Theorem normlem8 28499

Description: Lemma used to derive properties of norm. (Contributed by NM, 30-Jun-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
normlem8.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
normlem8.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ
normlem8.3	⊢ 𝐶 ∈ ℋ
normlem8.4	⊢ 𝐷 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
normlem8	⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)))

Proof of Theorem normlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem8.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		normlem8.3	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
3		normlem8.4	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℋ
4		his7 28472	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐴 ·ih 𝐷)))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1586	. . 3 ⊢ (𝐴 ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐴 ·ih 𝐷))
6		normlem8.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
7		his7 28472	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐵 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)))
8	6, 2, 3, 7	mp3an 1586	. . 3 ⊢ (𝐵 ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐵 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷))
9	5, 8	oveq12i 6890	. 2 ⊢ ((𝐴 ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)) + (𝐵 ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷))) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐴 ·ih 𝐷)) + ((𝐵 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)))
10	2, 3	hvaddcli 28400	. . 3 ⊢ (𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ ℋ
11		ax-his2 28465	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐴 ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)) + (𝐵 ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷))))
12	1, 6, 10, 11	mp3an 1586	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐴 ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)) + (𝐵 ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)))
13	1, 2	hicli 28463	. . 3 ⊢ (𝐴 ·ih 𝐶) ∈ ℂ
14	6, 3	hicli 28463	. . 3 ⊢ (𝐵 ·ih 𝐷) ∈ ℂ
15	1, 3	hicli 28463	. . 3 ⊢ (𝐴 ·ih 𝐷) ∈ ℂ
16	6, 2	hicli 28463	. . 3 ⊢ (𝐵 ·ih 𝐶) ∈ ℂ
17	13, 14, 15, 16	add42i 10551	. 2 ⊢ (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶))) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐴 ·ih 𝐷)) + ((𝐵 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)))
18	9, 12, 17	3eqtr4i 2831	1 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝐶 +ℎ 𝐷)) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)))

Syntax hints:   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  (class class class)co 6878   + caddc 10227   ℋchba 28301   +_ℎ cva 28302   ·_ih csp 28304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-hfvadd 28382  ax-hfi 28461  ax-his1 28464  ax-his2 28465

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-po 5233  df-so 5234  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-2 11376  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182

This theorem is referenced by:  normlem9  28500  norm-ii-i  28519  normpythi  28524  normpari  28536  polid2i  28539