HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normlem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem normlem8 28499
Description: Lemma used to derive properties of norm. (Contributed by NM, 30-Jun-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem8.1 𝐴 ∈ ℋ
normlem8.2 𝐵 ∈ ℋ
normlem8.3 𝐶 ∈ ℋ
normlem8.4 𝐷 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
normlem8 ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)))

Proof of Theorem normlem8
StepHypRef Expression
1 normlem8.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℋ
2 normlem8.3 . . . 4 𝐶 ∈ ℋ
3 normlem8.4 . . . 4 𝐷 ∈ ℋ
4 his7 28472 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐴 ·ih 𝐷)))
51, 2, 3, 4mp3an 1586 . . 3 (𝐴 ·ih (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐴 ·ih 𝐷))
6 normlem8.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℋ
7 his7 28472 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐵 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)))
86, 2, 3, 7mp3an 1586 . . 3 (𝐵 ·ih (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐵 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷))
95, 8oveq12i 6890 . 2 ((𝐴 ·ih (𝐶 + 𝐷)) + (𝐵 ·ih (𝐶 + 𝐷))) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐴 ·ih 𝐷)) + ((𝐵 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)))
102, 3hvaddcli 28400 . . 3 (𝐶 + 𝐷) ∈ ℋ
11 ax-his2 28465 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 ·ih (𝐶 + 𝐷)) + (𝐵 ·ih (𝐶 + 𝐷))))
121, 6, 10, 11mp3an 1586 . 2 ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 ·ih (𝐶 + 𝐷)) + (𝐵 ·ih (𝐶 + 𝐷)))
131, 2hicli 28463 . . 3 (𝐴 ·ih 𝐶) ∈ ℂ
146, 3hicli 28463 . . 3 (𝐵 ·ih 𝐷) ∈ ℂ
151, 3hicli 28463 . . 3 (𝐴 ·ih 𝐷) ∈ ℂ
166, 2hicli 28463 . . 3 (𝐵 ·ih 𝐶) ∈ ℂ
1713, 14, 15, 16add42i 10551 . 2 (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶))) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐴 ·ih 𝐷)) + ((𝐵 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)))
189, 12, 173eqtr4i 2831 1 ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1653  wcel 2157  (class class class)co 6878   + caddc 10227  chba 28301   + cva 28302   ·ih csp 28304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-hfvadd 28382  ax-hfi 28461  ax-his1 28464  ax-his2 28465
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-po 5233  df-so 5234  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-2 11376  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182
This theorem is referenced by:  normlem9  28500  norm-ii-i  28519  normpythi  28524  normpari  28536  polid2i  28539
  Copyright terms: Public domain W3C validator