HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normlem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem normlem8 29945
Description: Lemma used to derive properties of norm. (Contributed by NM, 30-Jun-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem8.1 𝐴 ∈ ℋ
normlem8.2 𝐵 ∈ ℋ
normlem8.3 𝐶 ∈ ℋ
normlem8.4 𝐷 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
normlem8 ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)))

Proof of Theorem normlem8
StepHypRef Expression
1 normlem8.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℋ
2 normlem8.3 . . . 4 𝐶 ∈ ℋ
3 normlem8.4 . . . 4 𝐷 ∈ ℋ
4 his7 29918 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐴 ·ih 𝐷)))
51, 2, 3, 4mp3an 1461 . . 3 (𝐴 ·ih (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐴 ·ih 𝐷))
6 normlem8.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℋ
7 his7 29918 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐵 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)))
86, 2, 3, 7mp3an 1461 . . 3 (𝐵 ·ih (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐵 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷))
95, 8oveq12i 7365 . 2 ((𝐴 ·ih (𝐶 + 𝐷)) + (𝐵 ·ih (𝐶 + 𝐷))) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐴 ·ih 𝐷)) + ((𝐵 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)))
102, 3hvaddcli 29846 . . 3 (𝐶 + 𝐷) ∈ ℋ
11 ax-his2 29911 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 ·ih (𝐶 + 𝐷)) + (𝐵 ·ih (𝐶 + 𝐷))))
121, 6, 10, 11mp3an 1461 . 2 ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 ·ih (𝐶 + 𝐷)) + (𝐵 ·ih (𝐶 + 𝐷)))
131, 2hicli 29909 . . 3 (𝐴 ·ih 𝐶) ∈ ℂ
146, 3hicli 29909 . . 3 (𝐵 ·ih 𝐷) ∈ ℂ
151, 3hicli 29909 . . 3 (𝐴 ·ih 𝐷) ∈ ℂ
166, 2hicli 29909 . . 3 (𝐵 ·ih 𝐶) ∈ ℂ
1713, 14, 15, 16add42i 11376 . 2 (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶))) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐴 ·ih 𝐷)) + ((𝐵 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)))
189, 12, 173eqtr4i 2774 1 ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  wcel 2106  (class class class)co 7353   + caddc 11050  chba 29747   + cva 29748   ·ih csp 29750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-hfvadd 29828  ax-hfi 29907  ax-his1 29910  ax-his2 29911
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-2 12212  df-cj 14976  df-re 14977  df-im 14978
This theorem is referenced by:  normlem9  29946  norm-ii-i  29965  normpythi  29970  normpari  29982  polid2i  29985
  Copyright terms: Public domain W3C validator