MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumleOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumleOLD 25910
Description: Obsolete version of dvfsumle 25909 as of 17-Apr-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsumleOLD.m (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
dvfsumleOLD.a (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
dvfsumleOLD.v ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
dvfsumleOLD.b (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡))
dvfsumleOLD.c (π‘₯ = 𝑀 β†’ 𝐴 = 𝐢)
dvfsumleOLD.d (π‘₯ = 𝑁 β†’ 𝐴 = 𝐷)
dvfsumleOLD.x ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
dvfsumleOLD.l ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)))) β†’ 𝑋 ≀ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
dvfsumleOLD (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ≀ (𝐷 βˆ’ 𝐢))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘₯,π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑁,π‘₯   πœ‘,π‘˜,π‘₯   π‘₯,𝑋   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯,π‘˜)   𝐢(π‘˜)   𝐷(π‘˜)   𝑉(π‘˜)   𝑋(π‘˜)

Proof of Theorem dvfsumleOLD
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 13945 . . . 4 (𝑀..^𝑁) ∈ Fin
21a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
3 dvfsumleOLD.x . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
4 dvfsumleOLD.m . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
5 eluzel2 12831 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
7 eluzelz 12836 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
84, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
9 fzval2 13493 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝑀...𝑁) = ((𝑀[,]𝑁) ∩ β„€))
106, 8, 9syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑀...𝑁) = ((𝑀[,]𝑁) ∩ β„€))
11 inss1 4223 . . . . . . . . 9 ((𝑀[,]𝑁) ∩ β„€) βŠ† (𝑀[,]𝑁)
1210, 11eqsstrdi 4031 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑀...𝑁) βŠ† (𝑀[,]𝑁))
1312sselda 3977 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ 𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁))
14 dvfsumleOLD.a . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
15 cncff 24768 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)βŸΆβ„)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)βŸΆβ„)
17 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) = (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴)
1817fmpt 7105 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ ↔ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)βŸΆβ„)
1916, 18sylibr 233 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ)
20 nfcsb1v 3913 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴
2120nfel1 2913 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ
22 csbeq1a 3902 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝐴 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴)
2322eleq1d 2812 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ))
2421, 23rspc 3594 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ))
2519, 24mpan9 506 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ)
2613, 25syldan 590 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ)
2726ralrimiva 3140 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑀...𝑁)⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ)
28 fzofzp1 13735 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
29 csbeq1 3891 . . . . . . 7 (𝑦 = (π‘˜ + 1) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 = ⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴)
3029eleq1d 2812 . . . . . 6 (𝑦 = (π‘˜ + 1) β†’ (⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ))
3130rspccva 3605 . . . . 5 ((βˆ€π‘¦ ∈ (𝑀...𝑁)⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ ⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ)
3227, 28, 31syl2an 595 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ)
33 elfzofz 13654 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) β†’ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁))
34 csbeq1 3891 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘˜ β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 = β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴)
3534eleq1d 2812 . . . . . 6 (𝑦 = π‘˜ β†’ (⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ ↔ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ))
3635rspccva 3605 . . . . 5 ((βˆ€π‘¦ ∈ (𝑀...𝑁)⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ)
3727, 33, 36syl2an 595 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ)
3832, 37resubcld 11646 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴) ∈ ℝ)
39 elfzoelz 13638 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
4039adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
4140zred 12670 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
4241recnd 11246 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
43 ax-1cn 11170 . . . . . . 7 1 ∈ β„‚
44 pncan2 11471 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ + 1) βˆ’ π‘˜) = 1)
4542, 43, 44sylancl 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((π‘˜ + 1) βˆ’ π‘˜) = 1)
4645oveq2d 7421 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑋 Β· ((π‘˜ + 1) βˆ’ π‘˜)) = (𝑋 Β· 1))
