Theorem hlid 28677

Description: The half-line relation is reflexive. Theorem 6.5 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hlln.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hlid.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
hlid	⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐴)

Proof of Theorem hlid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlid.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
2		ishlg.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
4		ishlg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		hlln.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		ishlg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7		ishlg.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	tgbtwntriv2 28555	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
9	8	olcd 875	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
10		ishlg.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
11	2, 4, 10, 7, 7, 6, 5	ishlg 28670	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐴 ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
12	1, 1, 9, 11	mpbir3and 1344	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  distcds 17229  TarskiGcstrkg 28495  Itvcitv 28501  hlGchlg 28668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7370  df-trkgc 28516  df-trkgcb 28518  df-trkg 28521  df-hlg 28669

This theorem is referenced by:  opphl  28822  iscgra1  28878  cgraid  28887  cgrcgra  28889  dfcgra2  28898  tgsas1  28922  tgsas2  28924  tgsas3  28925  tgasa1  28926