MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumabs 25387
Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsumabs.m (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
dvfsumabs.a (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cnβ†’β„‚))
dvfsumabs.v ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
dvfsumabs.b (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡))
dvfsumabs.c (π‘₯ = 𝑀 β†’ 𝐴 = 𝐢)
dvfsumabs.d (π‘₯ = 𝑁 β†’ 𝐴 = 𝐷)
dvfsumabs.x ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
dvfsumabs.y ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
dvfsumabs.l ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)))) β†’ (absβ€˜(𝑋 βˆ’ 𝐡)) ≀ π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
dvfsumabs (πœ‘ β†’ (absβ€˜(Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 βˆ’ (𝐷 βˆ’ 𝐢))) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)π‘Œ)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘₯,π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑁,π‘₯   πœ‘,π‘˜,π‘₯   π‘₯,𝑋   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝑉   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯,π‘˜)   𝐢(π‘˜)   𝐷(π‘˜)   𝑉(π‘˜)   𝑋(π‘˜)   π‘Œ(π‘˜)

Proof of Theorem dvfsumabs
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 13879 . . . . . 6 (𝑀..^𝑁) ∈ Fin
21a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
3 dvfsumabs.x . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
4 dvfsumabs.m . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
5 eluzel2 12768 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
7 eluzelz 12773 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
84, 7syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
9 fzval2 13427 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝑀...𝑁) = ((𝑀[,]𝑁) ∩ β„€))
106, 8, 9syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑀...𝑁) = ((𝑀[,]𝑁) ∩ β„€))
11 inss1 4188 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀[,]𝑁) ∩ β„€) βŠ† (𝑀[,]𝑁)
1210, 11eqsstrdi 3998 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑀...𝑁) βŠ† (𝑀[,]𝑁))
1312sselda 3944 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ 𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁))
14 dvfsumabs.a . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cnβ†’β„‚))
15 cncff 24256 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cnβ†’β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)βŸΆβ„‚)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)βŸΆβ„‚)
17 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) = (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴)
1817fmpt 7058 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ β„‚ ↔ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)βŸΆβ„‚)
1916, 18sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ β„‚)
20 nfcsb1v 3880 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴
2120nfel1 2923 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ β„‚
22 csbeq1a 3869 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝐴 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴)
2322eleq1d 2822 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐴 ∈ β„‚ ↔ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ β„‚))
2421, 23rspc 3569 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ β„‚ β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ β„‚))
2519, 24mpan9 507 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ β„‚)
2613, 25syldan 591 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ β„‚)
2726ralrimiva 3143 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑀...𝑁)⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ β„‚)
28 fzofzp1 13669 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
29 csbeq1 3858 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (π‘˜ + 1) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 = ⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴)
3029eleq1d 2822 . . . . . . . 8 (𝑦 = (π‘˜ + 1) β†’ (⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ β„‚ ↔ ⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 ∈ β„‚))
3130rspccva 3580 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘¦ ∈ (𝑀...𝑁)⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ ⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 ∈ β„‚)
3227, 28, 31syl2an 596 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 ∈ β„‚)
33 elfzofz 13588 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) β†’ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁))
34 csbeq1 3858 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘˜ β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 = β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴)
3534eleq1d 2822 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘˜ β†’ (⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ β„‚ ↔ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴 ∈ β„‚))
3635rspccva 3580 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘¦ ∈ (𝑀...𝑁)⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴 ∈ β„‚)
3727, 33, 36syl2an 596 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴 ∈ β„‚)
3832, 37subcld 11512 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴) ∈ β„‚)
392, 3, 38fsumsub 15673 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑋 βˆ’ (⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴)) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 βˆ’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)(⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴)))
40 vex 3449 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
4140a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ V)
42 eqeq2 2748 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑀 β†’ (π‘₯ = 𝑦 ↔ π‘₯ = 𝑀))
4342biimpa 477 . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝑀 ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ π‘₯ = 𝑀)
44 dvfsumabs.c . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑀 β†’ 𝐴 = 𝐢)
4543, 44syl 17 . . . . . . 7 ((𝑦 = 𝑀 ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ 𝐴 = 𝐢)
4641, 45csbied 3893 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑀 β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 = 𝐢)
4740a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑁 β†’ 𝑦 ∈ V)
48 eqeq2 2748 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑁 β†’ (π‘₯ = 𝑦 ↔ π‘₯ = 𝑁))
4948biimpa 477 . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝑁 ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ π‘₯ = 𝑁)
50 dvfsumabs.d . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑁 β†’ 𝐴 = 𝐷)
5149, 50syl 17 . . . . . . 7 ((𝑦 = 𝑁 ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ 𝐴 = 𝐷)
5247, 51csbied 3893 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑁 β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 = 𝐷)
5334, 29, 46, 52, 4, 26telfsumo2 15688 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)(⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴) = (𝐷 βˆ’ 𝐢))
5453oveq2d 7373 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 βˆ’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)(⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴)) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 βˆ’ (𝐷 βˆ’ 𝐢)))
5539, 54eqtrd 2776 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑋 βˆ’ (⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴)) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 βˆ’ (𝐷 βˆ’ 𝐢)))
5655fveq2d 6846 . 2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑋 βˆ’ (⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴))) = (absβ€˜(Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 βˆ’ (𝐷 βˆ’ 𝐢))))
573, 38subcld 11512 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑋 βˆ’ (⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴)) ∈ β„‚)
582, 57fsumcl 15618 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑋 βˆ’ (⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴)) ∈ β„‚)
5958abscld 15321 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑋 βˆ’ (⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴))) ∈ ℝ)
6057abscld 15321 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (absβ€˜(𝑋 βˆ’ (⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴))) ∈ ℝ)
612, 60fsumrecl 15619 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)(absβ€˜(𝑋 βˆ’ (⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴))) ∈ ℝ)
62 dvfsumabs.y . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
632, 62fsumrecl 15619 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)π‘Œ ∈ ℝ)
642, 57fsumabs 15686 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑋 βˆ’ (⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴))) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)(absβ€˜(𝑋 βˆ’ (⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴))))
65 elfzoelz 13572 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
6665adantl 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
6766zred 12607 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
6867rexrd 11205 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ*)
69 peano2re 11328 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ ℝ β†’ (π‘˜ + 1) ∈ ℝ)
7067, 69syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ ℝ)
7170rexrd 11205 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ ℝ*)
7267lep1d 12086 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ π‘˜ ≀ (π‘˜ + 1))
73 ubicc2 13382 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ ℝ* ∧ (π‘˜ + 1) ∈ ℝ* ∧ π‘˜ ≀ (π‘˜ + 1)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)))
7468, 71, 72, 73syl3anc 1371 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)))
75 lbicc2 13381 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ ℝ* ∧ (π‘˜ + 1) ∈ ℝ* ∧ π‘˜ ≀ (π‘˜ + 1)) β†’ π‘˜ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)))
7668, 71, 72, 75syl3anc 1371 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)))
776zred 12607 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
7877adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
798zred 12607 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
8079adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
81 elfzole1 13580 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) β†’ 𝑀 ≀ π‘˜)
8281adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑀 ≀ π‘˜)
8328adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
84 elfzle2 13445 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ + 1) ∈ (𝑀...𝑁) β†’ (π‘˜ + 1) ≀ 𝑁)
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜ + 1) ≀ 𝑁)
86 iccss 13332 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ≀ π‘˜ ∧ (π‘˜ + 1) ≀ 𝑁)) β†’ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀[,]𝑁))
8778, 80, 82, 85, 86syl22anc 837 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀[,]𝑁))
8887resmptd 5994 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴)) β†Ύ (π‘˜[,](π‘˜ + 1))) = (π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴)))
89 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
9089subcn 24229 . . . . . . . . . . . 12 βˆ’ ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
9190a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ βˆ’ ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
92 iccssre 13346 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ (𝑀[,]𝑁) βŠ† ℝ)
9377, 79, 92syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑀[,]𝑁) βŠ† ℝ)
9493adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑀[,]𝑁) βŠ† ℝ)
95 ax-resscn 11108 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ βŠ† β„‚
9694, 95sstrdi 3956 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑀[,]𝑁) βŠ† β„‚)
97 ssid 3966 . . . . . . . . . . . . . 14 β„‚ βŠ† β„‚
9897a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
99 cncfmptc 24275 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ β„‚ ∧ (𝑀[,]𝑁) βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝑋) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cnβ†’β„‚))
1003, 96, 98, 99syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝑋) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cnβ†’β„‚))
101 cncfmptid 24276 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀[,]𝑁) βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ π‘₯) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cnβ†’β„‚))
10296, 97, 101sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ π‘₯) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cnβ†’β„‚))
103100, 102mulcncf 24810 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝑋 Β· π‘₯)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cnβ†’β„‚))
10414adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cnβ†’β„‚))
10589, 91, 103, 104cncfmpt2f 24278 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cnβ†’β„‚))
106 rescncf 24260 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜[,](π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀[,]𝑁) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cnβ†’β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴)) β†Ύ (π‘˜[,](π‘˜ + 1))) ∈ ((π‘˜[,](π‘˜ + 1))–cnβ†’β„‚)))
10787, 105, 106sylc 65 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴)) β†Ύ (π‘˜[,](π‘˜ + 1))) ∈ ((π‘˜[,](π‘˜ + 1))–cnβ†’β„‚))
10888, 107eqeltrrd 2838 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴)) ∈ ((π‘˜[,](π‘˜ + 1))–cnβ†’β„‚))
10995a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
11087, 94sstrd 3954 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) βŠ† ℝ)
11187sselda 3944 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1))) β†’ π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁))
1123adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
11396sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
114112, 113mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ (𝑋 Β· π‘₯) ∈ β„‚)
11519r19.21bi 3234 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
116115adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
117114, 116subcld 11512 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
118111, 117syldan 591 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1))) β†’ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
11989tgioo2 24166 . . . . . . . . . . . 12 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
120 iccntr 24184 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ (π‘˜ + 1) ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(π‘˜[,](π‘˜ + 1))) = (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)))
12167, 70, 120syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(π‘˜[,](π‘˜ + 1))) = (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)))
122109, 110, 118, 119, 89, 121dvmptntr 25335 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴))) = (ℝ D (π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴))))
123 reelprrecn 11143 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
125 ioossicc 13350 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀(,)𝑁) βŠ† (𝑀[,]𝑁)
126125sseli 3940 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) β†’ π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁))
127126, 117sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
128 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 βˆ’ 𝐡) ∈ V
129128a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝐡) ∈ V)
130126, 114sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ (𝑋 Β· π‘₯) ∈ β„‚)
1313adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
132125, 96sstrid 3955 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑀(,)𝑁) βŠ† β„‚)
133132sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
134 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 1 ∈ β„‚)
135109sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
136 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ β„‚)
137124dvmptid 25321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ ↦ π‘₯)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ 1))
138125, 94sstrid 3955 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑀(,)𝑁) βŠ† ℝ)
139 iooretop 24129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀(,)𝑁) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
140139a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑀(,)𝑁) ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
141124, 135, 136, 137, 138, 119, 89, 140dvmptres 25327 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 1))
142124, 133, 134, 141, 3dvmptcmul 25328 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝑋 Β· π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝑋 Β· 1)))
1433mulid1d 11172 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑋 Β· 1) = 𝑋)
144143mpteq2dv 5207 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝑋 Β· 1)) = (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑋))
145142, 144eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝑋 Β· π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑋))
146126, 116sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
147 dvfsumabs.v . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
148147adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
149 dvfsumabs.b . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡))
150149adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡))
151124, 130, 131, 145, 146, 148, 150dvmptsub 25331 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴))) = (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝑋 βˆ’ 𝐡)))
15278rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
153 iooss1 13299 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) β†’ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀(,)(π‘˜ + 1)))
154152, 82, 153syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀(,)(π‘˜ + 1)))
15580rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ*)
156 iooss2 13300 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ (π‘˜ + 1) ≀ 𝑁) β†’ (𝑀(,)(π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀(,)𝑁))
157155, 85, 156syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑀(,)(π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀(,)𝑁))
158154, 157sstrd 3954 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀(,)𝑁))
159 iooretop 24129 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
160159a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
161124, 127, 129, 151, 158, 119, 89, 160dvmptres 25327 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴))) = (π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ↦ (𝑋 βˆ’ 𝐡)))
162122, 161eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴))) = (π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ↦ (𝑋 βˆ’ 𝐡)))
163162dmeqd 5861 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴))) = dom (π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ↦ (𝑋 βˆ’ 𝐡)))
164 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ↦ (𝑋 βˆ’ 𝐡)) = (π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ↦ (𝑋 βˆ’ 𝐡))
165128, 164dmmpti 6645 . . . . . . . . 9 dom (π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ↦ (𝑋 βˆ’ 𝐡)) = (π‘˜(,)(π‘˜ + 1))
166163, 165eqtrdi 2792 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴))) = (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)))
167162adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1))) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴))) = (π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ↦ (𝑋 βˆ’ 𝐡)))
168167fveq1d 6844 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1))) β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴)))β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ↦ (𝑋 βˆ’ 𝐡))β€˜π‘₯))
169 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1))) β†’ π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)))
170164fvmpt2 6959 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ∧ (𝑋 βˆ’ 𝐡) ∈ V) β†’ ((π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ↦ (𝑋 βˆ’ 𝐡))β€˜π‘₯) = (𝑋 βˆ’ 𝐡))
171169, 128, 170sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1))) β†’ ((π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ↦ (𝑋 βˆ’ 𝐡))β€˜π‘₯) = (𝑋 βˆ’ 𝐡))
172168, 171eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1))) β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴)))β€˜π‘₯) = (𝑋 βˆ’ 𝐡))
173172fveq2d 6846 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1))) β†’ (absβ€˜((ℝ D (π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴)))β€˜π‘₯)) = (absβ€˜(𝑋 βˆ’ 𝐡)))
174 dvfsumabs.l . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)))) β†’ (absβ€˜(𝑋 βˆ’ 𝐡)) ≀ π‘Œ)
175174anassrs 468 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1))) β†’ (absβ€˜(𝑋 βˆ’ 𝐡)) ≀ π‘Œ)
176173, 175eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1))) β†’ (absβ€˜((ℝ D (π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴)))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Œ)
177176ralrimiva 3143 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1))(absβ€˜((ℝ D (π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴)))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Œ)
178 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯abs
179 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯ℝ
180 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯ D
181 nfmpt1 5213 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴))
182179, 180, 181nfov 7387 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯(ℝ D (π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴)))
183 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯𝑦
184182, 183nffv 6852 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯((ℝ D (π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴)))β€˜π‘¦)
185178, 184nffv 6852 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯(absβ€˜((ℝ D (π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴)))β€˜π‘¦))
186 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯ ≀
187 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯π‘Œ
188185, 186, 187nfbr 5152 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(absβ€˜((ℝ D (π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴)))β€˜π‘¦)) ≀ π‘Œ
189 2fveq3 6847 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (absβ€˜((ℝ D (π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴)))β€˜π‘₯)) = (absβ€˜((ℝ D (π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴)))β€˜π‘¦)))
190189breq1d 5115 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((absβ€˜((ℝ D (π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴)))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Œ ↔ (absβ€˜((ℝ D (π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴)))β€˜π‘¦)) ≀ π‘Œ))
191188, 190rspc 3569 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1))(absβ€˜((ℝ D (π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴)))β€˜π‘₯)) ≀ π‘Œ β†’ (absβ€˜((ℝ D (π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴)))β€˜π‘¦)) ≀ π‘Œ))
192177, 191mpan9 507 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1))) β†’ (absβ€˜((ℝ D (π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴)))β€˜π‘¦)) ≀ π‘Œ)
19367, 70, 108, 166, 62, 192dvlip 25357 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ ((π‘˜ + 1) ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ∧ π‘˜ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)))) β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴))β€˜(π‘˜ + 1)) βˆ’ ((π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴))β€˜π‘˜))) ≀ (π‘Œ Β· (absβ€˜((π‘˜ + 1) βˆ’ π‘˜))))
194193ex 413 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (((π‘˜ + 1) ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ∧ π‘˜ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1))) β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴))β€˜(π‘˜ + 1)) βˆ’ ((π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴))β€˜π‘˜))) ≀ (π‘Œ Β· (absβ€˜((π‘˜ + 1) βˆ’ π‘˜)))))
19574, 76, 194mp2and 697 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴))β€˜(π‘˜ + 1)) βˆ’ ((π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴))β€˜π‘˜))) ≀ (π‘Œ Β· (absβ€˜((π‘˜ + 1) βˆ’ π‘˜))))
196 ovex 7390 . . . . . . . . 9 ((𝑋 Β· (π‘˜ + 1)) βˆ’ ⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴) ∈ V
197 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(π‘˜ + 1)
198 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯(𝑋 Β· (π‘˜ + 1))
199 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯ βˆ’
200 nfcsb1v 3880 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴
201198, 199, 200nfov 7387 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯((𝑋 Β· (π‘˜ + 1)) βˆ’ ⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴)
202 oveq2 7365 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (𝑋 Β· π‘₯) = (𝑋 Β· (π‘˜ + 1)))
203 csbeq1a 3869 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ 𝐴 = ⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴)
204202, 203oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴) = ((𝑋 Β· (π‘˜ + 1)) βˆ’ ⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴))
205 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴))
206197, 201, 204, 205fvmptf 6969 . . . . . . . . 9 (((π‘˜ + 1) ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ∧ ((𝑋 Β· (π‘˜ + 1)) βˆ’ ⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴) ∈ V) β†’ ((π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴))β€˜(π‘˜ + 1)) = ((𝑋 Β· (π‘˜ + 1)) βˆ’ ⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴))
20774, 196, 206sylancl 586 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴))β€˜(π‘˜ + 1)) = ((𝑋 Β· (π‘˜ + 1)) βˆ’ ⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴))
20867recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
2093, 208mulcld 11175 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑋 Β· π‘˜) ∈ β„‚)
210209, 37subcld 11512 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((𝑋 Β· π‘˜) βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴) ∈ β„‚)
211 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯π‘˜
212 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯(𝑋 Β· π‘˜)
213 nfcsb1v 3880 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴
214212, 199, 213nfov 7387 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯((𝑋 Β· π‘˜) βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴)
215 oveq2 7365 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (𝑋 Β· π‘₯) = (𝑋 Β· π‘˜))
216 csbeq1a 3869 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = π‘˜ β†’ 𝐴 = β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴)
217215, 216oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴) = ((𝑋 Β· π‘˜) βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴))
218211, 214, 217, 205fvmptf 6969 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ∧ ((𝑋 Β· π‘˜) βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴) ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴))β€˜π‘˜) = ((𝑋 Β· π‘˜) βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴))
21976, 210, 218syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴))β€˜π‘˜) = ((𝑋 Β· π‘˜) βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴))
220207, 219oveq12d 7375 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (((π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴))β€˜(π‘˜ + 1)) βˆ’ ((π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴))β€˜π‘˜)) = (((𝑋 Β· (π‘˜ + 1)) βˆ’ ⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴) βˆ’ ((𝑋 Β· π‘˜) βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴)))
221 peano2cn 11327 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„‚ β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„‚)
222208, 221syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„‚)
2233, 222mulcld 11175 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑋 Β· (π‘˜ + 1)) ∈ β„‚)
224223, 209, 32, 37sub4d 11561 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (((𝑋 Β· (π‘˜ + 1)) βˆ’ (𝑋 Β· π‘˜)) βˆ’ (⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴)) = (((𝑋 Β· (π‘˜ + 1)) βˆ’ ⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴) βˆ’ ((𝑋 Β· π‘˜) βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴)))
225 1cnd 11150 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 1 ∈ β„‚)
226208, 225pncan2d 11514 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((π‘˜ + 1) βˆ’ π‘˜) = 1)
227226oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑋 Β· ((π‘˜ + 1) βˆ’ π‘˜)) = (𝑋 Β· 1))
2283, 222, 208subdid 11611 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑋 Β· ((π‘˜ + 1) βˆ’ π‘˜)) = ((𝑋 Β· (π‘˜ + 1)) βˆ’ (𝑋 Β· π‘˜)))
229227, 228, 1433eqtr3d 2784 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((𝑋 Β· (π‘˜ + 1)) βˆ’ (𝑋 Β· π‘˜)) = 𝑋)
230229oveq1d 7372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (((𝑋 Β· (π‘˜ + 1)) βˆ’ (𝑋 Β· π‘˜)) βˆ’ (⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴)) = (𝑋 βˆ’ (⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴)))
231220, 224, 2303eqtr2rd 2783 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑋 βˆ’ (⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴)) = (((π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴))β€˜(π‘˜ + 1)) βˆ’ ((π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴))β€˜π‘˜)))
232231fveq2d 6846 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (absβ€˜(𝑋 βˆ’ (⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴))) = (absβ€˜(((π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴))β€˜(π‘˜ + 1)) βˆ’ ((π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ((𝑋 Β· π‘₯) βˆ’ 𝐴))β€˜π‘˜))))
233226fveq2d 6846 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (absβ€˜((π‘˜ + 1) βˆ’ π‘˜)) = (absβ€˜1))
234 abs1 15182 . . . . . . . 8 (absβ€˜1) = 1
235233, 234eqtrdi 2792 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (absβ€˜((π‘˜ + 1) βˆ’ π‘˜)) = 1)
236235oveq2d 7373 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘Œ Β· (absβ€˜((π‘˜ + 1) βˆ’ π‘˜))) = (π‘Œ Β· 1))
23762recnd 11183 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
238237mulid1d 11172 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘Œ Β· 1) = π‘Œ)
239236, 238eqtr2d 2777 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ π‘Œ = (π‘Œ Β· (absβ€˜((π‘˜ + 1) βˆ’ π‘˜))))
240195, 232, 2393brtr4d 5137 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (absβ€˜(𝑋 βˆ’ (⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴))) ≀ π‘Œ)
2412, 60, 62, 240fsumle 15684 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)(absβ€˜(𝑋 βˆ’ (⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴))) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)π‘Œ)
24259, 61, 63, 64, 241letrd 11312 . 2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑋 βˆ’ (⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴))) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)π‘Œ)
24356, 242eqbrtrrd 5129 1 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 βˆ’ (𝐷 βˆ’ 𝐢))) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)π‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3064  Vcvv 3445  β¦‹csb 3855   ∩ cin 3909   βŠ† wss 3910  {cpr 4588   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5633  ran crn 5634   β†Ύ cres 5635  βŸΆwf 6492  β€˜cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  β„‚cc 11049  β„cr 11050  1c1 11052   + caddc 11054   Β· cmul 11056  β„*cxr 11188   ≀ cle 11190   βˆ’ cmin 11385  β„€cz 12499  β„€β‰₯cuz 12763  (,)cioo 13264  [,]cicc 13267  ...cfz 13424  ..^cfzo 13567  abscabs 15119  Ξ£csu 15570  TopOpenctopn 17303  topGenctg 17319  β„‚fldccnfld 20796  intcnt 22368   Cn ccn 22575   Γ—t ctx 22911  β€“cnβ†’ccncf 24239   D cdv 25227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator