Theorem gricuspgr 48609

Description: The "is isomorphic to" relation for two simple pseudographs. This corresponds to the definition in [Bollobas] p. 3. (Contributed by AV, 1-Dec-2022.) (Proof shortened by AV, 5-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gricushgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
gricushgr.w	⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
gricushgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐴)
gricushgr.k	⊢ 𝐾 = (Edg‘𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gricuspgr	⊢ ((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) → (𝐴 ≃𝑔𝑟 𝐵 ↔ ∃𝑓(𝑓:𝑉–1-1-onto→𝑊 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓‘𝑎), (𝑓‘𝑏)} ∈ 𝐾))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝐸,𝑎,𝑏,𝑓   𝐾,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏   𝑊,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem gricuspgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brgric 48603	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≃𝑔𝑟 𝐵 ↔ (𝐴 GraphIso 𝐵) ≠ ∅)
2		n0 4315	. . . 4 ⊢ ((𝐴 GraphIso 𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐴 GraphIso 𝐵))
3	1, 2	bitri 278	. . 3 ⊢ (𝐴 ≃𝑔𝑟 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐴 GraphIso 𝐵))
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) → (𝐴 ≃𝑔𝑟 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐴 GraphIso 𝐵)))
5		gricushgr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
6		gricushgr.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
7		gricushgr.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐴)
8		gricushgr.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Edg‘𝐵)
9	5, 6, 7, 8	isuspgrim 48587	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) → (𝑓 ∈ (𝐴 GraphIso 𝐵) ↔ (𝑓:𝑉–1-1-onto→𝑊 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓‘𝑎), (𝑓‘𝑏)} ∈ 𝐾))))
10	9	exbidv 1948	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) → (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐴 GraphIso 𝐵) ↔ ∃𝑓(𝑓:𝑉–1-1-onto→𝑊 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓‘𝑎), (𝑓‘𝑏)} ∈ 𝐾))))
11	4, 10	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) → (𝐴 ≃𝑔𝑟 𝐵 ↔ ∃𝑓(𝑓:𝑉–1-1-onto→𝑊 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓‘𝑎), (𝑓‘𝑏)} ∈ 𝐾))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  ∅c0 4294  {cpr 4596   class class class wbr 5113  –1-1-onto→wf1o 6538  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413  Vtxcvtx 29289  Edgcedg 29340  USPGraphcuspgr 29441   GraphIso cgrim 48566   ≃_𝑔𝑟 cgric 48567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-dju 9889  df-card 9927  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12236  df-2 12305  df-n0 12507  df-xnn0 12580  df-z 12594  df-uz 12865  df-fz 13538  df-hash 14369  df-edg 29341  df-uhgr 29351  df-upgr 29375  df-uspgr 29443  df-grim 48569  df-gric 48572

This theorem is referenced by: (None)