Theorem nonbooli 32140

Description: A Hilbert lattice with two or more dimensions fails the distributive law and therefore cannot be a Boolean algebra. This counterexample demonstrates a condition where ((𝐻 ∩ 𝐹) ∨_ℋ (𝐻 ∩ 𝐺)) = 0_ℋ but (𝐻 ∩ (𝐹 ∨_ℋ 𝐺)) ≠ 0_ℋ. The antecedent specifies that the vectors 𝐴 and 𝐵 are nonzero and non-colinear. The last three hypotheses assign one-dimensional subspaces to 𝐹, 𝐺, and 𝐻. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nonbool.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
nonbool.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ
nonbool.3	⊢ 𝐹 = (span‘{𝐴})
nonbool.4	⊢ 𝐺 = (span‘{𝐵})
nonbool.5	⊢ 𝐻 = (span‘{(𝐴 +ℎ 𝐵)})

Assertion

Ref	Expression
nonbooli	⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝐺 ∨ 𝐵 ∈ 𝐹) → (𝐻 ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) ≠ ((𝐻 ∩ 𝐹) ∨ℋ (𝐻 ∩ 𝐺)))

Proof of Theorem nonbooli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nonbool.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		nonbool.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3	1, 2	hvaddcli 31507	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ
4		spansnid 32052	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ (span‘{(𝐴 +ℎ 𝐵)}))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ (span‘{(𝐴 +ℎ 𝐵)})
6		nonbool.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 = (span‘{(𝐴 +ℎ 𝐵)})
7	5, 6	eleqtrri 2861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ 𝐻
8		nonbool.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 = (span‘{𝐴})
9	1	spansnchi 32051	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (span‘{𝐴}) ∈ Cℋ
10	9	chshii 31716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (span‘{𝐴}) ∈ Sℋ
11	8, 10	eqeltri 2858	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 ∈ Sℋ
12		nonbool.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 = (span‘{𝐵})
13	2	spansnchi 32051	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (span‘{𝐵}) ∈ Cℋ
14	13	chshii 31716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (span‘{𝐵}) ∈ Sℋ
15	12, 14	eqeltri 2858	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 ∈ Sℋ
16	11, 15	shsleji 31859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 +ℋ 𝐺) ⊆ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)
17		spansnid 32052	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 𝐴 ∈ (span‘{𝐴}))
18	1, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 ∈ (span‘{𝐴})
19	18, 8	eleqtrri 2861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 ∈ 𝐹
20		spansnid 32052	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → 𝐵 ∈ (span‘{𝐵}))
21	2, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 ∈ (span‘{𝐵})
22	21, 12	eleqtrri 2861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ 𝐺
23	11, 15	shsvai 31853	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ (𝐹 +ℋ 𝐺))
24	19, 22, 23	mp2an 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ (𝐹 +ℋ 𝐺)
25	16, 24	sselii 3931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)
26		elin 3918	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ (𝐻 ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) ↔ ((𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ 𝐻 ∧ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)))
27	7, 25, 26	mpbir2an 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ (𝐻 ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺))
28		eleq2 2851	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐻 ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) = 0ℋ → ((𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ (𝐻 ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) ↔ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ 0ℋ))
29	27, 28	mpbii 236	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) = 0ℋ → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ 0ℋ)
30		elch0 31743	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ 0ℋ ↔ (𝐴 +ℎ 𝐵) = 0ℎ)
31	29, 30	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) = 0ℋ → (𝐴 +ℎ 𝐵) = 0ℎ)
32		ch0 31717	. . . . . . . 8 ⊢ ((span‘{𝐴}) ∈ Cℋ → 0ℎ ∈ (span‘{𝐴}))
33	9, 32	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 0ℎ ∈ (span‘{𝐴})
34	31, 33	eqeltrdi 2870	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) = 0ℋ → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ (span‘{𝐴}))
35	8	eleq2i 2854	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐹 ↔ 𝐵 ∈ (span‘{𝐴}))
36		sumspansn 32138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ (span‘{𝐴}) ↔ 𝐵 ∈ (span‘{𝐴})))
37	1, 2, 36	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ (span‘{𝐴}) ↔ 𝐵 ∈ (span‘{𝐴}))
38	35, 37	bitr4i 281	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐹 ↔ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ (span‘{𝐴}))
39	34, 38	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) = 0ℋ → 𝐵 ∈ 𝐹)
40	39	con3i 155	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ 𝐹 → ¬ (𝐻 ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) = 0ℋ)
41	40	adantl 487	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐺 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐹) → ¬ (𝐻 ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) = 0ℋ)
42	6, 8	ineq12i 4167	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∩ 𝐹) = ((span‘{(𝐴 +ℎ 𝐵)}) ∩ (span‘{𝐴}))
43	3, 1	spansnm0i 32139	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ (span‘{𝐴}) → ((span‘{(𝐴 +ℎ 𝐵)}) ∩ (span‘{𝐴})) = 0ℋ)
44	38, 43	sylnbi 333	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ 𝐹 → ((span‘{(𝐴 +ℎ 𝐵)}) ∩ (span‘{𝐴})) = 0ℋ)
45	42, 44	eqtrid 2809	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ 𝐹 → (𝐻 ∩ 𝐹) = 0ℋ)
46	6, 12	ineq12i 4167	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∩ 𝐺) = ((span‘{(𝐴 +ℎ 𝐵)}) ∩ (span‘{𝐵}))
47		sumspansn 32138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝐵 +ℎ 𝐴) ∈ (span‘{𝐵}) ↔ 𝐴 ∈ (span‘{𝐵})))
48	2, 1, 47	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 +ℎ 𝐴) ∈ (span‘{𝐵}) ↔ 𝐴 ∈ (span‘{𝐵}))
49	1, 2	hvcomi 31508	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐵 +ℎ 𝐴)
50	49	eleq1i 2853	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}) ↔ (𝐵 +ℎ 𝐴) ∈ (span‘{𝐵}))
51	12	eleq2i 2854	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐺 ↔ 𝐴 ∈ (span‘{𝐵}))
52	48, 50, 51	3bitr4ri 307	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐺 ↔ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}))
53	3, 2	spansnm0i 32139	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}) → ((span‘{(𝐴 +ℎ 𝐵)}) ∩ (span‘{𝐵})) = 0ℋ)
54	52, 53	sylnbi 333	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ 𝐺 → ((span‘{(𝐴 +ℎ 𝐵)}) ∩ (span‘{𝐵})) = 0ℋ)
55	46, 54	eqtrid 2809	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ 𝐺 → (𝐻 ∩ 𝐺) = 0ℋ)
56	45, 55	oveqan12rd 7437	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐺 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐹) → ((𝐻 ∩ 𝐹) ∨ℋ (𝐻 ∩ 𝐺)) = (0ℋ ∨ℋ 0ℋ))
57		h0elch 31744	. . . . 5 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
58	57	chj0i 31944	. . . 4 ⊢ (0ℋ ∨ℋ 0ℋ) = 0ℋ
59	56, 58	eqtrdi 2813	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐺 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐹) → ((𝐻 ∩ 𝐹) ∨ℋ (𝐻 ∩ 𝐺)) = 0ℋ)
60		eqeq2 2774	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∩ 𝐹) ∨ℋ (𝐻 ∩ 𝐺)) = 0ℋ → ((𝐻 ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) = ((𝐻 ∩ 𝐹) ∨ℋ (𝐻 ∩ 𝐺)) ↔ (𝐻 ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) = 0ℋ))
61	60	notbid 321	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ∩ 𝐹) ∨ℋ (𝐻 ∩ 𝐺)) = 0ℋ → (¬ (𝐻 ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) = ((𝐻 ∩ 𝐹) ∨ℋ (𝐻 ∩ 𝐺)) ↔ ¬ (𝐻 ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) = 0ℋ))
62	61	biimparc 485	. . 3 ⊢ ((¬ (𝐻 ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) = 0ℋ ∧ ((𝐻 ∩ 𝐹) ∨ℋ (𝐻 ∩ 𝐺)) = 0ℋ) → ¬ (𝐻 ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) = ((𝐻 ∩ 𝐹) ∨ℋ (𝐻 ∩ 𝐺)))
63	41, 59, 62	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐺 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐹) → ¬ (𝐻 ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) = ((𝐻 ∩ 𝐹) ∨ℋ (𝐻 ∩ 𝐺)))
64		ioran 999	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝐺 ∨ 𝐵 ∈ 𝐹) ↔ (¬ 𝐴 ∈ 𝐺 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐹))
65		df-ne 2958	. 2 ⊢ ((𝐻 ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) ≠ ((𝐻 ∩ 𝐹) ∨ℋ (𝐻 ∩ 𝐺)) ↔ ¬ (𝐻 ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) = ((𝐻 ∩ 𝐹) ∨ℋ (𝐻 ∩ 𝐺)))
66	63, 64, 65	3imtr4i 295	1 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝐺 ∨ 𝐵 ∈ 𝐹) → (𝐻 ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) ≠ ((𝐻 ∩ 𝐹) ∨ℋ (𝐻 ∩ 𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   ∩ cin 3901  {csn 4587  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ℋchba 31408   +_ℎ cva 31409  0_ℎc0v 31413   S_ℋ csh 31417   C_ℋ cch 31418   +_ℋ cph 31420  spancspn 31421   ∨_ℋ chj 31422  0_ℋc0h 31424

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cc 10441  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206  ax-addf 11207  ax-mulf 11208  ax-hilex 31488  ax-hfvadd 31489  ax-hvcom 31490  ax-hvass 31491  ax-hv0cl 31492  ax-hvaddid 31493  ax-hfvmul 31494  ax-hvmulid 31495  ax-hvmulass 31496  ax-hvdistr1 31497  ax-hvdistr2 31498  ax-hvmul0 31499  ax-hfi 31568  ax-his1 31571  ax-his2 31572  ax-his3 31573  ax-his4 31574  ax-hcompl 31691

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-omul 8464  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-fi 9385  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-card 9948  df-acn 9951  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-q 13002  df-rp 13047  df-xneg 13167  df-xadd 13168  df-xmul 13169  df-ioo 13406  df-ico 13408  df-icc 13409  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-clim 15579  df-rlim 15580  df-sum 15778  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-starv 17363  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-unif 17371  df-hom 17372  df-cco 17373  df-rest 17513  df-topn 17514  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-topgen 17534  df-pt 17535  df-prds 17538  df-xrs 17594  df-qtop 17599  df-imas 17600  df-xps 17602  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-acs 17679  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-submnd 18898  df-mulg 19197  df-cntz 19450  df-cmn 19915  df-psmet 21583  df-xmet 21584  df-met 21585  df-bl 21586  df-mopn 21587  df-fbas 21588  df-fg 21589  df-cnfld 21592  df-top 23125  df-topon 23142  df-topsp 23164  df-bases 23177  df-cld 23250  df-ntr 23251  df-cls 23252  df-nei 23329  df-cn 23458  df-cnp 23459  df-lm 23460  df-haus 23546  df-tx 23794  df-hmeo 23987  df-fil 24078  df-fm 24170  df-flim 24171  df-flf 24172  df-xms 24552  df-ms 24553  df-tms 24554  df-cfil 25489  df-cau 25490  df-cmet 25491  df-grpo 30982  df-gid 30983  df-ginv 30984  df-gdiv 30985  df-ablo 31034  df-vc 31048  df-nv 31081  df-va 31084  df-ba 31085  df-sm 31086  df-0v 31087  df-vs 31088  df-nmcv 31089  df-ims 31090  df-dip 31190  df-ssp 31211  df-ph 31302  df-cbn 31352  df-hnorm 31457  df-hba 31458  df-hvsub 31460  df-hlim 31461  df-hcau 31462  df-sh 31696  df-ch 31710  df-oc 31741  df-ch0 31742  df-shs 31797  df-span 31798  df-chj 31799

This theorem is used by: (None)