HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normpari Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem normpari 30407
Description: Parallelogram law for norms. Remark 3.4(B) of [Beran] p. 98. (Contributed by NM, 21-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normpar.1 ๐ด โˆˆ โ„‹
normpar.2 ๐ต โˆˆ โ„‹
Assertion
Ref Expression
normpari (((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) = ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ด)โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2)))

Proof of Theorem normpari
StepHypRef Expression
1 normpar.1 . . . . 5 ๐ด โˆˆ โ„‹
2 normpar.2 . . . . 5 ๐ต โˆˆ โ„‹
31, 2hvsubcli 30274 . . . 4 (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹
43normsqi 30385 . . 3 ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) = ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))
51, 2hvaddcli 30271 . . . 4 (๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹
65normsqi 30385 . . 3 ((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))โ†‘2) = ((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต))
74, 6oveq12i 7421 . 2 (((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) = (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) + ((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)))
81normsqi 30385 . . . . . 6 ((normโ„Žโ€˜๐ด)โ†‘2) = (๐ด ยทih ๐ด)
98oveq2i 7420 . . . . 5 (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ด)โ†‘2)) = (2 ยท (๐ด ยทih ๐ด))
101, 1hicli 30334 . . . . . 6 (๐ด ยทih ๐ด) โˆˆ โ„‚
11102timesi 12350 . . . . 5 (2 ยท (๐ด ยทih ๐ด)) = ((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ด ยทih ๐ด))
129, 11eqtri 2761 . . . 4 (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ด)โ†‘2)) = ((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ด ยทih ๐ด))
132normsqi 30385 . . . . . 6 ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2) = (๐ต ยทih ๐ต)
1413oveq2i 7420 . . . . 5 (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2)) = (2 ยท (๐ต ยทih ๐ต))
152, 2hicli 30334 . . . . . 6 (๐ต ยทih ๐ต) โˆˆ โ„‚
16152timesi 12350 . . . . 5 (2 ยท (๐ต ยทih ๐ต)) = ((๐ต ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ต))
1714, 16eqtri 2761 . . . 4 (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2)) = ((๐ต ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ต))
1812, 17oveq12i 7421 . . 3 ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ด)โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2))) = (((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ด ยทih ๐ด)) + ((๐ต ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ต)))
191, 2, 1, 2normlem9 30371 . . . . . 6 ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) = (((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) โˆ’ ((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด)))
2010, 15addcli 11220 . . . . . . 7 ((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) โˆˆ โ„‚
211, 2hicli 30334 . . . . . . . 8 (๐ด ยทih ๐ต) โˆˆ โ„‚
222, 1hicli 30334 . . . . . . . 8 (๐ต ยทih ๐ด) โˆˆ โ„‚
2321, 22addcli 11220 . . . . . . 7 ((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด)) โˆˆ โ„‚
2420, 23negsubi 11538 . . . . . 6 (((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + -((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด))) = (((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) โˆ’ ((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด)))
2519, 24eqtr4i 2764 . . . . 5 ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) = (((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + -((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด)))
261, 2, 1, 2normlem8 30370 . . . . 5 ((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) = (((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + ((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด)))
2725, 26oveq12i 7421 . . . 4 (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) + ((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต))) = ((((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + -((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด))) + (((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + ((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด))))
2823negcli 11528 . . . . 5 -((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด)) โˆˆ โ„‚
2920, 28, 20, 23add42i 11439 . . . 4 ((((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + -((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด))) + (((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + ((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด)))) = ((((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + ((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต))) + (((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด)) + -((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด))))
3023negidi 11529 . . . . . 6 (((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด)) + -((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด))) = 0
3130oveq2i 7420 . . . . 5 ((((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + ((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต))) + (((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด)) + -((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด)))) = ((((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + ((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต))) + 0)
3220, 20addcli 11220 . . . . . 6 (((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + ((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต))) โˆˆ โ„‚
3332addridi 11401 . . . . 5 ((((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + ((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต))) + 0) = (((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + ((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)))
3410, 15, 10, 15add4i 11438 . . . . 5 (((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + ((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต))) = (((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ด ยทih ๐ด)) + ((๐ต ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ต)))
3531, 33, 343eqtri 2765 . . . 4 ((((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + ((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต))) + (((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด)) + -((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด)))) = (((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ด ยทih ๐ด)) + ((๐ต ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ต)))
3627, 29, 353eqtri 2765 . . 3 (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) + ((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต))) = (((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ด ยทih ๐ด)) + ((๐ต ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ต)))
3718, 36eqtr4i 2764 . 2 ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ด)โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2))) = (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) + ((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)))
387, 37eqtr4i 2764 1 (((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) = ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ด)โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110   + caddc 11113   ยท cmul 11115   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445  2c2 12267  โ†‘cexp 14027   โ„‹chba 30172   +โ„Ž cva 30173   ยทih csp 30175  normโ„Žcno 30176   โˆ’โ„Ž cmv 30178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-hfvadd 30253  ax-hv0cl 30256  ax-hfvmul 30258  ax-hvmul0 30263  ax-hfi 30332  ax-his1 30335  ax-his2 30336  ax-his3 30337  ax-his4 30338
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-hnorm 30221  df-hvsub 30224
This theorem is referenced by:  normpar  30408  normpar2i  30409
  Copyright terms: Public domain W3C validator