MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumabs 24076
Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsumabs.m (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
dvfsumabs.a (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
dvfsumabs.v ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝑉)
dvfsumabs.b (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
dvfsumabs.c (𝑥 = 𝑀𝐴 = 𝐶)
dvfsumabs.d (𝑥 = 𝑁𝐴 = 𝐷)
dvfsumabs.x ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
dvfsumabs.y ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑌 ∈ ℝ)
dvfsumabs.l ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))) → (abs‘(𝑋𝐵)) ≤ 𝑌)
Assertion
Ref Expression
dvfsumabs (𝜑 → (abs‘(Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 − (𝐷𝐶))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑌)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑥,𝑘,𝑀   𝑘,𝑁,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝑉   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumabs
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 12980 . . . . . 6 (𝑀..^𝑁) ∈ Fin
21a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
3 dvfsumabs.x . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
4 dvfsumabs.m . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5 eluzel2 11890 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 eluzelz 11895 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
84, 7syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
9 fzval2 12535 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀[,]𝑁) ∩ ℤ))
106, 8, 9syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ((𝑀[,]𝑁) ∩ ℤ))
11 inss1 3991 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀[,]𝑁) ∩ ℤ) ⊆ (𝑀[,]𝑁)
1210, 11syl6eqss 3814 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁))
1312sselda 3760 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁))
14 dvfsumabs.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
15 cncff 22974 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℂ)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℂ)
17 eqid 2764 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴)
1817fmpt 6569 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℂ)
1916, 18sylibr 225 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
20 nfcsb1v 3706 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑦 / 𝑥𝐴
2120nfel1 2921 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ
22 csbeq1a 3699 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝑦 / 𝑥𝐴)
2322eleq1d 2828 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ))
2421, 23rspc 3454 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁) → (∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℂ → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ))
2519, 24mpan9 502 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
2613, 25syldan 585 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
2726ralrimiva 3112 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
28 fzofzp1 12772 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
29 csbeq1 3693 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑘 + 1) → 𝑦 / 𝑥𝐴 = (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴)
3029eleq1d 2828 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑘 + 1) → (𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ ↔ (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴 ∈ ℂ))
3130rspccva 3459 . . . . . . 7 ((∀𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
3227, 28, 31syl2an 589 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
33 elfzofz 12692 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
34 csbeq1 3693 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑘𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝑘 / 𝑥𝐴)
3534eleq1d 2828 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑘 → (𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝑘 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ))
3635rspccva 3459 . . . . . . 7 ((∀𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
3727, 33, 36syl2an 589 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
3832, 37subcld 10645 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴) ∈ ℂ)
392, 3, 38fsumsub 14805 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴)) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 − Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴)))
40 vex 3352 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
4140a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑀𝑦 ∈ V)
42 eqeq2 2775 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑀 → (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑀))
4342biimpa 468 . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝑀𝑥 = 𝑦) → 𝑥 = 𝑀)
44 dvfsumabs.c . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑀𝐴 = 𝐶)
4543, 44syl 17 . . . . . . 7 ((𝑦 = 𝑀𝑥 = 𝑦) → 𝐴 = 𝐶)
4641, 45csbied 3717 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑀𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝐶)
4740a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑁𝑦 ∈ V)
48 eqeq2 2775 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑁 → (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑁))
4948biimpa 468 . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝑁𝑥 = 𝑦) → 𝑥 = 𝑁)
50 dvfsumabs.d . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁𝐴 = 𝐷)
5149, 50syl 17 . . . . . . 7 ((𝑦 = 𝑁𝑥 = 𝑦) → 𝐴 = 𝐷)
5247, 51csbied 3717 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑁𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝐷)
5334, 29, 46, 52, 4, 26telfsumo2 14820 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴) = (𝐷𝐶))
