Theorem hvaddcli 30953

Description: Closure of vector addition. (Contributed by NM, 1-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvaddcl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
hvaddcl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hvaddcli	⊢ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ

Proof of Theorem hvaddcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvaddcl.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		hvaddcl.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3		hvaddcl 30947	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
4	1, 2, 3	mp2an 692	1 ⊢ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7389   ℋchba 30854   +_ℎ cva 30855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pr 5389  ax-hfvadd 30935

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-fv 6521  df-ov 7392

This theorem is referenced by:  hvsubsub4i  30994  hvsubaddi  31001  normlem0  31044  normlem8  31052  norm-ii-i  31072  normpythi  31077  norm3difi  31082  normpari  31089  normpar2i  31091  polidi  31093  nonbooli  31586  lnopunilem1  31945  lnophmlem2  31952