MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hleqnid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hleqnid 27379
Description: The endpoint does not belong to the half-line. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a (𝜑𝐴𝑃)
ishlg.b (𝜑𝐵𝑃)
ishlg.c (𝜑𝐶𝑃)
hlln.1 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
Assertion
Ref Expression
hleqnid (𝜑 → ¬ 𝐴(𝐾𝐴)𝐵)

Proof of Theorem hleqnid
StepHypRef Expression
1 neirr 2950 . . 3 ¬ 𝐴𝐴
21a1i 11 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐴𝐴)
3 ishlg.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 ishlg.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 ishlg.k . . 3 𝐾 = (hlG‘𝐺)
6 ishlg.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
76adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐴(𝐾𝐴)𝐵) → 𝐴𝑃)
8 ishlg.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
98adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐴(𝐾𝐴)𝐵) → 𝐵𝑃)
10 hlln.1 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
1110adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐴(𝐾𝐴)𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
12 simpr 485 . . 3 ((𝜑𝐴(𝐾𝐴)𝐵) → 𝐴(𝐾𝐴)𝐵)
133, 4, 5, 7, 9, 7, 11, 12hlne1 27376 . 2 ((𝜑𝐴(𝐾𝐴)𝐵) → 𝐴𝐴)
142, 13mtand 814 1 (𝜑 → ¬ 𝐴(𝐾𝐴)𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941   class class class wbr 5103  cfv 6493  Basecbs 17043  TarskiGcstrkg 27198  Itvcitv 27204  hlGchlg 27371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7354  df-hlg 27372
This theorem is referenced by:  mirbtwnhl  27451
  Copyright terms: Public domain W3C validator