Theorem hlid 26968

Description: The half-line relation is reflexive. Theorem 6.5 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hlln.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hlid.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
hlid	⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐴)

Proof of Theorem hlid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlid.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
2		ishlg.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
4		ishlg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		hlln.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		ishlg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7		ishlg.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	tgbtwntriv2 26846	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
9	8	olcd 871	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
10		ishlg.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
11	2, 4, 10, 7, 7, 6, 5	ishlg 26961	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐴 ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
12	1, 1, 9, 11	mpbir3and 1341	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5076  ‘cfv 6435  (class class class)co 7277  Basecbs 16910  distcds 16969  TarskiGcstrkg 26786  Itvcitv 26792  hlGchlg 26959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5211  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-id 5491  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-ov 7280  df-trkgc 26807  df-trkgcb 26809  df-trkg 26812  df-hlg 26960

This theorem is referenced by:  opphl  27113  iscgra1  27169  cgraid  27178  cgrcgra  27180  dfcgra2  27189  tgsas1  27213  tgsas2  27215  tgsas3  27216  tgasa1  27217