Theorem hlln 28628

Description: The half-line relation implies colinearity, part of Theorem 6.4 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hlln.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hlln.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hlln.2	⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hlln	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))

Proof of Theorem hlln

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ishlg.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3		ishlg.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		hlln.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		ishlg.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		ishlg.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
10		ishlg.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
12		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
13	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12	tgbtwncom 28509	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
14	13	3mix1d 1337	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴)))
15	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
16	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
17	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
18	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
19		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
20	1, 2, 3, 15, 16, 17, 18, 19	tgbtwncom 28509	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
21	20	3mix2d 1338	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴)))
22		hlln.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵)
23		ishlg.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
24	1, 3, 23, 8, 10, 6, 4	ishlg 28623	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
25	22, 24	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))))
26	25	simp3d 1144	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
27	14, 21, 26	mpjaodan 960	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴)))
28		hlln.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
29	25	simp2d 1143	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
30	1, 28, 3, 4, 10, 6, 29, 8	tgellng 28574	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ↔ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴))))
31	27, 30	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  distcds 17184  TarskiGcstrkg 28448  Itvcitv 28454  LineGclng 28455  hlGchlg 28621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-trkgc 28469  df-trkgb 28470  df-trkgcb 28471  df-trkg 28474  df-hlg 28622

This theorem is referenced by:  hlperpnel  28746  opphllem4  28771  opphl  28775  hlpasch  28777  colhp  28791  hphl  28792  trgcopy  28825  cgracgr  28839  cgraswap  28841  acopy  28854  acopyeu  28855  tgasa1  28879