HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normpythi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem normpythi 31165
Description: Analogy to Pythagorean theorem for orthogonal vectors. Remark 3.4(C) of [Beran] p. 98. (Contributed by NM, 17-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normsub.1 𝐴 ∈ ℋ
normsub.2 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
normpythi ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → ((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = (((norm𝐴)↑2) + ((norm𝐵)↑2)))

Proof of Theorem normpythi
StepHypRef Expression
1 normsub.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℋ
2 normsub.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℋ
31, 2, 1, 2normlem8 31140 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih 𝐴)))
4 id 22 . . . . . . 7 ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)
5 orthcom 31131 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 ↔ (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
61, 2, 5mp2an 691 . . . . . . . 8 ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 ↔ (𝐵 ·ih 𝐴) = 0)
76biimpi 216 . . . . . . 7 ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → (𝐵 ·ih 𝐴) = 0)
84, 7oveq12d 7463 . . . . . 6 ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih 𝐴)) = (0 + 0))
9 00id 11461 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
108, 9eqtrdi 2790 . . . . 5 ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih 𝐴)) = 0)
1110oveq2d 7461 . . . 4 ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih 𝐴))) = (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + 0))
121, 1hicli 31104 . . . . . 6 (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℂ
132, 2hicli 31104 . . . . . 6 (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
1412, 13addcli 11292 . . . . 5 ((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ
1514addridi 11473 . . . 4 (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + 0) = ((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵))
1611, 15eqtrdi 2790 . . 3 ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih 𝐴))) = ((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)))
173, 16eqtrid 2786 . 2 ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)))
181, 2hvaddcli 31041 . . 3 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ
1918normsqi 31155 . 2 ((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵))
201normsqi 31155 . . 3 ((norm𝐴)↑2) = (𝐴 ·ih 𝐴)
212normsqi 31155 . . 3 ((norm𝐵)↑2) = (𝐵 ·ih 𝐵)
2220, 21oveq12i 7457 . 2 (((norm𝐴)↑2) + ((norm𝐵)↑2)) = ((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵))
2317, 19, 223eqtr4g 2799 1 ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → ((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = (((norm𝐴)↑2) + ((norm𝐵)↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1537  wcel 2103  cfv 6572  (class class class)co 7445  0cc0 11180   + caddc 11183  2c2 12344  cexp 14108  chba 30942   + cva 30943   ·ih csp 30945  normcno 30946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-pre-sup 11258  ax-hfvadd 31023  ax-hv0cl 31026  ax-hvmul0 31033  ax-hfi 31102  ax-his1 31105  ax-his2 31106  ax-his3 31107  ax-his4 31108
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-sup 9507  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-div 11944  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-n0 12550  df-z 12636  df-uz 12900  df-rp 13054  df-seq 14049  df-exp 14109  df-cj 15144  df-re 15145  df-im 15146  df-sqrt 15280  df-hnorm 30991
This theorem is referenced by:  normpyth  31168  pjopythi  31742
  Copyright terms: Public domain W3C validator