Theorem gneispb 44671

Description: Given a neighborhood 𝑁 of 𝑃, each subset of the neighborhood space containing this neighborhood is also a neighborhood of 𝑃. Axiom B of Seifert and Threlfall. (Contributed by RP, 5-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
gneispace.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
gneispb	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑁 ⊆ 𝑠 → 𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})))

Distinct variable groups:   𝐽,𝑠   𝑁,𝑠   𝑃,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem gneispb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpb 1161	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})))
2	1	ad2antrr 736	. . . 4 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑠) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})))
3		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑠) → 𝑁 ⊆ 𝑠)
4		simplr 778	. . . . 5 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑠) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋)
5	4	elpwid 4563	. . . 4 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑠) → 𝑠 ⊆ 𝑋)
6		gneispace.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
7	6	ssnei2 23156	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ (𝑁 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑋)) → 𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))
8	2, 3, 5, 7	syl12anc 847	. . 3 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑠) → 𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))
9	8	exp31 423	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → (𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑁 ⊆ 𝑠 → 𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))))
10	9	ralrimiv 3152	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑁 ⊆ 𝑠 → 𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075   ⊆ wss 3904  𝒫 cpw 4554  {csn 4581  ∪ cuni 4864  ‘cfv 6517  Topctop 22933  neicnei 23137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-top 22934  df-nei 23138

This theorem is referenced by: (None)