HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nonbooli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nonbooli 28843
Description: A Hilbert lattice with two or more dimensions fails the distributive law and therefore cannot be a Boolean algebra. This counterexample demonstrates a condition where ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)) = 0 but (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) ≠ 0. The antecedent specifies that the vectors 𝐴 and 𝐵 are nonzero and non-colinear. The last three hypotheses assign one-dimensional subspaces to 𝐹, 𝐺, and 𝐻. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nonbool.1 𝐴 ∈ ℋ
nonbool.2 𝐵 ∈ ℋ
nonbool.3 𝐹 = (span‘{𝐴})
nonbool.4 𝐺 = (span‘{𝐵})
nonbool.5 𝐻 = (span‘{(𝐴 + 𝐵)})
Assertion
Ref Expression
nonbooli (¬ (𝐴𝐺𝐵𝐹) → (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) ≠ ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)))

Proof of Theorem nonbooli
StepHypRef Expression
1 nonbool.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 ∈ ℋ
2 nonbool.2 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 ∈ ℋ
31, 2hvaddcli 28208 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ
4 spansnid 28755 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ → (𝐴 + 𝐵) ∈ (span‘{(𝐴 + 𝐵)}))
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 + 𝐵) ∈ (span‘{(𝐴 + 𝐵)})
6 nonbool.5 . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (span‘{(𝐴 + 𝐵)})
75, 6eleqtrri 2849 . . . . . . . . . 10 (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝐻
8 nonbool.3 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (span‘{𝐴})
91spansnchi 28754 . . . . . . . . . . . . . 14 (span‘{𝐴}) ∈ C
109chshii 28417 . . . . . . . . . . . . 13 (span‘{𝐴}) ∈ S
118, 10eqeltri 2846 . . . . . . . . . . . 12 𝐹S
12 nonbool.4 . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (span‘{𝐵})
132spansnchi 28754 . . . . . . . . . . . . . 14 (span‘{𝐵}) ∈ C
1413chshii 28417 . . . . . . . . . . . . 13 (span‘{𝐵}) ∈ S
1512, 14eqeltri 2846 . . . . . . . . . . . 12 𝐺S
1611, 15shsleji 28562 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 + 𝐺) ⊆ (𝐹 𝐺)
17 spansnid 28755 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℋ → 𝐴 ∈ (span‘{𝐴}))
181, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 ∈ (span‘{𝐴})
1918, 8eleqtrri 2849 . . . . . . . . . . . 12 𝐴𝐹
20 spansnid 28755 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ ℋ → 𝐵 ∈ (span‘{𝐵}))
212, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 ∈ (span‘{𝐵})
2221, 12eleqtrri 2849 . . . . . . . . . . . 12 𝐵𝐺
2311, 15shsvai 28556 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝐹𝐵𝐺) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (𝐹 + 𝐺))
2419, 22, 23mp2an 672 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 + 𝐵) ∈ (𝐹 + 𝐺)
2516, 24sselii 3749 . . . . . . . . . 10 (𝐴 + 𝐵) ∈ (𝐹 𝐺)
26 elin 3947 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 + 𝐵) ∈ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ 𝐻 ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ (𝐹 𝐺)))
277, 25, 26mpbir2an 690 . . . . . . . . 9 (𝐴 + 𝐵) ∈ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺))
28 eleq2 2839 . . . . . . . . 9 ((𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = 0 → ((𝐴 + 𝐵) ∈ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ 0))
2927, 28mpbii 223 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = 0 → (𝐴 + 𝐵) ∈ 0)
30 elch0 28444 . . . . . . . 8 ((𝐴 + 𝐵) ∈ 0 ↔ (𝐴 + 𝐵) = 0)
3129, 30sylib 208 . . . . . . 7 ((𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = 0 → (𝐴 + 𝐵) = 0)
32 ch0 28418 . . . . . . . 8 ((span‘{𝐴}) ∈ C → 0 ∈ (span‘{𝐴}))
339, 32ax-mp 5 . . . . . . 7 0 ∈ (span‘{𝐴})
3431, 33syl6eqel 2858 . . . . . 6 ((𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = 0 → (𝐴 + 𝐵) ∈ (span‘{𝐴}))
358eleq2i 2842 . . . . . . 7 (𝐵𝐹𝐵 ∈ (span‘{𝐴}))
36 sumspansn 28841 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ (span‘{𝐴}) ↔ 𝐵 ∈ (span‘{𝐴})))
371, 2, 36mp2an 672 . . . . . . 7 ((𝐴 + 𝐵) ∈ (span‘{𝐴}) ↔ 𝐵 ∈ (span‘{𝐴}))
3835, 37bitr4i 267 . . . . . 6 (𝐵𝐹 ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ (span‘{𝐴}))
3934, 38sylibr 224 . . . . 5 ((𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = 0𝐵𝐹)
4039con3i 151 . . . 4 𝐵𝐹 → ¬ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = 0)
4140adantl 467 . . 3 ((¬ 𝐴𝐺 ∧ ¬ 𝐵𝐹) → ¬ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = 0)
426, 8ineq12i 3963 . . . . . 6 (𝐻𝐹) = ((span‘{(𝐴 + 𝐵)}) ∩ (span‘{𝐴}))
433, 1spansnm0i 28842 . . . . . . 7 (¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ (span‘{𝐴}) → ((span‘{(𝐴 + 𝐵)}) ∩ (span‘{𝐴})) = 0)
4438, 43sylnbi 319 . . . . . 6 𝐵𝐹 → ((span‘{(𝐴 + 𝐵)}) ∩ (span‘{𝐴})) = 0)
4542, 44syl5eq 2817 . . . . 5 𝐵𝐹 → (𝐻𝐹) = 0)
466, 12ineq12i 3963 . . . . . 6 (𝐻𝐺) = ((span‘{(𝐴 + 𝐵)}) ∩ (span‘{𝐵}))
47 sumspansn 28841 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝐵 + 𝐴) ∈ (span‘{𝐵}) ↔ 𝐴 ∈ (span‘{𝐵})))
482, 1, 47mp2an 672 . . . . . . . 8 ((𝐵 + 𝐴) ∈ (span‘{𝐵}) ↔ 𝐴 ∈ (span‘{𝐵}))
491, 2hvcomi 28209 . . . . . . . . 9 (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)
5049eleq1i 2841 . . . . . . . 8 ((𝐴 + 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}) ↔ (𝐵 + 𝐴) ∈ (span‘{𝐵}))
5112eleq2i 2842 . . . . . . . 8 (𝐴𝐺𝐴 ∈ (span‘{𝐵}))
5248, 50, 513bitr4ri 293 . . . . . . 7 (𝐴𝐺 ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}))
533, 2spansnm0i 28842 . . . . . . 7 (¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}) → ((span‘{(𝐴 + 𝐵)}) ∩ (span‘{𝐵})) = 0)
5452, 53sylnbi 319 . . . . . 6 𝐴𝐺 → ((span‘{(𝐴 + 𝐵)}) ∩ (span‘{𝐵})) = 0)
5546, 54syl5eq 2817 . . . . 5 𝐴𝐺 → (𝐻𝐺) = 0)
5645, 55oveqan12rd 6811 . . . 4 ((¬ 𝐴𝐺 ∧ ¬ 𝐵𝐹) → ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)) = (0 0))
57 h0elch 28445 . . . . 5 0C
5857chj0i 28647 . . . 4 (0 0) = 0
5956, 58syl6eq 2821 . . 3 ((¬ 𝐴𝐺 ∧ ¬ 𝐵𝐹) → ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)) = 0)
60 eqeq2 2782 . . . . 5 (((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)) = 0 → ((𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)) ↔ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = 0))
6160notbid 307 . . . 4 (((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)) = 0 → (¬ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)) ↔ ¬ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = 0))
6261biimparc 465 . . 3 ((¬ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = 0 ∧ ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)) = 0) → ¬ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)))
6341, 59, 62syl2anc 573 . 2 ((¬ 𝐴𝐺 ∧ ¬ 𝐵𝐹) → ¬ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)))
