MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylpfval Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem taylpfval 26317
Description: Define the Taylor polynomial of a function. The constant Tayl is a function of five arguments: 𝑆 is the base set with respect to evaluate the derivatives (generally ℝ or β„‚), 𝐹 is the function we are approximating, at point 𝐡, to order 𝑁. The result is a polynomial function of π‘₯. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
taylpfval.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
taylpfval.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
taylpfval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
taylpfval.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
taylpfval.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘))
taylpfval.t 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡)
Assertion
Ref Expression
taylpfval (πœ‘ β†’ 𝑇 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝐡   π‘˜,𝐹,π‘₯   π‘˜,𝑁,π‘₯   πœ‘,π‘˜,π‘₯   𝑆,π‘˜,π‘₯   π‘₯,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,π‘˜)   𝑇(π‘˜)
Proof of Theorem taylpfval
StepHypRef Expression
1 taylpfval.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2 taylpfval.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
3 taylpfval.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
4 taylpfval.n . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
54orcd 871 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ β„•0 ∨ 𝑁 = +∞))
6 taylpfval.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘))
71, 2, 3, 4, 6taylplem1 26315 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
8 taylpfval.t . . . 4 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡)
91, 2, 3, 5, 7, 8taylfval 26311 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 = βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))))
10 cnfldbas 21287 . . . . . . 7 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
11 cnfld0 21324 . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
12 cnring 21322 . . . . . . . 8 β„‚fld ∈ Ring
13 ringcmn 20222 . . . . . . . 8 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
1412, 13mp1i 13 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
15 cnfldtps 24712 . . . . . . . 8 β„‚fld ∈ TopSp
1615a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ β„‚fld ∈ TopSp)
17 ovex 7449 . . . . . . . . 9 (0[,]𝑁) ∈ V
1817inex1 5312 . . . . . . . 8 ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ∈ V
1918a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ∈ V)
201, 2, 3, 5, 7taylfvallem1 26309 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
2120fmpttd 7120 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))):((0[,]𝑁) ∩ β„€)βŸΆβ„‚)
22 eqid 2725 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))) = (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))
23 0z 12599 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ β„€
244nn0zd 12614 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
25 fzval2 13519 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (0...𝑁) = ((0[,]𝑁) ∩ β„€))
2623, 24, 25sylancr 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0...𝑁) = ((0[,]𝑁) ∩ β„€))
2726adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (0...𝑁) = ((0[,]𝑁) ∩ β„€))
28 fzfid 13970 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (0...𝑁) ∈ Fin)
2927, 28eqeltrrd 2826 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ∈ Fin)
30 ovexd 7451 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)) β†’ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)) ∈ V)
31 c0ex 11238 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
3231a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 0 ∈ V)
3322, 29, 30, 32fsuppmptdm 9399 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))) finSupp 0)
34 eqid 2725 . . . . . . 7 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
3534cnfldhaus 24719 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Haus
3635a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Haus)
3710, 11, 14, 16, 19, 21, 33, 34, 36haustsmsid 24063 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))) = {(β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))})
3829, 20gsumfsum 21371 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))) = Ξ£π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))
3927sumeq1d 15679 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))
4038, 39eqtr4d 2768 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))
4140sneqd 4636 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ {(β„‚fld Ξ£g (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))} = {Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))})
4237, 41eqtrd 2765 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))) = {Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))})
4342xpeq2d 5702 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))) = ({π‘₯} Γ— {Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))}))
4443iuneq2dv 5015 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— (β„‚fld tsums (π‘˜ ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„€) ↦ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))) = βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— {Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))}))
459, 44eqtrd 2765 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑇 = βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— {Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))}))
46 dfmpt3 6684 . 2 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))) = βˆͺ π‘₯ ∈ β„‚ ({π‘₯} Γ— {Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))})
4745, 46eqtr4di 2783 1 (πœ‘ β†’ 𝑇 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   ∩ cin 3938   βŠ† wss 3939  {csn 4624  {cpr 4626  βˆͺ ciun 4991   ↦ cmpt 5226   Γ— cxp 5670  dom cdm 5672  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Fincfn 8962  β„‚cc 11136  β„cr 11137  0cc0 11138   Β· cmul 11143  +∞cpnf 11275   βˆ’ cmin 11474   / cdiv 11901  β„•0cn0 12502  β„€cz 12588  [,]cicc 13359  ...cfz 13516  β†‘cexp 14058  !cfa 14264  Ξ£csu 15664  TopOpenctopn 17402   Ξ£g cgsu 17421  CMndccmn 19739  Ringcrg 20177  β„‚fldccnfld 21283  TopSpctps 22852  Hauscha 23230   tsums ctsu 24048   D𝑛 cdvn 25811   Tayl ctayl 26305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-sum 15665  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-tsms 24049  df-xms 24244  df-ms 24245  df-limc 25813  df-dv 25814  df-dvn 25815  df-tayl 26307
This theorem is referenced by:  taylpf  26318  taylpval  26319  taylply2  26320  taylply2OLD  26321  dvtaylp  26323
  Copyright terms: Public domain W3C validator