MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvtaylp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvtaylp 26426
Description: The derivative of the Taylor polynomial is the Taylor polynomial of the derivative of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvtaylp.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvtaylp.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvtaylp.a (𝜑𝐴𝑆)
dvtaylp.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
dvtaylp.b (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
Assertion
Ref Expression
dvtaylp (𝜑 → (ℂ D ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)) = (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐵))

Proof of Theorem dvtaylp
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2734 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
21cnfldtopon 24818 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
32toponrestid 22942 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
4 cnelprrecn 11245 . . . . 5 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
54a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
6 toponmax 22947 . . . . 5 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
72, 6mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
8 fzfid 14010 . . . 4 (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
9 dvtaylp.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
10 cnex 11233 . . . . . . . . . . 11 ℂ ∈ V
1110a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℂ ∈ V)
12 dvtaylp.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
13 dvtaylp.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝑆)
14 elpm2r 8883 . . . . . . . . . 10 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
1511, 9, 12, 13, 14syl22anc 839 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
16 elfznn0 13656 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
17 dvnf 25977 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
189, 15, 16, 17syl2an3an 1421 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
19 0z 12621 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℤ
20 dvtaylp.n . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
21 peano2nn0 12563 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2322nn0zd 12636 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
24 fzval2 13546 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (0...(𝑁 + 1)) = ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ ℤ))
2519, 23, 24sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) = ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ ℤ))
2625eleq2d 2824 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ 𝑘 ∈ ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ ℤ)))
2726biimpa 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ ℤ))
28 dvtaylp.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
299, 12, 13, 22, 28taylplem1 26418 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
3027, 29syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
3118, 30ffvelcdmd 7104 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) ∈ ℂ)
3216adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3332faccld 14319 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
3433nncnd 12279 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
3533nnne0d 12313 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (!‘𝑘) ≠ 0)
3631, 34, 35divcld 12040 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
37363adant3 1131 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
38 simp3 1137 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
39 recnprss 25953 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
409, 39syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
4113, 40sstrd 4005 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
42 dvnbss 25978 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)) ⊆ dom 𝐹)
439, 15, 22, 42syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)) ⊆ dom 𝐹)
4412, 43fssdmd 6754 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)) ⊆ 𝐴)
4544, 28sseldd 3995 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵𝐴)
4641, 45sseldd 3995 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
47463ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
4838, 47subcld 11617 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥𝐵) ∈ ℂ)
49163ad2ant2 1133 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5048, 49expcld 14182 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐵)↑𝑘) ∈ ℂ)
5137, 50mulcld 11278 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)) ∈ ℂ)
52 0cnd 11251 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 = 0) → 0 ∈ ℂ)
5349nn0cnd 12586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℂ)
5453adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ ℂ)
5548adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (𝑥𝐵) ∈ ℂ)
5649adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
57 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → ¬ 𝑘 = 0)
5857neqned 2944 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ≠ 0)
59 elnnne0 12537 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ≠ 0))
6056, 58, 59sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ ℕ)
61 nnm1nn0 12564 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
6260, 61syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
6355, 62expcld 14182 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
6454, 63mulcld 11278 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
6552, 64ifclda 4565 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
6637, 65mulcld 11278 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) ∈ ℂ)
674a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
68503expa 1117 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐵)↑𝑘) ∈ ℂ)
69653expa 1117 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
70483expa 1117 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥𝐵) ∈ ℂ)
71 1cnd 11253 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
72 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
7332adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7472, 73expcld 14182 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦𝑘) ∈ ℂ)
75 c0ex 11252 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
76 ovex 7463 . . . . . . . . 9 (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1))) ∈ V
7775, 76ifex 4580 . . . . . . . 8 if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1)))) ∈ V
7877a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1)))) ∈ V)
79 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
8067dvmptid 26009 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
8146ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
82 0cnd 11251 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
8346adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
8467, 83dvmptc 26010 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
8567, 79, 71, 80, 81, 82, 84dvmptsub 26019 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝐵))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 0)))
86 1m0e1 12384 . . . . . . . . 9 (1 − 0) = 1
8786mpteq2i 5252 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 0)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
