MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlpar Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlpar 30644
Description: The parallelogram law satisfied by Hilbert space vectors. (Contributed by Steve Rodriguez, 28-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hlpar.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
hlpar.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
hlpar.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
hlpar.6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
hlpar ((π‘ˆ ∈ CHilOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) + ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) = (2 Β· (((π‘β€˜π΄)↑2) + ((π‘β€˜π΅)↑2))))

Proof of Theorem hlpar
StepHypRef Expression
1 hlph 30636 . 2 (π‘ˆ ∈ CHilOLD β†’ π‘ˆ ∈ CPreHilOLD)
2 hlpar.1 . . 3 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
3 hlpar.2 . . 3 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
4 hlpar.4 . . 3 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
5 hlpar.6 . . 3 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
62, 3, 4, 5phpar 30571 . 2 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) + ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) = (2 Β· (((π‘β€˜π΄)↑2) + ((π‘β€˜π΅)↑2))))
71, 6syl3an1 1160 1 ((π‘ˆ ∈ CHilOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐡))↑2) + ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))↑2)) = (2 Β· (((π‘β€˜π΄)↑2) + ((π‘β€˜π΅)↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  1c1 11108   + caddc 11110   Β· cmul 11112  -cneg 11444  2c2 12266  β†‘cexp 14028   +𝑣 cpv 30332  BaseSetcba 30333   ·𝑠OLD cns 30334  normCVcnmcv 30337  CPreHilOLDccphlo 30559  CHilOLDchlo 30632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-vc 30306  df-nv 30339  df-va 30342  df-ba 30343  df-sm 30344  df-0v 30345  df-nmcv 30347  df-ph 30560  df-hlo 30633
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator