Theorem axhvmulid-zf 31193

Description: Derive Axiom ax-hvmulid 31211 from Hilbert space under ZF set theory. (Contributed by NM, 31-May-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
axhil.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
axhil.2	⊢ 𝑈 ∈ CHilOLD

Assertion

Ref	Expression
axhvmulid-zf	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (1 ·ℎ 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem axhvmulid-zf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axhil.2	. 2 ⊢ 𝑈 ∈ CHilOLD
2		df-hba 31174	. . . 4 ⊢ ℋ = (BaseSet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
3		axhil.1	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
4	3	fveq2i 6872	. . . 4 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
5	2, 4	eqtr4i 2790	. . 3 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
6	1	hlnvi 31097	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
7	3, 6	h2hsm 31180	. . 3 ⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
8	5, 7	hlmulid 31110	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CHilOLD ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (1 ·ℎ 𝐴) = 𝐴)
9	1, 8	mpan 700	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (1 ·ℎ 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ⟨cop 4590  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  1c1 11076  BaseSetcba 30791  CHil_OLDchlo 31090   ℋchba 31124   +_ℎ cva 31125   ·_ℎ csm 31126  norm_ℎcno 31128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-vc 30764  df-nv 30797  df-va 30800  df-ba 30801  df-sm 30802  df-0v 30803  df-nmcv 30805  df-cbn 31068  df-hlo 31091  df-hba 31174

This theorem is referenced by: (None)