MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlln Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlln 27847
Description: The half-line relation implies colinearity, part of Theorem 6.4 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
ishlg.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
ishlg.k 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
ishlg.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
ishlg.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
hlln.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
hlln.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
hlln.2 (πœ‘ β†’ 𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡)
Assertion
Ref Expression
hlln (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐡𝐿𝐢))

Proof of Theorem hlln
StepHypRef Expression
1 ishlg.p . . . . 5 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 eqid 2732 . . . . 5 (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜πΊ)
3 ishlg.i . . . . 5 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 hlln.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 ishlg.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
76adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
8 ishlg.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
98adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
10 ishlg.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
1110adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
12 simpr 485 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))
131, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12tgbtwncom 27728 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢))
14133mix1d 1336 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ (𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢) ∨ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢) ∨ 𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐴)))
154adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐴)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
166adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐴)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
1710adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
188adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
19 simpr 485 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐴))
201, 2, 3, 15, 16, 17, 18, 19tgbtwncom 27728 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢))
21203mix2d 1337 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐴)) β†’ (𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢) ∨ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢) ∨ 𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐴)))
22 hlln.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡)
23 ishlg.k . . . . . 6 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
241, 3, 23, 8, 10, 6, 4ishlg 27842 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡 ↔ (𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢 ∧ (𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡) ∨ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐴)))))
2522, 24mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢 ∧ (𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡) ∨ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐴))))
2625simp3d 1144 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡) ∨ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐴)))
2714, 21, 26mpjaodan 957 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢) ∨ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢) ∨ 𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐴)))
28 hlln.l . . 3 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
2925simp2d 1143 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
301, 28, 3, 4, 10, 6, 29, 8tgellng 27793 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (𝐡𝐿𝐢) ↔ (𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢) ∨ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢) ∨ 𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐴))))
3127, 30mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐡𝐿𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  distcds 17202  TarskiGcstrkg 27667  Itvcitv 27673  LineGclng 27674  hlGchlg 27840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-trkgc 27688  df-trkgb 27689  df-trkgcb 27690  df-trkg 27693  df-hlg 27841
This theorem is referenced by:  hlperpnel  27965  opphllem4  27990  opphl  27994  hlpasch  27996  colhp  28010  hphl  28011  trgcopy  28044  cgracgr  28058  cgraswap  28060  acopy  28073  acopyeu  28074  tgasa1  28098
  Copyright terms: Public domain W3C validator