MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirbtwnhl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mirbtwnhl 28688
Description: If the center of the point inversion 𝐴 is between two points 𝑋 and 𝑌, then the half lines are mirrored. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mirhl.m 𝑀 = (𝑆𝐴)
mirhl.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
mirhl.a (𝜑𝐴𝑃)
mirhl.x (𝜑𝑋𝑃)
mirhl.y (𝜑𝑌𝑃)
mirhl.z (𝜑𝑍𝑃)
mirbtwnhl.1 (𝜑𝑋𝐴)
mirbtwnhl.2 (𝜑𝑌𝐴)
mirbtwnhl.3 (𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
Assertion
Ref Expression
mirbtwnhl (𝜑 → (𝑍(𝐾𝐴)𝑋 ↔ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌))

Proof of Theorem mirbtwnhl
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑍 = 𝐴) → 𝑍 = 𝐴)
2 mirval.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 mirval.i . . . . . 6 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 mirhl.k . . . . . 6 𝐾 = (hlG‘𝐺)
5 mirhl.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑃)
6 mirhl.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑃)
7 mirval.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
82, 3, 4, 5, 6, 5, 7hleqnid 28616 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝐴(𝐾𝐴)𝑋)
98adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑍 = 𝐴) → ¬ 𝐴(𝐾𝐴)𝑋)
101, 9eqnbrtrd 5161 . . 3 ((𝜑𝑍 = 𝐴) → ¬ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋)
111fveq2d 6910 . . . . 5 ((𝜑𝑍 = 𝐴) → (𝑀𝑍) = (𝑀𝐴))
12 mirval.d . . . . . . 7 = (dist‘𝐺)
13 mirval.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineG‘𝐺)
14 mirval.s . . . . . . 7 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
15 mirhl.m . . . . . . 7 𝑀 = (𝑆𝐴)
162, 12, 3, 13, 14, 7, 5, 15mircinv 28676 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀𝐴) = 𝐴)
1716adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑍 = 𝐴) → (𝑀𝐴) = 𝐴)
1811, 17eqtrd 2777 . . . 4 ((𝜑𝑍 = 𝐴) → (𝑀𝑍) = 𝐴)
19 mirhl.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑃)
202, 3, 4, 5, 19, 5, 7hleqnid 28616 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝐴(𝐾𝐴)𝑌)
2120adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑍 = 𝐴) → ¬ 𝐴(𝐾𝐴)𝑌)
2218, 21eqnbrtrd 5161 . . 3 ((𝜑𝑍 = 𝐴) → ¬ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌)
2310, 222falsed 376 . 2 ((𝜑𝑍 = 𝐴) → (𝑍(𝐾𝐴)𝑋 ↔ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌))
24 simplr 769 . . . . . . 7 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) → 𝑍𝐴)
2524neneqd 2945 . . . . . 6 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) → ¬ 𝑍 = 𝐴)
267ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) ∧ (𝑀𝑍) = 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
275ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) ∧ (𝑀𝑍) = 𝐴) → 𝐴𝑃)
28 mirhl.z . . . . . . . 8 (𝜑𝑍𝑃)
2928ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) ∧ (𝑀𝑍) = 𝐴) → 𝑍𝑃)
30 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) ∧ (𝑀𝑍) = 𝐴) → (𝑀𝑍) = 𝐴)
3116ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) ∧ (𝑀𝑍) = 𝐴) → (𝑀𝐴) = 𝐴)
3230, 31eqtr4d 2780 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) ∧ (𝑀𝑍) = 𝐴) → (𝑀𝑍) = (𝑀𝐴))
332, 12, 3, 13, 14, 26, 27, 15, 29, 27, 32mireq 28673 . . . . . 6 ((((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) ∧ (𝑀𝑍) = 𝐴) → 𝑍 = 𝐴)
3425, 33mtand 816 . . . . 5 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) → ¬ (𝑀𝑍) = 𝐴)
3534neqned 2947 . . . 4 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) → (𝑀𝑍) ≠ 𝐴)
36 mirbtwnhl.2 . . . . 5 (𝜑𝑌𝐴)
3736ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) → 𝑌𝐴)
387ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) → 𝐺 ∈ TarskiG)
396ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) → 𝑋𝑃)
405ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) → 𝐴𝑃)
412, 12, 3, 13, 14, 7, 5, 15, 28mircl 28669 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀𝑍) ∈ 𝑃)
4241ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) → (𝑀𝑍) ∈ 𝑃)
4319ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) → 𝑌𝑃)
44 mirbtwnhl.1 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐴)
4544ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) → 𝑋𝐴)
4628ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) → 𝑍𝑃)
472, 3, 4, 28, 6, 5, 7ishlg 28610 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑍(𝐾𝐴)𝑋 ↔ (𝑍𝐴𝑋𝐴 ∧ (𝑍 ∈ (𝐴𝐼𝑋) ∨ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝑍)))))
4847adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑍𝐴) → (𝑍(𝐾𝐴)𝑋 ↔ (𝑍𝐴𝑋𝐴 ∧ (𝑍 ∈ (𝐴𝐼𝑋) ∨ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝑍)))))
4948biimpa 476 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) → (𝑍𝐴𝑋𝐴 ∧ (𝑍 ∈ (𝐴𝐼𝑋) ∨ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝑍))))
5049simp3d 1145 . . . . . . 7 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) → (𝑍 ∈ (𝐴𝐼𝑋) ∨ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝑍)))
5150orcomd 872 . . . . . 6 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) → (𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝑍) ∨ 𝑍 ∈ (𝐴𝐼𝑋)))
522, 12, 3, 13, 14, 38, 15, 40, 39, 46, 51mirconn 28686 . . . . 5 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) → 𝐴 ∈ (𝑋𝐼(𝑀𝑍)))
53 mirbtwnhl.3 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
5453ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) → 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
552, 3, 38, 39, 40, 42, 43, 45, 52, 54tgbtwnconn2 28584 . . . 4 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) → ((𝑀𝑍) ∈ (𝐴𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝐴𝐼(𝑀𝑍))))
562, 3, 4, 41, 19, 5, 7ishlg 28610 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌 ↔ ((𝑀𝑍) ≠ 𝐴𝑌𝐴 ∧ ((𝑀𝑍) ∈ (𝐴𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝐴𝐼(𝑀𝑍))))))
5756adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑍𝐴) → ((𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌 ↔ ((𝑀𝑍) ≠ 𝐴𝑌𝐴 ∧ ((𝑀𝑍) ∈ (𝐴𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝐴𝐼(𝑀𝑍))))))
5857adantr 480 . . . 4 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) → ((𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌 ↔ ((𝑀𝑍) ≠ 𝐴𝑌𝐴 ∧ ((𝑀𝑍) ∈ (𝐴𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝐴𝐼(𝑀𝑍))))))
5935, 37, 55, 58mpbir3and 1343 . . 3 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) → (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌)
60 simplr 769 . . . 4 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌) → 𝑍𝐴)
6144ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌) → 𝑋𝐴)
627ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6319ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌) → 𝑌𝑃)
645ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌) → 𝐴𝑃)
6528ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌) → 𝑍𝑃)
666ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌) → 𝑋𝑃)
6736ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌) → 𝑌𝐴)
6816ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌) → (𝑀𝐴) = 𝐴)
6941ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌) → (𝑀𝑍) ∈ 𝑃)
702, 12, 3, 13, 14, 62, 64, 15, 63mircl 28669 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌) → (𝑀𝑌) ∈ 𝑃)
7157biimpa 476 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌) → ((𝑀𝑍) ≠ 𝐴𝑌𝐴 ∧ ((𝑀𝑍) ∈ (𝐴𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝐴𝐼(𝑀𝑍)))))
7271simp3d 1145 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌) → ((𝑀𝑍) ∈ (𝐴𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝐴𝐼(𝑀𝑍))))
732, 12, 3, 13, 14, 62, 15, 64, 69, 63, 72mirconn 28686 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌) → 𝐴 ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑌)))
742, 12, 3, 62, 69, 64, 70, 73tgbtwncom 28496 . . . . . . 7 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌) → 𝐴 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼(𝑀𝑍)))
7568, 74eqeltrd 2841 . . . . . 6 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌) → (𝑀𝐴) ∈ ((𝑀𝑌)𝐼(𝑀𝑍)))
762, 12, 3, 13, 14, 62, 64, 15, 63, 64, 65mirbtwnb 28680 . . . . . 6 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌) → (𝐴 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ↔ (𝑀𝐴) ∈ ((𝑀𝑌)𝐼(𝑀𝑍))))
7775, 76mpbird 257 . . . . 5 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌) → 𝐴 ∈ (𝑌𝐼𝑍))
782, 12, 3, 7, 6, 5, 19, 53tgbtwncom 28496 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (𝑌𝐼𝑋))
7978ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌) → 𝐴 ∈ (𝑌𝐼𝑋))
802, 3, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 77, 79tgbtwnconn2 28584 . . . 4 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌) → (𝑍 ∈ (𝐴𝐼𝑋) ∨ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝑍)))
8148adantr 480 . . . 4 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌) → (𝑍(𝐾𝐴)𝑋 ↔ (𝑍𝐴𝑋𝐴 ∧ (𝑍 ∈ (𝐴𝐼𝑋) ∨ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝑍)))))
8260, 61, 80, 81mpbir3and 1343 . . 3 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌) → 𝑍(𝐾𝐴)𝑋)
8359, 82impbida 801 . 2 ((𝜑𝑍𝐴) → (𝑍(𝐾𝐴)𝑋 ↔ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌))
8423, 83pm2.61dane 3029 1 (𝜑 → (𝑍(𝐾𝐴)𝑋 ↔ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  distcds 17306  TarskiGcstrkg 28435  Itvcitv 28441  LineGclng 28442  hlGchlg 28608  pInvGcmir 28660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-s2 14887  df-s3 14888  df-trkgc 28456  df-trkgb 28457  df-trkgcb 28458  df-trkg 28461  df-cgrg 28519  df-hlg 28609  df-mir 28661
This theorem is referenced by:  opphllem6  28760
  Copyright terms: Public domain W3C validator