Theorem gricuspgr 49221

Description: The "is isomorphic to" relation for two simple pseudographs. This corresponds to the definition in [Bollobas] p. 3. (Contributed by AV, 1-Dec-2022.) (Proof shortened by AV, 5-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gricushgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
gricushgr.w	⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
gricushgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐴)
gricushgr.k	⊢ 𝐾 = (Edg‘𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gricuspgr	⊢ ((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) → (𝐴 ≃𝑔𝑟 𝐵 ↔ ∃𝑓(𝑓:𝑉⟶1-1onto𝑊 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓‘𝑎), (𝑓‘𝑏)} ∈ 𝐾))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝐸,𝑎,𝑏,𝑓   𝐾,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏   𝑊,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem gricuspgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brgric 49215	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≃𝑔𝑟 𝐵 ↔ (𝐴 GraphIso 𝐵) ≠ ∅)
2		n0 4303	. . . 4 ⊢ ((𝐴 GraphIso 𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐴 GraphIso 𝐵))
3	1, 2	bitri 278	. . 3 ⊢ (𝐴 ≃𝑔𝑟 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐴 GraphIso 𝐵))
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) → (𝐴 ≃𝑔𝑟 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐴 GraphIso 𝐵)))
5		gricushgr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
6		gricushgr.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
7		gricushgr.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐴)
8		gricushgr.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Edg‘𝐵)
9	5, 6, 7, 8	isuspgrim 49199	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) → (𝑓 ∈ (𝐴 GraphIso 𝐵) ↔ (𝑓:𝑉⟶1-1onto𝑊 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓‘𝑎), (𝑓‘𝑏)} ∈ 𝐾))))
10	9	exbidv 1956	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) → (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐴 GraphIso 𝐵) ↔ ∃𝑓(𝑓:𝑉⟶1-1onto𝑊 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓‘𝑎), (𝑓‘𝑏)} ∈ 𝐾))))
11	4, 10	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) → (𝐴 ≃𝑔𝑟 𝐵 ↔ ∃𝑓(𝑓:𝑉⟶1-1onto𝑊 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓‘𝑎), (𝑓‘𝑏)} ∈ 𝐾))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∅c0 4281  {cpr 4590   class class class wbr 5106  ⟶1-1ontowf1o 6557  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Vtxcvtx 29604  Edgcedg 29655  USPGraphcuspgr 29759   GraphIso cgrim 49178   ≃_𝑔𝑟 cgric 49179

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8745  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-n0 12634  df-xnn0 12707  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-hash 14502  df-edg 29656  df-uhgr 29666  df-upgr 29690  df-uspgr 29761  df-grim 49181  df-gric 49184

This theorem is used by: (None)