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Theorem norm-ii-i 31169
Description: Triangle inequality for norms. Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 11-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
norm-ii.1 𝐴 ∈ ℋ
norm-ii.2 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
norm-ii-i (norm‘(𝐴 + 𝐵)) ≤ ((norm𝐴) + (norm𝐵))

Proof of Theorem norm-ii-i
StepHypRef Expression
1 1re 11290 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
2 ax-1cn 11242 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
32cjrebi 15223 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℝ ↔ (∗‘1) = 1)
41, 3mpbi 230 . . . . . . . . . 10 (∗‘1) = 1
54oveq1i 7458 . . . . . . . . 9 ((∗‘1) · (𝐵 ·ih 𝐴)) = (1 · (𝐵 ·ih 𝐴))
6 norm-ii.2 . . . . . . . . . . 11 𝐵 ∈ ℋ
7 norm-ii.1 . . . . . . . . . . 11 𝐴 ∈ ℋ
86, 7hicli 31113 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ·ih 𝐴) ∈ ℂ
98mullidi 11295 . . . . . . . . 9 (1 · (𝐵 ·ih 𝐴)) = (𝐵 ·ih 𝐴)
105, 9eqtri 2768 . . . . . . . 8 ((∗‘1) · (𝐵 ·ih 𝐴)) = (𝐵 ·ih 𝐴)
117, 6hicli 31113 . . . . . . . . 9 (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
1211mullidi 11295 . . . . . . . 8 (1 · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵)
1310, 12oveq12i 7460 . . . . . . 7 (((∗‘1) · (𝐵 ·ih 𝐴)) + (1 · (𝐴 ·ih 𝐵))) = ((𝐵 ·ih 𝐴) + (𝐴 ·ih 𝐵))
14 abs1 15346 . . . . . . . 8 (abs‘1) = 1
152, 6, 7, 14normlem7 31148 . . . . . . 7 (((∗‘1) · (𝐵 ·ih 𝐴)) + (1 · (𝐴 ·ih 𝐵))) ≤ (2 · ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵))))
1613, 15eqbrtrri 5189 . . . . . 6 ((𝐵 ·ih 𝐴) + (𝐴 ·ih 𝐵)) ≤ (2 · ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵))))
17 eqid 2740 . . . . . . . . . 10 -(((∗‘1) · (𝐵 ·ih 𝐴)) + (1 · (𝐴 ·ih 𝐵))) = -(((∗‘1) · (𝐵 ·ih 𝐴)) + (1 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
182, 6, 7, 17normlem2 31143 . . . . . . . . 9 -(((∗‘1) · (𝐵 ·ih 𝐴)) + (1 · (𝐴 ·ih 𝐵))) ∈ ℝ
192cjcli 15218 . . . . . . . . . . . 12 (∗‘1) ∈ ℂ
2019, 8mulcli 11297 . . . . . . . . . . 11 ((∗‘1) · (𝐵 ·ih 𝐴)) ∈ ℂ
212, 11mulcli 11297 . . . . . . . . . . 11 (1 · (𝐴 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ
2220, 21addcli 11296 . . . . . . . . . 10 (((∗‘1) · (𝐵 ·ih 𝐴)) + (1 · (𝐴 ·ih 𝐵))) ∈ ℂ
2322negrebi 11610 . . . . . . . . 9 (-(((∗‘1) · (𝐵 ·ih 𝐴)) + (1 · (𝐴 ·ih 𝐵))) ∈ ℝ ↔ (((∗‘1) · (𝐵 ·ih 𝐴)) + (1 · (𝐴 ·ih 𝐵))) ∈ ℝ)
2418, 23mpbi 230 . . . . . . . 8 (((∗‘1) · (𝐵 ·ih 𝐴)) + (1 · (𝐴 ·ih 𝐵))) ∈ ℝ
2513, 24eqeltrri 2841 . . . . . . 7 ((𝐵 ·ih 𝐴) + (𝐴 ·ih 𝐵)) ∈ ℝ
26 2re 12367 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
27 hiidge0 31130 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴))
287, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴)
29 hiidrcl 31127 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ)
307, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℝ
3130sqrtcli 15420 . . . . . . . . . 10 (0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴) → (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) ∈ ℝ)
3228, 31ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) ∈ ℝ
33 hiidge0 31130 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐵 ·ih 𝐵))
346, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (𝐵 ·ih 𝐵)
35 hiidrcl 31127 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℝ)
366, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℝ
3736sqrtcli 15420 . . . . . . . . . 10 (0 ≤ (𝐵 ·ih 𝐵) → (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℝ)
3834, 37ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℝ
3932, 38remulcli 11306 . . . . . . . 8 ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵))) ∈ ℝ
4026, 39remulcli 11306 . . . . . . 7 (2 · ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))) ∈ ℝ
4130, 36readdcli 11305 . . . . . . 7 ((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℝ
4225, 40, 41leadd2i 11846 . . . . . 6 (((𝐵 ·ih 𝐴) + (𝐴 ·ih 𝐵)) ≤ (2 · ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))) ↔ (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐵 ·ih 𝐴) + (𝐴 ·ih 𝐵))) ≤ (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + (2 · ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵))))))