5453oveq2d 6857 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 − Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴)) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 − (𝐷𝐶)))
5539, 54eqtrd 2798 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴)) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 − (𝐷𝐶)))
5655fveq2d 6378 . 2 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))) = (abs‘(Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 − (𝐷𝐶))))
573, 38subcld 10645 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴)) ∈ ℂ)
582, 57fsumcl 14750 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴)) ∈ ℂ)
5958abscld 14461 . . 3 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))) ∈ ℝ)
6057abscld 14461 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (abs‘(𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))) ∈ ℝ)
612, 60fsumrecl 14751 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(abs‘(𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))) ∈ ℝ)
62 dvfsumabs.y . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑌 ∈ ℝ)
632, 62fsumrecl 14751 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑌 ∈ ℝ)
642, 57fsumabs 14818 . . 3 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(abs‘(𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))))
65 elfzoelz 12677 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
6665adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
6766zred 11728 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
6867rexrd 10342 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ*)
69 peano2re 10462 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
7067, 69syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
7170rexrd 10342 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ*)
7267lep1d 11208 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
73 ubicc2 12492 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℝ* ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ*𝑘 ≤ (𝑘 + 1)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)))
7468, 71, 72, 73syl3anc 1490 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)))
75 lbicc2 12491 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℝ* ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ*𝑘 ≤ (𝑘 + 1)) → 𝑘 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)))
7668, 71, 72, 75syl3anc 1490 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)))
776zred 11728 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
7877adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
798zred 11728 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
8079adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
81 elfzole1 12685 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀𝑘)
8281adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀𝑘)
8328adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
84 elfzle2 12551 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)
86 iccss 12442 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝑀𝑘 ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)) → (𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀[,]𝑁))
8778, 80, 82, 85, 86syl22anc 867 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀[,]𝑁))
8887resmptd 5628 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)) ↾ (𝑘[,](𝑘 + 1))) = (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))
89 eqid 2764 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
9089subcn 22947 . . . . . . . . . . . 12 − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
9190a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
92 iccssre 12456 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
9377, 79, 92syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
9493adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
95 ax-resscn 10245 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℂ
9694, 95syl6ss 3772 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℂ)
97 ssid 3782 . . . . . . . . . . . . . 14 ℂ ⊆ ℂ
9897a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ℂ ⊆ ℂ)
99 cncfmptc 22992 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝑋) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
1003, 96, 98, 99syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝑋) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
101 cncfmptid 22993 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀[,]𝑁) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝑥) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
10296, 97, 101sylancl 580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝑥) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
103100, 102mulcncf 23503 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝑋 · 𝑥)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
10414adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
10589, 91, 103, 104cncfmpt2f 22995 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
106 rescncf 22978 . . . . . . . . . 10 ((𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀[,]𝑁) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)) ↾ (𝑘[,](𝑘 + 1))) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℂ)))
10787, 105, 106sylc 65 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)) ↾ (𝑘[,](𝑘 + 1))) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℂ))
10888, 107eqeltrrd 2844 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℂ))
10995a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ℝ ⊆ ℂ)
11087, 94sstrd 3770 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ ℝ)
11187sselda 3760 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1))) → 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁))
1123adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
11396sselda 3760 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑥 ∈ ℂ)
114112, 113mulcld 10313 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝑋 · 𝑥) ∈ ℂ)
11519r19.21bi 3078 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
116115adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
117114, 116subcld 10645 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴) ∈ ℂ)
118111, 117syldan 585 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1))) → ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴) ∈ ℂ)
11989tgioo2 22884 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
120 iccntr 22902 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑘[,](𝑘 + 1))) = (𝑘(,)(𝑘 + 1)))
12167, 70, 120syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑘[,](𝑘 + 1))) = (𝑘(,)(𝑘 + 1)))
122109, 110, 118, 119, 89, 121dvmptntr 24024 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))))
123 reelprrecn 10280 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
125 ioossicc 12460 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁)
126125sseli 3756 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) → 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁))
127126, 117sylan2 586 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴) ∈ ℂ)
128 ovex 6873 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋𝐵) ∈ V
129128a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → (𝑋𝐵) ∈ V)
130126, 114sylan2 586 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → (𝑋 · 𝑥) ∈ ℂ)
1313adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
132125, 96syl5ss 3771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℂ)
133132sselda 3760 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝑥 ∈ ℂ)
134 1cnd 10287 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
135109sselda 3760 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
136 1cnd 10287 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
137124dvmptid 24010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1))
138125, 94syl5ss 3771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ)
139 iooretop 22847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀(,)𝑁) ∈ (topGen‘ran (,))
140139a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀(,)𝑁) ∈ (topGen‘ran (,)))
141124, 135, 136, 137, 138, 119, 89, 140dvmptres 24016 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 1))
142124, 133, 134, 141, 3dvmptcmul 24017 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝑋 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝑋 · 1)))
1433mulid1d 10310 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 · 1) = 𝑋)
144143mpteq2dv 4903 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝑋 · 1)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑋))
145142, 144eqtrd 2798 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝑋 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑋))
146126, 116sylan2 586 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
147 dvfsumabs.v . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝑉)
148147adantlr 706 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝑉)
149 dvfsumabs.b . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
150149adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
151124, 130, 131, 145, 146, 148, 150dvmptsub 24020 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝑋𝐵)))
15278rexrd 10342 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
153 iooss1 12411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℝ*𝑀𝑘) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)(𝑘 + 1)))
154152, 82, 153syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)(𝑘 + 1)))
15580rexrd 10342 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ*)
156 iooss2 12412 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
157155, 85, 156syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
158154, 157sstrd 3770 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
159 iooretop 22847 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ∈ (topGen‘ran (,))
160159a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ∈ (topGen‘ran (,)))
161124, 127, 129, 151, 158, 119, 89, 160dvmptres 24016 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))) = (𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋𝐵)))
162122, 161eqtrd 2798 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))) = (𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋𝐵)))
163162dmeqd 5493 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))) = dom (𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋𝐵)))
164 eqid 2764 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋𝐵))
165128, 164dmmpti 6200 . . . . . . . . 9 dom (𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋𝐵)) = (𝑘(,)(𝑘 + 1))
166163, 165syl6eq 2814 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))) = (𝑘(,)(𝑘 + 1)))
167162adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))) = (𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋𝐵)))
168167fveq1d 6376 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑥) = ((𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋𝐵))‘𝑥))
169 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))
170164fvmpt2 6479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ∧ (𝑋𝐵) ∈ V) → ((𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋𝐵))‘𝑥) = (𝑋𝐵))
171169, 128, 170sylancl 580 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → ((𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋𝐵))‘𝑥) = (𝑋𝐵))
172168, 171eqtrd 2798 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑥) = (𝑋𝐵))
173172fveq2d 6378 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑥)) = (abs‘(𝑋𝐵)))
174 dvfsumabs.l . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))) → (abs‘(𝑋𝐵)) ≤ 𝑌)
175174anassrs 459 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → (abs‘(𝑋𝐵)) ≤ 𝑌)
176173, 175eqbrtrd 4830 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑥)) ≤ 𝑌)
177176ralrimiva 3112 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))(abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑥)) ≤ 𝑌)
178 nfcv 2906 . . . . . . . . . . . 12 𝑥abs
179 nfcv 2906 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥
180 nfcv 2906 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 D
181 nfmpt1 4905 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))
182179, 180, 181nfov 6871 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))
183 nfcv 2906 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝑦
184182, 183nffv 6384 . . . . . . . . . . . 12 𝑥((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑦)
185178, 184nffv 6384 . . . . . . . . . . 11 𝑥(abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑦))
186 nfcv 2906 . . . . . . . . . . 11 𝑥
187 nfcv 2906 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑌
188185, 186, 187nfbr 4855 . . . . . . . . . 10 𝑥(abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑦)) ≤ 𝑌
189 2fveq3 6379 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑥)) = (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑦)))
190189breq1d 4818 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑥)) ≤ 𝑌 ↔ (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑦)) ≤ 𝑌))
191188, 190rspc 3454 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) → (∀𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))(abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑥)) ≤ 𝑌 → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑦)) ≤ 𝑌))
192177, 191mpan9 502 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑦)) ≤ 𝑌)
19367, 70, 108, 166, 62, 192dvlip 24046 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ ((𝑘 + 1) ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)))) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘(𝑘 + 1)) − ((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘𝑘))) ≤ (𝑌 · (abs‘((𝑘 + 1) − 𝑘))))
194193ex 401 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (((𝑘 + 1) ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1))) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘(𝑘 + 1)) − ((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘𝑘))) ≤ (𝑌 · (abs‘((𝑘 + 1) − 𝑘)))))
19574, 76, 194mp2and 690 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘(𝑘 + 1)) − ((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘𝑘))) ≤ (𝑌 · (abs‘((𝑘 + 1) − 𝑘))))
196 ovex 6873 . . . . . . . . 9 ((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴) ∈ V
197 nfcv 2906 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑘 + 1)
198 nfcv 2906 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝑋 · (𝑘 + 1))
199 nfcv 2906 . . . . . . . . . . 11 𝑥
200 nfcsb1v 3706 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝑘 + 1) / 𝑥𝐴
201198, 199, 200nfov 6871 . . . . . . . . . 10 𝑥((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴)
202 oveq2 6849 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · (𝑘 + 1)))
203 csbeq1a 3699 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑘 + 1) → 𝐴 = (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴)
204202, 203oveq12d 6859 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴) = ((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴))
205 eqid 2764 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))
206197, 201, 204, 205fvmptf 6489 . . . . . . . . 9 (((𝑘 + 1) ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ∧ ((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴) ∈ V) → ((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴))
20774, 196, 206sylancl 580 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴))
20867recnd 10321 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
2093, 208mulcld 10313 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 · 𝑘) ∈ ℂ)
210209, 37subcld 10645 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑋 · 𝑘) − 𝑘 / 𝑥𝐴) ∈ ℂ)
211 nfcv 2906 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑘
212 nfcv 2906 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝑋 · 𝑘)
213 nfcsb1v 3706 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑘 / 𝑥𝐴
214212, 199, 213nfov 6871 . . . . . . . . . 10 𝑥((𝑋 · 𝑘) − 𝑘 / 𝑥𝐴)
215 oveq2 6849 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑘 → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · 𝑘))
216 csbeq1a 3699 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑘𝐴 = 𝑘 / 𝑥𝐴)
217215, 216oveq12d 6859 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴) = ((𝑋 · 𝑘) − 𝑘 / 𝑥𝐴))
218211, 214, 217, 205fvmptf 6489 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ∧ ((𝑋 · 𝑘) − 𝑘 / 𝑥𝐴) ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘𝑘) = ((𝑋 · 𝑘) − 𝑘 / 𝑥𝐴))
21976, 210, 218syl2anc 579 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘𝑘) = ((𝑋 · 𝑘) − 𝑘 / 𝑥𝐴))
220207, 219oveq12d 6859 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘(𝑘 + 1)) − ((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘𝑘)) = (((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴) − ((𝑋 · 𝑘) − 𝑘 / 𝑥𝐴)))
221 peano2cn 10461 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
222208, 221syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
2233, 222mulcld 10313 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 · (𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
224223, 209, 32, 37sub4d 10694 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑋 · 𝑘)) − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴)) = (((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴) − ((𝑋 · 𝑘) − 𝑘 / 𝑥𝐴)))
225 1cnd 10287 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
226208, 225pncan2d 10647 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑘 + 1) − 𝑘) = 1)
227226oveq2d 6857 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 · ((𝑘 + 1) − 𝑘)) = (𝑋 · 1))
2283, 222, 208subdid 10739 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 · ((𝑘 + 1) − 𝑘)) = ((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑋 · 𝑘)))
229227, 228, 1433eqtr3d 2806 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑋 · 𝑘)) = 𝑋)
230229oveq1d 6856 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑋 · 𝑘)) − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴)) = (𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴)))
231220, 224, 2303eqtr2rd 2805 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴)) = (((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘(𝑘 + 1)) − ((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘𝑘)))
232231fveq2d 6378 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (abs‘(𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))) = (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘(𝑘 + 1)) − ((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘𝑘))))
233226fveq2d 6378 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (abs‘((𝑘 + 1) − 𝑘)) = (abs‘1))
234 abs1 14323 . . . . . . . 8 (abs‘1) = 1
235233, 234syl6eq 2814 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (abs‘((𝑘 + 1) − 𝑘)) = 1)
236235oveq2d 6857 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑌 · (abs‘((𝑘 + 1) − 𝑘))) = (𝑌 · 1))
23762recnd 10321 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑌 ∈ ℂ)
238237mulid1d 10310 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑌 · 1) = 𝑌)
239236, 238eqtr2d 2799 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑌 = (𝑌 · (abs‘((𝑘 + 1) − 𝑘))))
240195, 232, 2393brtr4d 4840 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (abs‘(𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))) ≤ 𝑌)
2412, 60, 62, 240fsumle 14816 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(abs‘(𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑌)
24259, 61, 63, 64, 241letrd 10447 . 2 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑌)
24356, 242eqbrtrrd 4832 1 (𝜑 → (abs‘(Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 − (𝐷𝐶))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3054  Vcvv 3349  csb 3690  cin 3730  wss 3731  {cpr 4335   class class class wbr 4808  cmpt 4887  dom cdm 5276  ran crn 5277  cres 5278  wf 6063  cfv 6067  (class class class)co 6841  Fincfn 8159  cc 10186  cr 10187  1c1 10189   + caddc 10191   · cmul 10193  *cxr 10326  cle 10328  cmin 10519  cz 11623  cuz 11885  (,)cioo 12376  [,]cicc 12379  ...cfz 12532  ..^cfzo 12672  abscabs 14260  Σcsu 14702  TopOpenctopn 16349  topGenctg 16365  fldccnfld 20018  intcnt 21100   Cn ccn 21307   ×t ctx 21642  cnccncf 22957   D cdv 23917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-inf2 8752  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265  ax-pre-sup 10266  ax-addf 10267  ax-mulf 10268
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-int 4633  df-iun 4677  df-iin 4678  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-se 5236  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-isom 6076  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-of 7094  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-supp 7497  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-1o 7763  df-2o 7764  df-oadd 7767  df-er 7946  df-map 8061  df-pm 8062  df-ixp 8113  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-fin 8163  df-fsupp 8482  df-fi 8523  df-sup 8554  df-inf 8555  df-oi 8621  df-card 9015  df-cda 9242  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-div 10938  df-nn 11274  df-2 11334  df-3 11335  df-4 11336  df-5 11337  df-6 11338  df-7 11339  df-8 11340  df-9 11341  df-n0 11538  df-z 11624  df-dec 11740  df-uz 11886  df-q 11989  df-rp 12028  df-xneg 12145  df-xadd 12146  df-xmul 12147  df-ioo 12380  df-ico 12382  df-icc 12383  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14125  df-re 14126  df-im 14127  df-sqrt 14261  df-abs 14262  df-clim 14505  df-sum 14703  df-struct 16133  df-ndx 16134  df-slot 16135  df-base 16137  df-sets 16138  df-ress 16139  df-plusg 16228  df-mulr 16229  df-starv 16230  df-sca 16231  df-vsca 16232  df-ip 16233  df-tset 16234  df-ple 16235  df-ds 16237  df-unif 16238  df-hom 16239  df-cco 16240  df-rest 16350  df-topn 16351  df-0g 16369  df-gsum 16370  df-topgen 16371  df-pt 16372  df-prds 16375  df-xrs 16429  df-qtop 16434  df-imas 16435  df-xps 16437  df-mre 16513  df-mrc 16514  df-acs 16516  df-mgm 17509  df-sgrp 17551  df-mnd 17562  df-submnd 17603  df-mulg 17809  df-cntz 18014  df-cmn 18460  df-psmet 20010  df-xmet 20011  df-met 20012  df-bl 20013  df-mopn 20014  df-fbas 20015  df-fg 20016  df-cnfld 20019  df-top 20977  df-topon 20994  df-topsp 21016  df-bases 21029  df-cld 21102  df-ntr 21103  df-cls 21104  df-nei 21181  df-lp 21219  df-perf 21220  df-cn 21310  df-cnp 21311  df-haus 21398  df-cmp 21469  df-tx 21644  df-hmeo 21837  df-fil 21928  df-fm 22020  df-flim 22021  df-flf 22022  df-xms 22403  df-ms 22404  df-tms 22405  df-cncf 22959  df-limc 23920  df-dv 23921
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator