HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nonbooli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nonbooli 31670
Description: A Hilbert lattice with two or more dimensions fails the distributive law and therefore cannot be a Boolean algebra. This counterexample demonstrates a condition where ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)) = 0 but (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) ≠ 0. The antecedent specifies that the vectors 𝐴 and 𝐵 are nonzero and non-colinear. The last three hypotheses assign one-dimensional subspaces to 𝐹, 𝐺, and 𝐻. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nonbool.1 𝐴 ∈ ℋ
nonbool.2 𝐵 ∈ ℋ
nonbool.3 𝐹 = (span‘{𝐴})
nonbool.4 𝐺 = (span‘{𝐵})
nonbool.5 𝐻 = (span‘{(𝐴 + 𝐵)})
Assertion
Ref Expression
nonbooli (¬ (𝐴𝐺𝐵𝐹) → (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) ≠ ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)))

Proof of Theorem nonbooli
StepHypRef Expression
1 nonbool.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 ∈ ℋ
2 nonbool.2 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 ∈ ℋ
31, 2hvaddcli 31037 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ
4 spansnid 31582 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ → (𝐴 + 𝐵) ∈ (span‘{(𝐴 + 𝐵)}))
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 + 𝐵) ∈ (span‘{(𝐴 + 𝐵)})
6 nonbool.5 . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (span‘{(𝐴 + 𝐵)})
75, 6eleqtrri 2840 . . . . . . . . . 10 (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝐻
8 nonbool.3 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (span‘{𝐴})
91spansnchi 31581 . . . . . . . . . . . . . 14 (span‘{𝐴}) ∈ C
109chshii 31246 . . . . . . . . . . . . 13 (span‘{𝐴}) ∈ S
118, 10eqeltri 2837 . . . . . . . . . . . 12 𝐹S
12 nonbool.4 . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (span‘{𝐵})
132spansnchi 31581 . . . . . . . . . . . . . 14 (span‘{𝐵}) ∈ C
1413chshii 31246 . . . . . . . . . . . . 13 (span‘{𝐵}) ∈ S
1512, 14eqeltri 2837 . . . . . . . . . . . 12 𝐺S
1611, 15shsleji 31389 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 + 𝐺) ⊆ (𝐹 𝐺)
17 spansnid 31582 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℋ → 𝐴 ∈ (span‘{𝐴}))
181, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 ∈ (span‘{𝐴})
1918, 8eleqtrri 2840 . . . . . . . . . . . 12 𝐴𝐹
20 spansnid 31582 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ ℋ → 𝐵 ∈ (span‘{𝐵}))
212, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 ∈ (span‘{𝐵})
2221, 12eleqtrri 2840 . . . . . . . . . . . 12 𝐵𝐺
2311, 15shsvai 31383 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝐹𝐵𝐺) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (𝐹 + 𝐺))
2419, 22, 23mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 + 𝐵) ∈ (𝐹 + 𝐺)
2516, 24sselii 3980 . . . . . . . . . 10 (𝐴 + 𝐵) ∈ (𝐹 𝐺)
26 elin 3967 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 + 𝐵) ∈ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ 𝐻 ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ (𝐹 𝐺)))
277, 25, 26mpbir2an 711 . . . . . . . . 9 (𝐴 + 𝐵) ∈ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺))
28 eleq2 2830 . . . . . . . . 9 ((𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = 0 → ((𝐴 + 𝐵) ∈ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ 0))
2927, 28mpbii 233 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = 0 → (𝐴 + 𝐵) ∈ 0)
30 elch0 31273 . . . . . . . 8 ((𝐴 + 𝐵) ∈ 0 ↔ (𝐴 + 𝐵) = 0)
3129, 30sylib 218 . . . . . . 7 ((𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = 0 → (𝐴 + 𝐵) = 0)
32 ch0 31247 . . . . . . . 8 ((span‘{𝐴}) ∈ C → 0 ∈ (span‘{𝐴}))
339, 32ax-mp 5 . . . . . . 7 0 ∈ (span‘{𝐴})
3431, 33eqeltrdi 2849 . . . . . 6 ((𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = 0 → (𝐴 + 𝐵) ∈ (span‘{𝐴}))
358eleq2i 2833 . . . . . . 7 (𝐵𝐹𝐵 ∈ (span‘{𝐴}))
36 sumspansn 31668 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ (span‘{𝐴}) ↔ 𝐵 ∈ (span‘{𝐴})))
371, 2, 36mp2an 692 . . . . . . 7 ((𝐴 + 𝐵) ∈ (span‘{𝐴}) ↔ 𝐵 ∈ (span‘{𝐴}))
