MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirbtwnhl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mirbtwnhl 28607
Description: If the center of the point inversion 𝐴 is between two points 𝑋 and 𝑌, then the half lines are mirrored. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mirhl.m 𝑀 = (𝑆𝐴)
mirhl.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
mirhl.a (𝜑𝐴𝑃)
mirhl.x (𝜑𝑋𝑃)
mirhl.y (𝜑𝑌𝑃)
mirhl.z (𝜑𝑍𝑃)
mirbtwnhl.1 (𝜑𝑋𝐴)
mirbtwnhl.2 (𝜑𝑌𝐴)
mirbtwnhl.3 (𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
Assertion
Ref Expression
mirbtwnhl (𝜑 → (𝑍(𝐾𝐴)𝑋 ↔ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌))

Proof of Theorem mirbtwnhl
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . . . 4 ((𝜑𝑍 = 𝐴) → 𝑍 = 𝐴)
2 mirval.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 mirval.i . . . . . 6 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 mirhl.k . . . . . 6 𝐾 = (hlG‘𝐺)
5 mirhl.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑃)
6 mirhl.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑃)
7 mirval.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
82, 3, 4, 5, 6, 5, 7hleqnid 28535 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝐴(𝐾𝐴)𝑋)
98adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑍 = 𝐴) → ¬ 𝐴(𝐾𝐴)𝑋)
101, 9eqnbrtrd 5171 . . 3 ((𝜑𝑍 = 𝐴) → ¬ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋)
111fveq2d 6905 . . . . 5 ((𝜑𝑍 = 𝐴) → (𝑀𝑍) = (𝑀𝐴))
12 mirval.d . . . . . . 7 = (dist‘𝐺)
13 mirval.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineG‘𝐺)
14 mirval.s . . . . . . 7 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
15 mirhl.m . . . . . . 7 𝑀 = (𝑆𝐴)
162, 12, 3, 13, 14, 7, 5, 15mircinv 28595 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀𝐴) = 𝐴)
1716adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑍 = 𝐴) → (𝑀𝐴) = 𝐴)
1811, 17eqtrd 2766 . . . 4 ((𝜑𝑍 = 𝐴) → (𝑀𝑍) = 𝐴)
19 mirhl.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑃)
202, 3, 4, 5, 19, 5, 7hleqnid 28535 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝐴(𝐾𝐴)𝑌)
2120adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑍 = 𝐴) → ¬ 𝐴(𝐾𝐴)𝑌)
2218, 21eqnbrtrd 5171 . . 3 ((𝜑𝑍 = 𝐴) → ¬ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌)
2310, 222falsed 375 . 2 ((𝜑𝑍 = 𝐴) → (𝑍(𝐾𝐴)𝑋 ↔ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌))
24 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) → 𝑍𝐴)
2524neneqd 2935 . . . . . 6 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) → ¬ 𝑍 = 𝐴)
267ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) ∧ (𝑀𝑍) = 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
275ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) ∧ (𝑀𝑍) = 𝐴) → 𝐴𝑃)
28 mirhl.z . . . . . . . 8 (𝜑𝑍𝑃)
2928ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) ∧ (𝑀𝑍) = 𝐴) → 𝑍𝑃)
30 simpr 483 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) ∧ (𝑀𝑍) = 𝐴) → (𝑀𝑍) = 𝐴)
3116ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) ∧ (𝑀𝑍) = 𝐴) → (𝑀𝐴) = 𝐴)
3230, 31eqtr4d 2769 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) ∧ (𝑀𝑍) = 𝐴) → (𝑀𝑍) = (𝑀𝐴))
332, 12, 3, 13, 14, 26, 27, 15, 29, 27, 32mireq 28592 . . . . . 6 ((((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) ∧ (𝑀𝑍) = 𝐴) → 𝑍 = 𝐴)
3425, 33mtand 814 . . . . 5 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) → ¬ (𝑀𝑍) = 𝐴)
3534neqned 2937 . . . 4 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) → (𝑀𝑍) ≠ 𝐴)
36 mirbtwnhl.2 . . . . 5 (𝜑𝑌𝐴)
3736ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) → 𝑌𝐴)
387ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) → 𝐺 ∈ TarskiG)
396ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) → 𝑋𝑃)
405ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) → 𝐴𝑃)
412, 12, 3, 13, 14, 7, 5, 15, 28mircl 28588 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀𝑍) ∈ 𝑃)
4241ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) → (𝑀𝑍) ∈ 𝑃)
4319ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) → 𝑌𝑃)
44 mirbtwnhl.1 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐴)
4544ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) → 𝑋𝐴)
4628ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) → 𝑍𝑃)
472, 3, 4, 28, 6, 5, 7ishlg 28529 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑍(𝐾𝐴)𝑋 ↔ (𝑍𝐴𝑋𝐴 ∧ (𝑍 ∈ (𝐴𝐼𝑋) ∨ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝑍)))))
4847adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑍𝐴) → (𝑍(𝐾𝐴)𝑋 ↔ (𝑍𝐴𝑋𝐴 ∧ (𝑍 ∈ (𝐴𝐼𝑋) ∨ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝑍)))))
4948biimpa 475 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) → (𝑍𝐴𝑋𝐴 ∧ (𝑍 ∈ (𝐴𝐼𝑋) ∨ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝑍))))
5049simp3d 1141 . . . . . . 7 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) → (𝑍 ∈ (𝐴𝐼𝑋) ∨ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝑍)))
5150orcomd 869 . . . . . 6 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) → (𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝑍) ∨ 𝑍 ∈ (𝐴𝐼𝑋)))
522, 12, 3, 13, 14, 38, 15, 40, 39, 46, 51mirconn 28605 . . . . 5 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) → 𝐴 ∈ (𝑋𝐼(𝑀𝑍)))
53 mirbtwnhl.3 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
5453ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) → 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
552, 3, 38, 39, 40, 42, 43, 45, 52, 54tgbtwnconn2 28503 . . . 4 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) → ((𝑀𝑍) ∈ (𝐴𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝐴𝐼(𝑀𝑍))))
562, 3, 4, 41, 19, 5, 7ishlg 28529 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌 ↔ ((𝑀𝑍) ≠ 𝐴𝑌𝐴 ∧ ((𝑀𝑍) ∈ (𝐴𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝐴𝐼(𝑀𝑍))))))
5756adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑍𝐴) → ((𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌 ↔ ((𝑀𝑍) ≠ 𝐴𝑌𝐴 ∧ ((𝑀𝑍) ∈ (𝐴𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝐴𝐼(𝑀𝑍))))))
5857adantr 479 . . . 4 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) → ((𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌 ↔ ((𝑀𝑍) ≠ 𝐴𝑌𝐴 ∧ ((𝑀𝑍) ∈ (𝐴𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝐴𝐼(𝑀𝑍))))))
5935, 37, 55, 58mpbir3and 1339 . . 3 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ 𝑍(𝐾𝐴)𝑋) → (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌)
60 simplr 767 . . . 4 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌) → 𝑍𝐴)
6144ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌) → 𝑋𝐴)
627ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6319ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌) → 𝑌𝑃)
645ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌) → 𝐴𝑃)
6528ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌) → 𝑍𝑃)
666ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌) → 𝑋𝑃)
6736ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌) → 𝑌𝐴)
6816ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌) → (𝑀𝐴) = 𝐴)
6941ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌) → (𝑀𝑍) ∈ 𝑃)
702, 12, 3, 13, 14, 62, 64, 15, 63mircl 28588 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌) → (𝑀𝑌) ∈ 𝑃)
7157biimpa 475 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌) → ((𝑀𝑍) ≠ 𝐴𝑌𝐴 ∧ ((𝑀𝑍) ∈ (𝐴𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝐴𝐼(𝑀𝑍)))))
7271simp3d 1141 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌) → ((𝑀𝑍) ∈ (𝐴𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝐴𝐼(𝑀𝑍))))
732, 12, 3, 13, 14, 62, 15, 64, 69, 63, 72mirconn 28605 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌) → 𝐴 ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑌)))
742, 12, 3, 62, 69, 64, 70, 73tgbtwncom 28415 . . . . . . 7 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌) → 𝐴 ∈ ((𝑀𝑌)𝐼(𝑀𝑍)))
7568, 74eqeltrd 2826 . . . . . 6 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌) → (𝑀𝐴) ∈ ((𝑀𝑌)𝐼(𝑀𝑍)))
762, 12, 3, 13, 14, 62, 64, 15, 63, 64, 65mirbtwnb 28599 . . . . . 6 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌) → (𝐴 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ↔ (𝑀𝐴) ∈ ((𝑀𝑌)𝐼(𝑀𝑍))))
7775, 76mpbird 256 . . . . 5 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌) → 𝐴 ∈ (𝑌𝐼𝑍))
782, 12, 3, 7, 6, 5, 19, 53tgbtwncom 28415 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (𝑌𝐼𝑋))
7978ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌) → 𝐴 ∈ (𝑌𝐼𝑋))
802, 3, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 77, 79tgbtwnconn2 28503 . . . 4 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌) → (𝑍 ∈ (𝐴𝐼𝑋) ∨ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝑍)))
8148adantr 479 . . . 4 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌) → (𝑍(𝐾𝐴)𝑋 ↔ (𝑍𝐴𝑋𝐴 ∧ (𝑍 ∈ (𝐴𝐼𝑋) ∨ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝑍)))))
8260, 61, 80, 81mpbir3and 1339 . . 3 (((𝜑𝑍𝐴) ∧ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌) → 𝑍(𝐾𝐴)𝑋)
8359, 82impbida 799 . 2 ((𝜑𝑍𝐴) → (𝑍(𝐾𝐴)𝑋 ↔ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌))
8423, 83pm2.61dane 3019 1 (𝜑 → (𝑍(𝐾𝐴)𝑋 ↔ (𝑀𝑍)(𝐾𝐴)𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930   class class class wbr 5153  cfv 6554  (class class class)co 7424  Basecbs 17213  distcds 17275  TarskiGcstrkg 28354  Itvcitv 28360  LineGclng 28361  hlGchlg 28527  pInvGcmir 28579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-oadd 8500  df-er 8734  df-pm 8858  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-dju 9944  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-hash 14348  df-word 14523  df-concat 14579  df-s1 14604  df-s2 14857  df-s3 14858  df-trkgc 28375  df-trkgb 28376  df-trkgcb 28377  df-trkg 28380  df-cgrg 28438  df-hlg 28528  df-mir 28580
This theorem is referenced by:  opphllem6  28679
  Copyright terms: Public domain W3C validator