MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvtaylp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvtaylp 25262
Description: The derivative of the Taylor polynomial is the Taylor polynomial of the derivative of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvtaylp.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvtaylp.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvtaylp.a (𝜑𝐴𝑆)
dvtaylp.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
dvtaylp.b (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
Assertion
Ref Expression
dvtaylp (𝜑 → (ℂ D ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)) = (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐵))

Proof of Theorem dvtaylp
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
21cnfldtopon 23680 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
32toponrestid 21818 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
4 cnelprrecn 10822 . . . . 5 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
54a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
6 toponmax 21823 . . . . 5 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
72, 6mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
8 fzfid 13546 . . . 4 (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
9 dvtaylp.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
10 cnex 10810 . . . . . . . . . . 11 ℂ ∈ V
1110a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℂ ∈ V)
12 dvtaylp.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
13 dvtaylp.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝑆)
14 elpm2r 8526 . . . . . . . . . 10 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
1511, 9, 12, 13, 14syl22anc 839 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
16 elfznn0 13205 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
17 dvnf 24824 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
189, 15, 16, 17syl2an3an 1424 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
19 0z 12187 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℤ
20 dvtaylp.n . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
21 peano2nn0 12130 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2322nn0zd 12280 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
24 fzval2 13098 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (0...(𝑁 + 1)) = ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ ℤ))
2519, 23, 24sylancr 590 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) = ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ ℤ))
2625eleq2d 2823 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ 𝑘 ∈ ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ ℤ)))
2726biimpa 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ ℤ))
28 dvtaylp.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
299, 12, 13, 22, 28taylplem1 25255 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,](𝑁 + 1)) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
3027, 29syldan 594 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
3118, 30ffvelrnd 6905 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) ∈ ℂ)
3216adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3332faccld 13850 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
3433nncnd 11846 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
3533nnne0d 11880 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (!‘𝑘) ≠ 0)
3631, 34, 35divcld 11608 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
37363adant3 1134 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
38 simp3 1140 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
39 recnprss 24801 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
409, 39syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
4113, 40sstrd 3911 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
42 dvnbss 24825 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)) ⊆ dom 𝐹)
439, 15, 22, 42syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)) ⊆ dom 𝐹)
4412, 43fssdmd 6564 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)) ⊆ 𝐴)
4544, 28sseldd 3902 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵𝐴)
4641, 45sseldd 3902 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
47463ad2ant1 1135 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
4838, 47subcld 11189 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥𝐵) ∈ ℂ)
49163ad2ant2 1136 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5048, 49expcld 13716 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐵)↑𝑘) ∈ ℂ)
5137, 50mulcld 10853 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)) ∈ ℂ)
52 0cnd 10826 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 = 0) → 0 ∈ ℂ)
5349nn0cnd 12152 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℂ)
5453adantr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ ℂ)
5548adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (𝑥𝐵) ∈ ℂ)
5649adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
57 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → ¬ 𝑘 = 0)
5857neqned 2947 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ≠ 0)
59 elnnne0 12104 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ≠ 0))
6056, 58, 59sylanbrc 586 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ ℕ)
61 nnm1nn0 12131 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
6260, 61syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
6355, 62expcld 13716 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
6454, 63mulcld 10853 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
6552, 64ifclda 4474 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
6637, 65mulcld 10853 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) ∈ ℂ)
674a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
68503expa 1120 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐵)↑𝑘) ∈ ℂ)
69653expa 1120 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
70483expa 1120 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥𝐵) ∈ ℂ)
71 1cnd 10828 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
72 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
7332adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7472, 73expcld 13716 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦𝑘) ∈ ℂ)
75 c0ex 10827 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
76 ovex 7246 . . . . . . . . 9 (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1))) ∈ V
7775, 76ifex 4489 . . . . . . . 8 if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1)))) ∈ V
7877a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1)))) ∈ V)
79 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
8067dvmptid 24854 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
8146ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
82 0cnd 10826 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
8346adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
8467, 83dvmptc 24855 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
8567, 79, 71, 80, 81, 82, 84dvmptsub 24864 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝐵))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 0)))
86 1m0e1 11951 . . . . . . . . 9 (1 − 0) = 1
8786mpteq2i 5147 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 0)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
8885, 87eqtrdi 2794 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝐵))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
89 dvexp2 24851 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑘))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1))))))
9032, 89syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑘))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1))))))
91 oveq1 7220 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑥𝐵) → (𝑦𝑘) = ((𝑥𝐵)↑𝑘))
92 oveq1 7220 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑥𝐵) → (𝑦↑(𝑘 − 1)) = ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))
9392oveq2d 7229 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑥𝐵) → (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1))) = (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
9493ifeq2d 4459 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑥𝐵) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑦↑(𝑘 − 1)))) = if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))))
9567, 67, 70, 71, 74, 78, 88, 90, 91, 94dvmptco 24869 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥𝐵)↑𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) · 1)))
9669mulid1d 10850 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) · 1) = if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))))
9796mpteq2dva 5150 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) · 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))))
9895, 97eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥𝐵)↑𝑘))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))))
9967, 68, 69, 98, 36dvmptcmul 24861 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))))))
1003, 1, 5, 7, 8, 51, 66, 99dvmptfsum 24872 . . 3 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))))))
101 1zzd 12208 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℤ)
102 0zd 12188 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℤ)
10320nn0zd 12280 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
104103adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℤ)
105 dvfg 24803 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
1069, 105syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
10740, 12, 13dvbss 24798 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝐴)
108107, 13sstrd 3911 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆)
109 1nn0 12106 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ0
110109a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
111 dvnadd 24826 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (1 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + 𝑁)))
1129, 15, 110, 20, 111syl22anc 839 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + 𝑁)))
113 dvn1 24823 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1) = (𝑆 D 𝐹))
11440, 15, 113syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1) = (𝑆 D 𝐹))
115114oveq2d 7229 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1)) = (𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹)))
116115fveq1d 6719 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑁))
117 1cnd 10828 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
11820nn0cnd 12152 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
119117, 118addcomd 11034 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 + 𝑁) = (𝑁 + 1))
120119fveq2d 6721 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + 𝑁)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
121112, 116, 1203eqtr3d 2785 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑁) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
122121dmeqd 5774 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑁) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
12328, 122eleqtrrd 2841 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑁))
1249, 106, 108, 20, 123taylplem2 25256 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥𝐵)↑𝑗)) ∈ ℂ)
125 fveq2 6717 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗) = ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1)))
126125fveq1d 6719 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 − 1) → (((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵))
127 fveq2 6717 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 − 1) → (!‘𝑗) = (!‘(𝑘 − 1)))
128126, 127oveq12d 7231 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) = ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))))
129 oveq2 7221 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((𝑥𝐵)↑𝑗) = ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))
130128, 129oveq12d 7231 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 − 1) → (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥𝐵)↑𝑗)) = (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
131101, 102, 104, 124, 130fsumshft 15344 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥𝐵)↑𝑗)) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
132 elfznn 13141 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
133132adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
134133nnne0d 11880 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ≠ 0)
135 ifnefalse 4451 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ≠ 0 → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
136134, 135syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
137136oveq2d 7229 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))))
138 simpll 767 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝜑)
139 fz1ssfz0 13208 . . . . . . . . . . . 12 (1...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1))
140139sseli 3896 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
141140adantl 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
142138, 141, 36syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
143133nncnd 11846 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
144 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑥 ∈ ℂ)
14546ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
146144, 145subcld 11189 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑥𝐵) ∈ ℂ)
147133, 61syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
148146, 147expcld 13716 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
149142, 143, 148mulassd 10856 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 𝑘) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))))
150 facp1 13844 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑘 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑘 − 1)) · ((𝑘 − 1) + 1)))
151147, 150syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘((𝑘 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑘 − 1)) · ((𝑘 − 1) + 1)))
152 1cnd 10828 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
153143, 152npcand 11193 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
154153fveq2d 6721 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘((𝑘 − 1) + 1)) = (!‘𝑘))
155153oveq2d 7229 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((!‘(𝑘 − 1)) · ((𝑘 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑘 − 1)) · 𝑘))
156151, 154, 1553eqtr3d 2785 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘𝑘) = ((!‘(𝑘 − 1)) · 𝑘))
157156oveq2d 7229 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / (!‘𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / ((!‘(𝑘 − 1)) · 𝑘)))
15832nn0cnd 12152 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
15931, 158, 34, 35div23d 11645 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / (!‘𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 𝑘))
160138, 141, 159syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / (!‘𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 𝑘))
161138, 141, 31syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) ∈ ℂ)
162147faccld 13850 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘(𝑘 − 1)) ∈ ℕ)
163162nncnd 11846 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
164162nnne0d 11880 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (!‘(𝑘 − 1)) ≠ 0)
165161, 163, 143, 164, 134divcan5rd 11635 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / ((!‘(𝑘 − 1)) · 𝑘)) = ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))))
