MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumabs 26078
Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsumabs.m (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
dvfsumabs.a (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
dvfsumabs.v ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝑉)
dvfsumabs.b (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
dvfsumabs.c (𝑥 = 𝑀𝐴 = 𝐶)
dvfsumabs.d (𝑥 = 𝑁𝐴 = 𝐷)
dvfsumabs.x ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
dvfsumabs.y ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑌 ∈ ℝ)
dvfsumabs.l ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))) → (abs‘(𝑋𝐵)) ≤ 𝑌)
Assertion
Ref Expression
dvfsumabs (𝜑 → (abs‘(Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 − (𝐷𝐶))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑌)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑥,𝑘,𝑀   𝑘,𝑁,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝑉   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumabs
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 14012 . . . . . 6 (𝑀..^𝑁) ∈ Fin
21a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
3 dvfsumabs.x . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
4 dvfsumabs.m . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5 eluzel2 12881 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 eluzelz 12886 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
84, 7syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
9 fzval2 13547 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀[,]𝑁) ∩ ℤ))
106, 8, 9syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ((𝑀[,]𝑁) ∩ ℤ))
11 inss1 4245 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀[,]𝑁) ∩ ℤ) ⊆ (𝑀[,]𝑁)
1210, 11eqsstrdi 4050 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁))
1312sselda 3995 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁))
14 dvfsumabs.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
15 cncff 24933 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℂ)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℂ)
17 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴)
1817fmpt 7130 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℂ)
1916, 18sylibr 234 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
20 nfcsb1v 3933 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑦 / 𝑥𝐴
2120nfel1 2920 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ
22 csbeq1a 3922 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝑦 / 𝑥𝐴)
2322eleq1d 2824 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ))
2421, 23rspc 3610 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁) → (∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℂ → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ))
2519, 24mpan9 506 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
2613, 25syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
2726ralrimiva 3144 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
28 fzofzp1 13800 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
29 csbeq1 3911 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑘 + 1) → 𝑦 / 𝑥𝐴 = (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴)
3029eleq1d 2824 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑘 + 1) → (𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ ↔ (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴 ∈ ℂ))
3130rspccva 3621 . . . . . . 7 ((∀𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
3227, 28, 31syl2an 596 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
33 elfzofz 13712 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
34 csbeq1 3911 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑘𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝑘 / 𝑥𝐴)
3534eleq1d 2824 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑘 → (𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝑘 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ))
3635rspccva 3621 . . . . . . 7 ((∀𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
3727, 33, 36syl2an 596 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
3832, 37subcld 11618 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴) ∈ ℂ)
392, 3, 38fsumsub 15821 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴)) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 − Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴)))
40 vex 3482 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
4140a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑀𝑦 ∈ V)
42 eqeq2 2747 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑀 → (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑀))
4342biimpa 476 . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝑀𝑥 = 𝑦) → 𝑥 = 𝑀)
44 dvfsumabs.c . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑀𝐴 = 𝐶)
4543, 44syl 17 . . . . . . 7 ((𝑦 = 𝑀𝑥 = 𝑦) → 𝐴 = 𝐶)
4641, 45csbied 3946 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑀𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝐶)
4740a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑁𝑦 ∈ V)
48 eqeq2 2747 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑁 → (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑁))
4948biimpa 476 . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝑁𝑥 = 𝑦) → 𝑥 = 𝑁)
50 dvfsumabs.d . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁𝐴 = 𝐷)
5149, 50syl 17 . . . . . . 7 ((𝑦 = 𝑁𝑥 = 𝑦) → 𝐴 = 𝐷)
5247, 51csbied 3946 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑁𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝐷)
5334, 29, 46, 52, 4, 26telfsumo2 15836 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴) = (𝐷𝐶))
5453oveq2d 7447 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 − Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴)) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 − (𝐷𝐶)))
5539, 54eqtrd 2775 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴)) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 − (𝐷𝐶)))
5655fveq2d 6911 . 2 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))) = (abs‘(Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 − (𝐷𝐶))))
573, 38subcld 11618 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴)) ∈ ℂ)
582, 57fsumcl 15766 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴)) ∈ ℂ)
5958abscld 15472 . . 3 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))) ∈ ℝ)
6057abscld 15472 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (abs‘(𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))) ∈ ℝ)