3835, 37bitr4i 278 . . . . . 6 (𝐵𝐹 ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ (span‘{𝐴}))
3934, 38sylibr 234 . . . . 5 ((𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = 0𝐵𝐹)
4039con3i 154 . . . 4 𝐵𝐹 → ¬ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = 0)
4140adantl 481 . . 3 ((¬ 𝐴𝐺 ∧ ¬ 𝐵𝐹) → ¬ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = 0)
426, 8ineq12i 4218 . . . . . 6 (𝐻𝐹) = ((span‘{(𝐴 + 𝐵)}) ∩ (span‘{𝐴}))
433, 1spansnm0i 31669 . . . . . . 7 (¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ (span‘{𝐴}) → ((span‘{(𝐴 + 𝐵)}) ∩ (span‘{𝐴})) = 0)
4438, 43sylnbi 330 . . . . . 6 𝐵𝐹 → ((span‘{(𝐴 + 𝐵)}) ∩ (span‘{𝐴})) = 0)
4542, 44eqtrid 2789 . . . . 5 𝐵𝐹 → (𝐻𝐹) = 0)
466, 12ineq12i 4218 . . . . . 6 (𝐻𝐺) = ((span‘{(𝐴 + 𝐵)}) ∩ (span‘{𝐵}))
47 sumspansn 31668 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝐵 + 𝐴) ∈ (span‘{𝐵}) ↔ 𝐴 ∈ (span‘{𝐵})))
482, 1, 47mp2an 692 . . . . . . . 8 ((𝐵 + 𝐴) ∈ (span‘{𝐵}) ↔ 𝐴 ∈ (span‘{𝐵}))
491, 2hvcomi 31038 . . . . . . . . 9 (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)
5049eleq1i 2832 . . . . . . . 8 ((𝐴 + 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}) ↔ (𝐵 + 𝐴) ∈ (span‘{𝐵}))
5112eleq2i 2833 . . . . . . . 8 (𝐴𝐺𝐴 ∈ (span‘{𝐵}))
5248, 50, 513bitr4ri 304 . . . . . . 7 (𝐴𝐺 ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}))
533, 2spansnm0i 31669 . . . . . . 7 (¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}) → ((span‘{(𝐴 + 𝐵)}) ∩ (span‘{𝐵})) = 0)
5452, 53sylnbi 330 . . . . . 6 𝐴𝐺 → ((span‘{(𝐴 + 𝐵)}) ∩ (span‘{𝐵})) = 0)
5546, 54eqtrid 2789 . . . . 5 𝐴𝐺 → (𝐻𝐺) = 0)
5645, 55oveqan12rd 7451 . . . 4 ((¬ 𝐴𝐺 ∧ ¬ 𝐵𝐹) → ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)) = (0 0))
57 h0elch 31274 . . . . 5 0C
5857chj0i 31474 . . . 4 (0 0) = 0
5956, 58eqtrdi 2793 . . 3 ((¬ 𝐴𝐺 ∧ ¬ 𝐵𝐹) → ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)) = 0)
60 eqeq2 2749 . . . . 5 (((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)) = 0 → ((𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)) ↔ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = 0))
6160notbid 318 . . . 4 (((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)) = 0 → (¬ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)) ↔ ¬ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = 0))
6261biimparc 479 . . 3 ((¬ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = 0 ∧ ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)) = 0) → ¬ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)))
6341, 59, 62syl2anc 584 . 2 ((¬ 𝐴𝐺 ∧ ¬ 𝐵𝐹) → ¬ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)))
64 ioran 986 . 2 (¬ (𝐴𝐺𝐵𝐹) ↔ (¬ 𝐴𝐺 ∧ ¬ 𝐵𝐹))
65 df-ne 2941 . 2 ((𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) ≠ ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)) ↔ ¬ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)))
6663, 64, 653imtr4i 292 1 (¬ (𝐴𝐺𝐵𝐹) → (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) ≠ ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cin 3950  {csn 4626  cfv 6561  (class class class)co 7431  chba 30938   + cva 30939  0c0v 30943   S csh 30947   C cch 30948   + cph 30950  spancspn 30951   chj 30952  0c0h 30954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hvcom 31020  ax-hvass 31021  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvmulass 31026  ax-hvdistr1 31027  ax-hvdistr2 31028  ax-hvmul0 31029  ax-hfi 31098  ax-his1 31101  ax-his2 31102  ax-his3 31103  ax-his4 31104  ax-hcompl 31221
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-lm 23237  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cfil 25289  df-cau 25290  df-cmet 25291  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-gdiv 30515  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-vs 30618  df-nmcv 30619  df-ims 30620  df-dip 30720  df-ssp 30741  df-ph 30832  df-cbn 30882  df-hnorm 30987  df-hba 30988  df-hvsub 30990  df-hlim 30991  df-hcau 30992  df-sh 31226  df-ch 31240  df-oc 31271  df-ch0 31272  df-shs 31327  df-span 31328  df-chj 31329
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator