Theorem normlem8 31321

Description: Lemma used to derive properties of norm. (Contributed by NM, 30-Jun-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
normlem8.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
normlem8.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ
normlem8.3	⊢ 𝐶 ∈ ℋ
normlem8.4	⊢ 𝐷 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
normlem8	⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)))

Proof of Theorem normlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem8.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		normlem8.3	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
3		normlem8.4	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℋ
4		his7 31294	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐴 ·ih 𝐷)))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1483	. . 3 ⊢ (𝐴 ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐴 ·ih 𝐷))
6		normlem8.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
7		his7 31294	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐵 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)))
8	6, 2, 3, 7	mp3an 1483	. . 3 ⊢ (𝐵 ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐵 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷))
9	5, 8	oveq12i 7409	. 2 ⊢ ((𝐴 ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)) + (𝐵 ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷))) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐴 ·ih 𝐷)) + ((𝐵 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)))
10	2, 3	hvaddcli 31222	. . 3 ⊢ (𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ ℋ
11		ax-his2 31287	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐴 ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)) + (𝐵 ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷))))
12	1, 6, 10, 11	mp3an 1483	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐴 ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)) + (𝐵 ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)))
13	1, 2	hicli 31285	. . 3 ⊢ (𝐴 ·ih 𝐶) ∈ ℂ
14	6, 3	hicli 31285	. . 3 ⊢ (𝐵 ·ih 𝐷) ∈ ℂ
15	1, 3	hicli 31285	. . 3 ⊢ (𝐴 ·ih 𝐷) ∈ ℂ
16	6, 2	hicli 31285	. . 3 ⊢ (𝐵 ·ih 𝐶) ∈ ℂ
17	13, 14, 15, 16	add42i 11410	. 2 ⊢ (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶))) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐴 ·ih 𝐷)) + ((𝐵 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)))
18	9, 12, 17	3eqtr4i 2796	1 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)))

Syntax hints:   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7397   + caddc 11077   ℋchba 31123   +_ℎ cva 31124   ·_ih csp 31126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-hfvadd 31204  ax-hfi 31283  ax-his1 31286  ax-his2 31287

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-div 11846  df-nn 12212  df-2 12281  df-cj 15127  df-re 15128  df-im 15129

This theorem is referenced by:  normlem9  31322  norm-ii-i  31341  normpythi  31346  normpari  31358  polid2i  31361