Theorem hlid 28593

Description: The half-line relation is reflexive. Theorem 6.5 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hlln.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hlid.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
hlid	⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐴)

Proof of Theorem hlid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlid.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
2		ishlg.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
4		ishlg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		hlln.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		ishlg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7		ishlg.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	tgbtwntriv2 28471	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
9	8	olcd 874	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
10		ishlg.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
11	2, 4, 10, 7, 7, 6, 5	ishlg 28586	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐴 ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
12	1, 1, 9, 11	mpbir3and 1343	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5093  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  Basecbs 17126  distcds 17176  TarskiGcstrkg 28411  Itvcitv 28417  hlGchlg 28584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-ov 7355  df-trkgc 28432  df-trkgcb 28434  df-trkg 28437  df-hlg 28585

This theorem is referenced by:  opphl  28738  iscgra1  28794  cgraid  28803  cgrcgra  28805  dfcgra2  28814  tgsas1  28838  tgsas2  28840  tgsas3  28841  tgasa1  28842