Theorem hlpar 30137

Description: The parallelogram law satisfied by Hilbert space vectors. (Contributed by Steve Rodriguez, 28-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlpar.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
hlpar.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
hlpar.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
hlpar.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
hlpar	⊢ ((𝑈 ∈ CHilOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))))

Proof of Theorem hlpar

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlph 30129	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
2		hlpar.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		hlpar.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
4		hlpar.4	. . 3 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
5		hlpar.6	. . 3 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
6	2, 3, 4, 5	phpar 30064	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))))
7	1, 6	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝑈 ∈ CHilOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  -cneg 11441  2c2 12263  ↑cexp 14023   +_𝑣 cpv 29825  BaseSetcba 29826   ·_𝑠OLD cns 29827  norm_CVcnmcv 29830  CPreHil_OLDccphlo 30052  CHil_OLDchlo 30125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-vc 29799  df-nv 29832  df-va 29835  df-ba 29836  df-sm 29837  df-0v 29838  df-nmcv 29840  df-ph 30053  df-hlo 30126

This theorem is referenced by: (None)