473recnd 11246 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
48 peano2re 11391 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ ℝ β†’ (π‘˜ + 1) ∈ ℝ)
4941, 48syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ ℝ)
5049recnd 11246 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„‚)
5147, 50, 42subdid 11674 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑋 Β· ((π‘˜ + 1) βˆ’ π‘˜)) = ((𝑋 Β· (π‘˜ + 1)) βˆ’ (𝑋 Β· π‘˜)))
5247mulridd 11235 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑋 Β· 1) = 𝑋)
5346, 51, 523eqtr3d 2774 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((𝑋 Β· (π‘˜ + 1)) βˆ’ (𝑋 Β· π‘˜)) = 𝑋)
54 eqid 2726 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
5554mulcn 24738 . . . . . 6 Β· ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
566zred 12670 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
5756adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
588zred 12670 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
5958adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
60 elfzole1 13646 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) β†’ 𝑀 ≀ π‘˜)
6160adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑀 ≀ π‘˜)
6228adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
63 elfzle2 13511 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ + 1) ∈ (𝑀...𝑁) β†’ (π‘˜ + 1) ≀ 𝑁)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜ + 1) ≀ 𝑁)
65 iccss 13398 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ≀ π‘˜ ∧ (π‘˜ + 1) ≀ 𝑁)) β†’ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀[,]𝑁))
6657, 59, 61, 64, 65syl22anc 836 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀[,]𝑁))
67 iccssre 13412 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ (𝑀[,]𝑁) βŠ† ℝ)
6856, 58, 67syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑀[,]𝑁) βŠ† ℝ)
6968adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑀[,]𝑁) βŠ† ℝ)
7066, 69sstrd 3987 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) βŠ† ℝ)
71 ax-resscn 11169 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
7270, 71sstrdi 3989 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) βŠ† β„‚)
7371a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
74 cncfmptc 24787 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) βŠ† β„‚ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (𝑦 ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ 𝑋) ∈ ((π‘˜[,](π‘˜ + 1))–cn→ℝ))
753, 72, 73, 74syl3anc 1368 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑦 ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ 𝑋) ∈ ((π‘˜[,](π‘˜ + 1))–cn→ℝ))
76 cncfmptid 24788 . . . . . . 7 (((π‘˜[,](π‘˜ + 1)) βŠ† ℝ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (𝑦 ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ 𝑦) ∈ ((π‘˜[,](π‘˜ + 1))–cn→ℝ))
7770, 71, 76sylancl 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑦 ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ 𝑦) ∈ ((π‘˜[,](π‘˜ + 1))–cn→ℝ))
78 remulcl 11197 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑋 Β· 𝑦) ∈ ℝ)
7954, 55, 75, 77, 71, 78cncfmpt2ss 24791 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑦 ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ (𝑋 Β· 𝑦)) ∈ ((π‘˜[,](π‘˜ + 1))–cn→ℝ))
80 reelprrecn 11204 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
8180a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
8257rexrd 11268 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
83 iooss1 13365 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) β†’ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀(,)(π‘˜ + 1)))
8482, 61, 83syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀(,)(π‘˜ + 1)))
8559rexrd 11268 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ*)
86 iooss2 13366 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ (π‘˜ + 1) ≀ 𝑁) β†’ (𝑀(,)(π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀(,)𝑁))
8785, 64, 86syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑀(,)(π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀(,)𝑁))
8884, 87sstrd 3987 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀(,)𝑁))
89 ioossicc 13416 . . . . . . . . . 10 (𝑀(,)𝑁) βŠ† (𝑀[,]𝑁)
9069, 71sstrdi 3989 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑀[,]𝑁) βŠ† β„‚)
9189, 90sstrid 3988 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑀(,)𝑁) βŠ† β„‚)
9288, 91sstrd 3987 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) βŠ† β„‚)
9392sselda 3977 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1))) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
94 1cnd 11213 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1))) β†’ 1 ∈ β„‚)
9573sselda 3977 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
96 1cnd 11213 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ β„‚)
9781dvmptid 25844 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
98 ioossre 13391 . . . . . . . . 9 (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) βŠ† ℝ
9998a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) βŠ† ℝ)
10054tgioo2 24674 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
101 iooretop 24637 . . . . . . . . 9 (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
102101a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
10381, 95, 96, 97, 99, 100, 54, 102dvmptres 25850 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ↦ 1))
10481, 93, 94, 103, 47dvmptcmul 25851 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ↦ (𝑋 Β· 𝑦))) = (𝑦 ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ↦ (𝑋 Β· 1)))
10552mpteq2dv 5243 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑦 ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ↦ (𝑋 Β· 1)) = (𝑦 ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ↦ 𝑋))
106104, 105eqtrd 2766 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ↦ (𝑋 Β· 𝑦))) = (𝑦 ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ↦ 𝑋))
107 nfcv 2897 . . . . . . 7 Ⅎ𝑦𝐴
108107, 20, 22cbvmpt 5252 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ 𝐴) = (𝑦 ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴)
10966resmptd 6034 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) β†Ύ (π‘˜[,](π‘˜ + 1))) = (π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ 𝐴))
11014adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ))
111 rescncf 24772 . . . . . . . 8 ((π‘˜[,](π‘˜ + 1)) βŠ† (𝑀[,]𝑁) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑀[,]𝑁)–cn→ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) β†Ύ (π‘˜[,](π‘˜ + 1))) ∈ ((π‘˜[,](π‘˜ + 1))–cn→ℝ)))
11266, 110, 111sylc 65 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴) β†Ύ (π‘˜[,](π‘˜ + 1))) ∈ ((π‘˜[,](π‘˜ + 1))–cn→ℝ))
113109, 112eqeltrrd 2828 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ 𝐴) ∈ ((π‘˜[,](π‘˜ + 1))–cn→ℝ))
114108, 113eqeltrrid 2832 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (𝑦 ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴) ∈ ((π‘˜[,](π‘˜ + 1))–cn→ℝ))
11516adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀[,]𝑁)βŸΆβ„)
116115, 18sylibr 233 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ)
11789sseli 3973 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) β†’ 𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁))
11824impcom 407 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ)
119116, 117, 118syl2an 595 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ)
120119recnd 11246 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ β„‚)
12189sseli 3973 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) β†’ π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁))
12216fvmptelcdm 7108 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
123122adantlr 712 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑀[,]𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
124121, 123sylan2 592 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
125124fmpttd 7110 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„)
126 ioossre 13391 . . . . . . . . . 10 (𝑀(,)𝑁) βŠ† ℝ
127 dvfre 25838 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„ ∧ (𝑀(,)𝑁) βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))βŸΆβ„)
128125, 126, 127sylancl 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))βŸΆβ„)
129 dvfsumleOLD.b . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡))
130129adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡))
131130dmeqd 5899 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = dom (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡))
132 dvfsumleOLD.v . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
133132adantlr 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
134133ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐡 ∈ 𝑉)
135 dmmptg 6235 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐡 ∈ 𝑉 β†’ dom (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡) = (𝑀(,)𝑁))
136134, 135syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ dom (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡) = (𝑀(,)𝑁))
137131, 136eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (𝑀(,)𝑁))
138130, 137feq12d 6699 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)):dom (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴))βŸΆβ„ ↔ (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„))
139128, 138mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„)
140 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡)
141140fmpt 7105 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐡 ∈ ℝ ↔ (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡):(𝑀(,)𝑁)βŸΆβ„)
142139, 141sylibr 233 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐡 ∈ ℝ)
143 nfcsb1v 3913 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡
144143nfel1 2913 . . . . . . . 8 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ
145 csbeq1a 3902 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝐡 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)
146145eleq1d 2812 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐡 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ))
147144, 146rspc 3594 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁)𝐡 ∈ ℝ β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ))
148142, 147mpan9 506 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁)) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ)
149107, 20, 22cbvmpt 5252 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴) = (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴)
150149oveq2i 7416 . . . . . . 7 (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐴)) = (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴))
151 nfcv 2897 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦𝐡
152151, 143, 145cbvmpt 5252 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ 𝐡) = (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)
153130, 150, 1523eqtr3g 2789 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝑀(,)𝑁) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))
15481, 120, 148, 153, 88, 100, 54, 102dvmptres 25850 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴)) = (𝑦 ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))
155 dvfsumleOLD.l . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)))) β†’ 𝑋 ≀ 𝐡)
156155anassrs 467 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1))) β†’ 𝑋 ≀ 𝐡)
157156ralrimiva 3140 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1))𝑋 ≀ 𝐡)
158 nfcv 2897 . . . . . . . 8 β„²π‘₯𝑋
159 nfcv 2897 . . . . . . . 8 β„²π‘₯ ≀
160158, 159, 143nfbr 5188 . . . . . . 7 β„²π‘₯ 𝑋 ≀ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡
161145breq2d 5153 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑋 ≀ 𝐡 ↔ 𝑋 ≀ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))
162160, 161rspc 3594 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1))𝑋 ≀ 𝐡 β†’ 𝑋 ≀ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))
163157, 162mpan9 506 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (π‘˜(,)(π‘˜ + 1))) β†’ 𝑋 ≀ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)
16441rexrd 11268 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ*)
16549rexrd 11268 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ ℝ*)
16641lep1d 12149 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ π‘˜ ≀ (π‘˜ + 1))
167 lbicc2 13447 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ ℝ* ∧ (π‘˜ + 1) ∈ ℝ* ∧ π‘˜ ≀ (π‘˜ + 1)) β†’ π‘˜ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)))
168164, 165, 166, 167syl3anc 1368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)))
169 ubicc2 13448 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ ℝ* ∧ (π‘˜ + 1) ∈ ℝ* ∧ π‘˜ ≀ (π‘˜ + 1)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)))
170164, 165, 166, 169syl3anc 1368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (π‘˜[,](π‘˜ + 1)))
171 oveq2 7413 . . . . 5 (𝑦 = π‘˜ β†’ (𝑋 Β· 𝑦) = (𝑋 Β· π‘˜))
172 oveq2 7413 . . . . 5 (𝑦 = (π‘˜ + 1) β†’ (𝑋 Β· 𝑦) = (𝑋 Β· (π‘˜ + 1)))
17341, 49, 79, 106, 114, 154, 163, 168, 170, 166, 171, 34, 172, 29dvle 25895 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ ((𝑋 Β· (π‘˜ + 1)) βˆ’ (𝑋 Β· π‘˜)) ≀ (⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴))
17453, 173eqbrtrrd 5165 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)) β†’ 𝑋 ≀ (⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴))
1752, 3, 38, 174fsumle 15751 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)(⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴))
176 vex 3472 . . . . 5 𝑦 ∈ V
177176a1i 11 . . . 4 (𝑦 = 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ V)
178 eqeq2 2738 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑀 β†’ (π‘₯ = 𝑦 ↔ π‘₯ = 𝑀))
179178biimpa 476 . . . . 5 ((𝑦 = 𝑀 ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ π‘₯ = 𝑀)
180 dvfsumleOLD.c . . . . 5 (π‘₯ = 𝑀 β†’ 𝐴 = 𝐢)
181179, 180syl 17 . . . 4 ((𝑦 = 𝑀 ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ 𝐴 = 𝐢)
182177, 181csbied 3926 . . 3 (𝑦 = 𝑀 β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 = 𝐢)
183176a1i 11 . . . 4 (𝑦 = 𝑁 β†’ 𝑦 ∈ V)
184 eqeq2 2738 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑁 β†’ (π‘₯ = 𝑦 ↔ π‘₯ = 𝑁))
185184biimpa 476 . . . . 5 ((𝑦 = 𝑁 ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ π‘₯ = 𝑁)
186 dvfsumleOLD.d . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ 𝐴 = 𝐷)
187185, 186syl 17 . . . 4 ((𝑦 = 𝑁 ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ 𝐴 = 𝐷)
188183, 187csbied 3926 . . 3 (𝑦 = 𝑁 β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 = 𝐷)
18926recnd 11246 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ β„‚)
19034, 29, 182, 188, 4, 189telfsumo2 15755 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)(⦋(π‘˜ + 1) / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐴) = (𝐷 βˆ’ 𝐢))
191175, 190breqtrd 5167 1 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀..^𝑁)𝑋 ≀ (𝐷 βˆ’ 𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468  β¦‹csb 3888   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  {cpr 4625   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669  ran crn 5670   β†Ύ cres 5671  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  β„cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  β„*cxr 11251   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  (,)cioo 13330  [,]cicc 13333  ...cfz 13490  ..^cfzo 13633  Ξ£csu 15638  TopOpenctopn 17376  topGenctg 17392  β„‚fldccnfld 21240  β€“cnβ†’ccncf 24751   D cdv 25747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-cmp 23246  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator