HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvaddcli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvaddcli 30743
Description: Closure of vector addition. (Contributed by NM, 1-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hvaddcl.1 𝐴 ∈ ℋ
hvaddcl.2 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
hvaddcli (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ

Proof of Theorem hvaddcli
StepHypRef Expression
1 hvaddcl.1 . 2 𝐴 ∈ ℋ
2 hvaddcl.2 . 2 𝐵 ∈ ℋ
3 hvaddcl 30737 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ)
41, 2, 3mp2an 689 1 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2098  (class class class)co 7402  chba 30644   + cva 30645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-hfvadd 30725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-fv 6542  df-ov 7405
This theorem is referenced by:  hvsubsub4i  30784  hvsubaddi  30791  normlem0  30834  normlem8  30842  norm-ii-i  30862  normpythi  30867  norm3difi  30872  normpari  30879  normpar2i  30881  polidi  30883  nonbooli  31376  lnopunilem1  31735  lnophmlem2  31742
  Copyright terms: Public domain W3C validator