4316, 42mpbi 230 . . . . 5 (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐵 ·ih 𝐴) + (𝐴 ·ih 𝐵))) ≤ (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + (2 · ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))))
447, 6, 7, 6normlem8 31149 . . . . . 6 ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih 𝐴)))
4511, 8addcomi 11481 . . . . . . 7 ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih 𝐴)) = ((𝐵 ·ih 𝐴) + (𝐴 ·ih 𝐵))
4645oveq2i 7459 . . . . . 6 (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih 𝐴))) = (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐵 ·ih 𝐴) + (𝐴 ·ih 𝐵)))
4744, 46eqtri 2768 . . . . 5 ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐵 ·ih 𝐴) + (𝐴 ·ih 𝐵)))
4832recni 11304 . . . . . . 7 (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) ∈ ℂ
4938recni 11304 . . . . . . 7 (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ
5048, 49binom2i 14261 . . . . . 6 (((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) + (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))↑2) = ((((√‘(𝐴 ·ih 𝐴))↑2) + (2 · ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵))))) + ((√‘(𝐵 ·ih 𝐵))↑2))
5148sqcli 14230 . . . . . . 7 ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴))↑2) ∈ ℂ
52 2cn 12368 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
5348, 49mulcli 11297 . . . . . . . 8 ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵))) ∈ ℂ
5452, 53mulcli 11297 . . . . . . 7 (2 · ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))) ∈ ℂ
5549sqcli 14230 . . . . . . 7 ((√‘(𝐵 ·ih 𝐵))↑2) ∈ ℂ
5651, 54, 55add32i 11513 . . . . . 6 ((((√‘(𝐴 ·ih 𝐴))↑2) + (2 · ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵))))) + ((√‘(𝐵 ·ih 𝐵))↑2)) = ((((√‘(𝐴 ·ih 𝐴))↑2) + ((√‘(𝐵 ·ih 𝐵))↑2)) + (2 · ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))))
5730sqsqrti 15424 . . . . . . . . 9 (0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴) → ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴))↑2) = (𝐴 ·ih 𝐴))
5828, 57ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴))↑2) = (𝐴 ·ih 𝐴)
5936sqsqrti 15424 . . . . . . . . 9 (0 ≤ (𝐵 ·ih 𝐵) → ((√‘(𝐵 ·ih 𝐵))↑2) = (𝐵 ·ih 𝐵))
6034, 59ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((√‘(𝐵 ·ih 𝐵))↑2) = (𝐵 ·ih 𝐵)
6158, 60oveq12i 7460 . . . . . . 7 (((√‘(𝐴 ·ih 𝐴))↑2) + ((√‘(𝐵 ·ih 𝐵))↑2)) = ((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵))
6261oveq1i 7458 . . . . . 6 ((((√‘(𝐴 ·ih 𝐴))↑2) + ((√‘(𝐵 ·ih 𝐵))↑2)) + (2 · ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵))))) = (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + (2 · ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))))
6350, 56, 623eqtri 2772 . . . . 5 (((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) + (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))↑2) = (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + (2 · ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))))
6443, 47, 633brtr4i 5196 . . . 4 ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵)) ≤ (((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) + (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))↑2)
657, 6hvaddcli 31050 . . . . . 6 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ
66 hiidge0 31130 . . . . . 6 ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ → 0 ≤ ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵)))
6765, 66ax-mp 5 . . . . 5 0 ≤ ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵))
6832, 38readdcli 11305 . . . . . 6 ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) + (√‘(𝐵 ·ih 𝐵))) ∈ ℝ
6968sqge0i 14237 . . . . 5 0 ≤ (((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) + (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))↑2)
70 hiidrcl 31127 . . . . . . 7 ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ → ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
7165, 70ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ
7268resqcli 14235 . . . . . 6 (((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) + (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))↑2) ∈ ℝ
7371, 72sqrtlei 15437 . . . . 5 ((0 ≤ ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵)) ∧ 0 ≤ (((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) + (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))↑2)) → (((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵)) ≤ (((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) + (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))↑2) ↔ (√‘((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵))) ≤ (√‘(((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) + (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))↑2))))
7467, 69, 73mp2an 691 . . . 4 (((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵)) ≤ (((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) + (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))↑2) ↔ (√‘((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵))) ≤ (√‘(((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) + (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))↑2)))
7564, 74mpbi 230 . . 3 (√‘((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵))) ≤ (√‘(((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) + (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))↑2))
7630sqrtge0i 15425 . . . . . 6 (0 ≤ (𝐴 ·ih 𝐴) → 0 ≤ (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))
7728, 76ax-mp 5 . . . . 5 0 ≤ (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))
7836sqrtge0i 15425 . . . . . 6 (0 ≤ (𝐵 ·ih 𝐵) → 0 ≤ (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
7934, 78ax-mp 5 . . . . 5 0 ≤ (√‘(𝐵 ·ih 𝐵))
8032, 38addge0i 11830 . . . . 5 ((0 ≤ (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) ∧ 0 ≤ (√‘(𝐵 ·ih 𝐵))) → 0 ≤ ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) + (√‘(𝐵 ·ih 𝐵))))
8177, 79, 80mp2an 691 . . . 4 0 ≤ ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) + (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
8268sqrtsqi 15423 . . . 4 (0 ≤ ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) + (√‘(𝐵 ·ih 𝐵))) → (√‘(((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) + (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))↑2)) = ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) + (√‘(𝐵 ·ih 𝐵))))
8381, 82ax-mp 5 . . 3 (√‘(((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) + (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))↑2)) = ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) + (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
8475, 83breqtri 5191 . 2 (√‘((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵))) ≤ ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) + (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
85 normval 31156 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ → (norm‘(𝐴 + 𝐵)) = (√‘((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵))))
8665, 85ax-mp 5 . 2 (norm‘(𝐴 + 𝐵)) = (√‘((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵)))
87 normval 31156 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → (norm𝐴) = (√‘(𝐴 ·ih 𝐴)))
887, 87ax-mp 5 . . 3 (norm𝐴) = (√‘(𝐴 ·ih 𝐴))
89 normval 31156 . . . 4 (𝐵 ∈ ℋ → (norm𝐵) = (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
906, 89ax-mp 5 . . 3 (norm𝐵) = (√‘(𝐵 ·ih 𝐵))
9188, 90oveq12i 7460 . 2 ((norm𝐴) + (norm𝐵)) = ((√‘(𝐴 ·ih 𝐴)) + (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
9284, 86, 913brtr4i 5196 1 (norm‘(𝐴 + 𝐵)) ≤ ((norm𝐴) + (norm𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206   = wceq 1537  wcel 2108   class class class wbr 5166  cfv 6573  (class class class)co 7448  cr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189  cle 11325  -cneg 11521  2c2 12348  cexp 14112  ccj 15145  csqrt 15282  chba 30951   + cva 30952   ·ih csp 30954  normcno 30955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-hfvadd 31032  ax-hv0cl 31035  ax-hfvmul 31037  ax-hvmulass 31039  ax-hvmul0 31042  ax-hfi 31111  ax-his1 31114  ax-his2 31115  ax-his3 31116  ax-his4 31117
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-hnorm 31000  df-hvsub 31003
This theorem is referenced by:  norm-ii  31170  norm3difi  31179
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