MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlln Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlln 27858
Description: The half-line relation implies colinearity, part of Theorem 6.4 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
ishlg.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
ishlg.k 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
ishlg.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
ishlg.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
hlln.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
hlln.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
hlln.2 (πœ‘ β†’ 𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡)
Assertion
Ref Expression
hlln (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐡𝐿𝐢))

Proof of Theorem hlln
StepHypRef Expression
1 ishlg.p . . . . 5 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 eqid 2733 . . . . 5 (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜πΊ)
3 ishlg.i . . . . 5 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 hlln.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 ishlg.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
76adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
8 ishlg.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
98adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
10 ishlg.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
1110adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
12 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡))
131, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12tgbtwncom 27739 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢))
14133mix1d 1337 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡)) β†’ (𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢) ∨ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢) ∨ 𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐴)))
154adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐴)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
166adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐴)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
1710adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
188adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
19 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐴))
201, 2, 3, 15, 16, 17, 18, 19tgbtwncom 27739 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢))
21203mix2d 1338 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐴)) β†’ (𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢) ∨ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢) ∨ 𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐴)))
22 hlln.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡)
23 ishlg.k . . . . . 6 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
241, 3, 23, 8, 10, 6, 4ishlg 27853 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΎβ€˜πΆ)𝐡 ↔ (𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢 ∧ (𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡) ∨ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐴)))))
2522, 24mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢 ∧ (𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡) ∨ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐴))))
2625simp3d 1145 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (𝐢𝐼𝐡) ∨ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐴)))
2714, 21, 26mpjaodan 958 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢) ∨ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢) ∨ 𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐴)))
28 hlln.l . . 3 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
2925simp2d 1144 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
301, 28, 3, 4, 10, 6, 29, 8tgellng 27804 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (𝐡𝐿𝐢) ↔ (𝐴 ∈ (𝐡𝐼𝐢) ∨ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢) ∨ 𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐴))))
3127, 30mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐡𝐿𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∨ w3o 1087   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  distcds 17206  TarskiGcstrkg 27678  Itvcitv 27684  LineGclng 27685  hlGchlg 27851
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-trkgc 27699  df-trkgb 27700  df-trkgcb 27701  df-trkg 27704  df-hlg 27852
This theorem is referenced by:  hlperpnel  27976  opphllem4  28001  opphl  28005  hlpasch  28007  colhp  28021  hphl  28022  trgcopy  28055  cgracgr  28069  cgraswap  28071  acopy  28084  acopyeu  28085  tgasa1  28109
  Copyright terms: Public domain W3C validator