64 ioran 968 . 2 (¬ (𝐴𝐺𝐵𝐹) ↔ (¬ 𝐴𝐺 ∧ ¬ 𝐵𝐹))
65 df-ne 2944 . 2 ((𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) ≠ ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)) ↔ ¬ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)))
6663, 64, 653imtr4i 281 1 (¬ (𝐴𝐺𝐵𝐹) → (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) ≠ ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 836   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  cin 3722  {csn 4316  cfv 6029  (class class class)co 6791  chil 28109   + cva 28110  0c0v 28114   S csh 28118   C cch 28119   + cph 28121  spancspn 28122   chj 28123  0c0h 28125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cc 9457  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214  ax-addf 10215  ax-mulf 10216  ax-hilex 28189  ax-hfvadd 28190  ax-hvcom 28191  ax-hvass 28192  ax-hv0cl 28193  ax-hvaddid 28194  ax-hfvmul 28195  ax-hvmulid 28196  ax-hvmulass 28197  ax-hvdistr1 28198  ax-hvdistr2 28199  ax-hvmul0 28200  ax-hfi 28269  ax-his1 28272  ax-his2 28273  ax-his3 28274  ax-his4 28275  ax-hcompl 28392
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-isom 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-of 7042  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-supp 7445  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-2o 7712  df-oadd 7715  df-omul 7716  df-er 7894  df-map 8009  df-pm 8010  df-ixp 8061  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-fsupp 8430  df-fi 8471  df-sup 8502  df-inf 8503  df-oi 8569  df-card 8963  df-acn 8966  df-cda 9190  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12144  df-xadd 12145  df-xmul 12146  df-ioo 12377  df-ico 12379  df-icc 12380  df-fz 12527  df-fzo 12667  df-fl 12794  df-seq 13002  df-exp 13061  df-hash 13315  df-cj 14040  df-re 14041  df-im 14042  df-sqrt 14176  df-abs 14177  df-clim 14420  df-rlim 14421  df-sum 14618  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16155  df-mulr 16156  df-starv 16157  df-sca 16158  df-vsca 16159  df-ip 16160  df-tset 16161  df-ple 16162  df-ds 16165  df-unif 16166  df-hom 16167  df-cco 16168  df-rest 16284  df-topn 16285  df-0g 16303  df-gsum 16304  df-topgen 16305  df-pt 16306  df-prds 16309  df-xrs 16363  df-qtop 16368  df-imas 16369  df-xps 16371  df-mre 16447  df-mrc 16448  df-acs 16450  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-met 19948  df-bl 19949  df-mopn 19950  df-fbas 19951  df-fg 19952  df-cnfld 19955  df-top 20912  df-topon 20929  df-topsp 20951  df-bases 20964  df-cld 21037  df-ntr 21038  df-cls 21039  df-nei 21116  df-cn 21245  df-cnp 21246  df-lm 21247  df-haus 21333  df-tx 21579  df-hmeo 21772  df-fil 21863  df-fm 21955  df-flim 21956  df-flf 21957  df-xms 22338  df-ms 22339  df-tms 22340  df-cfil 23265  df-cau 23266  df-cmet 23267  df-grpo 27680  df-gid 27681  df-ginv 27682  df-gdiv 27683  df-ablo 27732  df-vc 27747  df-nv 27780  df-va 27783  df-ba 27784  df-sm 27785  df-0v 27786  df-vs 27787  df-nmcv 27788  df-ims 27789  df-dip 27889  df-ssp 27910  df-ph 28001  df-cbn 28052  df-hnorm 28158  df-hba 28159  df-hvsub 28161  df-hlim 28162  df-hcau 28163  df-sh 28397  df-ch 28411  df-oc 28442  df-ch0 28443  df-shs 28500  df-span 28501  df-chj 28502
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator