Theorem hlid 28635

Description: The half-line relation is reflexive. Theorem 6.5 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hlln.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hlid.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
hlid	⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐴)

Proof of Theorem hlid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlid.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
2		ishlg.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
4		ishlg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		hlln.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		ishlg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7		ishlg.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	tgbtwntriv2 28513	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
9	8	olcd 873	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
10		ishlg.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
11	2, 4, 10, 7, 7, 6, 5	ishlg 28628	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐴 ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
12	1, 1, 9, 11	mpbir3and 1342	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  distcds 17320  TarskiGcstrkg 28453  Itvcitv 28459  hlGchlg 28626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-trkgc 28474  df-trkgcb 28476  df-trkg 28479  df-hlg 28627

This theorem is referenced by:  opphl  28780  iscgra1  28836  cgraid  28845  cgrcgra  28847  dfcgra2  28856  tgsas1  28880  tgsas2  28882  tgsas3  28883  tgasa1  28884