜))
160138, 141, 159syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) Β· π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· π‘˜))
161138, 141, 31syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) ∈ β„‚)
162147faccld 14283 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ (!β€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ β„•)
163162nncnd 12266 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ (!β€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
164162nnne0d 12300 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ (!β€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) β‰  0)
165161, 163, 143, 164, 134divcan5rd 12055 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) Β· π‘˜) / ((!β€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· π‘˜)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))
1669ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
16715ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
168109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ 1 ∈ β„•0)
169 dvnadd 25879 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ (1 ∈ β„•0 ∧ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ β„•0)) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜1))β€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(1 + (π‘˜ βˆ’ 1))))
170166, 167, 168, 147, 169syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜1))β€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(1 + (π‘˜ βˆ’ 1))))
171114ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜1) = (𝑆 D 𝐹))
172171oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ (𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜1)) = (𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹)))
173172fveq1d 6904 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜1))β€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))β€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))
174152, 143pncan3d 11612 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ (1 + (π‘˜ βˆ’ 1)) = π‘˜)
175174fveq2d 6906 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜(1 + (π‘˜ βˆ’ 1))) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
176170, 173, 1753eqtr3rd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜) = ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))β€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))
177176fveq1d 6904 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) = (((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜π΅))
178177oveq1d 7441 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜π΅) / (!β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))
179165, 178eqtrd 2768 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) Β· π‘˜) / ((!β€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) Β· π‘˜)) = ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜π΅) / (!β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))
180157, 160, 1793eqtr3d 2776 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· π‘˜) = ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜π΅) / (!β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))
181180oveq1d 7441 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ ((((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· π‘˜) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1))) = (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜π΅) / (!β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1))))
182137, 149, 1813eqtr2d 2774 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1))))) = (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜π΅) / (!β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1))))
183182sumeq2dv 15689 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1))))) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜π΅) / (!β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1))))
184 0p1e1 12372 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
185184oveq1i 7436 . . . . . . 7 ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) = (1...(𝑁 + 1))
186185sumeq1i 15684 . . . . . 6 Ξ£π‘˜ ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜π΅) / (!β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1))) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜π΅) / (!β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1)))
187183, 186eqtr4di 2786 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1))))) = Ξ£π‘˜ ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))β€˜π΅) / (!β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1))))
188139a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (1...(𝑁 + 1)) βŠ† (0...(𝑁 + 1)))
18969an32s 650 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) ∈ β„‚)
190140, 189sylan2 591 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) ∈ β„‚)
191142, 190mulcld 11272 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))) β†’ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1))))) ∈ β„‚)
192 eldif 3959 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ ((0...(𝑁 + 1)) βˆ– (1...(𝑁 + 1))) ↔ (π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))))
19359biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ π‘˜ β‰  0) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
19416, 193sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ π‘˜ β‰  0) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
195 nnuz 12903 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
196194, 195eleqtrdi 2839 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ π‘˜ β‰  0) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
197 elfzuz3 13538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1)) β†’ (𝑁 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))
198197adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ π‘˜ β‰  0) β†’ (𝑁 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))
199 elfzuzb 13535 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↔ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)))
200196, 198, 199sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ π‘˜ β‰  0) β†’ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1)))
201200ex 411 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1)) β†’ (π‘˜ β‰  0 β†’ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))))
202201adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (π‘˜ β‰  0 β†’ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))))
203202necon1bd 2955 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1)) β†’ π‘˜ = 0))
204203impr 453 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ (π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ Β¬ π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1)))) β†’ π‘˜ = 0)
205192, 204sylan2b 592 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑁 + 1)) βˆ– (1...(𝑁 + 1)))) β†’ π‘˜ = 0)
206205iftrued 4540 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑁 + 1)) βˆ– (1...(𝑁 + 1)))) β†’ if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1)))) = 0)
207206oveq2d 7442 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑁 + 1)) βˆ– (1...(𝑁 + 1)))) β†’ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1))))) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· 0))
208 eldifi 4127 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ ((0...(𝑁 + 1)) βˆ– (1...(𝑁 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1)))
20936adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))) β†’ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
210208, 209sylan2 591 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑁 + 1)) βˆ– (1...(𝑁 + 1)))) β†’ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
211210mul01d 11451 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑁 + 1)) βˆ– (1...(𝑁 + 1)))) β†’ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· 0) = 0)
212207, 211eqtrd 2768 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...(𝑁 + 1)) βˆ– (1...(𝑁 + 1)))) β†’ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1))))) = 0)
213 fzfid 13978 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
214188, 191, 212, 213fsumss 15711 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1))))) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1))))))
215131, 187, 2143eqtr2rd 2775 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1))))) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))β€˜π‘—)β€˜π΅) / (!β€˜π‘—)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑𝑗)))
216215mpteq2dva 5252 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· if(π‘˜ = 0, 0, (π‘˜ Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑(π‘˜ βˆ’ 1)))))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))β€˜π‘—)β€˜π΅) / (!β€˜π‘—)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑𝑗))))
217100, 216eqtrd 2768 . 2 (πœ‘ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))β€˜π‘—)β€˜π΅) / (!β€˜π‘—)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑𝑗))))
218 eqid 2728 . . . 4 ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡) = ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡)
2199, 12, 13, 22, 28, 218taylpfval 26319 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))
220219oveq2d 7442 . 2 (πœ‘ β†’ (β„‚ D ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡)) = (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))))
221 eqid 2728 . . 3 (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐡) = (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐡)
2229, 106, 108, 20, 123, 221taylpfval 26319 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐡) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))β€˜π‘—)β€˜π΅) / (!β€˜π‘—)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)↑𝑗))))
223217, 220, 2223eqtr4d 2778 1 (πœ‘ β†’ (β„‚ D ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡)) = (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  ifcif 4532  {cpr 4634   ↦ cmpt 5235  dom cdm 5682  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ↑pm cpm 8852  β„‚cc 11144  β„cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   Β· cmul 11151   βˆ’ cmin 11482   / cdiv 11909  β„•cn 12250  β„•0cn0 12510  β„€cz 12596  β„€β‰₯cuz 12860  [,]cicc 13367  ...cfz 13524  β†‘cexp 14066  !cfa 14272  Ξ£csu 15672  TopOpenctopn 17410  β„‚fldccnfld 21286  TopOnctopon 22832   D cdv 25812   D𝑛 cdvn 25813   Tayl ctayl 26307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-fac 14273  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-sum 15673  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-mulg 19031  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cld 22943  df-ntr 22944  df-cls 22945  df-nei 23022  df-lp 23060  df-perf 23061  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-haus 23239  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-fil 23770  df-fm 23862  df-flim 23863  df-flf 23864  df-tsms 24051  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-cncf 24818  df-limc 25815  df-dv 25816  df-dvn 25817  df-tayl 26309
This theorem is referenced by:  dvntaylp  26326
  Copyright terms: Public domain W3C validator