Theorem hvsubcl 31652

Description: Closure of vector subtraction. (Contributed by NM, 17-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvsubcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hvsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvsubval 31651	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)))
2		neg1cn 12335	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
3		hvmulcl 31648	. . . 4 ⊢ (( -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ( -1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
4	2, 3	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → ( -1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
5		hvaddcl 31647	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ ( -1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ)
6	4, 5	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ)
7	1, 6	eqeltrd 2864	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7446  ℂcc 11228  1c1 11231   -cneg 11572   ℋchba 31554   +_ℎ cva 31555   ·_ℎ csm 31556   −_ℎ cmv 31560

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-hfvadd 31635  ax-hfvmul 31640

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-po 5564  df-so 5565  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-ltxr 11378  df-sub 11573  df-neg 11574  df-hvsub 31606

This theorem is used by:  hvsubcli  31656  hvmulcan  31707  hvsubcan2  31710  hvaddsub4  31713  his2sub2  31728  hi2eq  31740  hial2eq  31741  hhph  31813  pjhthlem1  32026  pjhthlem2  32027  chscllem2  32273  5oalem2  32290  5oalem3  32291  5oalem5  32293  3oalem2  32298  hodcl  32382  hosubcli  32404  unopf1o  32551  lnopeq0i  32642  lnconi  32668  riesz3i  32697  riesz4i  32698  hmopidmpji  32787  pjclem4  32834  pj3si  32842  cdj1i  33068