Theorem gricrel 48046

Description: The "is isomorphic to" relation for graphs is a relation. (Contributed by AV, 11-Nov-2022.) (Revised by AV, 5-May-2025.)

Assertion

Ref	Expression
gricrel	⊢ Rel ≃𝑔𝑟

Proof of Theorem gricrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-gric 48008	. . 3 ⊢ ≃𝑔𝑟 = (◡ GraphIso “ (V ∖ 1o))
2		cnvimass 6037	. . . 4 ⊢ (◡ GraphIso “ (V ∖ 1o)) ⊆ dom GraphIso
3		grimfn 48006	. . . . 5 ⊢ GraphIso Fn (V × V)
4	3	fndmi 6592	. . . 4 ⊢ dom GraphIso = (V × V)
5	2, 4	sseqtri 3979	. . 3 ⊢ (◡ GraphIso “ (V ∖ 1o)) ⊆ (V × V)
6	1, 5	eqsstri 3977	. 2 ⊢ ≃𝑔𝑟 ⊆ (V × V)
7		relxp 5639	. 2 ⊢ Rel (V × V)
8		relss 5728	. 2 ⊢ ( ≃𝑔𝑟 ⊆ (V × V) → (Rel (V × V) → Rel ≃𝑔𝑟 ))
9	6, 7, 8	mp2 9	1 ⊢ Rel ≃𝑔𝑟

Syntax hints:  Vcvv 3437   ∖ cdif 3895   ⊆ wss 3898   × cxp 5619  ^◡ccnv 5620  dom cdm 5621   “ cima 5624  Rel wrel 5626  1_oc1o 8386   GraphIso cgrim 48002   ≃_𝑔𝑟 cgric 48003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-map 8760  df-grim 48005  df-gric 48008

This theorem is referenced by: (None)