Theorem dvtaylp 26570

Description: The derivative of the Taylor polynomial is the Taylor polynomial of the derivative of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvtaylp.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvtaylp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvtaylp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
dvtaylp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
dvtaylp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)))

Assertion

Ref	Expression
dvtaylp	⊢ (𝜑 → (ℂ D ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)) = (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐵))

Proof of Theorem dvtaylp

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	cnfldtopon 24976	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
3	2	toponrestid 23115	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
4		cnelprrecn 11211	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
6		toponmax 23120	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
7	2, 6	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
8		fzfid 14029	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
9		dvtaylp.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
10		cnex 11199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ ∈ V
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
12		dvtaylp.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
13		dvtaylp.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
14		elpm2r 8851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
15	11, 9, 12, 13, 14	syl22anc 852	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
16		elfznn0 13667	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
17		dvnf 26123	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
18	9, 15, 16, 17	syl2an3an 1449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
19		0z 12620	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℤ
20		dvtaylp.n	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
21		peano2nn0 12562	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
22	20, 21	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
23	22	nn0zd 12634	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
24		fzval2 13556	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (0...(𝑁 + 1)) = ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ ℤ))
25	19, 23, 24	sylancr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) = ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ ℤ))
26	25	eleq2d 2852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ 𝑘 ∈ ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ ℤ)))
27	26	biimpa 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ ℤ))
28		dvtaylp.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
29	9, 12, 13, 22, 28	taylplem1 26563	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
30	27, 29	syldan 603	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
31	18, 30	ffvelcdmd 7087	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) ∈ ℂ)
32	16	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
33	32	faccld 14340	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
34	33	nncnd 12267	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
35	33	nnne0d 12304	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (!‘𝑘) ≠ 0)
36	31, 34, 35	divcld 12009	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
37	36	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
38		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
39		recnprss 26100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
40	9, 39	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
41	13, 40	sstrd 3950	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
42		dvnbss 26124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)) ⊆ dom 𝐹)
43	9, 15, 22, 42	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)) ⊆ dom 𝐹)
44	12, 43	fssdmd 6731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)) ⊆ 𝐴)
45	44, 28	sseldd 3941	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
46	41, 45	sseldd 3941	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
47	46	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
48	38, 47	subcld 11587	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ)
49	16	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
50	48, 49	expcld 14202	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘) ∈ ℂ)
51	37, 50	mulcld 11247	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)) ∈ ℂ)
52		0cnd 11217	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 = 0) → 0 ∈ ℂ)
53	49	nn0cnd 12585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℂ)
54	53	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ ℂ)
55	48	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ)
56	49	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
57		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → ¬ 𝑘 = 0)
58	57	neqned 2968	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ≠ 0)
59		elnnne0 12536	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ≠ 0))
60	56, 58, 59	sylanbrc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ ℕ)
61		nnm1nn0 12563	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
62	60, 61	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
63	55, 62	expcld 14202	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
64	54, 63	mulcld 11247	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
65	52, 64	ifclda 4528	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
66	37, 65	mulcld 11247	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))) ∈ ℂ)
67	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
68	50	3expa 1136	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘) ∈ ℂ)
69	65	3expa 1136	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
70	48	3expa 1136	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ)
71		1cnd 11220	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
72		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
73	32	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
74	72, 73	expcld 14202	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑𝑘) ∈ ℂ)
75		c0ex 11218	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
76		ovex 7456	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1))) ∈ V
77	75, 76	ifex 4543	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1)))) ∈ V
78	77	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1)))) ∈ V)
79		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
80	67	dvmptid 26153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
81	46	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
82		0cnd 11217	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
83	46	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
84	67, 83	dvmptc 26154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
85	67, 79, 71, 80, 81, 82, 84	dvmptsub 26163	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 𝐵))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 0)))
86		1m0e1 12378	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 0) = 1
87	86	mpteq2i 5212	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 0)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
88	85, 87	eqtrdi 2817	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 𝐵))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
89		dvexp2 26150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑘))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1))))))
90	32, 89	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑘))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1))))))
91		oveq1 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝐵) → (𝑦↑𝑘) = ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))
92		oveq1 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝐵) → (𝑦↑(𝑘 − 1)) = ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))
93	92	oveq2d 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝐵) → (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1))) = (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))
94	93	ifeq2d 4513	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝐵) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1)))) = if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))))
95	67, 67, 70, 71, 74, 78, 88, 90, 91, 94	dvmptco 26168	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))) · 1)))
96	69	mulridd 11244	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))) · 1) = if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))))
97	96	mpteq2dva 5209	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))) · 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))))
98	95, 97	eqtrd 2801	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))))
99	67, 68, 69, 98, 36	dvmptcmul 26160	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))))))
100	3, 1, 5, 7, 8, 51, 66, 99	dvmptfsum 26171	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))))))
101		1zzd 12643	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℤ)
102		0zd 12621	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℤ)
103	20	nn0zd 12634	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
104	103	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℤ)
105		dvfg 26102	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
106	9, 105	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
107	40, 12, 13	dvbss 26097	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝐴)
108	107, 13	sstrd 3950	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆)
109		1nn0 12538	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ0
110	109	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
111		dvnadd 26125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (1 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + 𝑁)))
112	9, 15, 110, 20, 111	syl22anc 852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + 𝑁)))
113		dvn1 26122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1) = (𝑆 D 𝐹))
114	40, 15, 113	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1) = (𝑆 D 𝐹))
115	114	oveq2d 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1)) = (𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹)))
116	115	fveq1d 6890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑁))
117		1cnd 11220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
118	20	nn0cnd 12585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
119	117, 118	addcomd 11430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑁) = (𝑁 + 1))
120	119	fveq2d 6892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + 𝑁)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
121	112, 116, 120	3eqtr3d 2809	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
122	121	dmeqd 5900	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑁) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
123	28, 122	eleqtrrd 2869	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑁))
124	9, 106, 108, 20, 123	taylplem2 26564	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑗)) ∈ ℂ)
125		fveq2 6888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗) = ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1)))
126	125	fveq1d 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → (((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵))
127		fveq2 6888	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → (!‘𝑗) = (!‘(𝑘 − 1)))
128	126, 127	oveq12d 7441	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) = ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))))
129		oveq2 7431	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((𝑥 − 𝐵)↑𝑗) = ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))
130	128, 129	oveq12d 7441	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑗)) = (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))
131	101, 102, 104, 124, 130	fsumshft 15857	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑗)) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))
132		elfznn 13600	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
133	132	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
134	133	nnne0d 12304	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ≠ 0)
135		ifnefalse 4504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ≠ 0 → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))
136	134, 135	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))
137	136	oveq2d 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))))
138		simpll 779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝜑)
139		fz1ssfz0 13670	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1))
140	139	sseli 3936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
141	140	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
142	138, 141, 36	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
143	133	nncnd 12267	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
144		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑥 ∈ ℂ)
145	46	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
146	144, 145	subcld 11587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ)
147	133, 61	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
148	146, 147	expcld 14202	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
149	142, 143, 148	mulassd 11250	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 𝑘) · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))))
150		facp1 14334	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑘 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑘 − 1)) · ((𝑘 − 1) + 1)))
151	147, 150	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘((𝑘 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑘 − 1)) · ((𝑘 − 1) + 1)))
152		1cnd 11220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
153	143, 152	npcand 11591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
154	153	fveq2d 6892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘((𝑘 − 1) + 1)) = (!‘𝑘))
155	153	oveq2d 7439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((!‘(𝑘 − 1)) · ((𝑘 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑘 − 1)) · 𝑘))
156	151, 154, 155	3eqtr3d 2809	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘𝑘) = ((!‘(𝑘 − 1)) · 𝑘))
157	156	oveq2d 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / (!‘𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / ((!‘(𝑘 − 1)) · 𝑘)))
158	32	nn0cnd 12585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
159	31, 158, 34, 35	div23d 12046	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / (!‘𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 𝑘))
160	138, 141, 159	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / (!‘𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 𝑘))
161	138, 141, 31	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) ∈ ℂ)
162	147	faccld 14340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘(𝑘 − 1)) ∈ ℕ)
163	162	nncnd 12267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
164	162	nnne0d 12304	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘(𝑘 − 1)) ≠ 0)
165	161, 163, 143, 164, 134	divcan5rd 12036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / ((!‘(𝑘 − 1)) · 𝑘)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))))
166	9	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
167	15	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
168	109	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℕ0)
169		dvnadd 26125	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (1 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘(𝑘 − 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + (𝑘 − 1))))
170	166, 167, 168, 147, 169	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘(𝑘 − 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + (𝑘 − 1))))
171	114	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1) = (𝑆 D 𝐹))
172	171	oveq2d 7439	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1)) = (𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹)))
173	172	fveq1d 6890	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘(𝑘 − 1)) = ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1)))
174	152, 143	pncan3d 11590	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (1 + (𝑘 − 1)) = 𝑘)
175	174	fveq2d 6892	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + (𝑘 − 1))) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
176	170, 173, 175	3eqtr3rd 2810	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1)))
177	176	fveq1d 6890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵))
178	177	oveq1d 7438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) = ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))))
179	165, 178	eqtrd 2801	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / ((!‘(𝑘 − 1)) · 𝑘)) = ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))))
180	157, 160, 179	3eqtr3d 2809	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 𝑘) = ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))))
181	180	oveq1d 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 𝑘) · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))) = (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))
182	137, 149, 181	3eqtr2d 2807	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))
183	182	sumeq2dv 15779	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))
184		0p1e1 12379	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
185	184	oveq1i 7433	. . . . . . 7 ⊢ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) = (1...(𝑁 + 1))
186	185	sumeq1i 15774	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))
187	183, 186	eqtr4di 2819	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))
188	139	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1)))
189	69	an32s 665	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
190	140, 189	sylan2 605	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
191	142, 190	mulcld 11247	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))) ∈ ℂ)
192		eldif 3918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
193	59	biimpri 231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ≠ 0) → 𝑘 ∈ ℕ)
194	16, 193	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑘 ≠ 0) → 𝑘 ∈ ℕ)
195		nnuz 12919	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
196	194, 195	eleqtrdi 2876	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑘 ≠ 0) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
197		elfzuz3 13567	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑘))
198	197	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑘 ≠ 0) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑘))
199		elfzuzb 13564	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
200	196, 198, 199	sylanbrc 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑘 ≠ 0) → 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
201	200	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑘 ≠ 0 → 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
202	201	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑘 ≠ 0 → 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
203	202	necon1bd 2979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (¬ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 = 0))
204	203	impr 460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)))) → 𝑘 = 0)
205	192, 204	sylan2b 606	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → 𝑘 = 0)
206	205	iftrued 4500	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))) = 0)
207	206	oveq2d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 0))
208		eldifi 4088	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
209	36	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
210	208, 209	sylan2 605	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
211	210	mul01d 11427	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 0) = 0)
212	207, 211	eqtrd 2801	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = 0)
213		fzfid 14029	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
214	188, 191, 212, 213	fsumss 15802	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))))
215	131, 187, 214	3eqtr2rd 2808	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑗)))
216	215	mpteq2dva 5209	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑗))))
217	100, 216	eqtrd 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑗))))
218		eqid 2766	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
219	9, 12, 13, 22, 28, 218	taylpfval 26565	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))
220	219	oveq2d 7439	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ D ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))))
221		eqid 2766	. . 3 ⊢ (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐵) = (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐵)
222	9, 106, 108, 20, 123, 221	taylpfval 26565	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐵) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑗))))
223	217, 220, 222	3eqtr4d 2811	1 ⊢ (𝜑 → (ℂ D ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)) = (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  Vcvv 3458   ∖ cdif 3905   ∩ cin 3907   ⊆ wss 3908  ifcif 4492  {cpr 4596   ↦ cmpt 5197  dom cdm 5666  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ↑_pm cpm 8834  ℂcc 11116  ℝcr 11117  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123   − cmin 11459   / cdiv 11889  ℕcn 12251  ℕ₀cn0 12522  ℤcz 12609  ℤ_≥cuz 12880  [,]cicc 13393  ...cfz 13553  ↑cexp 14117  !cfa 14329  Σcsu 15763  TopOpenctopn 17499  ℂ_fldccnfld 21559  TopOnctopon 23104   D cdv 26059   D^𝑛 cdvn 26060   Tayl ctayl 26553

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-sum 15764  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-hom 17359  df-cco 17360  df-rest 17500  df-topn 17501  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-topgen 17521  df-pt 17522  df-prds 17525  df-xrs 17581  df-qtop 17586  df-imas 17587  df-xps 17589  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-mulg 19165  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-ur 20295  df-ring 20348  df-cring 20349  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-met 21553  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-fbas 21556  df-fg 21557  df-cnfld 21560  df-top 23088  df-topon 23105  df-topsp 23127  df-bases 23140  df-cld 23213  df-ntr 23214  df-cls 23215  df-nei 23292  df-lp 23330  df-perf 23331  df-cn 23421  df-cnp 23422  df-haus 23509  df-tx 23756  df-hmeo 23949  df-fil 24040  df-fm 24132  df-flim 24133  df-flf 24134  df-tsms 24321  df-xms 24514  df-ms 24515  df-tms 24516  df-cncf 25074  df-limc 26062  df-dv 26063  df-dvn 26064  df-tayl 26555

This theorem is used by:  dvntaylp  26571