Theorem dvtaylp 24965

Description: The derivative of the Taylor polynomial is the Taylor polynomial of the derivative of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvtaylp.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvtaylp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvtaylp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
dvtaylp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
dvtaylp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)))

Assertion

Ref	Expression
dvtaylp	⊢ (𝜑 → (ℂ D ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)) = (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐵))

Proof of Theorem dvtaylp

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	cnfldtopon 23388	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
3	2	toponrestid 21526	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
4		cnelprrecn 10619	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
6		toponmax 21531	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
7	2, 6	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
8		fzfid 13336	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
9		dvtaylp.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
10		cnex 10607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ ∈ V
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
12		dvtaylp.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
13		dvtaylp.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
14		elpm2r 8407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
15	11, 9, 12, 13, 14	syl22anc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
16		elfznn0 12995	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
17		dvnf 24530	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
18	9, 15, 16, 17	syl2an3an 1419	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
19		0z 11980	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℤ
20		dvtaylp.n	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
21		peano2nn0 11925	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
23	22	nn0zd 12073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
24		fzval2 12888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (0...(𝑁 + 1)) = ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ ℤ))
25	19, 23, 24	sylancr 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) = ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ ℤ))
26	25	eleq2d 2875	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ 𝑘 ∈ ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ ℤ)))
27	26	biimpa 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ ℤ))
28		dvtaylp.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
29	9, 12, 13, 22, 28	taylplem1 24958	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
30	27, 29	syldan 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
31	18, 30	ffvelrnd 6829	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) ∈ ℂ)
32	16	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
33	32	faccld 13640	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
34	33	nncnd 11641	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
35	33	nnne0d 11675	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (!‘𝑘) ≠ 0)
36	31, 34, 35	divcld 11405	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
37	36	3adant3 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
38		simp3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
39		recnprss 24507	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
40	9, 39	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
41	13, 40	sstrd 3925	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
42		dvnbss 24531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)) ⊆ dom 𝐹)
43	9, 15, 22, 42	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)) ⊆ dom 𝐹)
44	12, 43	fssdmd 6503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)) ⊆ 𝐴)
45	44, 28	sseldd 3916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
46	41, 45	sseldd 3916	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
47	46	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
48	38, 47	subcld 10986	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ)
49	16	3ad2ant2 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
50	48, 49	expcld 13506	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘) ∈ ℂ)
51	37, 50	mulcld 10650	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)) ∈ ℂ)
52		0cnd 10623	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 = 0) → 0 ∈ ℂ)
53	49	nn0cnd 11945	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℂ)
54	53	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ ℂ)
55	48	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ)
56	49	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
57		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → ¬ 𝑘 = 0)
58	57	neqned 2994	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ≠ 0)
59		elnnne0 11899	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ≠ 0))
60	56, 58, 59	sylanbrc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ ℕ)
61		nnm1nn0 11926	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
63	55, 62	expcld 13506	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
64	54, 63	mulcld 10650	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
65	52, 64	ifclda 4459	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
66	37, 65	mulcld 10650	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))) ∈ ℂ)
67	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
68	50	3expa 1115	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘) ∈ ℂ)
69	65	3expa 1115	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
70	48	3expa 1115	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ)
71		1cnd 10625	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
72		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
73	32	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
74	72, 73	expcld 13506	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑𝑘) ∈ ℂ)
75		c0ex 10624	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
76		ovex 7168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1))) ∈ V
77	75, 76	ifex 4473	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1)))) ∈ V
78	77	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1)))) ∈ V)
79		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
80	67	dvmptid 24560	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
81	46	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
82		0cnd 10623	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
83	46	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
84	67, 83	dvmptc 24561	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
85	67, 79, 71, 80, 81, 82, 84	dvmptsub 24570	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 𝐵))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 0)))
86		1m0e1 11746	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 0) = 1
87	86	mpteq2i 5122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 0)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
88	85, 87	eqtrdi 2849	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 𝐵))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
89		dvexp2 24557	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑘))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1))))))
90	32, 89	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑘))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1))))))
91		oveq1 7142	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝐵) → (𝑦↑𝑘) = ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))
92		oveq1 7142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝐵) → (𝑦↑(𝑘 − 1)) = ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))
93	92	oveq2d 7151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝐵) → (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1))) = (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))
94	93	ifeq2d 4444	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝐵) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1)))) = if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))))
95	67, 67, 70, 71, 74, 78, 88, 90, 91, 94	dvmptco 24575	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))) · 1)))
96	69	mulid1d 10647	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))) · 1) = if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))))
97	96	mpteq2dva 5125	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))) · 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))))
98	95, 97	eqtrd 2833	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))))
99	67, 68, 69, 98, 36	dvmptcmul 24567	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))))))
100	3, 1, 5, 7, 8, 51, 66, 99	dvmptfsum 24578	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))))))
101		1zzd 12001	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℤ)
102		0zd 11981	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℤ)
103	20	nn0zd 12073	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
104	103	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℤ)
105		dvfg 24509	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
106	9, 105	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
107	40, 12, 13	dvbss 24504	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝐴)
108	107, 13	sstrd 3925	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆)
109		1nn0 11901	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ0
110	109	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
111		dvnadd 24532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (1 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + 𝑁)))
112	9, 15, 110, 20, 111	syl22anc 837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + 𝑁)))
113		dvn1 24529	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1) = (𝑆 D 𝐹))
114	40, 15, 113	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1) = (𝑆 D 𝐹))
115	114	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1)) = (𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹)))
116	115	fveq1d 6647	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑁))
117		1cnd 10625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
118	20	nn0cnd 11945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
119	117, 118	addcomd 10831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑁) = (𝑁 + 1))
120	119	fveq2d 6649	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + 𝑁)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
121	112, 116, 120	3eqtr3d 2841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
122	121	dmeqd 5738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑁) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
123	28, 122	eleqtrrd 2893	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑁))
124	9, 106, 108, 20, 123	taylplem2 24959	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑗)) ∈ ℂ)
125		fveq2 6645	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗) = ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1)))
126	125	fveq1d 6647	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → (((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵))
127		fveq2 6645	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → (!‘𝑗) = (!‘(𝑘 − 1)))
128	126, 127	oveq12d 7153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) = ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))))
129		oveq2 7143	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((𝑥 − 𝐵)↑𝑗) = ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))
130	128, 129	oveq12d 7153	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 − 1) → (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑗)) = (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))
131	101, 102, 104, 124, 130	fsumshft 15127	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑗)) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))
132		elfznn 12931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
133	132	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
134	133	nnne0d 11675	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ≠ 0)
135		ifnefalse 4437	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ≠ 0 → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))
136	134, 135	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))
137	136	oveq2d 7151	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))))
138		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝜑)
139		fz1ssfz0 12998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1))
140	139	sseli 3911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
141	140	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
142	138, 141, 36	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
143	133	nncnd 11641	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
144		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑥 ∈ ℂ)
145	46	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
146	144, 145	subcld 10986	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ)
147	133, 61	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
148	146, 147	expcld 13506	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
149	142, 143, 148	mulassd 10653	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 𝑘) · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))))
150		facp1 13634	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑘 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑘 − 1)) · ((𝑘 − 1) + 1)))
151	147, 150	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘((𝑘 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑘 − 1)) · ((𝑘 − 1) + 1)))
152		1cnd 10625	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
153	143, 152	npcand 10990	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
154	153	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘((𝑘 − 1) + 1)) = (!‘𝑘))
155	153	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((!‘(𝑘 − 1)) · ((𝑘 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑘 − 1)) · 𝑘))
156	151, 154, 155	3eqtr3d 2841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘𝑘) = ((!‘(𝑘 − 1)) · 𝑘))
157	156	oveq2d 7151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / (!‘𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / ((!‘(𝑘 − 1)) · 𝑘)))
158	32	nn0cnd 11945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
159	31, 158, 34, 35	div23d 11442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / (!‘𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 𝑘))
160	138, 141, 159	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / (!‘𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 𝑘))
161	138, 141, 31	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) ∈ ℂ)
162	147	faccld 13640	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘(𝑘 − 1)) ∈ ℕ)
163	162	nncnd 11641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
164	162	nnne0d 11675	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘(𝑘 − 1)) ≠ 0)
165	161, 163, 143, 164, 134	divcan5rd 11432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / ((!‘(𝑘 − 1)) · 𝑘)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))))
166	9	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
167	15	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
168	109	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℕ0)
169		dvnadd 24532	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (1 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘(𝑘 − 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + (𝑘 − 1))))
170	166, 167, 168, 147, 169	syl22anc 837	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘(𝑘 − 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + (𝑘 − 1))))
171	114	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1) = (𝑆 D 𝐹))
172	171	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1)) = (𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹)))
173	172	fveq1d 6647	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘(𝑘 − 1)) = ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1)))
174	152, 143	pncan3d 10989	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (1 + (𝑘 − 1)) = 𝑘)
175	174	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + (𝑘 − 1))) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
176	170, 173, 175	3eqtr3rd 2842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1)))
177	176	fveq1d 6647	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵))
178	177	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) = ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))))
179	165, 178	eqtrd 2833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / ((!‘(𝑘 − 1)) · 𝑘)) = ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))))
180	157, 160, 179	3eqtr3d 2841	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 𝑘) = ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))))
181	180	oveq1d 7150	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 𝑘) · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))) = (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))
182	137, 149, 181	3eqtr2d 2839	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))
183	182	sumeq2dv 15052	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))
184		0p1e1 11747	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
185	184	oveq1i 7145	. . . . . . 7 ⊢ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) = (1...(𝑁 + 1))
186	185	sumeq1i 15047	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))
187	183, 186	eqtr4di 2851	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))
188	139	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1)))
189	69	an32s 651	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
190	140, 189	sylan2 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
191	142, 190	mulcld 10650	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))) ∈ ℂ)
192		eldif 3891	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
193	59	biimpri 231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ≠ 0) → 𝑘 ∈ ℕ)
194	16, 193	sylan 583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑘 ≠ 0) → 𝑘 ∈ ℕ)
195		nnuz 12269	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
196	194, 195	eleqtrdi 2900	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑘 ≠ 0) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
197		elfzuz3 12899	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑘))
198	197	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑘 ≠ 0) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑘))
199		elfzuzb 12896	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
200	196, 198, 199	sylanbrc 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑘 ≠ 0) → 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
201	200	ex 416	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑘 ≠ 0 → 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
202	201	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑘 ≠ 0 → 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
203	202	necon1bd 3005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (¬ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 = 0))
204	203	impr 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)))) → 𝑘 = 0)
205	192, 204	sylan2b 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → 𝑘 = 0)
206	205	iftrued 4433	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))) = 0)
207	206	oveq2d 7151	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 0))
208		eldifi 4054	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
209	36	adantlr 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
210	208, 209	sylan2 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
211	210	mul01d 10828	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 0) = 0)
212	207, 211	eqtrd 2833	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = 0)
213		fzfid 13336	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
214	188, 191, 212, 213	fsumss 15074	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))))
215	131, 187, 214	3eqtr2rd 2840	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑗)))
216	215	mpteq2dva 5125	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥 − 𝐵)↑(𝑘 − 1)))))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑗))))
217	100, 216	eqtrd 2833	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑗))))
218		eqid 2798	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
219	9, 12, 13, 22, 28, 218	taylpfval 24960	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))
220	219	oveq2d 7151	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂ D ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))))
221		eqid 2798	. . 3 ⊢ (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐵) = (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐵)
222	9, 106, 108, 20, 123, 221	taylpfval 24960	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐵) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑗))))
223	217, 220, 222	3eqtr4d 2843	1 ⊢ (𝜑 → (ℂ D ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)) = (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  Vcvv 3441   ∖ cdif 3878   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ifcif 4425  {cpr 4527   ↦ cmpt 5110  dom cdm 5519  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ↑_pm cpm 8390  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   − cmin 10859   / cdiv 11286  ℕcn 11625  ℕ₀cn0 11885  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231  [,]cicc 12729  ...cfz 12885  ↑cexp 13425  !cfa 13629  Σcsu 15034  TopOpenctopn 16687  ℂ_fldccnfld 20091  TopOnctopon 21515   D cdv 24466   D^𝑛 cdvn 24467   Tayl ctayl 24948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-fbas 20088  df-fg 20089  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cld 21624  df-ntr 21625  df-cls 21626  df-nei 21703  df-lp 21741  df-perf 21742  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-haus 21920  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-fil 22451  df-fm 22543  df-flim 22544  df-flf 22545  df-tsms 22732  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929  df-cncf 23483  df-limc 24469  df-dv 24470  df-dvn 24471  df-tayl 24950

This theorem is referenced by:  dvntaylp  24966