MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylpfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem taylpfval 25112
Description: Define the Taylor polynomial of a function. The constant Tayl is a function of five arguments: 𝑆 is the base set with respect to evaluate the derivatives (generally or ), 𝐹 is the function we are approximating, at point 𝐵, to order 𝑁. The result is a polynomial function of 𝑥. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
taylpfval.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
taylpfval.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
taylpfval.a (𝜑𝐴𝑆)
taylpfval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
taylpfval.b (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
taylpfval.t 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
Assertion
Ref Expression
taylpfval (𝜑𝑇 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐵   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝑁,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑥,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝑇(𝑘)

Proof of Theorem taylpfval
StepHypRef Expression
1 taylpfval.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 taylpfval.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
3 taylpfval.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑆)
4 taylpfval.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
54orcd 872 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 = +∞))
6 taylpfval.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
71, 2, 3, 4, 6taylplem1 25110 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
8 taylpfval.t . . . 4 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
91, 2, 3, 5, 7, 8taylfval 25106 . . 3 (𝜑𝑇 = 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))))
10 cnfldbas 20221 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
11 cnfld0 20241 . . . . . . 7 0 = (0g‘ℂfld)
12 cnring 20239 . . . . . . . 8 fld ∈ Ring
13 ringcmn 19453 . . . . . . . 8 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
1412, 13mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ℂfld ∈ CMnd)
15 cnfldtps 23530 . . . . . . . 8 fld ∈ TopSp
1615a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ℂfld ∈ TopSp)
17 ovex 7203 . . . . . . . . 9 (0[,]𝑁) ∈ V
1817inex1 5185 . . . . . . . 8 ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V
1918a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V)
201, 2, 3, 5, 7taylfvallem1 25104 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)) ∈ ℂ)
2120fmpttd 6889 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))):((0[,]𝑁) ∩ ℤ)⟶ℂ)
22 eqid 2738 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))
23 0z 12073 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
244nn0zd 12166 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
25 fzval2 12984 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0...𝑁) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
2623, 24, 25sylancr 590 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0...𝑁) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
2726adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (0...𝑁) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
28 fzfid 13432 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ∈ Fin)
2927, 28eqeltrrd 2834 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ Fin)
30 ovexd 7205 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)) ∈ V)
31 c0ex 10713 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
3231a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ V)
3322, 29, 30, 32fsuppmptdm 8917 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))) finSupp 0)
34 eqid 2738 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
3534cnfldhaus 23537 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
3635a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus)
3710, 11, 14, 16, 19, 21, 33, 34, 36haustsmsid 22892 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))) = {(ℂfld Σg (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))})
3829, 20gsumfsum 20284 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))
3927sumeq1d 15151 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))
4038, 39eqtr4d 2776 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))
4140sneqd 4528 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → {(ℂfld Σg (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))} = {Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))})
4237, 41eqtrd 2773 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))) = {Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))})
4342xpeq2d 5555 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) = ({𝑥} × {Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))}))
4443iuneq2dv 4905 . . 3 (𝜑 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))) = 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × {Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))}))
459, 44eqtrd 2773 . 2 (𝜑𝑇 = 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × {Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))}))
46 dfmpt3 6471 . 2 (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))) = 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × {Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))})
4745, 46eqtr4di 2791 1 (𝜑𝑇 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  Vcvv 3398  cin 3842  wss 3843  {csn 4516  {cpr 4518   ciun 4881  cmpt 5110   × cxp 5523  dom cdm 5525  wf 6335  cfv 6339  (class class class)co 7170  Fincfn 8555  cc 10613  cr 10614  0cc0 10615   · cmul 10620  +∞cpnf 10750  cmin 10948   / cdiv 11375  0cn0 11976  cz 12062  [,]cicc 12824  ...cfz 12981  cexp 13521  !cfa 13725  Σcsu 15135  TopOpenctopn 16798   Σg cgsu 16817  CMndccmn 19024  Ringcrg 19416  fldccnfld 20217  TopSpctps 21683  Hauscha 22059   tsums ctsu 22877   D𝑛 cdvn 24616   Tayl ctayl 25100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-inf2 9177  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693  ax-addf 10694  ax-mulf 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-pm 8440  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-fi 8948  df-sup 8979  df-inf 8980  df-oi 9047  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-q 12431  df-rp 12473  df-xneg 12590  df-xadd 12591  df-xmul 12592  df-icc 12828  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-seq 13461  df-exp 13522  df-fac 13726  df-hash 13783  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-clim 14935  df-sum 15136  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-rest 16799  df-topn 16800  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-topgen 16820  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-abl 19027  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-cring 19419  df-psmet 20209  df-xmet 20210  df-met 20211  df-bl 20212  df-mopn 20213  df-fbas 20214  df-fg 20215  df-cnfld 20218  df-top 21645  df-topon 21662  df-topsp 21684  df-bases 21697  df-cld 21770  df-ntr 21771  df-cls 21772  df-nei 21849  df-lp 21887  df-perf 21888  df-cnp 21979  df-haus 22066  df-fil 22597  df-fm 22689  df-flim 22690  df-flf 22691  df-tsms 22878  df-xms 23073  df-ms 23074  df-limc 24618  df-dv 24619  df-dvn 24620  df-tayl 25102
This theorem is referenced by:  taylpf  25113  taylpval  25114  taylply2  25115  dvtaylp  25117
  Copyright terms: Public domain W3C validator