Theorem hlpar 30926

Description: The parallelogram law satisfied by Hilbert space vectors. (Contributed by Steve Rodriguez, 28-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlpar.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
hlpar.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
hlpar.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
hlpar.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
hlpar	⊢ ((𝑈 ∈ CHilOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))))

Proof of Theorem hlpar

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlph 30918	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
2		hlpar.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		hlpar.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
4		hlpar.4	. . 3 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
5		hlpar.6	. . 3 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
6	2, 3, 4, 5	phpar 30853	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))))
7	1, 6	syl3an1 1162	1 ⊢ ((𝑈 ∈ CHilOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  -cneg 11491  2c2 12319  ↑cexp 14099   +_𝑣 cpv 30614  BaseSetcba 30615   ·_𝑠OLD cns 30616  norm_CVcnmcv 30619  CPreHil_OLDccphlo 30841  CHil_OLDchlo 30914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-nmcv 30629  df-ph 30842  df-hlo 30915

This theorem is referenced by: (None)