612, 60fsumrecl 15767 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(abs‘(𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))) ∈ ℝ)
62 dvfsumabs.y . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑌 ∈ ℝ)
632, 62fsumrecl 15767 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑌 ∈ ℝ)
642, 57fsumabs 15834 . . 3 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(abs‘(𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))))
65 elfzoelz 13696 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
6665adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
6766zred 12720 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
6867rexrd 11309 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ*)
69 peano2re 11432 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
7067, 69syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
7170rexrd 11309 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ*)
7267lep1d 12197 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
73 ubicc2 13502 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℝ* ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ*𝑘 ≤ (𝑘 + 1)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)))
7468, 71, 72, 73syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)))
75 lbicc2 13501 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℝ* ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ*𝑘 ≤ (𝑘 + 1)) → 𝑘 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)))
7668, 71, 72, 75syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)))
776zred 12720 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
7877adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
798zred 12720 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
8079adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
81 elfzole1 13704 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀𝑘)
8281adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀𝑘)
8328adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
84 elfzle2 13565 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)
86 iccss 13452 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝑀𝑘 ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)) → (𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀[,]𝑁))
8778, 80, 82, 85, 86syl22anc 839 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀[,]𝑁))
8887resmptd 6060 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)) ↾ (𝑘[,](𝑘 + 1))) = (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))
89 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
9089subcn 24902 . . . . . . . . . . . 12 − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
9190a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
92 iccssre 13466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
9377, 79, 92syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
9493adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
95 ax-resscn 11210 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℂ
9694, 95sstrdi 4008 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℂ)
97 ssid 4018 . . . . . . . . . . . . . 14 ℂ ⊆ ℂ
9897a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ℂ ⊆ ℂ)
99 cncfmptc 24952 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝑋) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
1003, 96, 98, 99syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝑋) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
101 cncfmptid 24953 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀[,]𝑁) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝑥) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
10296, 97, 101sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝑥) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
103100, 102mulcncf 25494 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ (𝑋 · 𝑥)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
10414adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
10589, 91, 103, 104cncfmpt2f 24955 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ))
106 rescncf 24937 . . . . . . . . . 10 ((𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀[,]𝑁) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)) ↾ (𝑘[,](𝑘 + 1))) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℂ)))
10787, 105, 106sylc 65 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)) ↾ (𝑘[,](𝑘 + 1))) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℂ))
10888, 107eqeltrrd 2840 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℂ))
10995a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ℝ ⊆ ℂ)
11087, 94sstrd 4006 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ ℝ)
11187sselda 3995 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1))) → 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁))
1123adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
11396sselda 3995 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑥 ∈ ℂ)
114112, 113mulcld 11279 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → (𝑋 · 𝑥) ∈ ℂ)
11519r19.21bi 3249 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
116115adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
117114, 116subcld 11618 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴) ∈ ℂ)
118111, 117syldan 591 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1))) → ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴) ∈ ℂ)
11989tgioo2 24839 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
120 iccntr 24857 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑘[,](𝑘 + 1))) = (𝑘(,)(𝑘 + 1)))
12167, 70, 120syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝑘[,](𝑘 + 1))) = (𝑘(,)(𝑘 + 1)))
122109, 110, 118, 119, 89, 121dvmptntr 26024 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))) = (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))))
123 reelprrecn 11245 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
125 ioossicc 13470 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁)
126125sseli 3991 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) → 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁))
127126, 117sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴) ∈ ℂ)
128 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋𝐵) ∈ V
129128a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → (𝑋𝐵) ∈ V)
130126, 114sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → (𝑋 · 𝑥) ∈ ℂ)
