Theorem hvsubcl 31625

Description: Closure of vector subtraction. (Contributed by NM, 17-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvsubcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvsubval 31624	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)))
2		neg1cn 12309	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
3		hvmulcl 31621	. . . 4 ⊢ (( -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ( -1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
4	2, 3	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → ( -1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
5		hvaddcl 31620	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ ( -1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ)
6	4, 5	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ)
7	1, 6	eqeltrd 2860	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  1c1 11205   -cneg 11546   ℋchba 31527   +_ℎ cva 31528   ·_ℎ csm 31529   −_ℎ cmv 31533

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-hfvadd 31608  ax-hfvmul 31613

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-ltxr 11352  df-sub 11547  df-neg 11548  df-hvsub 31579

This theorem is used by:  hvsubcli  31629  hvmulcan  31680  hvsubcan2  31683  hvaddsub4  31686  his2sub2  31701  hi2eq  31713  hial2eq  31714  hhph  31786  pjhthlem1  31999  pjhthlem2  32000  chscllem2  32246  5oalem2  32263  5oalem3  32264  5oalem5  32266  3oalem2  32271  hodcl  32355  hosubcli  32377  unopf1o  32524  lnopeq0i  32615  lnconi  32641  riesz3i  32670  riesz4i  32671  hmopidmpji  32760  pjclem4  32807  pj3si  32815  cdj1i  33041