Theorem gricuspgr 47949

Description: The "is isomorphic to" relation for two simple pseudographs. This corresponds to the definition in [Bollobas] p. 3. (Contributed by AV, 1-Dec-2022.) (Proof shortened by AV, 5-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gricushgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
gricushgr.w	⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
gricushgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐴)
gricushgr.k	⊢ 𝐾 = (Edg‘𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gricuspgr	⊢ ((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) → (𝐴 ≃𝑔𝑟 𝐵 ↔ ∃𝑓(𝑓:𝑉–1-1-onto→𝑊 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓‘𝑎), (𝑓‘𝑏)} ∈ 𝐾))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝐸,𝑎,𝑏,𝑓   𝐾,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏   𝑊,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem gricuspgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brgric 47943	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≃𝑔𝑟 𝐵 ↔ (𝐴 GraphIso 𝐵) ≠ ∅)
2		n0 4298	. . . 4 ⊢ ((𝐴 GraphIso 𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐴 GraphIso 𝐵))
3	1, 2	bitri 275	. . 3 ⊢ (𝐴 ≃𝑔𝑟 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐴 GraphIso 𝐵))
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) → (𝐴 ≃𝑔𝑟 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐴 GraphIso 𝐵)))
5		gricushgr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
6		gricushgr.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
7		gricushgr.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐴)
8		gricushgr.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Edg‘𝐵)
9	5, 6, 7, 8	isuspgrim 47927	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) → (𝑓 ∈ (𝐴 GraphIso 𝐵) ↔ (𝑓:𝑉–1-1-onto→𝑊 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓‘𝑎), (𝑓‘𝑏)} ∈ 𝐾))))
10	9	exbidv 1922	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) → (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐴 GraphIso 𝐵) ↔ ∃𝑓(𝑓:𝑉–1-1-onto→𝑊 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓‘𝑎), (𝑓‘𝑏)} ∈ 𝐾))))
11	4, 10	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) → (𝐴 ≃𝑔𝑟 𝐵 ↔ ∃𝑓(𝑓:𝑉–1-1-onto→𝑊 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓‘𝑎), (𝑓‘𝑏)} ∈ 𝐾))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∅c0 4278  {cpr 4573   class class class wbr 5086  –1-1-onto→wf1o 6475  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  Vtxcvtx 28969  Edgcedg 29020  USPGraphcuspgr 29121   GraphIso cgrim 47906   ≃_𝑔𝑟 cgric 47907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-dju 9789  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-n0 12377  df-xnn0 12450  df-z 12464  df-uz 12728  df-fz 13403  df-hash 14233  df-edg 29021  df-uhgr 29031  df-upgr 29055  df-uspgr 29123  df-grim 47909  df-gric 47912

This theorem is referenced by: (None)