Theorem hlpar2 30644

Description: The parallelogram law satisfied by Hilbert space vectors. (Contributed by Steve Rodriguez, 28-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlpar2.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
hlpar2.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
hlpar2.3	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
hlpar2.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
hlpar2	⊢ ((𝑈 ∈ CHilOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))))

Proof of Theorem hlpar2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlph 30637	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ CHilOLD → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
2		hlpar2.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		hlpar2.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
4		hlpar2.3	. . 3 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
5		hlpar2.6	. . 3 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
6	2, 3, 4, 5	phpar2 30571	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))))
7	1, 6	syl3an1 1160	1 ⊢ ((𝑈 ∈ CHilOLD ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴𝑀𝐵))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402   + caddc 11110   · cmul 11112  2c2 12266  ↑cexp 14028   +_𝑣 cpv 30333  BaseSetcba 30334   −_𝑣 cnsb 30337  norm_CVcnmcv 30338  CPreHil_OLDccphlo 30560  CHil_OLDchlo 30633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-sub 11445  df-neg 11446  df-grpo 30241  df-gid 30242  df-ginv 30243  df-gdiv 30244  df-ablo 30293  df-vc 30307  df-nv 30340  df-va 30343  df-ba 30344  df-sm 30345  df-0v 30346  df-vs 30347  df-nmcv 30348  df-ph 30561  df-hlo 30634

This theorem is referenced by: (None)