Theorem gneispb 44898

Description: Given a neighborhood 𝑁 of 𝑃, each subset of the neighborhood space containing this neighborhood is also a neighborhood of 𝑃. Axiom B of Seifert and Threlfall. (Contributed by RP, 5-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
gneispace.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
gneispb	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑁 ⊆ 𝑠 → 𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})))

Distinct variable groups:   𝐽,𝑠   𝑁,𝑠   𝑃,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem gneispb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpb 1167	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})))
2	1	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑠) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})))
3		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑠) → 𝑁 ⊆ 𝑠)
4		simplr 781	. . . . 5 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑠) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋)
5	4	elpwid 4576	. . . 4 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑠) → 𝑠 ⊆ 𝑋)
6		gneispace.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
7	6	ssnei2 23310	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ (𝑁 ⊆ 𝑠 ∧ 𝑠 ⊆ 𝑋)) → 𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))
8	2, 3, 5, 7	syl12anc 850	. . 3 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑠) → 𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))
9	8	exp31 425	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → (𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑁 ⊆ 𝑠 → 𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))))
10	9	ralrimiv 3159	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑁 ⊆ 𝑠 → 𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082   ⊆ wss 3908  𝒫 cpw 4567  {csn 4594  ∪ cuni 4877  ‘cfv 6543  Topctop 23087  neicnei 23291

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-top 23088  df-nei 23292

This theorem is used by: (None)