Theorem hlln 29082

Description: The half-line relation implies colinearity, part of Theorem 6.4 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hlln.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hlln.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hlln.2	⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hlln	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))

Proof of Theorem hlln

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ishlg.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3		ishlg.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		hlln.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		ishlg.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		ishlg.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
10		ishlg.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
12		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
13	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12	tgbtwncom 28960	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
14	13	3mix1d 1355	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴)))
15	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
16	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
17	10	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
18	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
19		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
20	1, 2, 3, 15, 16, 17, 18, 19	tgbtwncom 28960	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
21	20	3mix2d 1356	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴)))
22		hlln.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵)
23		ishlg.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
24	1, 3, 23, 8, 10, 6, 4	ishlg 29077	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
25	22, 24	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))))
26	25	simp3d 1162	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
27	14, 21, 26	mpjaodan 973	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴)))
28		hlln.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
29	25	simp2d 1161	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
30	1, 28, 3, 4, 10, 6, 29, 8	tgellng 29025	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ↔ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝐶) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴))))
31	27, 30	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Basecbs 17396  distcds 17446  TarskiGcstrkg 28898  Itvcitv 28904  LineGclng 28905  hlGchlg 29072

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-trkgc 28919  df-trkgb 28920  df-trkgcb 28921  df-trkg 28924  df-hlg 29073

This theorem is used by:  hlperpnel  29210  opphllem4  29235  opphl  29239  hlpasch  29243  colhp  29257  hphl  29258  trgcopy  29320  cgracgr  29334  cgraswap  29336  acopy  29350  acopyeu  29351  ragcgra  29352  cgrarag  29353  perpeqlem  29356  tgaaddcpbllem1  29358  tgaaddcpbl  29361  angmgmaddeu1  29388  angmgmaddeu2  29389  angmgmaddov2lem  29396  angmgmaddrid  29402  tgasa1  29412  tgaltai  29454  tgextahpl  33078  tgextamirnhl  33081