HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normpari Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem normpari 30674
Description: Parallelogram law for norms. Remark 3.4(B) of [Beran] p. 98. (Contributed by NM, 21-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normpar.1 ๐ด โˆˆ โ„‹
normpar.2 ๐ต โˆˆ โ„‹
Assertion
Ref Expression
normpari (((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) = ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ด)โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2)))

Proof of Theorem normpari
StepHypRef Expression
1 normpar.1 . . . . 5 ๐ด โˆˆ โ„‹
2 normpar.2 . . . . 5 ๐ต โˆˆ โ„‹
31, 2hvsubcli 30541 . . . 4 (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹
43normsqi 30652 . . 3 ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) = ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))
51, 2hvaddcli 30538 . . . 4 (๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹
65normsqi 30652 . . 3 ((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))โ†‘2) = ((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต))
74, 6oveq12i 7423 . 2 (((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) = (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) + ((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)))
81normsqi 30652 . . . . . 6 ((normโ„Žโ€˜๐ด)โ†‘2) = (๐ด ยทih ๐ด)
98oveq2i 7422 . . . . 5 (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ด)โ†‘2)) = (2 ยท (๐ด ยทih ๐ด))
101, 1hicli 30601 . . . . . 6 (๐ด ยทih ๐ด) โˆˆ โ„‚
11102timesi 12354 . . . . 5 (2 ยท (๐ด ยทih ๐ด)) = ((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ด ยทih ๐ด))
129, 11eqtri 2758 . . . 4 (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ด)โ†‘2)) = ((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ด ยทih ๐ด))
132normsqi 30652 . . . . . 6 ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2) = (๐ต ยทih ๐ต)
1413oveq2i 7422 . . . . 5 (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2)) = (2 ยท (๐ต ยทih ๐ต))
152, 2hicli 30601 . . . . . 6 (๐ต ยทih ๐ต) โˆˆ โ„‚
16152timesi 12354 . . . . 5 (2 ยท (๐ต ยทih ๐ต)) = ((๐ต ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ต))
1714, 16eqtri 2758 . . . 4 (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2)) = ((๐ต ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ต))
1812, 17oveq12i 7423 . . 3 ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ด)โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2))) = (((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ด ยทih ๐ด)) + ((๐ต ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ต)))
191, 2, 1, 2normlem9 30638 . . . . . 6 ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) = (((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) โˆ’ ((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด)))
2010, 15addcli 11224 . . . . . . 7 ((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) โˆˆ โ„‚
211, 2hicli 30601 . . . . . . . 8 (๐ด ยทih ๐ต) โˆˆ โ„‚
222, 1hicli 30601 . . . . . . . 8 (๐ต ยทih ๐ด) โˆˆ โ„‚
2321, 22addcli 11224 . . . . . . 7 ((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด)) โˆˆ โ„‚
2420, 23negsubi 11542 . . . . . 6 (((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + -((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด))) = (((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) โˆ’ ((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด)))
2519, 24eqtr4i 2761 . . . . 5 ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) = (((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + -((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด)))
261, 2, 1, 2normlem8 30637 . . . . 5 ((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) = (((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + ((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด)))
2725, 26oveq12i 7423 . . . 4 (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) + ((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต))) = ((((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + -((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด))) + (((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + ((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด))))
2823negcli 11532 . . . . 5 -((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด)) โˆˆ โ„‚
2920, 28, 20, 23add42i 11443 . . . 4 ((((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + -((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด))) + (((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + ((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด)))) = ((((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + ((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต))) + (((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด)) + -((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด))))
3023negidi 11533 . . . . . 6 (((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด)) + -((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด))) = 0
3130oveq2i 7422 . . . . 5 ((((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + ((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต))) + (((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด)) + -((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด)))) = ((((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + ((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต))) + 0)
3220, 20addcli 11224 . . . . . 6 (((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + ((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต))) โˆˆ โ„‚
3332addridi 11405 . . . . 5 ((((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + ((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต))) + 0) = (((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + ((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)))
3410, 15, 10, 15add4i 11442 . . . . 5 (((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + ((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต))) = (((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ด ยทih ๐ด)) + ((๐ต ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ต)))
3531, 33, 343eqtri 2762 . . . 4 ((((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + ((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต))) + (((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด)) + -((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด)))) = (((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ด ยทih ๐ด)) + ((๐ต ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ต)))
3627, 29, 353eqtri 2762 . . 3 (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) + ((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต))) = (((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ด ยทih ๐ด)) + ((๐ต ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ต)))
3718, 36eqtr4i 2761 . 2 ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ด)โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2))) = (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) + ((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)))
387, 37eqtr4i 2761 1 (((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) = ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ด)โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  0cc0 11112   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449  2c2 12271  โ†‘cexp 14031   โ„‹chba 30439   +โ„Ž cva 30440   ยทih csp 30442  normโ„Žcno 30443   โˆ’โ„Ž cmv 30445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-hfvadd 30520  ax-hv0cl 30523  ax-hfvmul 30525  ax-hvmul0 30530  ax-hfi 30599  ax-his1 30602  ax-his2 30603  ax-his3 30604  ax-his4 30605
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-hnorm 30488  df-hvsub 30491
This theorem is referenced by:  normpar  30675  normpar2i  30676
  Copyright terms: Public domain W3C validator