8885, 87eqtrdi 2790 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝐵))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
89 dvexp2 26006 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑘))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1))))))
9032, 89syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑘))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1))))))
91 oveq1 7437 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑥𝐵) → (𝑦𝑘) = ((𝑥𝐵)↑𝑘))
92 oveq1 7437 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑥𝐵) → (𝑦↑(𝑘 − 1)) = ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))
9392oveq2d 7446 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑥𝐵) → (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1))) = (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
9493ifeq2d 4550 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑥𝐵) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1)))) = if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))))
9567, 67, 70, 71, 74, 78, 88, 90, 91, 94dvmptco 26024 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥𝐵)↑𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) · 1)))
9669mulridd 11275 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) · 1) = if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))))
9796mpteq2dva 5247 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) · 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))))
9895, 97eqtrd 2774 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥𝐵)↑𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))))
9967, 68, 69, 98, 36dvmptcmul 26016 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))))))
1003, 1, 5, 7, 8, 51, 66, 99dvmptfsum 26027 . . 3 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))))))
101 1zzd 12645 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℤ)
102 0zd 12622 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℤ)
10320nn0zd 12636 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
104103adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℤ)
105 dvfg 25955 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
1069, 105syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
10740, 12, 13dvbss 25950 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝐴)
108107, 13sstrd 4005 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆)
109 1nn0 12539 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ0
110109a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
111 dvnadd 25979 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (1 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + 𝑁)))
1129, 15, 110, 20, 111syl22anc 839 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + 𝑁)))
113 dvn1 25976 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1) = (𝑆 D 𝐹))
11440, 15, 113syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1) = (𝑆 D 𝐹))
115114oveq2d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1)) = (𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹)))
116115fveq1d 6908 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑁))
117 1cnd 11253 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
11820nn0cnd 12586 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
119117, 118addcomd 11460 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 + 𝑁) = (𝑁 + 1))
120119fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + 𝑁)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
121112, 116, 1203eqtr3d 2782 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
122121dmeqd 5918 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑁) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
12328, 122eleqtrrd 2841 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑁))
1249, 106, 108, 20, 123taylplem2 26419 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥𝐵)↑𝑗)) ∈ ℂ)
125 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗) = ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1)))
126125fveq1d 6908 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 − 1) → (((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵))
127 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 − 1) → (!‘𝑗) = (!‘(𝑘 − 1)))
128126, 127oveq12d 7448 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) = ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))))
129 oveq2 7438 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((𝑥𝐵)↑𝑗) = ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))
130128, 129oveq12d 7448 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 − 1) → (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥𝐵)↑𝑗)) = (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
131101, 102, 104, 124, 130fsumshft 15812 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥𝐵)↑𝑗)) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
132 elfznn 13589 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
133132adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
134133nnne0d 12313 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ≠ 0)
135 ifnefalse 4542 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ≠ 0 → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
136134, 135syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
137136oveq2d 7446 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))))
138 simpll 767 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝜑)
139 fz1ssfz0 13659 . . . . . . . . . . . 12 (1...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1))
140139sseli 3990 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
141140adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
142138, 141, 36syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
143133nncnd 12279 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
144 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑥 ∈ ℂ)
14546ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
146144, 145subcld 11617 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑥𝐵) ∈ ℂ)
147133, 61syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
148146, 147expcld 14182 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
149142, 143, 148mulassd 11281 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 𝑘) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))))
150 facp1 14313 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑘 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑘 − 1)) · ((𝑘 − 1) + 1)))
151147, 150syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘((𝑘 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑘 − 1)) · ((𝑘 − 1) + 1)))
152 1cnd 11253 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
153143, 152npcand 11621 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
154153fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘((𝑘 − 1) + 1)) = (!‘𝑘))
155153oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((!‘(𝑘 − 1)) · ((𝑘 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑘 − 1)) · 𝑘))
156151, 154, 1553eqtr3d 2782 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘𝑘) = ((!‘(𝑘 − 1)) · 𝑘))
157156oveq2d 7446 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / (!‘𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / ((!‘(𝑘 − 1)) · 𝑘)))
15832nn0cnd 12586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
15931, 158, 34, 35div23d 12077 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / (!‘𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 𝑘))
160138, 141, 159syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / (!‘𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 𝑘))
161138, 141, 31syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) ∈ ℂ)
162147faccld 14319 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘(𝑘 − 1)) ∈ ℕ)
163162nncnd 12279 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
164162nnne0d 12313 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘(𝑘 − 1)) ≠ 0)
165161, 163, 143, 164, 134divcan5rd 12067 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / ((!‘(𝑘 − 1)) · 𝑘)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))))
1669ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
16715ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
168109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℕ0)
169 dvnadd 25979 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (1 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘(𝑘 − 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + (𝑘 − 1))))
170166, 167, 168, 147, 169syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘(𝑘 − 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + (𝑘 − 1))))
171114ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1) = (𝑆 D 𝐹))
172171oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1)) = (𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹)))
173172fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘(𝑘 − 1)) = ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1)))
174152, 143pncan3d 11620 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (1 + (𝑘 − 1)) = 𝑘)
175174fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + (𝑘 − 1))) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
176170, 173, 1753eqtr3rd 2783 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1)))
177176fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵))
178177oveq1d 7445 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) = ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))))
179165, 178eqtrd 2774 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / ((!‘(𝑘 − 1)) · 𝑘)) = ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))))
180157, 160, 1793eqtr3d 2782 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 𝑘) = ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))))
181180oveq1d 7445 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 𝑘) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))) = (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
182137, 149, 1813eqtr2d 2780 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
183182sumeq2dv 15734 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
184 0p1e1 12385 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
185184oveq1i 7440 . . . . . . 7 ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) = (1...(𝑁 + 1))
186185sumeq1i 15729 . . . . . 6 Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))
187183, 186eqtr4di 2792 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
188139a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (1...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1)))
18969an32s 652 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
190140, 189sylan2 593 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
191142, 190mulcld 11278 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) ∈ ℂ)
192 eldif 3972 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
19359biimpri 228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ≠ 0) → 𝑘 ∈ ℕ)
19416, 193sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑘 ≠ 0) → 𝑘 ∈ ℕ)
195 nnuz 12918 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℕ = (ℤ‘1)
196194, 195eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑘 ≠ 0) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
197 elfzuz3 13557 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑘))
198197adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑘 ≠ 0) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑘))
199 elfzuzb 13554 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ‘1) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑘)))
200196, 198, 199sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑘 ≠ 0) → 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
201200ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑘 ≠ 0 → 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
202201adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑘 ≠ 0 → 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
203202necon1bd 2955 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (¬ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 = 0))
204203impr 454 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)))) → 𝑘 = 0)
205192, 204sylan2b 594 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → 𝑘 = 0)
206205iftrued 4538 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) = 0)
207206oveq2d 7446 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 0))
208 eldifi 4140 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
20936adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
210208, 209sylan2 593 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
211210mul01d 11457 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 0) = 0)
212207, 211eqtrd 2774 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = 0)
213 fzfid 14010 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
214188, 191, 212, 213fsumss 15757 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))))
215131, 187, 2143eqtr2rd 2781 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥𝐵)↑𝑗)))
216215mpteq2dva 5247 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥𝐵)↑𝑗))))
217100, 216eqtrd 2774 . 2 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥𝐵)↑𝑗))))
218 eqid 2734 . . . 4 ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
2199, 12, 13, 22, 28, 218taylpfval 26420 . . 3 (𝜑 → ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))
220219oveq2d 7446 . 2 (𝜑 → (ℂ D ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))))
221 eqid 2734 . . 3 (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐵) = (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐵)
2229, 106, 108, 20, 123, 221taylpfval 26420 . 2 (𝜑 → (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐵) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥𝐵)↑𝑗))))
223217, 220, 2223eqtr4d 2784 1 (𝜑 → (ℂ D ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)) = (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  Vcvv 3477  cdif 3959  cin 3961  wss 3962  ifcif 4530  {cpr 4632  cmpt 5230  dom cdm 5688  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  pm cpm 8865  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  cmin 11489   / cdiv 11917  cn 12263  0cn0 12523  cz 12610  cuz 12875  [,]cicc 13386  ...cfz 13543  cexp 14098  !cfa 14308  Σcsu 15718  TopOpenctopn 17467  fldccnfld 21381  TopOnctopon 22931   D cdv 25912   D𝑛 cdvn 25913   Tayl ctayl 26408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-tsms 24150  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916  df-dvn 25917  df-tayl 26410
This theorem is referenced by:  dvntaylp  26427
  Copyright terms: Public domain W3C validator