Theorem mirbtwnhl 28752

Description: If the center of the point inversion 𝐴 is between two points 𝑋 and 𝑌, then the half lines are mirrored. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirhl.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
mirhl.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
mirhl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirhl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
mirhl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
mirhl.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
mirbtwnhl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝐴)
mirbtwnhl.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝐴)
mirbtwnhl.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝑌))

Assertion

Ref	Expression
mirbtwnhl	⊢ (𝜑 → (𝑍(𝐾‘𝐴)𝑋 ↔ (𝑀‘𝑍)(𝐾‘𝐴)𝑌))

Proof of Theorem mirbtwnhl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐴) → 𝑍 = 𝐴)
2		mirval.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		mirval.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		mirhl.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
5		mirhl.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		mirhl.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
7		mirval.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8	2, 3, 4, 5, 6, 5, 7	hleqnid 28680	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴(𝐾‘𝐴)𝑋)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐴) → ¬ 𝐴(𝐾‘𝐴)𝑋)
10	1, 9	eqnbrtrd 5116	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐴) → ¬ 𝑍(𝐾‘𝐴)𝑋)
11	1	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐴) → (𝑀‘𝑍) = (𝑀‘𝐴))
12		mirval.d	. . . . . . 7 ⊢ − = (dist‘𝐺)
13		mirval.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
14		mirval.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
15		mirhl.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
16	2, 12, 3, 13, 14, 7, 5, 15	mircinv 28740	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = 𝐴)
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐴) → (𝑀‘𝐴) = 𝐴)
18	11, 17	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐴) → (𝑀‘𝑍) = 𝐴)
19		mirhl.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
20	2, 3, 4, 5, 19, 5, 7	hleqnid 28680	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴(𝐾‘𝐴)𝑌)
21	20	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐴) → ¬ 𝐴(𝐾‘𝐴)𝑌)
22	18, 21	eqnbrtrd 5116	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐴) → ¬ (𝑀‘𝑍)(𝐾‘𝐴)𝑌)
23	10, 22	2falsed 376	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 = 𝐴) → (𝑍(𝐾‘𝐴)𝑋 ↔ (𝑀‘𝑍)(𝐾‘𝐴)𝑌))
24		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ 𝑍(𝐾‘𝐴)𝑋) → 𝑍 ≠ 𝐴)
25	24	neneqd 2937	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ 𝑍(𝐾‘𝐴)𝑋) → ¬ 𝑍 = 𝐴)
26	7	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ 𝑍(𝐾‘𝐴)𝑋) ∧ (𝑀‘𝑍) = 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
27	5	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ 𝑍(𝐾‘𝐴)𝑋) ∧ (𝑀‘𝑍) = 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑃)
28		mirhl.z	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
29	28	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ 𝑍(𝐾‘𝐴)𝑋) ∧ (𝑀‘𝑍) = 𝐴) → 𝑍 ∈ 𝑃)
30		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ 𝑍(𝐾‘𝐴)𝑋) ∧ (𝑀‘𝑍) = 𝐴) → (𝑀‘𝑍) = 𝐴)
31	16	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ 𝑍(𝐾‘𝐴)𝑋) ∧ (𝑀‘𝑍) = 𝐴) → (𝑀‘𝐴) = 𝐴)
32	30, 31	eqtr4d 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ 𝑍(𝐾‘𝐴)𝑋) ∧ (𝑀‘𝑍) = 𝐴) → (𝑀‘𝑍) = (𝑀‘𝐴))
33	2, 12, 3, 13, 14, 26, 27, 15, 29, 27, 32	mireq 28737	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ 𝑍(𝐾‘𝐴)𝑋) ∧ (𝑀‘𝑍) = 𝐴) → 𝑍 = 𝐴)
34	25, 33	mtand 815	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ 𝑍(𝐾‘𝐴)𝑋) → ¬ (𝑀‘𝑍) = 𝐴)
35	34	neqned 2939	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ 𝑍(𝐾‘𝐴)𝑋) → (𝑀‘𝑍) ≠ 𝐴)
36		mirbtwnhl.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝐴)
37	36	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ 𝑍(𝐾‘𝐴)𝑋) → 𝑌 ≠ 𝐴)
38	7	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ 𝑍(𝐾‘𝐴)𝑋) → 𝐺 ∈ TarskiG)
39	6	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ 𝑍(𝐾‘𝐴)𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑃)
40	5	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ 𝑍(𝐾‘𝐴)𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑃)
41	2, 12, 3, 13, 14, 7, 5, 15, 28	mircl 28733	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑍) ∈ 𝑃)
42	41	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ 𝑍(𝐾‘𝐴)𝑋) → (𝑀‘𝑍) ∈ 𝑃)
43	19	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ 𝑍(𝐾‘𝐴)𝑋) → 𝑌 ∈ 𝑃)
44		mirbtwnhl.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝐴)
45	44	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ 𝑍(𝐾‘𝐴)𝑋) → 𝑋 ≠ 𝐴)
46	28	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ 𝑍(𝐾‘𝐴)𝑋) → 𝑍 ∈ 𝑃)
47	2, 3, 4, 28, 6, 5, 7	ishlg 28674	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑍(𝐾‘𝐴)𝑋 ↔ (𝑍 ≠ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ∧ (𝑍 ∈ (𝐴𝐼𝑋) ∨ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝑍)))))
48	47	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) → (𝑍(𝐾‘𝐴)𝑋 ↔ (𝑍 ≠ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ∧ (𝑍 ∈ (𝐴𝐼𝑋) ∨ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝑍)))))
49	48	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ 𝑍(𝐾‘𝐴)𝑋) → (𝑍 ≠ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ∧ (𝑍 ∈ (𝐴𝐼𝑋) ∨ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝑍))))
50	49	simp3d 1144	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ 𝑍(𝐾‘𝐴)𝑋) → (𝑍 ∈ (𝐴𝐼𝑋) ∨ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝑍)))
51	50	orcomd 871	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ 𝑍(𝐾‘𝐴)𝑋) → (𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝑍) ∨ 𝑍 ∈ (𝐴𝐼𝑋)))
52	2, 12, 3, 13, 14, 38, 15, 40, 39, 46, 51	mirconn 28750	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ 𝑍(𝐾‘𝐴)𝑋) → 𝐴 ∈ (𝑋𝐼(𝑀‘𝑍)))
53		mirbtwnhl.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
54	53	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ 𝑍(𝐾‘𝐴)𝑋) → 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
55	2, 3, 38, 39, 40, 42, 43, 45, 52, 54	tgbtwnconn2 28648	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ 𝑍(𝐾‘𝐴)𝑋) → ((𝑀‘𝑍) ∈ (𝐴𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝐴𝐼(𝑀‘𝑍))))
56	2, 3, 4, 41, 19, 5, 7	ishlg 28674	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑍)(𝐾‘𝐴)𝑌 ↔ ((𝑀‘𝑍) ≠ 𝐴 ∧ 𝑌 ≠ 𝐴 ∧ ((𝑀‘𝑍) ∈ (𝐴𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝐴𝐼(𝑀‘𝑍))))))
57	56	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) → ((𝑀‘𝑍)(𝐾‘𝐴)𝑌 ↔ ((𝑀‘𝑍) ≠ 𝐴 ∧ 𝑌 ≠ 𝐴 ∧ ((𝑀‘𝑍) ∈ (𝐴𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝐴𝐼(𝑀‘𝑍))))))
58	57	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ 𝑍(𝐾‘𝐴)𝑋) → ((𝑀‘𝑍)(𝐾‘𝐴)𝑌 ↔ ((𝑀‘𝑍) ≠ 𝐴 ∧ 𝑌 ≠ 𝐴 ∧ ((𝑀‘𝑍) ∈ (𝐴𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝐴𝐼(𝑀‘𝑍))))))
59	35, 37, 55, 58	mpbir3and 1343	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ 𝑍(𝐾‘𝐴)𝑋) → (𝑀‘𝑍)(𝐾‘𝐴)𝑌)
60		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ (𝑀‘𝑍)(𝐾‘𝐴)𝑌) → 𝑍 ≠ 𝐴)
61	44	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ (𝑀‘𝑍)(𝐾‘𝐴)𝑌) → 𝑋 ≠ 𝐴)
62	7	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ (𝑀‘𝑍)(𝐾‘𝐴)𝑌) → 𝐺 ∈ TarskiG)
63	19	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ (𝑀‘𝑍)(𝐾‘𝐴)𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑃)
64	5	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ (𝑀‘𝑍)(𝐾‘𝐴)𝑌) → 𝐴 ∈ 𝑃)
65	28	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ (𝑀‘𝑍)(𝐾‘𝐴)𝑌) → 𝑍 ∈ 𝑃)
66	6	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ (𝑀‘𝑍)(𝐾‘𝐴)𝑌) → 𝑋 ∈ 𝑃)
67	36	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ (𝑀‘𝑍)(𝐾‘𝐴)𝑌) → 𝑌 ≠ 𝐴)
68	16	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ (𝑀‘𝑍)(𝐾‘𝐴)𝑌) → (𝑀‘𝐴) = 𝐴)
69	41	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ (𝑀‘𝑍)(𝐾‘𝐴)𝑌) → (𝑀‘𝑍) ∈ 𝑃)
70	2, 12, 3, 13, 14, 62, 64, 15, 63	mircl 28733	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ (𝑀‘𝑍)(𝐾‘𝐴)𝑌) → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝑃)
71	57	biimpa 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ (𝑀‘𝑍)(𝐾‘𝐴)𝑌) → ((𝑀‘𝑍) ≠ 𝐴 ∧ 𝑌 ≠ 𝐴 ∧ ((𝑀‘𝑍) ∈ (𝐴𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝐴𝐼(𝑀‘𝑍)))))
72	71	simp3d 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ (𝑀‘𝑍)(𝐾‘𝐴)𝑌) → ((𝑀‘𝑍) ∈ (𝐴𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝐴𝐼(𝑀‘𝑍))))
73	2, 12, 3, 13, 14, 62, 15, 64, 69, 63, 72	mirconn 28750	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ (𝑀‘𝑍)(𝐾‘𝐴)𝑌) → 𝐴 ∈ ((𝑀‘𝑍)𝐼(𝑀‘𝑌)))
74	2, 12, 3, 62, 69, 64, 70, 73	tgbtwncom 28560	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ (𝑀‘𝑍)(𝐾‘𝐴)𝑌) → 𝐴 ∈ ((𝑀‘𝑌)𝐼(𝑀‘𝑍)))
75	68, 74	eqeltrd 2836	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ (𝑀‘𝑍)(𝐾‘𝐴)𝑌) → (𝑀‘𝐴) ∈ ((𝑀‘𝑌)𝐼(𝑀‘𝑍)))
76	2, 12, 3, 13, 14, 62, 64, 15, 63, 64, 65	mirbtwnb 28744	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ (𝑀‘𝑍)(𝐾‘𝐴)𝑌) → (𝐴 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ↔ (𝑀‘𝐴) ∈ ((𝑀‘𝑌)𝐼(𝑀‘𝑍))))
77	75, 76	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ (𝑀‘𝑍)(𝐾‘𝐴)𝑌) → 𝐴 ∈ (𝑌𝐼𝑍))
78	2, 12, 3, 7, 6, 5, 19, 53	tgbtwncom 28560	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑌𝐼𝑋))
79	78	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ (𝑀‘𝑍)(𝐾‘𝐴)𝑌) → 𝐴 ∈ (𝑌𝐼𝑋))
80	2, 3, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 77, 79	tgbtwnconn2 28648	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ (𝑀‘𝑍)(𝐾‘𝐴)𝑌) → (𝑍 ∈ (𝐴𝐼𝑋) ∨ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝑍)))
81	48	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ (𝑀‘𝑍)(𝐾‘𝐴)𝑌) → (𝑍(𝐾‘𝐴)𝑋 ↔ (𝑍 ≠ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ∧ (𝑍 ∈ (𝐴𝐼𝑋) ∨ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝑍)))))
82	60, 61, 80, 81	mpbir3and 1343	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) ∧ (𝑀‘𝑍)(𝐾‘𝐴)𝑌) → 𝑍(𝐾‘𝐴)𝑋)
83	59, 82	impbida 800	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ≠ 𝐴) → (𝑍(𝐾‘𝐴)𝑋 ↔ (𝑀‘𝑍)(𝐾‘𝐴)𝑌))
84	23, 83	pm2.61dane 3019	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍(𝐾‘𝐴)𝑋 ↔ (𝑀‘𝑍)(𝐾‘𝐴)𝑌))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  distcds 17186  TarskiGcstrkg 28499  Itvcitv 28505  LineGclng 28506  hlGchlg 28672  pInvGcmir 28724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-oadd 8401  df-er 8635  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9813  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-hash 14254  df-word 14437  df-concat 14494  df-s1 14520  df-s2 14771  df-s3 14772  df-trkgc 28520  df-trkgb 28521  df-trkgcb 28522  df-trkg 28525  df-cgrg 28583  df-hlg 28673  df-mir 28725

This theorem is referenced by:  opphllem6  28824