MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumleOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumleOLD 26076
Description: Obsolete version of dvfsumle 26075 as of 17-Apr-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsumleOLD.m (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
dvfsumleOLD.a (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
dvfsumleOLD.v ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝑉)
dvfsumleOLD.b (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
dvfsumleOLD.c (𝑥 = 𝑀𝐴 = 𝐶)
dvfsumleOLD.d (𝑥 = 𝑁𝐴 = 𝐷)
dvfsumleOLD.x ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ)
dvfsumleOLD.l ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))) → 𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
dvfsumleOLD (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ≤ (𝐷𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑥,𝑘,𝑀   𝑘,𝑁,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumleOLD
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 14012 . . . 4 (𝑀..^𝑁) ∈ Fin
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
3 dvfsumleOLD.x . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ)
4 dvfsumleOLD.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5 eluzel2 12881 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 eluzelz 12886 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
84, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
9 fzval2 13547 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀[,]𝑁) ∩ ℤ))
106, 8, 9syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ((𝑀[,]𝑁) ∩ ℤ))
11 inss1 4245 . . . . . . . . 9 ((𝑀[,]𝑁) ∩ ℤ) ⊆ (𝑀[,]𝑁)
1210, 11eqsstrdi 4050 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁))
1312sselda 3995 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁))
14 dvfsumleOLD.a . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
15 cncff 24933 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
17 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴)
1817fmpt 7130 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
1916, 18sylibr 234 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ)
20 nfcsb1v 3933 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑦 / 𝑥𝐴
2120nfel1 2920 . . . . . . . . 9 𝑥𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ
22 csbeq1a 3922 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝑦 / 𝑥𝐴)
2322eleq1d 2824 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
2421, 23rspc 3610 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁) → (∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
2519, 24mpan9 506 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
2613, 25syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
2726ralrimiva 3144 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
28 fzofzp1 13800 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
29 csbeq1 3911 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑘 + 1) → 𝑦 / 𝑥𝐴 = (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴)
3029eleq1d 2824 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑘 + 1) → (𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
3130rspccva 3621 . . . . 5 ((∀𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
3227, 28, 31syl2an 596 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
33 elfzofz 13712 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
34 csbeq1 3911 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑘𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝑘 / 𝑥𝐴)
3534eleq1d 2824 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑘 → (𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑘 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
3635rspccva 3621 . . . . 5 ((∀𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
3727, 33, 36syl2an 596 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
3832, 37resubcld 11689 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴) ∈ ℝ)
39 elfzoelz 13696 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
4039adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
4140zred 12720 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
4241recnd 11287 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
43 ax-1cn 11211 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
44 pncan2 11513 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) − 𝑘) = 1)
4542, 43, 44sylancl 586 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑘 + 1) − 𝑘) = 1)
4645oveq2d 7447 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 · ((𝑘 + 1) − 𝑘)) = (𝑋 · 1))
473recnd 11287 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
48 peano2re 11432 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
4941, 48syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
5049recnd 11287 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
5147, 50, 42subdid 11717 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 · ((𝑘 + 1) − 𝑘)) = ((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑋 · 𝑘)))
5247mulridd 11276 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 · 1) = 𝑋)
5346, 51, 523eqtr3d 2783 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑋 · 𝑘)) = 𝑋)
54 eqid 2735 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
5554mulcn 24903 . . . . . 6 · ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
566zred 12720 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
5756adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
588zred 12720 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
5958adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
60 elfzole1 13704 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀𝑘)
6160adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀𝑘)
6228adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
63 elfzle2 13565 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)
65 iccss 13452 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝑀𝑘 ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)) → (𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀[,]𝑁))
6657, 59, 61, 64, 65syl22anc 839 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀[,]𝑁))
67 iccssre 13466 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
6856, 58, 67syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
6968adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℝ)
7066, 69sstrd 4006 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ ℝ)
71 ax-resscn 11210 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
7270, 71sstrdi 4008 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ ℂ)
7371a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ℝ ⊆ ℂ)
74 cncfmptc 24952 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑦 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝑋) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ))
753, 72, 73, 74syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝑋) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ))
76 cncfmptid 24953 . . . . . . 7 (((𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑦 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝑦) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ))
7770, 71, 76sylancl 586 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝑦) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ))
78 remulcl 11238 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑋 · 𝑦) ∈ ℝ)
7954, 55, 75, 77, 71, 78cncfmpt2ss 24956 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ (𝑋 · 𝑦)) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ))
80 reelprrecn 11245 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
8180a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
8257rexrd 11309 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
83 iooss1 13419 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ*𝑀𝑘) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)(𝑘 + 1)))
8482, 61, 83syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)(𝑘 + 1)))
8559rexrd 11309 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ*)
86 iooss2 13420 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
8785, 64, 86syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
8884, 87sstrd 4006 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀(,)𝑁))
89 ioossicc 13470 . . . . . . . . . 10 (𝑀(,)𝑁) ⊆ (𝑀[,]𝑁)
9069, 71sstrdi 4008 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀[,]𝑁) ⊆ ℂ)
9189, 90sstrid 4007 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℂ)
9288, 91sstrd 4006 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ ℂ)
9392sselda 3995 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → 𝑦 ∈ ℂ)
94 1cnd 11254 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
9573sselda 3995 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
96 1cnd 11254 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
9781dvmptid 26010 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
98 ioossre 13445 . . . . . . . . 9 (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ ℝ
9998a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ⊆ ℝ)
10054tgioo2 24839 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
101 iooretop 24802 . . . . . . . . 9 (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ∈ (topGen‘ran (,))
102101a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ∈ (topGen‘ran (,)))
10381, 95, 96, 97, 99, 100, 54, 102dvmptres 26016 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ 1))
10481, 93, 94, 103, 47dvmptcmul 26017 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋 · 1)))
10552mpteq2dv 5250 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋 · 1)) = (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ 𝑋))
106104, 105eqtrd 2775 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ (𝑋 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ 𝑋))
107 nfcv 2903 . . . . . . 7 𝑦𝐴
108107, 20, 22cbvmpt 5259 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝐴) = (𝑦 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐴)
10966resmptd 6060 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ↾ (𝑘[,](𝑘 + 1))) = (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝐴))
11014adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
111 rescncf 24937 . . . . . . . 8 ((𝑘[,](𝑘 + 1)) ⊆ (𝑀[,]𝑁) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ↾ (𝑘[,](𝑘 + 1))) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ)))
11266, 110, 111sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ↾ (𝑘[,](𝑘 + 1))) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ))
113109, 112eqeltrrd 2840 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ))
114108, 113eqeltrrid 2844 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐴) ∈ ((𝑘[,](𝑘 + 1))–cn→ℝ))
11516adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)⟶ℝ)
116115, 18sylibr 234 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ)
11789sseli 3991 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) → 𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁))
11824impcom 407 . . . . . . . 8 ((∀𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
119116, 117, 118syl2an 596 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
120119recnd 11287 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
12189sseli 3991 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) → 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁))
12216fvmptelcdm 7133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
123122adantlr 715 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀[,]𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
124121, 123sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
125124fmpttd 7135 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
126 ioossre 13445 . . . . . . . . . 10 (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ
127 dvfre 26004 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ ∧ (𝑀(,)𝑁) ⊆ ℝ) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ)
128125, 126, 127sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ)
129 dvfsumleOLD.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
130129adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
131130dmeqd 5919 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵))
132 dvfsumleOLD.v . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝑉)
133132adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝐵𝑉)
134133ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵𝑉)
135 dmmptg 6264 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵𝑉 → dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑀(,)𝑁))
136134, 135syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → dom (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑀(,)𝑁))
137131, 136eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑀(,)𝑁))
138130, 137feq12d 6725 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ))
139128, 138mpbid 232 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
140 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵)
141140fmpt 7130 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵):(𝑀(,)𝑁)⟶ℝ)
142139, 141sylibr 234 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵 ∈ ℝ)
143 nfcsb1v 3933 . . . . . . . . 9 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵
144143nfel1 2920 . . . . . . . 8 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ
145 csbeq1a 3922 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵)
146145eleq1d 2824 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
147144, 146rspc 3610 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) → (∀𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐵 ∈ ℝ → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
148142, 147mpan9 506 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁)) → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
149107, 20, 22cbvmpt 5259 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐴)
150149oveq2i 7442 . . . . . . 7 (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐴))
151 nfcv 2903 . . . . . . . 8 𝑦𝐵
152151, 143, 145cbvmpt 5259 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐵)
153130, 150, 1523eqtr3g 2798 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐵))
15481, 120, 148, 153, 88, 100, 54, 102dvmptres 26016 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐵))
155 dvfsumleOLD.l . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)))) → 𝑋𝐵)
156155anassrs 467 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → 𝑋𝐵)
157156ralrimiva 3144 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))𝑋𝐵)
158 nfcv 2903 . . . . . . . 8 𝑥𝑋
159 nfcv 2903 . . . . . . . 8 𝑥
160158, 159, 143nfbr 5195 . . . . . . 7 𝑥 𝑋𝑦 / 𝑥𝐵
161145breq2d 5160 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑋𝐵𝑋𝑦 / 𝑥𝐵))
162160, 161rspc 3610 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1)) → (∀𝑥 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))𝑋𝐵𝑋𝑦 / 𝑥𝐵))
163157, 162mpan9 506 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘(,)(𝑘 + 1))) → 𝑋𝑦 / 𝑥𝐵)
16441rexrd 11309 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ*)
16549rexrd 11309 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ*)
16641lep1d 12197 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
167 lbicc2 13501 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℝ* ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ*𝑘 ≤ (𝑘 + 1)) → 𝑘 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)))
168164, 165, 166, 167syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)))
169 ubicc2 13502 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℝ* ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ*𝑘 ≤ (𝑘 + 1)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)))
170164, 165, 166, 169syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑘[,](𝑘 + 1)))
171 oveq2 7439 . . . . 5 (𝑦 = 𝑘 → (𝑋 · 𝑦) = (𝑋 · 𝑘))
172 oveq2 7439 . . . . 5 (𝑦 = (𝑘 + 1) → (𝑋 · 𝑦) = (𝑋 · (𝑘 + 1)))
17341, 49, 79, 106, 114, 154, 163, 168, 170, 166, 171, 34, 172, 29dvle 26061 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑋 · (𝑘 + 1)) − (𝑋 · 𝑘)) ≤ ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))
17453, 173eqbrtrrd 5172 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ≤ ((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))
1752, 3, 38, 174fsumle 15832 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴))
176 vex 3482 . . . . 5 𝑦 ∈ V
177176a1i 11 . . . 4 (𝑦 = 𝑀𝑦 ∈ V)
178 eqeq2 2747 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑀 → (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑀))
179178biimpa 476 . . . . 5 ((𝑦 = 𝑀𝑥 = 𝑦) → 𝑥 = 𝑀)
180 dvfsumleOLD.c . . . . 5 (𝑥 = 𝑀𝐴 = 𝐶)
181179, 180syl 17 . . . 4 ((𝑦 = 𝑀𝑥 = 𝑦) → 𝐴 = 𝐶)
182177, 181csbied 3946 . . 3 (𝑦 = 𝑀𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝐶)
183176a1i 11 . . . 4 (𝑦 = 𝑁𝑦 ∈ V)
184 eqeq2 2747 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑁 → (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑁))
185184biimpa 476 . . . . 5 ((𝑦 = 𝑁𝑥 = 𝑦) → 𝑥 = 𝑁)
186 dvfsumleOLD.d . . . . 5 (𝑥 = 𝑁𝐴 = 𝐷)
187185, 186syl 17 . . . 4 ((𝑦 = 𝑁𝑥 = 𝑦) → 𝐴 = 𝐷)
188183, 187csbied 3946 . . 3 (𝑦 = 𝑁𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝐷)
18926recnd 11287 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
19034, 29, 182, 188, 4, 189telfsumo2 15836 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝑘 + 1) / 𝑥𝐴𝑘 / 𝑥𝐴) = (𝐷𝐶))
191175, 190breqtrd 5174 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ≤ (𝐷𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478  csb 3908  cin 3962  wss 3963  {cpr 4633   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5689  ran crn 5690  cres 5691  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  cc 11151  cr 11152  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  *cxr 11292  cle 11294  cmin 11490  cz 12611  cuz 12876  (,)cioo 13384  [,]cicc 13387  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  Σcsu 15719  TopOpenctopn 17468  topGenctg 17484  fldccnfld 21382  cnccncf 24916   D cdv 25913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-cmp 23411  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator