Theorem hvaddcli 31653

Description: Closure of vector addition. (Contributed by NM, 1-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvaddcl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
hvaddcl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hvaddcli	⊢ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ

Proof of Theorem hvaddcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvaddcl.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		hvaddcl.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3		hvaddcl 31647	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
4	1, 2, 3	mp2an 705	1 ⊢ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7446   ℋchba 31554   +_ℎ cva 31555

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pr 5396  ax-hfvadd 31635

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7449

This theorem is used by:  hvsubsub4i  31694  hvsubaddi  31701  normlem0  31744  normlem8  31752  norm-ii-i  31772  normpythi  31777  norm3difi  31782  normpari  31789  normpar2i  31791  polidi  31793  nonbooli  32286  lnopunilem1  32645  lnophmlem2  32652