HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normlem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem normlem8 31146
Description: Lemma used to derive properties of norm. (Contributed by NM, 30-Jun-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem8.1 𝐴 ∈ ℋ
normlem8.2 𝐵 ∈ ℋ
normlem8.3 𝐶 ∈ ℋ
normlem8.4 𝐷 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
normlem8 ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)))

Proof of Theorem normlem8
StepHypRef Expression
1 normlem8.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℋ
2 normlem8.3 . . . 4 𝐶 ∈ ℋ
3 normlem8.4 . . . 4 𝐷 ∈ ℋ
4 his7 31119 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐴 ·ih 𝐷)))
51, 2, 3, 4mp3an 1460 . . 3 (𝐴 ·ih (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐴 ·ih 𝐷))
6 normlem8.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℋ
7 his7 31119 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐵 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)))
86, 2, 3, 7mp3an 1460 . . 3 (𝐵 ·ih (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐵 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷))
95, 8oveq12i 7443 . 2 ((𝐴 ·ih (𝐶 + 𝐷)) + (𝐵 ·ih (𝐶 + 𝐷))) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐴 ·ih 𝐷)) + ((𝐵 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)))
102, 3hvaddcli 31047 . . 3 (𝐶 + 𝐷) ∈ ℋ
11 ax-his2 31112 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 ·ih (𝐶 + 𝐷)) + (𝐵 ·ih (𝐶 + 𝐷))))
121, 6, 10, 11mp3an 1460 . 2 ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 ·ih (𝐶 + 𝐷)) + (𝐵 ·ih (𝐶 + 𝐷)))
131, 2hicli 31110 . . 3 (𝐴 ·ih 𝐶) ∈ ℂ
146, 3hicli 31110 . . 3 (𝐵 ·ih 𝐷) ∈ ℂ
151, 3hicli 31110 . . 3 (𝐴 ·ih 𝐷) ∈ ℂ
166, 2hicli 31110 . . 3 (𝐵 ·ih 𝐶) ∈ ℂ
1713, 14, 15, 16add42i 11485 . 2 (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶))) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐴 ·ih 𝐷)) + ((𝐵 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)))
189, 12, 173eqtr4i 2773 1 ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  wcel 2106  (class class class)co 7431   + caddc 11156  chba 30948   + cva 30949   ·ih csp 30951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-hfvadd 31029  ax-hfi 31108  ax-his1 31111  ax-his2 31112
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-2 12327  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137
This theorem is referenced by:  normlem9  31147  norm-ii-i  31166  normpythi  31171  normpari  31183  polid2i  31186
  Copyright terms: Public domain W3C validator