Theorem normlem8 31734

Description: Lemma used to derive properties of norm. (Contributed by NM, 30-Jun-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
normlem8.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
normlem8.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ
normlem8.3	⊢ 𝐶 ∈ ℋ
normlem8.4	⊢ 𝐷 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
normlem8	⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)))

Proof of Theorem normlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem8.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		normlem8.3	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
3		normlem8.4	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℋ
4		his7 31707	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐴 ·ih 𝐷)))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1490	. . 3 ⊢ (𝐴 ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐴 ·ih 𝐷))
6		normlem8.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
7		his7 31707	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐵 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)))
8	6, 2, 3, 7	mp3an 1490	. . 3 ⊢ (𝐵 ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐵 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷))
9	5, 8	oveq12i 7442	. 2 ⊢ ((𝐴 ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)) + (𝐵 ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷))) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐴 ·ih 𝐷)) + ((𝐵 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)))
10	2, 3	hvaddcli 31635	. . 3 ⊢ (𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ ℋ
11		ax-his2 31700	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐴 ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)) + (𝐵 ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷))))
12	1, 6, 10, 11	mp3an 1490	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐴 ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)) + (𝐵 ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)))
13	1, 2	hicli 31698	. . 3 ⊢ (𝐴 ·ih 𝐶) ∈ ℂ
14	6, 3	hicli 31698	. . 3 ⊢ (𝐵 ·ih 𝐷) ∈ ℂ
15	1, 3	hicli 31698	. . 3 ⊢ (𝐴 ·ih 𝐷) ∈ ℂ
16	6, 2	hicli 31698	. . 3 ⊢ (𝐵 ·ih 𝐶) ∈ ℂ
17	13, 14, 15, 16	add42i 11549	. 2 ⊢ (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶))) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐴 ·ih 𝐷)) + ((𝐵 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)))
18	9, 12, 17	3eqtr4i 2796	1 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7430   + caddc 11216   ℋchba 31536   +_ℎ cva 31537   ·_ih csp 31539

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-hfvadd 31617  ax-hfi 31696  ax-his1 31699  ax-his2 31700

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-cj 15281  df-re 15282  df-im 15283

This theorem is used by:  normlem9  31735  norm-ii-i  31754  normpythi  31759  normpari  31771  polid2i  31774