Theorem hlpar 30779

Description: The parallelogram law satisfied by Hilbert space vectors. (Contributed by Steve Rodriguez, 28-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlpar.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
hlpar.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
hlpar.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
hlpar.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
hlpar	⊢ ((𝑈 ∈ CHilOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))))

Proof of Theorem hlpar

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlph 30771	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
2		hlpar.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		hlpar.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
4		hlpar.4	. . 3 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
5		hlpar.6	. . 3 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
6	2, 3, 4, 5	phpar 30706	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))))
7	1, 6	syl3an1 1160	1 ⊢ ((𝑈 ∈ CHilOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145  -cneg 11477  2c2 12300  ↑cexp 14062   +_𝑣 cpv 30467  BaseSetcba 30468   ·_𝑠OLD cns 30469  norm_CVcnmcv 30472  CPreHil_OLDccphlo 30694  CHil_OLDchlo 30767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429  ax-un 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-vc 30441  df-nv 30474  df-va 30477  df-ba 30478  df-sm 30479  df-0v 30480  df-nmcv 30482  df-ph 30695  df-hlo 30768

This theorem is referenced by: (None)