MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylpfval Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem taylpfval 26254
Description: Define the Taylor polynomial of a function. The constant Tayl is a function of five arguments: 𝑆 is the base set with respect to evaluate the derivatives (generally ℝ or β„‚), 𝐹 is the function we are approximating, at point 𝐡, to order 𝑁. The result is a polynomial function of π‘₯. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
taylpfval.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
taylpfval.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
taylpfval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
taylpfval.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
taylpfval.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘))
taylpfval.t 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡)
Assertion
Ref Expression
taylpfval (πœ‘ β†’ 𝑇 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝐡   π‘˜,𝐹,π‘₯   π‘˜,𝑁,π‘₯   πœ‘,π‘˜,π‘₯   𝑆,π‘˜,π‘₯   π‘₯,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,π‘˜)   𝑇(π‘˜)
Proof of Theorem taylpfval
StepHypRef Expression
1 taylpfval.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2 taylpfval.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
3 taylpfval.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
4 taylpfval.n . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
54orcd 870 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ β„•0 ∨ 𝑁 = +∞))
6 taylpfval.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘))
71, 2, 3, 4, 6taylplem1 26252 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
8 taylpfval.t . . . 4 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡)
91, 2, 3, 5, 7, 8taylfval 26248 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 = βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))))
10 cnfldbas 21244 . . . . . . 7 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
11 cnfld0 21281 . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
12 cnring 21279 . . . . . . . 8 β„‚fld ∈ Ring
13 ringcmn 20181 . . . . . . . 8 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
1412, 13mp1i 13 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
15 cnfldtps 24649 . . . . . . . 8 β„‚fld ∈ TopSp
1615a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ β„‚fld ∈ TopSp)
17 ovex 7438 . . . . . . . . 9 (0[,]𝑁) ∈ V
1817inex1 5310 . . . . . . . 8 ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ∈ V
1918a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ∈ V)
201, 2, 3, 5, 7taylfvallem1 26246 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
2120fmpttd 7110 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))):((0[,]𝑁) ∩ β„€)βŸΆβ„‚)
22 eqid 2726 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))) = (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))
23 0z 12573 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ β„€
244nn0zd 12588 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
25 fzval2 13493 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (0...𝑁) = ((0[,]𝑁) ∩ β„€))
2623, 24, 25sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0...𝑁) = ((0[,]𝑁) ∩ β„€))
2726adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (0...𝑁) = ((0[,]𝑁) ∩ β„€))
28 fzfid 13944 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (0...𝑁) ∈ Fin)
2927, 28eqeltrrd 2828 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ∈ Fin)
30 ovexd 7440 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)) ∈ V)
31 c0ex 11212 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
3231a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 0 ∈ V)
3322, 29, 30, 32fsuppmptdm 9376 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))) finSupp 0)
34 eqid 2726 . . . . . . 7 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
3534cnfldhaus 24656 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Haus
3635a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Haus)
3710, 11, 14, 16, 19, 21, 33, 34, 36haustsmsid 24000 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))) = {(β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))})
3829, 20gsumfsum 21328 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))) = Ξ£π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))
3927sumeq1d 15653 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))
4038, 39eqtr4d 2769 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))
4140sneqd 4635 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ {(β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))} = {Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))})
4237, 41eqtrd 2766 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))) = {Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))})
4342xpeq2d 5699 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))) = ({π‘₯} Γ— {Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))}))
4443iuneq2dv 5014 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))) = βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— {Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))}))
459, 44eqtrd 2766 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑇 = βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— {Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))}))
46 dfmpt3 6678 . 2 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))) = βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— {Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))})
4745, 46eqtr4di 2784 1 (πœ‘ β†’ 𝑇 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  {csn 4623  {cpr 4625  βˆͺ ciun 4990   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667  dom cdm 5669  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   Β· cmul 11117  +∞cpnf 11249   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  [,]cicc 13333  ...cfz 13490  β†‘cexp 14032  !cfa 14238  Ξ£csu 15638  TopOpenctopn 17376   Ξ£g cgsu 17395  CMndccmn 19700  Ringcrg 20138  β„‚fldccnfld 21240  TopSpctps 22789  Hauscha 23167   tsums ctsu 23985   D𝑛 cdvn 25748   Tayl ctayl 26242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-tsms 23986  df-xms 24181  df-ms 24182  df-limc 25750  df-dv 25751  df-dvn 25752  df-tayl 26244
This theorem is referenced by:  taylpf  26255  taylpval  26256  taylply2  26257  taylply2OLD  26258  dvtaylp  26260
  Copyright terms: Public domain W3C validator