MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlln Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlln 28615
Description: The half-line relation implies colinearity, part of Theorem 6.4 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a (𝜑𝐴𝑃)
ishlg.b (𝜑𝐵𝑃)
ishlg.c (𝜑𝐶𝑃)
hlln.1 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hlln.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hlln.2 (𝜑𝐴(𝐾𝐶)𝐵)
Assertion
Ref Expression
hlln (𝜑𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))

Proof of Theorem hlln
StepHypRef Expression
1 ishlg.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2737 . . . . 5 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3 ishlg.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 hlln.1 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 ishlg.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑃)
76adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐶𝑃)
8 ishlg.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑃)
98adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴𝑃)
10 ishlg.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑃)
1110adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐵𝑃)
12 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
131, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12tgbtwncom 28496 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
14133mix1d 1337 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴)))
154adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
166adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐶𝑃)
1710adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵𝑃)
188adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐴𝑃)
19 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
201, 2, 3, 15, 16, 17, 18, 19tgbtwncom 28496 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
21203mix2d 1338 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴)))
22 hlln.2 . . . . 5 (𝜑𝐴(𝐾𝐶)𝐵)
23 ishlg.k . . . . . 6 𝐾 = (hlG‘𝐺)
241, 3, 23, 8, 10, 6, 4ishlg 28610 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(𝐾𝐶)𝐵 ↔ (𝐴𝐶𝐵𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
2522, 24mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐶𝐵𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))))
2625simp3d 1145 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
2714, 21, 26mpjaodan 961 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴)))
28 hlln.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
2925simp2d 1144 . . 3 (𝜑𝐵𝐶)
301, 28, 3, 4, 10, 6, 29, 8tgellng 28561 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ↔ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴))))
3127, 30mpbird 257 1 (𝜑𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 848  w3o 1086  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  distcds 17306  TarskiGcstrkg 28435  Itvcitv 28441  LineGclng 28442  hlGchlg 28608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-trkgc 28456  df-trkgb 28457  df-trkgcb 28458  df-trkg 28461  df-hlg 28609
This theorem is referenced by:  hlperpnel  28733  opphllem4  28758  opphl  28762  hlpasch  28764  colhp  28778  hphl  28779  trgcopy  28812  cgracgr  28826  cgraswap  28828  acopy  28841  acopyeu  28842  tgasa1  28866
  Copyright terms: Public domain W3C validator