Theorem dvfsumabs 25997

Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsumabs.m	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
dvfsumabs.a	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
dvfsumabs.v	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvfsumabs.b	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
dvfsumabs.c	⊢ (𝑥 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐶)
dvfsumabs.d	⊢ (𝑥 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐷)
dvfsumabs.x	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
dvfsumabs.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑌 ∈ ℝ)
dvfsumabs.l	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))) → (abs‘(𝑋 − 𝐵)) ≤ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
dvfsumabs	⊢ (𝜑 → (abs‘(Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 − (𝐷 − 𝐶))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑌)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑥,𝑘,𝑀   𝑘,𝑁,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝑉   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumabs

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzofi 13909	. . . . . 6 ⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
3		dvfsumabs.x	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
4		dvfsumabs.m	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		eluzel2 12768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		eluzelz 12773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
8	4, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
9		fzval2 13438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀[,]𝑁) ∩ ℤ))
10	6, 8, 9	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ((𝑀[,]𝑁) ∩ ℤ))
11		inss1 4191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀[,]𝑁) ∩ ℤ) ⊆ (𝑀[,]𝑁)
12	10, 11	eqsstrdi 3980	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁))
13	12	sselda 3935	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁))
14		dvfsumabs.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
15		cncff 24854	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℂ)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℂ)
17		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴)
18	17	fmpt 7064	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℂ)
19	16, 18	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
20		nfcsb1v 3875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴
21	20	nfel1 2916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ
22		csbeq1a 3865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)
23	22	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ))
24	21, 23	rspc 3566	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁) → (∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℂ → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ))
25	19, 24	mpan9 506	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
26	13, 25	syldan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
27	26	ralrimiva 3130	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
28		fzofzp1 13692	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
29		csbeq1 3854	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑘 + 1) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = ⦋(𝑘 + 1) / 𝑥⦌𝐴)
30	29	eleq1d 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑘 + 1) → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ ↔ ⦋(𝑘 + 1) / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ))
31	30	rspccva 3577	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → ⦋(𝑘 + 1) / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
32	27, 28, 31	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ⦋(𝑘 + 1) / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
33		elfzofz 13603	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
34		csbeq1 3854	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐴)
35	34	eleq1d 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ))
36	35	rspccva 3577	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
37	27, 33, 36	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
38	32, 37	subcld 11504	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (⦋(𝑘 + 1) / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℂ)
39	2, 3, 38	fsumsub 15723	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑋 − (⦋(𝑘 + 1) / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐴)) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 − Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(⦋(𝑘 + 1) / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐴)))
40		vex 3446	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
41	40	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑀 → 𝑦 ∈ V)
42		eqeq2 2749	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑀 → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑀))
43	42	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = 𝑀 ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝑥 = 𝑀)
44		dvfsumabs.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐶)
45	43, 44	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = 𝑀 ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝐴 = 𝐶)
46	41, 45	csbied 3887	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑀 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = 𝐶)
47	40	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → 𝑦 ∈ V)
48		eqeq2 2749	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑁))
49	48	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝑥 = 𝑁)
50		dvfsumabs.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐷)
51	49, 50	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝐴 = 𝐷)
52	47, 51	csbied 3887	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑁 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = 𝐷)
53	34, 29, 46, 52, 4, 26	telfsumo2 15738	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(⦋(𝑘 + 1) / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐴) = (𝐷 − 𝐶))
54	53	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 − Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(⦋(𝑘 + 1) / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐴)) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 − (𝐷 − 𝐶)))
55	39, 54	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑋 − (⦋(𝑘 + 1) / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐴)) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 − (𝐷 − 𝐶)))
56	55	fveq2d 6846	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑋 − (⦋(𝑘 + 1) / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐴))) = (abs‘(Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 − (𝐷 − 𝐶))))
57	3, 38	subcld 11504	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 − (⦋(𝑘 + 1) / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ ℂ)
58	2, 57	fsumcl 15668	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑋 − (⦋(𝑘 + 1) / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐴)) ∈ ℂ)
59	58	abscld 15374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑋 − (⦋(𝑘 + 1) / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐴))) ∈ ℝ)
60	57	abscld 15374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (abs‘(𝑋 − (⦋(𝑘 + 1) / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐴))) ∈ ℝ)
61	2, 60	fsumrecl 15669	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(abs‘(𝑋 − (⦋(𝑘 + 1) / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐴))) ∈ ℝ)
62		dvfsumabs.y	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑌 ∈ ℝ)
63	2, 62	fsumrecl 15669	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑌 ∈ ℝ)
64	2, 57	fsumabs 15736	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑋 − (⦋(𝑘 + 1) / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐴))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(abs‘(𝑋 − (⦋(𝑘 + 1) / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐴))))
65		elfzoelz 13587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
66	65	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
67	66	zred 12608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
68	67	rexrd 11194	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ*)
69		peano2re 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
70	67, 69	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
71	70	rexrd 11194	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ*)
72	67	lep1d 12085	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
73		ubicc2 13393	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ* ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ* ∧ 𝑘 ≤ (𝑘 + 1)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)))
74	68, 71, 72, 73	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)))
75		lbicc2 13392	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ* ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ* ∧ 𝑘 ≤ (𝑘 + 1)) → 𝑘 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)))
76	68, 71, 72, 75	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)))
77	6	zred 12608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
78	77	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
79	8	zred 12608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
80	79	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
81		elfzole1 13595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑘)
82	81	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝑘)
83	28	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
84		elfzle2 13456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)
86		iccss 13342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)) → (𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀[,]𝑁))
87	78, 80, 82, 85, 86	syl22anc 839	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀[,]𝑁))
88	87	resmptd 6007	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)) ↾ (𝑘[,](𝑘 + 1))) = (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))
89		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
90	89	subcn 24823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
91	90	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
92		iccssre 13357	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
93	77, 79, 92	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
94	93	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
95		ax-resscn 11095	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
96	94, 95	sstrdi 3948	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℂ)
97		ssid 3958	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
98	97	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ℂ ⊆ ℂ)
99		cncfmptc 24873	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝑋) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
100	3, 96, 98, 99	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝑋) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
101		cncfmptid 24874	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀[,]𝑁) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝑥) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
102	96, 97, 101	sylancl 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝑥) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
103	100, 102	mulcncf 25414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝑋 · 𝑥)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
104	14	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
105	89, 91, 103, 104	cncfmpt2f 24876	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
106		rescncf 24858	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀[,]𝑁) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)) ↾ (𝑘[,](𝑘 + 1))) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℂ)))
107	87, 105, 106	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)) ↾ (𝑘[,](𝑘 + 1))) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℂ))
108	88, 107	eqeltrrd 2838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℂ))
109	95	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ℝ ⊆ ℂ)
110	87, 94	sstrd 3946	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ ℝ)
111	87	sselda 3935	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1))) → 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁))
112	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
113	96	sselda 3935	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑥 ∈ ℂ)
114	112, 113	mulcld 11164	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝑋 · 𝑥) ∈ ℂ)
115	19	r19.21bi 3230	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
116	115	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
117	114, 116	subcld 11504	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴) ∈ ℂ)
118	111, 117	syldan 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1))) → ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴) ∈ ℂ)
119		tgioo4 24761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
120		iccntr 24778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑘[,](𝑘 + 1))) = (𝑘(,)(𝑘 + 1)))
121	67, 70, 120	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑘[,](𝑘 + 1))) = (𝑘(,)(𝑘 + 1)))
122	109, 110, 118, 119, 89, 121	dvmptntr 25943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))))
123		reelprrecn 11130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
125		ioossicc 13361	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁)
126	125	sseli 3931	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) → 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁))
127	126, 117	sylan2 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴) ∈ ℂ)
128		ovex 7401	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 − 𝐵) ∈ V
129	128	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → (𝑋 − 𝐵) ∈ V)
130	126, 114	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → (𝑋 · 𝑥) ∈ ℂ)
131	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
132	125, 96	sstrid 3947	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℂ)
133	132	sselda 3935	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝑥 ∈ ℂ)
134		1cnd 11139	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
135	109	sselda 3935	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
136		1cnd 11139	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
137	124	dvmptid 25929	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1))
138	125, 94	sstrid 3947	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ)
139		iooretop 24721	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀(,)𝑁) ∈ (topGen‘ran (,))
140	139	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀(,)𝑁) ∈ (topGen‘ran (,)))
141	124, 135, 136, 137, 138, 119, 89, 140	dvmptres 25935	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 1))
142	124, 133, 134, 141, 3	dvmptcmul 25936	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝑋 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝑋 · 1)))
143	3	mulridd 11161	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 · 1) = 𝑋)
144	143	mpteq2dv 5194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝑋 · 1)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑋))
145	142, 144	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝑋 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑋))
146	126, 116	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
147		dvfsumabs.v	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
148	147	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
149		dvfsumabs.b	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
150	149	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
151	124, 130, 131, 145, 146, 148, 150	dvmptsub 25939	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝑋 − 𝐵)))
152	78	rexrd 11194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
153		iooss1 13308	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)(𝑘 + 1)))
154	152, 82, 153	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)(𝑘 + 1)))
155	80	rexrd 11194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ*)
156		iooss2 13309	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
157	155, 85, 156	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
158	154, 157	sstrd 3946	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
159		iooretop 24721	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ∈ (topGen‘ran (,))
160	159	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ∈ (topGen‘ran (,)))
161	124, 127, 129, 151, 158, 119, 89, 160	dvmptres 25935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))) = (𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋 − 𝐵)))
162	122, 161	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))) = (𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋 − 𝐵)))
163	162	dmeqd 5862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))) = dom (𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋 − 𝐵)))
164		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋 − 𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋 − 𝐵))
165	128, 164	dmmpti 6644	. . . . . . . . 9 ⊢ dom (𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋 − 𝐵)) = (𝑘(,)(𝑘 + 1))
166	163, 165	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))) = (𝑘(,)(𝑘 + 1)))
167	162	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))) = (𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋 − 𝐵)))
168	167	fveq1d 6844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑥) = ((𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋 − 𝐵))‘𝑥))
169		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))
170	164	fvmpt2 6961	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ∧ (𝑋 − 𝐵) ∈ V) → ((𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋 − 𝐵))‘𝑥) = (𝑋 − 𝐵))
171	169, 128, 170	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → ((𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋 − 𝐵))‘𝑥) = (𝑋 − 𝐵))
172	168, 171	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑥) = (𝑋 − 𝐵))
173	172	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑥)) = (abs‘(𝑋 − 𝐵)))
174		dvfsumabs.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))) → (abs‘(𝑋 − 𝐵)) ≤ 𝑌)
175	174	anassrs 467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → (abs‘(𝑋 − 𝐵)) ≤ 𝑌)
176	173, 175	eqbrtrd 5122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑥)) ≤ 𝑌)
177	176	ralrimiva 3130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))(abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑥)) ≤ 𝑌)
178		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥abs
179		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥ℝ
180		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥 D
181		nfmpt1 5199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))
182	179, 180, 181	nfov 7398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))
183		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
184	182, 183	nffv 6852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑦)
185	178, 184	nffv 6852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑦))
186		nfcv 2899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
187		nfcv 2899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝑌
188	185, 186, 187	nfbr 5147	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑦)) ≤ 𝑌
189		2fveq3 6847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑥)) = (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑦)))
190	189	breq1d 5110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑥)) ≤ 𝑌 ↔ (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑦)) ≤ 𝑌))
191	188, 190	rspc 3566	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) → (∀𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))(abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑥)) ≤ 𝑌 → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑦)) ≤ 𝑌))
192	177, 191	mpan9 506	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑦)) ≤ 𝑌)
193	67, 70, 108, 166, 62, 192	dvlip 25966	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ ((𝑘 + 1) ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)))) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘(𝑘 + 1)) − ((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘𝑘))) ≤ (𝑌 · (abs‘((𝑘 + 1) − 𝑘))))
194	193	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (((𝑘 + 1) ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1))) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘(𝑘 + 1)) − ((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘𝑘))) ≤ (𝑌 · (abs‘((𝑘 + 1) − 𝑘)))))
195	74, 76, 194	mp2and 700	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘(𝑘 + 1)) − ((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘𝑘))) ≤ (𝑌 · (abs‘((𝑘 + 1) − 𝑘))))
196		ovex 7401	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 · (𝑘 + 1)) − ⦋(𝑘 + 1) / 𝑥⦌𝐴) ∈ V
197		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑘 + 1)
198		nfcv 2899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑋 · (𝑘 + 1))
199		nfcv 2899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 −
200		nfcsb1v 3875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥⦋(𝑘 + 1) / 𝑥⦌𝐴
201	198, 199, 200	nfov 7398	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑋 · (𝑘 + 1)) − ⦋(𝑘 + 1) / 𝑥⦌𝐴)
202		oveq2 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · (𝑘 + 1)))
203		csbeq1a 3865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → 𝐴 = ⦋(𝑘 + 1) / 𝑥⦌𝐴)
204	202, 203	oveq12d 7386	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴) = ((𝑋 · (𝑘 + 1)) − ⦋(𝑘 + 1) / 𝑥⦌𝐴))
205		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))
206	197, 201, 204, 205	fvmptf 6971	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑘 + 1) ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ∧ ((𝑋 · (𝑘 + 1)) − ⦋(𝑘 + 1) / 𝑥⦌𝐴) ∈ V) → ((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑋 · (𝑘 + 1)) − ⦋(𝑘 + 1) / 𝑥⦌𝐴))
207	74, 196, 206	sylancl 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑋 · (𝑘 + 1)) − ⦋(𝑘 + 1) / 𝑥⦌𝐴))
208	67	recnd 11172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
209	3, 208	mulcld 11164	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 · 𝑘) ∈ ℂ)
210	209, 37	subcld 11504	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑋 · 𝑘) − ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℂ)
211		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝑘
212		nfcv 2899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑋 · 𝑘)
213		nfcsb1v 3875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐴
214	212, 199, 213	nfov 7398	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑋 · 𝑘) − ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐴)
215		oveq2 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · 𝑘))
216		csbeq1a 3865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐴 = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐴)
217	215, 216	oveq12d 7386	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴) = ((𝑋 · 𝑘) − ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐴))
218	211, 214, 217, 205	fvmptf 6971	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ∧ ((𝑋 · 𝑘) − ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘𝑘) = ((𝑋 · 𝑘) − ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐴))
219	76, 210, 218	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘𝑘) = ((𝑋 · 𝑘) − ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐴))
220	207, 219	oveq12d 7386	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘(𝑘 + 1)) − ((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘𝑘)) = (((𝑋 · (𝑘 + 1)) − ⦋(𝑘 + 1) / 𝑥⦌𝐴) − ((𝑋 · 𝑘) − ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐴)))
221		peano2cn 11317	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
222	208, 221	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
223	3, 222	mulcld 11164	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 · (𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
224	223, 209, 32, 37	sub4d 11553	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑋 · 𝑘)) − (⦋(𝑘 + 1) / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐴)) = (((𝑋 · (𝑘 + 1)) − ⦋(𝑘 + 1) / 𝑥⦌𝐴) − ((𝑋 · 𝑘) − ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐴)))
225		1cnd 11139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
226	208, 225	pncan2d 11506	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑘 + 1) − 𝑘) = 1)
227	226	oveq2d 7384	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 · ((𝑘 + 1) − 𝑘)) = (𝑋 · 1))
228	3, 222, 208	subdid 11605	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 · ((𝑘 + 1) − 𝑘)) = ((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑋 · 𝑘)))
229	227, 228, 143	3eqtr3d 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑋 · 𝑘)) = 𝑋)
230	229	oveq1d 7383	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑋 · 𝑘)) − (⦋(𝑘 + 1) / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐴)) = (𝑋 − (⦋(𝑘 + 1) / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐴)))
231	220, 224, 230	3eqtr2rd 2779	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 − (⦋(𝑘 + 1) / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐴)) = (((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘(𝑘 + 1)) − ((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘𝑘)))
232	231	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (abs‘(𝑋 − (⦋(𝑘 + 1) / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐴))) = (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘(𝑘 + 1)) − ((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘𝑘))))
233	226	fveq2d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (abs‘((𝑘 + 1) − 𝑘)) = (abs‘1))
234		abs1 15232	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘1) = 1
235	233, 234	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (abs‘((𝑘 + 1) − 𝑘)) = 1)
236	235	oveq2d 7384	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑌 · (abs‘((𝑘 + 1) − 𝑘))) = (𝑌 · 1))
237	62	recnd 11172	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑌 ∈ ℂ)
238	237	mulridd 11161	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑌 · 1) = 𝑌)
239	236, 238	eqtr2d 2773	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑌 = (𝑌 · (abs‘((𝑘 + 1) − 𝑘))))
240	195, 232, 239	3brtr4d 5132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (abs‘(𝑋 − (⦋(𝑘 + 1) / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐴))) ≤ 𝑌)
241	2, 60, 62, 240	fsumle 15734	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(abs‘(𝑋 − (⦋(𝑘 + 1) / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐴))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑌)
242	59, 61, 63, 64, 241	letrd 11302	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑋 − (⦋(𝑘 + 1) / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐴))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑌)
243	56, 242	eqbrtrrd 5124	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 − (𝐷 − 𝐶))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3442  ⦋csb 3851   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  {cpr 4584   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  dom cdm 5632  ran crn 5633   ↾ cres 5634  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Fincfn 8895  ℂcc 11036  ℝcr 11037  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  ℝ^*cxr 11177   ≤ cle 11179   − cmin 11376  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  (,)cioo 13273  [,]cicc 13276  ...cfz 13435  ..^cfzo 13582  abscabs 15169  Σcsu 15621  TopOpenctopn 17353  topGenctg 17369  ℂ_fldccnfld 21321  intcnt 22973   Cn ccn 23180   ×_t ctx 23516  –cn→ccncf 24837   D cdv 25832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-sum 15622  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mulg 19010  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-fbas 21318  df-fg 21319  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977  df-nei 23054  df-lp 23092  df-perf 23093  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-haus 23271  df-cmp 23343  df-tx 23518  df-hmeo 23711  df-fil 23802  df-fm 23894  df-flim 23895  df-flf 23896  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-cncf 24839  df-limc 25835  df-dv 25836

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