Theorem hlln 28529

Description: The half-line relation implies colinearity, part of Theorem 6.4 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hlln.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hlln.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hlln.2	⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hlln	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))

Proof of Theorem hlln

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ishlg.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3		ishlg.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		hlln.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		ishlg.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		ishlg.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
10		ishlg.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
12		simpr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
13	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12	tgbtwncom 28410	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
14	13	3mix1d 1333	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴)))
15	4	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
16	6	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
17	10	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
18	8	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
19		simpr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
20	1, 2, 3, 15, 16, 17, 18, 19	tgbtwncom 28410	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
21	20	3mix2d 1334	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴)))
22		hlln.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵)
23		ishlg.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
24	1, 3, 23, 8, 10, 6, 4	ishlg 28524	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
25	22, 24	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))))
26	25	simp3d 1141	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
27	14, 21, 26	mpjaodan 956	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴)))
28		hlln.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
29	25	simp2d 1140	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
30	1, 28, 3, 4, 10, 6, 29, 8	tgellng 28475	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ↔ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴))))
31	27, 30	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∨ w3o 1083   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930   class class class wbr 5144  ‘cfv 6544  (class class class)co 7414  Basecbs 17206  distcds 17268  TarskiGcstrkg 28349  Itvcitv 28355  LineGclng 28356  hlGchlg 28522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-trkgc 28370  df-trkgb 28371  df-trkgcb 28372  df-trkg 28375  df-hlg 28523

This theorem is referenced by:  hlperpnel  28647  opphllem4  28672  opphl  28676  hlpasch  28678  colhp  28692  hphl  28693  trgcopy  28726  cgracgr  28740  cgraswap  28742  acopy  28755  acopyeu  28756  tgasa1  28780