Theorem dvtaylp 25729

Description: The derivative of the Taylor polynomial is the Taylor polynomial of the derivative of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvtaylp.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvtaylp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvtaylp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
dvtaylp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
dvtaylp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)))

Assertion

Ref	Expression
dvtaylp	⊢ (𝜑 → (ℂ D ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)) = (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐵))

Proof of Theorem dvtaylp

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	cnfldtopon 24146	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
3	2	toponrestid 22270	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
4		cnelprrecn 11144	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
6		toponmax 22275	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
7	2, 6	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
8		fzfid 13878	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
9		dvtaylp.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
10		cnex 11132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ ∈ V
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
12		dvtaylp.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
13		dvtaylp.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
14		elpm2r 8783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
15	11, 9, 12, 13, 14	syl22anc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
16		elfznn0 13534	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
17		dvnf 25291	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
18	9, 15, 16, 17	syl2an3an 1422	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
19		0z 12510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℤ
20		dvtaylp.n	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
21		peano2nn0 12453	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
23	22	nn0zd 12525	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
24		fzval2 13427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (0...(𝑁 + 1)) = ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ ℤ))
25	19, 23, 24	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) = ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ ℤ))
26	25	eleq2d 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ 𝑘 ∈ ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ ℤ)))
27	26	biimpa 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ ℤ))
28		dvtaylp.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
29	9, 12, 13, 22, 28	taylplem1 25722	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
30	27, 29	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
31	18, 30	ffvelcdmd 7036	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) ∈ ℂ)
32	16	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
33	32	faccld 14184	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
34	33	nncnd 12169	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
35	33	nnne0d 12203	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (!‘𝑘) ≠ 0)
36	31, 34, 35	divcld 11931	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
37	36	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
38		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
39		recnprss 25268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
40	9, 39	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
41	13, 40	sstrd 3954	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
42		dvnbss 25292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)) ⊆ dom 𝐹)
43	9, 15, 22, 42	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)) ⊆ dom 𝐹)
44	12, 43	fssdmd 6687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)) ⊆ 𝐴)
45	44, 28	sseldd 3945	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
46	41, 45	sseldd 3945	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
47	46	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
48	38, 47	subcld 11512	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ)
49	16	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
50	48, 49	expcld 14051	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘) ∈ ℂ)
51	37, 50	mulcld 11175	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)) ∈ ℂ)
52		0cnd 11148	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 = 0) → 0 ∈ ℂ)
53	49	nn0cnd 12475	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℂ)
54	53	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ ℂ)
55	48	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ)
56	49	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
57		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → ¬ 𝑘 = 0)
58	57	neqned 2950	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ≠ 0)
59		elnnne0 12427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ≠ 0))
60	56, 58, 59	sylanbrc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ ℕ)
61		nnm1nn0 12454	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
63	55, 62	expcld 14051	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
64	54, 63	mulcld 11175	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
65	52, 64	ifclda 4521	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
66	37, 65	mulcld 11175	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))) ∈ ℂ)
67	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
68	50	3expa 1118	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘) ∈ ℂ)
69	65	3expa 1118	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
70	48	3expa 1118	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ)
71		1cnd 11150	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
72		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
73	32	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
74	72, 73	expcld 14051	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑𝑘) ∈ ℂ)
75		c0ex 11149	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
76		ovex 7390	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1))) ∈ V
77	75, 76	ifex 4536	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1)))) ∈ V
78	77	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1)))) ∈ V)
79		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
80	67	dvmptid 25321	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
81	46	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
82		0cnd 11148	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
83	46	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
84	67, 83	dvmptc 25322	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
85	67, 79, 71, 80, 81, 82, 84	dvmptsub 25331	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 𝐵))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 0)))
86		1m0e1 12274	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 0) = 1
87	86	mpteq2i 5210	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 0)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
88	85, 87	eqtrdi 2792	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 𝐵))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
89		dvexp2 25318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑘))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1))))))
90	32, 89	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑘))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1))))))
91		oveq1 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝐵) → (𝑦↑𝑘) = ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))
92		oveq1 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝐵) → (𝑦↑(𝑘 − 1)) = ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))
93	92	oveq2d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝐵) → (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1))) = (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))
94	93	ifeq2d 4506	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝐵) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1)))) = if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))))
95	67, 67, 70, 71, 74, 78, 88, 90, 91, 94	dvmptco 25336	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))) · 1)))
96	69	mulid1d 11172	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))) · 1) = if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))))
97	96	mpteq2dva 5205	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))) · 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))))
98	95, 97	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))))
99	67, 68, 69, 98, 36	dvmptcmul 25328	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))))))
100	3, 1, 5, 7, 8, 51, 66, 99	dvmptfsum 25339	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))))))
101		1zzd 12534	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℤ)
102		0zd 12511	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℤ)
103	20	nn0zd 12525	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
104	103	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℤ)
105		dvfg 25270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
106	9, 105	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
107	40, 12, 13	dvbss 25265	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝐴)
108	107, 13	sstrd 3954	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆)
109		1nn0 12429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ0
110	109	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
111		dvnadd 25293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (1 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + 𝑁)))
112	9, 15, 110, 20, 111	syl22anc 837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + 𝑁)))
113		dvn1 25290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1) = (𝑆 D 𝐹))
114	40, 15, 113	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1) = (𝑆 D 𝐹))
115	114	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1)) = (𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹)))
116	115	fveq1d 6844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑁))
117		1cnd 11150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
118	20	nn0cnd 12475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
119	117, 118	addcomd 11357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑁) = (𝑁 + 1))
120	119	fveq2d 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + 𝑁)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
121	112, 116, 120	3eqtr3d 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
122	121	dmeqd 5861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑁) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
123	28, 122	eleqtrrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑁))
124	9, 106, 108, 20, 123	taylplem2 25723	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑗)) ∈ ℂ)
125		fveq2 6842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗) = ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1)))
126	125	fveq1d 6844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → (((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵))
127		fveq2 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → (!‘𝑗) = (!‘(𝑘 − 1)))
128	126, 127	oveq12d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) = ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))))
129		oveq2 7365	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((𝑥 − 𝐵)↑𝑗) = ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))
130	128, 129	oveq12d 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑗)) = (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))
131	101, 102, 104, 124, 130	fsumshft 15665	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑗)) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))
132		elfznn 13470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
133	132	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
134	133	nnne0d 12203	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ≠ 0)
135		ifnefalse 4498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ≠ 0 → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))
136	134, 135	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))
137	136	oveq2d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))))
138		simpll 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝜑)
139		fz1ssfz0 13537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1))
140	139	sseli 3940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
141	140	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
142	138, 141, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
143	133	nncnd 12169	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
144		simplr 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑥 ∈ ℂ)
145	46	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
146	144, 145	subcld 11512	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ)
147	133, 61	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
148	146, 147	expcld 14051	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
149	142, 143, 148	mulassd 11178	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 𝑘) · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))))
150		facp1 14178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑘 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑘 − 1)) · ((𝑘 − 1) + 1)))
151	147, 150	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘((𝑘 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑘 − 1)) · ((𝑘 − 1) + 1)))
152		1cnd 11150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
153	143, 152	npcand 11516	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
154	153	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘((𝑘 − 1) + 1)) = (!‘𝑘))
155	153	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((!‘(𝑘 − 1)) · ((𝑘 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑘 − 1)) · 𝑘))
156	151, 154, 155	3eqtr3d 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘𝑘) = ((!‘(𝑘 − 1)) · 𝑘))
157	156	oveq2d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / (!‘𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / ((!‘(𝑘 − 1)) · 𝑘)))
158	32	nn0cnd 12475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
159	31, 158, 34, 35	div23d 11968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / (!‘𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 𝑘))
160	138, 141, 159	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / (!‘𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 𝑘))
161	138, 141, 31	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) ∈ ℂ)
162	147	faccld 14184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘(𝑘 − 1)) ∈ ℕ)
163	162	nncnd 12169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
164	162	nnne0d 12203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘(𝑘 − 1)) ≠ 0)
165	161, 163, 143, 164, 134	divcan5rd 11958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / ((!‘(𝑘 − 1)) · 𝑘)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))))
166	9	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
167	15	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
168	109	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℕ0)
169		dvnadd 25293	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (1 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘(𝑘 − 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + (𝑘 − 1))))
170	166, 167, 168, 147, 169	syl22anc 837	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘(𝑘 − 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + (𝑘 − 1))))
171	114	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1) = (𝑆 D 𝐹))
172	171	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1)) = (𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹)))
173	172	fveq1d 6844	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘(𝑘 − 1)) = ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1)))
174	152, 143	pncan3d 11515	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (1 + (𝑘 − 1)) = 𝑘)
175	174	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + (𝑘 − 1))) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
176	170, 173, 175	3eqtr3rd 2785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1)))
177	176	fveq1d 6844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵))
178	177	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) = ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))))
179	165, 178	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / ((!‘(𝑘 − 1)) · 𝑘)) = ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))))
180	157, 160, 179	3eqtr3d 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 𝑘) = ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))))
181	180	oveq1d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 𝑘) · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))) = (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))
182	137, 149, 181	3eqtr2d 2782	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))
183	182	sumeq2dv 15588	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))
184		0p1e1 12275	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
185	184	oveq1i 7367	. . . . . . 7 ⊢ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) = (1...(𝑁 + 1))
186	185	sumeq1i 15583	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))
187	183, 186	eqtr4di 2794	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))
188	139	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1)))
189	69	an32s 650	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
190	140, 189	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
191	142, 190	mulcld 11175	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))) ∈ ℂ)
192		eldif 3920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
193	59	biimpri 227	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ≠ 0) → 𝑘 ∈ ℕ)
194	16, 193	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑘 ≠ 0) → 𝑘 ∈ ℕ)
195		nnuz 12806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
196	194, 195	eleqtrdi 2848	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑘 ≠ 0) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
197		elfzuz3 13438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑘))
198	197	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑘 ≠ 0) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑘))
199		elfzuzb 13435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
200	196, 198, 199	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑘 ≠ 0) → 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
201	200	ex 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑘 ≠ 0 → 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
202	201	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑘 ≠ 0 → 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
203	202	necon1bd 2961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (¬ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 = 0))
204	203	impr 455	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)))) → 𝑘 = 0)
205	192, 204	sylan2b 594	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → 𝑘 = 0)
206	205	iftrued 4494	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))) = 0)
207	206	oveq2d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 0))
208		eldifi 4086	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
209	36	adantlr 713	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
210	208, 209	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
211	210	mul01d 11354	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 0) = 0)
212	207, 211	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = 0)
213		fzfid 13878	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
214	188, 191, 212, 213	fsumss 15610	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))))
215	131, 187, 214	3eqtr2rd 2783	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑗)))
216	215	mpteq2dva 5205	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑗))))
217	100, 216	eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑗))))
218		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
219	9, 12, 13, 22, 28, 218	taylpfval 25724	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))
220	219	oveq2d 7373	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ D ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))))
221		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐵) = (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐵)
222	9, 106, 108, 20, 123, 221	taylpfval 25724	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐵) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑗))))
223	217, 220, 222	3eqtr4d 2786	1 ⊢ (𝜑 → (ℂ D ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)) = (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  Vcvv 3445   ∖ cdif 3907   ∩ cin 3909   ⊆ wss 3910  ifcif 4486  {cpr 4588   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5633  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ↑_pm cpm 8766  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   − cmin 11385   / cdiv 11812  ℕcn 12153  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12499  ℤ_≥cuz 12763  [,]cicc 13267  ...cfz 13424  ↑cexp 13967  !cfa 14173  Σcsu 15570  TopOpenctopn 17303  ℂ_fldccnfld 20796  TopOnctopon 22259   D cdv 25227   D^𝑛 cdvn 25228   Tayl ctayl 25712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-tsms 23478  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-dvn 25232  df-tayl 25714

This theorem is referenced by:  dvntaylp  25730