HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubcl 30774
Description: Closure of vector subtraction. (Contributed by NM, 17-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubcl ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹)

Proof of Theorem hvsubcl
StepHypRef Expression
1 hvsubval 30773 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) = (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)))
2 neg1cn 12327 . . . 4 -1 โˆˆ โ„‚
3 hvmulcl 30770 . . . 4 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (-1 ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹)
42, 3mpan 687 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ (-1 ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹)
5 hvaddcl 30769 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง (-1 ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)) โˆˆ โ„‹)
64, 5sylan2 592 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)) โˆˆ โ„‹)
71, 6eqeltrd 2827 1 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  1c1 11110  -cneg 11446   โ„‹chba 30676   +โ„Ž cva 30677   ยทโ„Ž csm 30678   โˆ’โ„Ž cmv 30682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-hfvadd 30757  ax-hfvmul 30762
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-sub 11447  df-neg 11448  df-hvsub 30728
This theorem is referenced by:  hvsubcli  30778  hvmulcan  30829  hvsubcan2  30832  hvaddsub4  30835  his2sub2  30850  hi2eq  30862  hial2eq  30863  hhph  30935  pjhthlem1  31148  pjhthlem2  31149  chscllem2  31395  5oalem2  31412  5oalem3  31413  5oalem5  31415  3oalem2  31420  hodcl  31504  hosubcli  31526  unopf1o  31673  lnopeq0i  31764  lnconi  31790  riesz3i  31819  riesz4i  31820  hmopidmpji  31909  pjclem4  31956  pj3si  31964  cdj1i  32190
  Copyright terms: Public domain W3C validator