HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normpari Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem normpari 30138
Description: Parallelogram law for norms. Remark 3.4(B) of [Beran] p. 98. (Contributed by NM, 21-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normpar.1 ๐ด โˆˆ โ„‹
normpar.2 ๐ต โˆˆ โ„‹
Assertion
Ref Expression
normpari (((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) = ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ด)โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2)))

Proof of Theorem normpari
StepHypRef Expression
1 normpar.1 . . . . 5 ๐ด โˆˆ โ„‹
2 normpar.2 . . . . 5 ๐ต โˆˆ โ„‹
31, 2hvsubcli 30005 . . . 4 (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹
43normsqi 30116 . . 3 ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) = ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))
51, 2hvaddcli 30002 . . . 4 (๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹
65normsqi 30116 . . 3 ((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))โ†‘2) = ((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต))
74, 6oveq12i 7374 . 2 (((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) = (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) + ((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)))
81normsqi 30116 . . . . . 6 ((normโ„Žโ€˜๐ด)โ†‘2) = (๐ด ยทih ๐ด)
98oveq2i 7373 . . . . 5 (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ด)โ†‘2)) = (2 ยท (๐ด ยทih ๐ด))
101, 1hicli 30065 . . . . . 6 (๐ด ยทih ๐ด) โˆˆ โ„‚
11102timesi 12298 . . . . 5 (2 ยท (๐ด ยทih ๐ด)) = ((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ด ยทih ๐ด))
129, 11eqtri 2765 . . . 4 (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ด)โ†‘2)) = ((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ด ยทih ๐ด))
132normsqi 30116 . . . . . 6 ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2) = (๐ต ยทih ๐ต)
1413oveq2i 7373 . . . . 5 (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2)) = (2 ยท (๐ต ยทih ๐ต))
152, 2hicli 30065 . . . . . 6 (๐ต ยทih ๐ต) โˆˆ โ„‚
16152timesi 12298 . . . . 5 (2 ยท (๐ต ยทih ๐ต)) = ((๐ต ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ต))
1714, 16eqtri 2765 . . . 4 (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2)) = ((๐ต ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ต))
1812, 17oveq12i 7374 . . 3 ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ด)โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2))) = (((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ด ยทih ๐ด)) + ((๐ต ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ต)))
191, 2, 1, 2normlem9 30102 . . . . . 6 ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) = (((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) โˆ’ ((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด)))
2010, 15addcli 11168 . . . . . . 7 ((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) โˆˆ โ„‚
211, 2hicli 30065 . . . . . . . 8 (๐ด ยทih ๐ต) โˆˆ โ„‚
222, 1hicli 30065 . . . . . . . 8 (๐ต ยทih ๐ด) โˆˆ โ„‚
2321, 22addcli 11168 . . . . . . 7 ((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด)) โˆˆ โ„‚
2420, 23negsubi 11486 . . . . . 6 (((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + -((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด))) = (((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) โˆ’ ((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด)))
2519, 24eqtr4i 2768 . . . . 5 ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) = (((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + -((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด)))
261, 2, 1, 2normlem8 30101 . . . . 5 ((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) = (((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + ((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด)))
2725, 26oveq12i 7374 . . . 4 (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) + ((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต))) = ((((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + -((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด))) + (((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + ((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด))))
2823negcli 11476 . . . . 5 -((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด)) โˆˆ โ„‚
2920, 28, 20, 23add42i 11387 . . . 4 ((((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + -((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด))) + (((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + ((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด)))) = ((((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + ((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต))) + (((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด)) + -((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด))))
3023negidi 11477 . . . . . 6 (((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด)) + -((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด))) = 0
3130oveq2i 7373 . . . . 5 ((((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + ((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต))) + (((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด)) + -((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด)))) = ((((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + ((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต))) + 0)
3220, 20addcli 11168 . . . . . 6 (((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + ((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต))) โˆˆ โ„‚
3332addid1i 11349 . . . . 5 ((((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + ((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต))) + 0) = (((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + ((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)))
3410, 15, 10, 15add4i 11386 . . . . 5 (((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + ((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต))) = (((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ด ยทih ๐ด)) + ((๐ต ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ต)))
3531, 33, 343eqtri 2769 . . . 4 ((((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต)) + ((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ต ยทih ๐ต))) + (((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด)) + -((๐ด ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ด)))) = (((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ด ยทih ๐ด)) + ((๐ต ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ต)))
3627, 29, 353eqtri 2769 . . 3 (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) + ((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต))) = (((๐ด ยทih ๐ด) + (๐ด ยทih ๐ด)) + ((๐ต ยทih ๐ต) + (๐ต ยทih ๐ต)))
3718, 36eqtr4i 2768 . 2 ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ด)โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2))) = (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) + ((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)))
387, 37eqtr4i 2768 1 (((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) = ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ด)โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜๐ต)โ†‘2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392  -cneg 11393  2c2 12215  โ†‘cexp 13974   โ„‹chba 29903   +โ„Ž cva 29904   ยทih csp 29906  normโ„Žcno 29907   โˆ’โ„Ž cmv 29909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-hfvadd 29984  ax-hv0cl 29987  ax-hfvmul 29989  ax-hvmul0 29994  ax-hfi 30063  ax-his1 30066  ax-his2 30067  ax-his3 30068  ax-his4 30069
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-hnorm 29952  df-hvsub 29955
This theorem is referenced by:  normpar  30139  normpar2i  30140
  Copyright terms: Public domain W3C validator