Theorem gneispb 42882

Description: Given a neighborhood 𝑁 of 𝑃, each subset of the neighborhood space containing this neighborhood is also a neighborhood of 𝑃. Axiom B of Seifert and Threlfall. (Contributed by RP, 5-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
gneispace.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
gneispb	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑁 ⊆ 𝑠 → 𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})))

Distinct variable groups:   𝐽,𝑠   𝑁,𝑠   𝑃,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem gneispb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpb 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})))
2	1	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑠) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})))
3		simpr 486	. . . 4 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑠) → 𝑁 ⊆ 𝑠)
4		simplr 768	. . . . 5 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑠) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋)
5	4	elpwid 4612	. . . 4 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑠) → 𝑠 ⊆ 𝑋)
6		gneispace.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
7	6	ssnei2 22620	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ (𝑁 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑋)) → 𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))
8	2, 3, 5, 7	syl12anc 836	. . 3 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑠) → 𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))
9	8	exp31 421	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → (𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑁 ⊆ 𝑠 → 𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))))
10	9	ralrimiv 3146	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑁 ⊆ 𝑠 → 𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062   ⊆ wss 3949  𝒫 cpw 4603  {csn 4629  ∪ cuni 4909  ‘cfv 6544  Topctop 22395  neicnei 22601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-top 22396  df-nei 22602

This theorem is referenced by: (None)