1669ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
16715ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
168109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℕ0)
169 dvnadd 24826 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (1 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘(𝑘 − 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + (𝑘 − 1))))
170166, 167, 168, 147, 169syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘(𝑘 − 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + (𝑘 − 1))))
171114ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1) = (𝑆 D 𝐹))
172171oveq2d 7229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1)) = (𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹)))
173172fveq1d 6719 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘1))‘(𝑘 − 1)) = ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1)))
174152, 143pncan3d 11192 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (1 + (𝑘 − 1)) = 𝑘)
175174fveq2d 6721 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(1 + (𝑘 − 1))) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
176170, 173, 1753eqtr3rd 2786 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1)))
177176fveq1d 6719 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵))
178177oveq1d 7228 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) = ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))))
179165, 178eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) · 𝑘) / ((!‘(𝑘 − 1)) · 𝑘)) = ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))))
180157, 160, 1793eqtr3d 2785 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 𝑘) = ((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))))
181180oveq1d 7228 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 𝑘) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))) = (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
182137, 149, 1813eqtr2d 2783 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = (((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
183182sumeq2dv 15267 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
184 0p1e1 11952 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
185184oveq1i 7223 . . . . . . 7 ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) = (1...(𝑁 + 1))
186185sumeq1i 15262 . . . . . 6 Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))
187183, 186eqtr4di 2796 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘(𝑘 − 1))‘𝐵) / (!‘(𝑘 − 1))) · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))
188139a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (1...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1)))
18969an32s 652 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
190140, 189sylan2 596 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
191142, 190mulcld 10853 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) ∈ ℂ)
192 eldif 3876 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
19359biimpri 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ≠ 0) → 𝑘 ∈ ℕ)
19416, 193sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑘 ≠ 0) → 𝑘 ∈ ℕ)
195 nnuz 12477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℕ = (ℤ‘1)
196194, 195eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑘 ≠ 0) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
197 elfzuz3 13109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑘))
198197adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑘 ≠ 0) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑘))
199 elfzuzb 13106 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ‘1) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑘)))
200196, 198, 199sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 𝑘 ≠ 0) → 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
201200ex 416 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑘 ≠ 0 → 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
202201adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑘 ≠ 0 → 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
203202necon1bd 2958 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (¬ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 = 0))
204203impr 458 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)))) → 𝑘 = 0)
205192, 204sylan2b 597 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → 𝑘 = 0)
206205iftrued 4447 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))) = 0)
207206oveq2d 7229 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 0))
208 eldifi 4041 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
20936adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
210208, 209sylan2 596 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
211210mul01d 11031 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · 0) = 0)
212207, 211eqtrd 2777 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (1...(𝑁 + 1)))) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = 0)
213 fzfid 13546 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
214188, 191, 212, 213fsumss 15289 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))))
215131, 187, 2143eqtr2rd 2784 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1))))) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥𝐵)↑𝑗)))
216215mpteq2dva 5150 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · ((𝑥𝐵)↑(𝑘 − 1)))))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥𝐵)↑𝑗))))
217100, 216eqtrd 2777 . 2 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥𝐵)↑𝑗))))
218 eqid 2737 . . . 4 ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
2199, 12, 13, 22, 28, 218taylpfval 25257 . . 3 (𝜑 → ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))
220219oveq2d 7229 . 2 (𝜑 → (ℂ D ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))))
221 eqid 2737 . . 3 (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐵) = (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐵)
2229, 106, 108, 20, 123, 221taylpfval 25257 . 2 (𝜑 → (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐵) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 (𝑆 D 𝐹))‘𝑗)‘𝐵) / (!‘𝑗)) · ((𝑥𝐵)↑𝑗))))
223217, 220, 2223eqtr4d 2787 1 (𝜑 → (ℂ D ((𝑁 + 1)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)) = (𝑁(𝑆 Tayl (𝑆 D 𝐹))𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  Vcvv 3408  cdif 3863  cin 3865  wss 3866  ifcif 4439  {cpr 4543  cmpt 5135  dom cdm 5551  wf 6376  cfv 6380  (class class class)co 7213  pm cpm 8509  cc 10727  cr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734  cmin 11062   / cdiv 11489  cn 11830  0cn0 12090  cz 12176  cuz 12438  [,]cicc 12938  ...cfz 13095  cexp 13635  !cfa 13839  Σcsu 15249  TopOpenctopn 16926  fldccnfld 20363  TopOnctopon 21807   D cdv 24760   D𝑛 cdvn 24761   Tayl ctayl 25245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-exp 13636  df-fac 13840  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-sum 15250  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-pt 16949  df-prds 16952  df-xrs 17007  df-qtop 17012  df-imas 17013  df-xps 17015  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-abl 19173  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-cring 19565  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-lp 22033  df-perf 22034  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-haus 22212  df-tx 22459  df-hmeo 22652  df-fil 22743  df-fm 22835  df-flim 22836  df-flf 22837  df-tsms 23024  df-xms 23218  df-ms 23219  df-tms 23220  df-cncf 23775  df-limc 24763  df-dv 24764  df-dvn 24765  df-tayl 25247
This theorem is referenced by:  dvntaylp  25263
  Copyright terms: Public domain W3C validator