Theorem taylpfval 26339

Description: Define the Taylor polynomial of a function. The constant Tayl is a function of five arguments: 𝑆 is the base set with respect to evaluate the derivatives (generally ℝ or ℂ), 𝐹 is the function we are approximating, at point 𝐵, to order 𝑁. The result is a polynomial function of 𝑥. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
taylpfval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
taylpfval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
taylpfval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
taylpfval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
taylpfval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
taylpfval.t	⊢ 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)

Assertion

Ref	Expression
taylpfval	⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐵   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝑁,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑥,𝑇

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝑇(𝑘)

Proof of Theorem taylpfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		taylpfval.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		taylpfval.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3		taylpfval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
4		taylpfval.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	4	orcd 874	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
6		taylpfval.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
7	1, 2, 3, 4, 6	taylplem1 26337	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
8		taylpfval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
9	1, 2, 3, 5, 7, 8	taylfval 26333	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))))
10		cnfldbas 21346	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
11		cnfld0 21380	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
12		cnring 21378	. . . . . . . 8 ⊢ ℂfld ∈ Ring
13		ringcmn 20252	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
14	12, 13	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ℂfld ∈ CMnd)
15		cnfldtps 24750	. . . . . . . 8 ⊢ ℂfld ∈ TopSp
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ℂfld ∈ TopSp)
17		ovex 7391	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]𝑁) ∈ V
18	17	inex1 5252	. . . . . . . 8 ⊢ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V)
20	1, 2, 3, 5, 7	taylfvallem1 26331	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)) ∈ ℂ)
21	20	fmpttd 7059	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))):((0[,]𝑁) ∩ ℤ)⟶ℂ)
22		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))
23		0z 12524	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
24	4	nn0zd 12538	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
25		fzval2 13453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0...𝑁) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
26	23, 24, 25	sylancr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
27	26	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0...𝑁) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
28		fzfid 13924	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ∈ Fin)
29	27, 28	eqeltrrd 2838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ Fin)
30		ovexd 7393	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)) ∈ V)
31		c0ex 11127	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ V)
33	22, 29, 30, 32	fsuppmptdm 9280	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))) finSupp 0)
34		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
35	34	cnfldhaus 24757	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
36	35	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus)
37	10, 11, 14, 16, 19, 21, 33, 34, 36	haustsmsid 24114	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))) = {(ℂfld Σg (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))})
38	29, 20	gsumfsum 21422	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))
39	27	sumeq1d 15651	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))
40	38, 39	eqtr4d 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))
41	40	sneqd 4580	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → {(ℂfld Σg (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))} = {Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))})
42	37, 41	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))) = {Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))})
43	42	xpeq2d 5652	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) = ({𝑥} × {Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))}))
44	43	iuneq2dv 4959	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) = ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × {Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))}))
45	9, 44	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × {Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))}))
46		dfmpt3 6624	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))) = ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × {Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))})
47	45, 46	eqtr4di 2790	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  {csn 4568  {cpr 4570  ∪ ciun 4934   ↦ cmpt 5167   × cxp 5620  dom cdm 5622  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Fincfn 8884  ℂcc 11025  ℝcr 11026  0cc0 11027   · cmul 11032  +∞cpnf 11165   − cmin 11366   / cdiv 11796  ℕ₀cn0 12426  ℤcz 12513  [,]cicc 13290  ...cfz 13450  ↑cexp 14012  !cfa 14224  Σcsu 15637  TopOpenctopn 17373   Σ_g cgsu 17392  CMndccmn 19744  Ringcrg 20203  ℂ_fldccnfld 21342  TopSpctps 22905  Hauscha 23281   tsums ctsu 24099   D^𝑛 cdvn 25839   Tayl ctayl 26327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-addf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-fi 9315  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-q 12888  df-rp 12932  df-xneg 13052  df-xadd 13053  df-xmul 13054  df-icc 13294  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-seq 13953  df-exp 14013  df-fac 14225  df-hash 14282  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15439  df-sum 15638  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-starv 17224  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-unif 17232  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-cntz 19281  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-ur 20152  df-ring 20205  df-cring 20206  df-psmet 21334  df-xmet 21335  df-met 21336  df-bl 21337  df-mopn 21338  df-fbas 21339  df-fg 21340  df-cnfld 21343  df-top 22867  df-topon 22884  df-topsp 22906  df-bases 22919  df-cld 22992  df-ntr 22993  df-cls 22994  df-nei 23071  df-lp 23109  df-perf 23110  df-cnp 23201  df-haus 23288  df-fil 23819  df-fm 23911  df-flim 23912  df-flf 23913  df-tsms 24100  df-xms 24293  df-ms 24294  df-limc 25841  df-dv 25842  df-dvn 25843  df-tayl 26329

This theorem is referenced by:  taylpf  26340  taylpval  26341  taylply2  26342  taylply2OLD  26343  dvtaylp  26345