1313adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
132125, 96sstrid 4007 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℂ)
133132sselda 3995 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝑥 ∈ ℂ)
134 1cnd 11254 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
135109sselda 3995 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
136 1cnd 11254 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
137124dvmptid 26010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1))
138125, 94sstrid 4007 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ)
139 iooretop 24802 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀(,)𝑁) ∈ (topGen‘ran (,))
140139a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀(,)𝑁) ∈ (topGen‘ran (,)))
141124, 135, 136, 137, 138, 119, 89, 140dvmptres 26016 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 1))
142124, 133, 134, 141, 3dvmptcmul 26017 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝑋 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝑋 · 1)))
1433mulridd 11276 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 · 1) = 𝑋)
144143mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝑋 · 1)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑋))
145142, 144eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝑋 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑋))
146126, 116sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
147 dvfsumabs.v . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝑉)
148147adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝑉)
149 dvfsumabs.b . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
150149adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
151124, 130, 131, 145, 146, 148, 150dvmptsub 26020 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ (𝑋𝐵)))
15278rexrd 11309 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
153 iooss1 13419 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℝ*𝑀𝑘) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)(𝑘 + 1)))
154152, 82, 153syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)(𝑘 + 1)))
15580rexrd 11309 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ*)
156 iooss2 13420 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
157155, 85, 156syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
158154, 157sstrd 4006 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
159 iooretop 24802 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ∈ (topGen‘ran (,))
160159a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ∈ (topGen‘ran (,)))
161124, 127, 129, 151, 158, 119, 89, 160dvmptres 26016 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))) = (𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋𝐵)))
162122, 161eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))) = (𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋𝐵)))
163162dmeqd 5919 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))) = dom (𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋𝐵)))
164 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋𝐵))
165128, 164dmmpti 6713 . . . . . . . . 9 dom (𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋𝐵)) = (𝑘(,)(𝑘 + 1))
166163, 165eqtrdi 2791 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))) = (𝑘(,)(𝑘 + 1)))
167162adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))) = (𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋𝐵)))
168167fveq1d 6909 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑥) = ((𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋𝐵))‘𝑥))
169 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))
170164fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ∧ (𝑋𝐵) ∈ V) → ((𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋𝐵))‘𝑥) = (𝑋𝐵))
171169, 128, 170sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → ((𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋𝐵))‘𝑥) = (𝑋𝐵))
172168, 171eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑥) = (𝑋𝐵))
173172fveq2d 6911 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑥)) = (abs‘(𝑋𝐵)))
174 dvfsumabs.l . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))) → (abs‘(𝑋𝐵)) ≤ 𝑌)
175174anassrs 467 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → (abs‘(𝑋𝐵)) ≤ 𝑌)
176173, 175eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑥)) ≤ 𝑌)
177176ralrimiva 3144 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))(abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑥)) ≤ 𝑌)
178 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . 12 𝑥abs
179 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥
180 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 D
181 nfmpt1 5256 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))
182179, 180, 181nfov 7461 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))
183 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝑦
184182, 183nffv 6917 . . . . . . . . . . . 12 𝑥((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑦)
185178, 184nffv 6917 . . . . . . . . . . 11 𝑥(abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑦))
186 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 𝑥
187 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑌
188185, 186, 187nfbr 5195 . . . . . . . . . 10 𝑥(abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑦)) ≤ 𝑌
189 2fveq3 6912 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑥)) = (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑦)))
190189breq1d 5158 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑥)) ≤ 𝑌 ↔ (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑦)) ≤ 𝑌))
191188, 190rspc 3610 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) → (∀𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))(abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑥)) ≤ 𝑌 → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑦)) ≤ 𝑌))
192177, 191mpan9 506 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)))‘𝑦)) ≤ 𝑌)
19367, 70, 108, 166, 62, 192dvlip 26047 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ ((𝑘 + 1) ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)))) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘(𝑘 + 1)) − ((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘𝑘))) ≤ (𝑌 · (abs‘((𝑘 + 1) − 𝑘))))
194193ex 412 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (((𝑘 + 1) ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1))) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘(𝑘 + 1)) − ((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘𝑘))) ≤ (𝑌 · (abs‘((𝑘 + 1) − 𝑘)))))
19574, 76, 194mp2and 699 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘(𝑘 + 1)) − ((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘𝑘))) ≤ (𝑌 · (abs‘((𝑘 + 1) − 𝑘))))
196 ovex 7464 . . . . . . . . 9 ((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴) ∈ V
197 nfcv 2903 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑘 + 1)
198 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝑋 · (𝑘 + 1))
199 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 𝑥
200 nfcsb1v 3933 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝑘 + 1) / 𝑥𝐴
201198, 199, 200nfov 7461 . . . . . . . . . 10 𝑥((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴)
202 oveq2 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · (𝑘 + 1)))
203 csbeq1a 3922 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑘 + 1) → 𝐴 = (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴)
204202, 203oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴) = ((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴))
205 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))
206197, 201, 204, 205fvmptf 7037 . . . . . . . . 9 (((𝑘 + 1) ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ∧ ((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴) ∈ V) → ((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴))
20774, 196, 206sylancl 586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴))
20867recnd 11287 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
2093, 208mulcld 11279 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 · 𝑘) ∈ ℂ)
210209, 37subcld 11618 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑋 · 𝑘) − 𝑘 / 𝑥𝐴) ∈ ℂ)
211 nfcv 2903 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑘
212 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝑋 · 𝑘)
213 nfcsb1v 3933 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑘 / 𝑥𝐴
214212, 199, 213nfov 7461 . . . . . . . . . 10 𝑥((𝑋 · 𝑘) − 𝑘 / 𝑥𝐴)
215 oveq2 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑘 → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · 𝑘))
216 csbeq1a 3922 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑘𝐴 = 𝑘 / 𝑥𝐴)
217215, 216oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴) = ((𝑋 · 𝑘) − 𝑘 / 𝑥𝐴))
218211, 214, 217, 205fvmptf 7037 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ∧ ((𝑋 · 𝑘) − 𝑘 / 𝑥𝐴) ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘𝑘) = ((𝑋 · 𝑘) − 𝑘 / 𝑥𝐴))
21976, 210, 218syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘𝑘) = ((𝑋 · 𝑘) − 𝑘 / 𝑥𝐴))
220207, 219oveq12d 7449 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘(𝑘 + 1)) − ((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘𝑘)) = (((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴) − ((𝑋 · 𝑘) − 𝑘 / 𝑥𝐴)))
221 peano2cn 11431 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
222208, 221syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
2233, 222mulcld 11279 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 · (𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
224223, 209, 32, 37sub4d 11667 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑋 · 𝑘)) − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴)) = (((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴) − ((𝑋 · 𝑘) − 𝑘 / 𝑥𝐴)))
225 1cnd 11254 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
226208, 225pncan2d 11620 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑘 + 1) − 𝑘) = 1)
227226oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 · ((𝑘 + 1) − 𝑘)) = (𝑋 · 1))
2283, 222, 208subdid 11717 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 · ((𝑘 + 1) − 𝑘)) = ((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑋 · 𝑘)))
229227, 228, 1433eqtr3d 2783 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑋 · 𝑘)) = 𝑋)
230229oveq1d 7446 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑋 · 𝑘)) − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴)) = (𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴)))
231220, 224, 2303eqtr2rd 2782 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴)) = (((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘(𝑘 + 1)) − ((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘𝑘)))
232231fveq2d 6911 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (abs‘(𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))) = (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘(𝑘 + 1)) − ((𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ ((𝑋 · 𝑥) − 𝐴))‘𝑘))))
233226fveq2d 6911 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (abs‘((𝑘 + 1) − 𝑘)) = (abs‘1))
234 abs1 15333 . . . . . . . 8 (abs‘1) = 1
235233, 234eqtrdi 2791 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (abs‘((𝑘 + 1) − 𝑘)) = 1)
236235oveq2d 7447 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑌 · (abs‘((𝑘 + 1) − 𝑘))) = (𝑌 · 1))
23762recnd 11287 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑌 ∈ ℂ)
238237mulridd 11276 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑌 · 1) = 𝑌)
239236, 238eqtr2d 2776 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑌 = (𝑌 · (abs‘((𝑘 + 1) − 𝑘))))
240195, 232, 2393brtr4d 5180 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (abs‘(𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))) ≤ 𝑌)
2412, 60, 62, 240fsumle 15832 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(abs‘(𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑌)
24259, 61, 63, 64, 241letrd 11416 . 2 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑋 − ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑌)
24356, 242eqbrtrrd 5172 1 (𝜑 → (abs‘(Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 − (𝐷𝐶))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478  csb 3908  cin 3962  wss 3963  {cpr 4633   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5689  ran crn 5690  cres 5691  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  cc 11151  cr 11152  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  *cxr 11292  cle 11294  cmin 11490  cz 12611  cuz 12876  (,)cioo 13384  [,]cicc 13387  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  abscabs 15270  Σcsu 15719  TopOpenctopn 17468  topGenctg 17484  fldccnfld 21382  intcnt 23041   Cn ccn 23248   ×t ctx 23584  cnccncf 24916   D cdv 25913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-cmp 23411  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator