MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvtaylp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvtaylp 25518
Description: The derivative of the Taylor polynomial is the Taylor polynomial of the derivative of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvtaylp.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvtaylp.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvtaylp.a (𝜑𝐴𝑆)
dvtaylp.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
dvtaylp.b (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
Assertion
Ref Expression
dvtaylp (𝜑 → (ℂ D ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)) = (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐵))

Proof of Theorem dvtaylp
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
21cnfldtopon 23935 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
32toponrestid 22059 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
4 cnelprrecn 10953 . . . . 5 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
54a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
6 toponmax 22064 . . . . 5 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
72, 6mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
8 fzfid 13682 . . . 4 (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
9 dvtaylp.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
10 cnex 10941 . . . . . . . . . . 11 ℂ ∈ V
1110a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℂ ∈ V)
12 dvtaylp.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
13 dvtaylp.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝑆)
14 elpm2r 8622 . . . . . . . . . 10 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
1511, 9, 12, 13, 14syl22anc 836 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
16 elfznn0 13338 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
17 dvnf 25080 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
189, 15, 16, 17syl2an3an 1421 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
19 0z 12319 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℤ
20 dvtaylp.n . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
21 peano2nn0 12262 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2322nn0zd 12413 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
24 fzval2 13231 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (0...(𝑁 + 1)) = ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ ℤ))
2519, 23, 24sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) = ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ ℤ))
2625eleq2d 2824 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ 𝑘 ∈ ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ ℤ)))
2726biimpa 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ ℤ))
28 dvtaylp.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
299, 12, 13, 22, 28taylplem1 25511 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
3027, 29syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
3118, 30ffvelrnd 6956 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) ∈ ℂ)
3216adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3332faccld 13987 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
3433nncnd 11978 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
3533nnne0d 12012 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (!‘𝑘) ≠ 0)
3631, 34, 35divcld 11740 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
37363adant3 1131 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
38 simp3 1137 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
39 recnprss 25057 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
409, 39syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
4113, 40sstrd 3932 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
42 dvnbss 25081 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)) ⊆ dom 𝐹)
439, 15, 22, 42syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)) ⊆ dom 𝐹)
4412, 43fssdmd 6613 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)) ⊆ 𝐴)
4544, 28sseldd 3923 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵𝐴)
4641, 45sseldd 3923 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
47463ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
4838, 47subcld 11321 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥𝐵) ∈ ℂ)
49163ad2ant2 1133 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5048, 49expcld 13853 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐵)↑𝑘) ∈ ℂ)
5137, 50mulcld 10984 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)) ∈ ℂ)
52 0cnd 10957 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 = 0) → 0 ∈ ℂ)
5349nn0cnd 12284 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℂ)
5453adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ ℂ)
5548adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (𝑥𝐵) ∈ ℂ)
5649adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
57 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → ¬ 𝑘 = 0)
5857neqned 2950 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ≠ 0)
59 elnnne0 12236 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ≠ 0))
6056, 58, 59sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ ℕ)
61 nnm1nn0 12263 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
6260, 61syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
6355, 62expcld 13853 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
6454, 63mulcld 10984 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
6552, 64ifclda 4496 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
6637, 65mulcld 10984 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) ∈ ℂ)
674a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
68503expa 1117 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐵)↑𝑘) ∈ ℂ)
69653expa 1117 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
70483expa 1117 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥𝐵) ∈ ℂ)
71 1cnd 10959 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
72 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
7332adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7472, 73expcld 13853 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦𝑘) ∈ ℂ)
75 c0ex 10958 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
76 ovex 7302 . . . . . . . . 9 (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1))) ∈ V
7775, 76ifex 4511 . . . . . . . 8 if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1)))) ∈ V
7877a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1)))) ∈ V)
79 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
8067dvmptid 25110 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
8146ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
82 0cnd 10957 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
8346adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
8467, 83dvmptc 25111 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
8567, 79, 71, 80, 81, 82, 84dvmptsub 25120 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝐵))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 0)))
86 1m0e1 12083 . . . . . . . . 9 (1 − 0) = 1
8786mpteq2i 5180 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 0)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
8885, 87eqtrdi 2794 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝐵))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
89 dvexp2 25107 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑘))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1))))))
9032, 89syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑘))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1))))))
91 oveq1 7276 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑥𝐵) → (𝑦𝑘) = ((𝑥𝐵)↑𝑘))
92 oveq1 7276 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑥𝐵) → (𝑦↑(𝑘 − 1)) = ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))
9392oveq2d 7285 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑥𝐵) → (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1))) = (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
9493ifeq2d 4481 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑥𝐵) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1)))) = if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))))
9567, 67, 70, 71, 74, 78, 88, 90, 91, 94dvmptco 25125 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥𝐵)↑𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) · 1)))
9669mulid1d 10981 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) · 1) = if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))))
9796mpteq2dva 5175 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) · 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))))
9895, 97eqtrd 2778 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥𝐵)↑𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))))
9967, 68, 69, 98, 36dvmptcmul 25117 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))))))
1003, 1, 5, 7, 8, 51, 66, 99dvmptfsum 25128 . . 3 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))))))
101 1zzd 12340 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℤ)
102 0zd 12320 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℤ)
10320nn0zd 12413 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
104103adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℤ)
105 dvfg 25059 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
1069, 105syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
10740, 12, 13dvbss 25054 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝐴)
108107, 13sstrd 3932 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆)
109 1nn0 12238 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ0
110109a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
111 dvnadd 25082 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (1 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + 𝑁)))
1129, 15, 110, 20, 111syl22anc 836 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + 𝑁)))
113 dvn1 25079 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1) = (𝑆 D 𝐹))
11440, 15, 113syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1) = (𝑆 D 𝐹))
115114oveq2d 7285 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1)) = (𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹)))
116115fveq1d 6770 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑁))
117 1cnd 10959 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
11820nn0cnd 12284 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
119117, 118addcomd 11166 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 + 𝑁) = (𝑁 + 1))
120119fveq2d 6772 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + 𝑁)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
121112, 116, 1203eqtr3d 2786 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
122121dmeqd 5809 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑁) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
12328, 122eleqtrrd 2842 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑁))
1249, 106, 108, 20, 123taylplem2 25512 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥𝐵)↑𝑗)) ∈ ℂ)
125 fveq2 6768 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗) = ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1)))
126125fveq1d 6770 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 − 1) → (((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵))
127 fveq2 6768 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 − 1) → (!‘𝑗) = (!‘(𝑘 − 1)))
128126, 127oveq12d 7287 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) = ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))))
129 oveq2 7277 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((𝑥𝐵)↑𝑗) = ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))
130128, 129oveq12d 7287 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 − 1) → (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥𝐵)↑𝑗)) = (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
131101, 102, 104, 124, 130fsumshft 15481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥𝐵)↑𝑗)) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
132 elfznn 13274 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
133132adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
134133nnne0d 12012 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ≠ 0)
135 ifnefalse 4473 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ≠ 0 → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
136134, 135syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
137136oveq2d 7285 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))))
138 simpll 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝜑)
139 fz1ssfz0 13341 . . . . . . . . . . . 12 (1...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1))
140139sseli 3918 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
141140adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
142138, 141, 36syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
143133nncnd 11978 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
144 simplr 766 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑥 ∈ ℂ)
14546ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
146144, 145subcld 11321 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑥𝐵) ∈ ℂ)
147133, 61syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
148146, 147expcld 13853 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
149142, 143, 148mulassd 10987 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 𝑘) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))))
150 facp1 13981 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑘 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑘 − 1)) · ((𝑘 − 1) + 1)))
151147, 150syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘((𝑘 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑘 − 1)) · ((𝑘 − 1) + 1)))
152 1cnd 10959 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
153143, 152npcand 11325 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
154153fveq2d 6772 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘((𝑘 − 1) + 1)) = (!‘𝑘))
155153oveq2d 7285 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((!‘(𝑘 − 1)) · ((𝑘 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑘 − 1)) · 𝑘))
156151, 154, 1553eqtr3d 2786 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘𝑘) = ((!‘(𝑘 − 1)) · 𝑘))
157156oveq2d 7285 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / (!‘𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / ((!‘(𝑘 − 1)) · 𝑘)))
15832nn0cnd 12284 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
15931, 158, 34, 35div23d 11777 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / (!‘𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 𝑘))
160138, 141, 159syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / (!‘𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 𝑘))
161138, 141, 31syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) ∈ ℂ)
162147faccld 13987 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘(𝑘 − 1)) ∈ ℕ)
163162nncnd 11978 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
164162nnne0d 12012 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘(𝑘 − 1)) ≠ 0)
165161, 163, 143, 164, 134divcan5rd 11767 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / ((!‘(𝑘 − 1)) · 𝑘)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))))
1669ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
16715ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
168109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℕ0)
169 dvnadd 25082 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (1 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘(𝑘 − 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + (𝑘 − 1))))
170166, 167, 168, 147, 169syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘(𝑘 − 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + (𝑘 − 1))))
171114ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1) = (𝑆 D 𝐹))
172171oveq2d 7285 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1)) = (𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹)))
173172fveq1d 6770 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘(𝑘 − 1)) = ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1)))
174152, 143pncan3d 11324 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (1 + (𝑘 − 1)) = 𝑘)
175174fveq2d 6772 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + (𝑘 − 1))) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
176170, 173, 1753eqtr3rd 2787 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1)))
177176fveq1d 6770 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵))
178177oveq1d 7284 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) = ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))))
179165, 178eqtrd 2778 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / ((!‘(𝑘 − 1)) · 𝑘)) = ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))))
180157, 160, 1793eqtr3d 2786 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 𝑘) = ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))))
181180oveq1d 7284 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 𝑘) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))) = (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
182137, 149, 1813eqtr2d 2784 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
183182sumeq2dv 15404 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
184 0p1e1 12084 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
185184oveq1i 7279 . . . . . . 7 ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) = (1...(𝑁 + 1))
186185sumeq1i 15399 . . . . . 6 Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))
187183, 186eqtr4di 2796 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
188139a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (1...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1)))
18969an32s 649 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
190140, 189sylan2 593 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
191142, 190mulcld 10984 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) ∈ ℂ)
192 eldif 3898 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
19359biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ≠ 0) → 𝑘 ∈ ℕ)
19416, 193sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑘 ≠ 0) → 𝑘 ∈ ℕ)
195 nnuz 12610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℕ = (ℤ‘1)
196194, 195eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑘 ≠ 0) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
197 elfzuz3 13242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑘))
198197adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑘 ≠ 0) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑘))
199 elfzuzb 13239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ‘1) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑘)))
200196, 198, 199sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑘 ≠ 0) → 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
201200ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑘 ≠ 0 → 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
202201adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑘 ≠ 0 → 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
203202necon1bd 2961 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (¬ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 = 0))
204203impr 455 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)))) → 𝑘 = 0)
205192, 204sylan2b 594 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → 𝑘 = 0)
206205iftrued 4469 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) = 0)
207206oveq2d 7285 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 0))
208 eldifi 4062 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
20936adantlr 712 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
210208, 209sylan2 593 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
211210mul01d 11163 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 0) = 0)
212207, 211eqtrd 2778 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = 0)
213 fzfid 13682 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
214188, 191, 212, 213fsumss 15426 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))))
215131, 187, 2143eqtr2rd 2785 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥𝐵)↑𝑗)))
216215mpteq2dva 5175 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥𝐵)↑𝑗))))
217100, 216eqtrd 2778 . 2 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥𝐵)↑𝑗))))
218 eqid 2738 . . . 4 ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
2199, 12, 13, 22, 28, 218taylpfval 25513 . . 3 (𝜑 → ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))
220219oveq2d 7285 . 2 (𝜑 → (ℂ D ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))))
221 eqid 2738 . . 3 (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐵) = (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐵)
2229, 106, 108, 20, 123, 221taylpfval 25513 . 2 (𝜑 → (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐵) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥𝐵)↑𝑗))))
223217, 220, 2223eqtr4d 2788 1 (𝜑 → (ℂ D ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)) = (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  Vcvv 3431  cdif 3885  cin 3887  wss 3888  ifcif 4461  {cpr 4565  cmpt 5158  dom cdm 5586  wf 6424  cfv 6428  (class class class)co 7269  pm cpm 8605  cc 10858  cr 10859  0cc0 10860  1c1 10861   + caddc 10863   · cmul 10865  cmin 11194   / cdiv 11621  cn 11962  0cn0 12222  cz 12308  cuz 12571  [,]cicc 13071  ...cfz 13228  cexp 13771  !cfa 13976  Σcsu 15386  TopOpenctopn 17121  fldccnfld 20586  TopOnctopon 22048   D cdv 25016   D𝑛 cdvn 25017   Tayl ctayl 25501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5210  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7580  ax-inf2 9388  ax-cnex 10916  ax-resscn 10917  ax-1cn 10918  ax-icn 10919  ax-addcl 10920  ax-addrcl 10921  ax-mulcl 10922  ax-mulrcl 10923  ax-mulcom 10924  ax-addass 10925  ax-mulass 10926  ax-distr 10927  ax-i2m1 10928  ax-1ne0 10929  ax-1rid 10930  ax-rnegex 10931  ax-rrecex 10932  ax-cnre 10933  ax-pre-lttri 10934  ax-pre-lttrn 10935  ax-pre-ltadd 10936  ax-pre-mulgt0 10937  ax-pre-sup 10938  ax-addf 10939  ax-mulf 10940
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-iin 4929  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5486  df-eprel 5492  df-po 5500  df-so 5501  df-fr 5541  df-se 5542  df-we 5543  df-xp 5592  df-rel 5593  df-cnv 5594  df-co 5595  df-dm 5596  df-rn 5597  df-res 5598  df-ima 5599  df-pred 6197  df-ord 6264  df-on 6265  df-lim 6266  df-suc 6267  df-iota 6386  df-fun 6430  df-fn 6431  df-f 6432  df-f1 6433  df-fo 6434  df-f1o 6435  df-fv 6436  df-isom 6437  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-of 7525  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-supp 7967  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-2o 8287  df-er 8487  df-map 8606  df-pm 8607  df-ixp 8675  df-en 8723  df-dom 8724  df-sdom 8725  df-fin 8726  df-fsupp 9118  df-fi 9159  df-sup 9190  df-inf 9191  df-oi 9258  df-card 9686  df-pnf 11000  df-mnf 11001  df-xr 11002  df-ltxr 11003  df-le 11004  df-sub 11196  df-neg 11197  df-div 11622  df-nn 11963  df-2 12025  df-3 12026  df-4 12027  df-5 12028  df-6 12029  df-7 12030  df-8 12031  df-9 12032  df-n0 12223  df-z 12309  df-dec 12427  df-uz 12572  df-q 12678  df-rp 12720  df-xneg 12837  df-xadd 12838  df-xmul 12839  df-icc 13075  df-fz 13229  df-fzo 13372  df-seq 13711  df-exp 13772  df-fac 13977  df-hash 14034  df-cj 14799  df-re 14800  df-im 14801  df-sqrt 14935  df-abs 14936  df-clim 15186  df-sum 15387  df-struct 16837  df-sets 16854  df-slot 16872  df-ndx 16884  df-base 16902  df-ress 16931  df-plusg 16964  df-mulr 16965  df-starv 16966  df-sca 16967  df-vsca 16968  df-ip 16969  df-tset 16970  df-ple 16971  df-ds 16973  df-unif 16974  df-hom 16975  df-cco 16976  df-rest 17122  df-topn 17123  df-0g 17141  df-gsum 17142  df-topgen 17143  df-pt 17144  df-prds 17147  df-xrs 17202  df-qtop 17207  df-imas 17208  df-xps 17210  df-mre 17284  df-mrc 17285  df-acs 17287  df-mgm 18315  df-sgrp 18364  df-mnd 18375  df-submnd 18420  df-grp 18569  df-minusg 18570  df-mulg 18690  df-cntz 18912  df-cmn 19377  df-abl 19378  df-mgp 19710  df-ur 19727  df-ring 19774  df-cring 19775  df-psmet 20578  df-xmet 20579  df-met 20580  df-bl 20581  df-mopn 20582  df-fbas 20583  df-fg 20584  df-cnfld 20587  df-top 22032  df-topon 22049  df-topsp 22071  df-bases 22085  df-cld 22159  df-ntr 22160  df-cls 22161  df-nei 22238  df-lp 22276  df-perf 22277  df-cn 22367  df-cnp 22368  df-haus 22455  df-tx 22702  df-hmeo 22895  df-fil 22986  df-fm 23078  df-flim 23079  df-flf 23080  df-tsms 23267  df-xms 23462  df-ms 23463  df-tms 23464  df-cncf 24030  df-limc 25019  df-dv 25020  df-dvn 25021  df-tayl 25503
This theorem is referenced by:  dvntaylp  25519
  Copyright terms: Public domain W3C validator