MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hleqnid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hleqnid 26699
Description: The endpoint does not belong to the half-line. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a (𝜑𝐴𝑃)
ishlg.b (𝜑𝐵𝑃)
ishlg.c (𝜑𝐶𝑃)
hlln.1 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
Assertion
Ref Expression
hleqnid (𝜑 → ¬ 𝐴(𝐾𝐴)𝐵)

Proof of Theorem hleqnid
StepHypRef Expression
1 neirr 2949 . . 3 ¬ 𝐴𝐴
21a1i 11 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐴𝐴)
3 ishlg.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 ishlg.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 ishlg.k . . 3 𝐾 = (hlG‘𝐺)
6 ishlg.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
76adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐴(𝐾𝐴)𝐵) → 𝐴𝑃)
8 ishlg.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
98adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐴(𝐾𝐴)𝐵) → 𝐵𝑃)
10 hlln.1 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
1110adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐴(𝐾𝐴)𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
12 simpr 488 . . 3 ((𝜑𝐴(𝐾𝐴)𝐵) → 𝐴(𝐾𝐴)𝐵)
133, 4, 5, 7, 9, 7, 11, 12hlne1 26696 . 2 ((𝜑𝐴(𝐾𝐴)𝐵) → 𝐴𝐴)
142, 13mtand 816 1 (𝜑 → ¬ 𝐴(𝐾𝐴)𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940   class class class wbr 5053  cfv 6380  Basecbs 16760  TarskiGcstrkg 26521  Itvcitv 26527  hlGchlg 26691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-hlg 26692
This theorem is referenced by:  mirbtwnhl  26771
  Copyright terms: Public domain W3C validator