Theorem hlne1 25956

Description: The half-line relation implies inequality. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
ishlg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
hlcomd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hlne1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)

Proof of Theorem hlne1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlcomd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵)
2		ishlg.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		ishlg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		ishlg.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
5		ishlg.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		ishlg.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7		ishlg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		ishlg.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ishlg 25953	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
10	1, 9	mpbid 224	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))))
11	10	simp1d 1133	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 836   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969   class class class wbr 4886  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  Itvcitv 25787  hlGchlg 25951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-hlg 25952

This theorem is referenced by:  hleqnid  25959  hltr  25961  opphllem4  26098  opphl  26102  cgrane1  26160  cgrane2  26161  cgrahl  26175  sacgr  26179  sacgrOLD  26180  acopy  26182  acopyeu  26183  inaghl  26194