Theorem taylpfval 26722

Description: Define the Taylor polynomial of a function. The constant Tayl is a function of five arguments: 𝑆 is the base set with respect to evaluate the derivatives (generally ℝ or ℂ), 𝐹 is the function we are approximating, at point 𝐵, to order 𝑁. The result is a polynomial function of 𝑥. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
taylpfval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
taylpfval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
taylpfval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
taylpfval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
taylpfval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
taylpfval.t	⊢ 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)

Assertion

Ref	Expression
taylpfval	⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐵   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝑁,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑥,𝑇

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑘)   𝑇(𝑘)

Proof of Theorem taylpfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		taylpfval.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		taylpfval.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3		taylpfval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
4		taylpfval.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	4	orcd 887	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
6		taylpfval.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
7	1, 2, 3, 4, 6	taylplem1 26720	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
8		taylpfval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
9	1, 2, 3, 5, 7, 8	taylfval 26716	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))))
10		cnfldbas 21712	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
11		cnfld0 21732	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
12		cnring 21730	. . . . . . . 8 ⊢ ℂfld ∈ Ring
13		ringcmn 20541	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
14	12, 13	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ℂfld ∈ CMnd)
15		cnfldtps 25126	. . . . . . . 8 ⊢ ℂfld ∈ TopSp
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ℂfld ∈ TopSp)
17		ovex 7476	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]𝑁) ∈ V
18	17	inex1 5281	. . . . . . . 8 ⊢ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ V)
20	1, 2, 3, 5, 7	taylfvallem1 26714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)) ∈ ℂ)
21	20	fmpttd 7139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))):((0[,]𝑁) ∩ ℤ)⟶ℂ)
22		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))
23		0z 12731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
24	4	nn0zd 12745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
25		fzval2 13669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0...𝑁) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
26	23, 24, 25	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
27	26	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0...𝑁) = ((0[,]𝑁) ∩ ℤ))
28		fzfid 14143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ∈ Fin)
29	27, 28	eqeltrrd 2865	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ∈ Fin)
30		ovexd 7478	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)) ∈ V)
31		c0ex 11327	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ V)
33	22, 29, 30, 32	fsuppmptdm 9395	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))) finSupp 0)
34		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
35	34	cnfldhaus 25133	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
36	35	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus)
37	10, 11, 14, 16, 19, 21, 33, 34, 36	haustsmsid 24490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))) = {(ℂfld Σg (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))})
38	29, 20	gsumfsum 21770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))
39	27	sumeq1d 15896	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))
40	38, 39	eqtr4d 2801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))
41	40	sneqd 4596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → {(ℂfld Σg (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))} = {Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))})
42	37, 41	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))) = {Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))})
43	42	xpeq2d 5685	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) = ({𝑥} × {Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))}))
44	43	iuneq2dv 4979	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × (ℂfld tsums (𝑘 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℤ) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))) = ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × {Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))}))
45	9, 44	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × {Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))}))
46		dfmpt3 6695	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))) = ∪ 𝑥 ∈ ℂ ({𝑥} × {Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))})
47	45, 46	eqtr4di 2816	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  {csn 4588  {cpr 4590  ∪ ciun 4954   ↦ cmpt 5189   × cxp 5653  dom cdm 5655  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Fincfn 9001  ℂcc 11225  ℝcr 11226  0cc0 11227   · cmul 11232  +∞cpnf 11367   − cmin 11568   / cdiv 12000  ℕ₀cn0 12633  ℤcz 12720  [,]cicc 13506  ...cfz 13666  ↑cexp 14231  !cfa 14444  Σcsu 15882  TopOpenctopn 17621   Σ_g cgsu 17640  CMndccmn 20024  Ringcrg 20489  ℂ_fldccnfld 21708  TopSpctps 23280  Hauscha 23656   tsums ctsu 24475   D^𝑛 cdvn 26214   Tayl ctayl 26710

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305  ax-addf 11306

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-fi 9430  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-xneg 13268  df-xadd 13269  df-xmul 13270  df-icc 13510  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-seq 14172  df-exp 14232  df-fac 14445  df-hash 14502  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-clim 15684  df-sum 15883  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-starv 17472  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-unif 17480  df-rest 17622  df-topn 17623  df-0g 17641  df-gsum 17642  df-topgen 17643  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-cntz 19561  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-ur 20438  df-ring 20491  df-cring 20492  df-psmet 21700  df-xmet 21701  df-met 21702  df-bl 21703  df-mopn 21704  df-fbas 21705  df-fg 21706  df-cnfld 21709  df-top 23242  df-topon 23259  df-topsp 23281  df-bases 23294  df-cld 23367  df-ntr 23368  df-cls 23369  df-nei 23446  df-lp 23484  df-perf 23485  df-cnp 23576  df-haus 23663  df-fil 24195  df-fm 24287  df-flim 24288  df-flf 24289  df-tsms 24476  df-xms 24669  df-ms 24670  df-limc 26216  df-dv 26217  df-dvn 26218  df-tayl 26712

This theorem is used by:  taylpf  26723  taylpval  26724  taylply2  26725  dvtaylp  26727