MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvtaylp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvtaylp 26412
Description: The derivative of the Taylor polynomial is the Taylor polynomial of the derivative of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvtaylp.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvtaylp.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvtaylp.a (𝜑𝐴𝑆)
dvtaylp.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
dvtaylp.b (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
Assertion
Ref Expression
dvtaylp (𝜑 → (ℂ D ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)) = (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐵))

Proof of Theorem dvtaylp
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
21cnfldtopon 24803 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
32toponrestid 22927 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
4 cnelprrecn 11248 . . . . 5 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
54a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
6 toponmax 22932 . . . . 5 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
72, 6mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
8 fzfid 14014 . . . 4 (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
9 dvtaylp.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
10 cnex 11236 . . . . . . . . . . 11 ℂ ∈ V
1110a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℂ ∈ V)
12 dvtaylp.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
13 dvtaylp.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝑆)
14 elpm2r 8885 . . . . . . . . . 10 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
1511, 9, 12, 13, 14syl22anc 839 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
16 elfznn0 13660 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
17 dvnf 25963 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
189, 15, 16, 17syl2an3an 1424 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
19 0z 12624 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℤ
20 dvtaylp.n . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
21 peano2nn0 12566 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2322nn0zd 12639 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
24 fzval2 13550 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (0...(𝑁 + 1)) = ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ ℤ))
2519, 23, 24sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) = ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ ℤ))
2625eleq2d 2827 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ 𝑘 ∈ ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ ℤ)))
2726biimpa 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ ℤ))
28 dvtaylp.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
299, 12, 13, 22, 28taylplem1 26404 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
3027, 29syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
3118, 30ffvelcdmd 7105 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) ∈ ℂ)
3216adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3332faccld 14323 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
3433nncnd 12282 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
3533nnne0d 12316 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (!‘𝑘) ≠ 0)
3631, 34, 35divcld 12043 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
37363adant3 1133 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
38 simp3 1139 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
39 recnprss 25939 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
409, 39syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
4113, 40sstrd 3994 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
42 dvnbss 25964 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)) ⊆ dom 𝐹)
439, 15, 22, 42syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)) ⊆ dom 𝐹)
4412, 43fssdmd 6754 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)) ⊆ 𝐴)
4544, 28sseldd 3984 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵𝐴)
4641, 45sseldd 3984 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
47463ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
4838, 47subcld 11620 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥𝐵) ∈ ℂ)
49163ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5048, 49expcld 14186 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐵)↑𝑘) ∈ ℂ)
5137, 50mulcld 11281 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)) ∈ ℂ)
52 0cnd 11254 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 = 0) → 0 ∈ ℂ)
5349nn0cnd 12589 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℂ)
5453adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ ℂ)
5548adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (𝑥𝐵) ∈ ℂ)
5649adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
57 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → ¬ 𝑘 = 0)
5857neqned 2947 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ≠ 0)
59 elnnne0 12540 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ≠ 0))
6056, 58, 59sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ ℕ)
61 nnm1nn0 12567 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
6260, 61syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
6355, 62expcld 14186 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
6454, 63mulcld 11281 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
6552, 64ifclda 4561 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
6637, 65mulcld 11281 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) ∈ ℂ)
674a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
68503expa 1119 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐵)↑𝑘) ∈ ℂ)
69653expa 1119 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
70483expa 1119 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥𝐵) ∈ ℂ)
71 1cnd 11256 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
72 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
7332adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7472, 73expcld 14186 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦𝑘) ∈ ℂ)
75 c0ex 11255 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
76 ovex 7464 . . . . . . . . 9 (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1))) ∈ V
7775, 76ifex 4576 . . . . . . . 8 if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1)))) ∈ V
7877a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1)))) ∈ V)
79 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
8067dvmptid 25995 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
8146ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
82 0cnd 11254 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
8346adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
8467, 83dvmptc 25996 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
8567, 79, 71, 80, 81, 82, 84dvmptsub 26005 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝐵))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 0)))
86 1m0e1 12387 . . . . . . . . 9 (1 − 0) = 1
8786mpteq2i 5247 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 0)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
8885, 87eqtrdi 2793 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝐵))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
89 dvexp2 25992 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑘))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1))))))
9032, 89syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑘))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1))))))
91 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑥𝐵) → (𝑦𝑘) = ((𝑥𝐵)↑𝑘))
92 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑥𝐵) → (𝑦↑(𝑘 − 1)) = ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))
9392oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑥𝐵) → (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1))) = (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
9493ifeq2d 4546 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑥𝐵) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1)))) = if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))))
9567, 67, 70, 71, 74, 78, 88, 90, 91, 94dvmptco 26010 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥𝐵)↑𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) · 1)))
9669mulridd 11278 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) · 1) = if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))))
9796mpteq2dva 5242 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) · 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))))
9895, 97eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥𝐵)↑𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))))
9967, 68, 69, 98, 36dvmptcmul 26002 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))))))
1003, 1, 5, 7, 8, 51, 66, 99dvmptfsum 26013 . . 3 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))))))
101 1zzd 12648 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℤ)
102 0zd 12625 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℤ)
10320nn0zd 12639 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
104103adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℤ)
105 dvfg 25941 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
1069, 105syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
10740, 12, 13dvbss 25936 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝐴)
108107, 13sstrd 3994 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆)
109 1nn0 12542 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ0
110109a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
111 dvnadd 25965 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (1 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + 𝑁)))
1129, 15, 110, 20, 111syl22anc 839 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + 𝑁)))
113 dvn1 25962 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1) = (𝑆 D 𝐹))
11440, 15, 113syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1) = (𝑆 D 𝐹))
115114oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1)) = (𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹)))
116115fveq1d 6908 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑁))
117 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
11820nn0cnd 12589 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
119117, 118addcomd 11463 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 + 𝑁) = (𝑁 + 1))
120119fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + 𝑁)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
121112, 116, 1203eqtr3d 2785 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
122121dmeqd 5916 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑁) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
12328, 122eleqtrrd 2844 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑁))
1249, 106, 108, 20, 123taylplem2 26405 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥𝐵)↑𝑗)) ∈ ℂ)
125 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗) = ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1)))
126125fveq1d 6908 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 − 1) → (((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵))
127 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 − 1) → (!‘𝑗) = (!‘(𝑘 − 1)))
128126, 127oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) = ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))))
129 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((𝑥𝐵)↑𝑗) = ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))
130128, 129oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 − 1) → (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥𝐵)↑𝑗)) = (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
131101, 102, 104, 124, 130fsumshft 15816 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥𝐵)↑𝑗)) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
132 elfznn 13593 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
133132adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
134133nnne0d 12316 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ≠ 0)
135 ifnefalse 4537 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ≠ 0 → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
136134, 135syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
137136oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))))
138 simpll 767 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝜑)
139 fz1ssfz0 13663 . . . . . . . . . . . 12 (1...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1))
140139sseli 3979 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
141140adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
142138, 141, 36syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
143133nncnd 12282 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
144 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑥 ∈ ℂ)
14546ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
146144, 145subcld 11620 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑥𝐵) ∈ ℂ)
147133, 61syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
148146, 147expcld 14186 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
149142, 143, 148mulassd 11284 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 𝑘) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))))
150 facp1 14317 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑘 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑘 − 1)) · ((𝑘 − 1) + 1)))
151147, 150syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘((𝑘 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑘 − 1)) · ((𝑘 − 1) + 1)))
152 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
153143, 152npcand 11624 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
154153fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘((𝑘 − 1) + 1)) = (!‘𝑘))
155153oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((!‘(𝑘 − 1)) · ((𝑘 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑘 − 1)) · 𝑘))
156151, 154, 1553eqtr3d 2785 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘𝑘) = ((!‘(𝑘 − 1)) · 𝑘))
157156oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / (!‘𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / ((!‘(𝑘 − 1)) · 𝑘)))
15832nn0cnd 12589 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
15931, 158, 34, 35div23d 12080 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / (!‘𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 𝑘))
160138, 141, 159syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / (!‘𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 𝑘))
161138, 141, 31syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) ∈ ℂ)
162147faccld 14323 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘(𝑘 − 1)) ∈ ℕ)
163162nncnd 12282 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
164162nnne0d 12316 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘(𝑘 − 1)) ≠ 0)
165161, 163, 143, 164, 134divcan5rd 12070 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / ((!‘(𝑘 − 1)) · 𝑘)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))))
1669ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
16715ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
168109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℕ0)
169 dvnadd 25965 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (1 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘(𝑘 − 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + (𝑘 − 1))))
170166, 167, 168, 147, 169syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘(𝑘 − 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + (𝑘 − 1))))
171114ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1) = (𝑆 D 𝐹))
172171oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1)) = (𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹)))
173172fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘(𝑘 − 1)) = ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1)))
174152, 143pncan3d 11623 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (1 + (𝑘 − 1)) = 𝑘)
175174fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + (𝑘 − 1))) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
176170, 173, 1753eqtr3rd 2786 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1)))
177176fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵))
178177oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) = ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))))
179165, 178eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / ((!‘(𝑘 − 1)) · 𝑘)) = ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))))
180157, 160, 1793eqtr3d 2785 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 𝑘) = ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))))
181180oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 𝑘) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))) = (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
182137, 149, 1813eqtr2d 2783 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
183182sumeq2dv 15738 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
184 0p1e1 12388 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
185184oveq1i 7441 . . . . . . 7 ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) = (1...(𝑁 + 1))
186185sumeq1i 15733 . . . . . 6 Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))
187183, 186eqtr4di 2795 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
188139a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (1...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1)))
18969an32s 652 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
190140, 189sylan2 593 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
191142, 190mulcld 11281 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) ∈ ℂ)
192 eldif 3961 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
19359biimpri 228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ≠ 0) → 𝑘 ∈ ℕ)
19416, 193sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑘 ≠ 0) → 𝑘 ∈ ℕ)
195 nnuz 12921 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℕ = (ℤ‘1)
196194, 195eleqtrdi 2851 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑘 ≠ 0) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
197 elfzuz3 13561 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑘))
198197adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑘 ≠ 0) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑘))
199 elfzuzb 13558 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ‘1) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑘)))
200196, 198, 199sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑘 ≠ 0) → 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
201200ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑘 ≠ 0 → 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
202201adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑘 ≠ 0 → 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
203202necon1bd 2958 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (¬ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 = 0))
204203impr 454 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)))) → 𝑘 = 0)
205192, 204sylan2b 594 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → 𝑘 = 0)
206205iftrued 4533 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) = 0)
207206oveq2d 7447 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 0))
208 eldifi 4131 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
20936adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
210208, 209sylan2 593 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
211210mul01d 11460 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 0) = 0)
212207, 211eqtrd 2777 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = 0)
213 fzfid 14014 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
214188, 191, 212, 213fsumss 15761 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))))
215131, 187, 2143eqtr2rd 2784 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥𝐵)↑𝑗)))
216215mpteq2dva 5242 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥𝐵)↑𝑗))))
217100, 216eqtrd 2777 . 2 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥𝐵)↑𝑗))))
218 eqid 2737 . . . 4 ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
2199, 12, 13, 22, 28, 218taylpfval 26406 . . 3 (𝜑 → ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))
220219oveq2d 7447 . 2 (𝜑 → (ℂ D ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))))
221 eqid 2737 . . 3 (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐵) = (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐵)
2229, 106, 108, 20, 123, 221taylpfval 26406 . 2 (𝜑 → (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐵) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥𝐵)↑𝑗))))
223217, 220, 2223eqtr4d 2787 1 (𝜑 → (ℂ D ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)) = (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  cdif 3948  cin 3950  wss 3951  ifcif 4525  {cpr 4628  cmpt 5225  dom cdm 5685  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  pm cpm 8867  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  [,]cicc 13390  ...cfz 13547  cexp 14102  !cfa 14312  Σcsu 15722  TopOpenctopn 17466  fldccnfld 21364  TopOnctopon 22916   D cdv 25898   D𝑛 cdvn 25899   Tayl ctayl 26394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-tsms 24135  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-dvn 25903  df-tayl 26396
This theorem is referenced by:  dvntaylp  26413
  Copyright terms: Public domain W3C validator