Theorem normlem8 31469

Description: Lemma used to derive properties of norm. (Contributed by NM, 30-Jun-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
normlem8.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
normlem8.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ
normlem8.3	⊢ 𝐶 ∈ ℋ
normlem8.4	⊢ 𝐷 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
normlem8	⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)))

Proof of Theorem normlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem8.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		normlem8.3	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
3		normlem8.4	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℋ
4		his7 31442	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐴 ·ih 𝐷)))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1490	. . 3 ⊢ (𝐴 ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐴 ·ih 𝐷))
6		normlem8.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
7		his7 31442	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐵 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)))
8	6, 2, 3, 7	mp3an 1490	. . 3 ⊢ (𝐵 ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐵 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷))
9	5, 8	oveq12i 7422	. 2 ⊢ ((𝐴 ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)) + (𝐵 ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷))) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐴 ·ih 𝐷)) + ((𝐵 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)))
10	2, 3	hvaddcli 31370	. . 3 ⊢ (𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ ℋ
11		ax-his2 31435	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐴 ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)) + (𝐵 ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷))))
12	1, 6, 10, 11	mp3an 1490	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐴 ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)) + (𝐵 ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)))
13	1, 2	hicli 31433	. . 3 ⊢ (𝐴 ·ih 𝐶) ∈ ℂ
14	6, 3	hicli 31433	. . 3 ⊢ (𝐵 ·ih 𝐷) ∈ ℂ
15	1, 3	hicli 31433	. . 3 ⊢ (𝐴 ·ih 𝐷) ∈ ℂ
16	6, 2	hicli 31433	. . 3 ⊢ (𝐵 ·ih 𝐶) ∈ ℂ
17	13, 14, 15, 16	add42i 11431	. 2 ⊢ (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶))) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐴 ·ih 𝐷)) + ((𝐵 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)))
18	9, 12, 17	3eqtr4i 2796	1 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)))

Syntax hints:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410   + caddc 11098   ℋchba 31271   +_ℎ cva 31272   ·_ih csp 31274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-hfvadd 31352  ax-hfi 31431  ax-his1 31434  ax-his2 31435

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148

This theorem is referenced by:  normlem9  31470  norm-ii-i  31489  normpythi  31494  normpari  31506  polid2i  31509