Theorem nonbooli 29430

Description: A Hilbert lattice with two or more dimensions fails the distributive law and therefore cannot be a Boolean algebra. This counterexample demonstrates a condition where ((𝐻 ∩ 𝐹) ∨_ℋ (𝐻 ∩ 𝐺)) = 0_ℋ but (𝐻 ∩ (𝐹 ∨_ℋ 𝐺)) ≠ 0_ℋ. The antecedent specifies that the vectors 𝐴 and 𝐵 are nonzero and non-colinear. The last three hypotheses assign one-dimensional subspaces to 𝐹, 𝐺, and 𝐻. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nonbool.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
nonbool.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ
nonbool.3	⊢ 𝐹 = (span‘{𝐴})
nonbool.4	⊢ 𝐺 = (span‘{𝐵})
nonbool.5	⊢ 𝐻 = (span‘{(𝐴 +ℎ 𝐵)})

Assertion

Ref	Expression
nonbooli	⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝐺 ∨ 𝐵 ∈ 𝐹) → (𝐻 ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) ≠ ((𝐻 ∩ 𝐹) ∨ℋ (𝐻 ∩ 𝐺)))

Proof of Theorem nonbooli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nonbool.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		nonbool.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3	1, 2	hvaddcli 28797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ
4		spansnid 29342	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ (span‘{(𝐴 +ℎ 𝐵)}))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ (span‘{(𝐴 +ℎ 𝐵)})
6		nonbool.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 = (span‘{(𝐴 +ℎ 𝐵)})
7	5, 6	eleqtrri 2914	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ 𝐻
8		nonbool.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 = (span‘{𝐴})
9	1	spansnchi 29341	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (span‘{𝐴}) ∈ Cℋ
10	9	chshii 29006	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (span‘{𝐴}) ∈ Sℋ
11	8, 10	eqeltri 2911	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 ∈ Sℋ
12		nonbool.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 = (span‘{𝐵})
13	2	spansnchi 29341	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (span‘{𝐵}) ∈ Cℋ
14	13	chshii 29006	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (span‘{𝐵}) ∈ Sℋ
15	12, 14	eqeltri 2911	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 ∈ Sℋ
16	11, 15	shsleji 29149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 +ℋ 𝐺) ⊆ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)
17		spansnid 29342	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 𝐴 ∈ (span‘{𝐴}))
18	1, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 ∈ (span‘{𝐴})
19	18, 8	eleqtrri 2914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 ∈ 𝐹
20		spansnid 29342	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → 𝐵 ∈ (span‘{𝐵}))
21	2, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 ∈ (span‘{𝐵})
22	21, 12	eleqtrri 2914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ 𝐺
23	11, 15	shsvai 29143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐺) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ (𝐹 +ℋ 𝐺))
24	19, 22, 23	mp2an 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ (𝐹 +ℋ 𝐺)
25	16, 24	sselii 3966	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)
26		elin 4171	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ (𝐻 ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) ↔ ((𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ 𝐻 ∧ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)))
27	7, 25, 26	mpbir2an 709	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ (𝐻 ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺))
28		eleq2 2903	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐻 ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) = 0ℋ → ((𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ (𝐻 ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) ↔ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ 0ℋ))
29	27, 28	mpbii 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) = 0ℋ → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ 0ℋ)
30		elch0 29033	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ 0ℋ ↔ (𝐴 +ℎ 𝐵) = 0ℎ)
31	29, 30	sylib 220	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) = 0ℋ → (𝐴 +ℎ 𝐵) = 0ℎ)
32		ch0 29007	. . . . . . . 8 ⊢ ((span‘{𝐴}) ∈ Cℋ → 0ℎ ∈ (span‘{𝐴}))
33	9, 32	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 0ℎ ∈ (span‘{𝐴})
34	31, 33	eqeltrdi 2923	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) = 0ℋ → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ (span‘{𝐴}))
35	8	eleq2i 2906	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐹 ↔ 𝐵 ∈ (span‘{𝐴}))
36		sumspansn 29428	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ (span‘{𝐴}) ↔ 𝐵 ∈ (span‘{𝐴})))
37	1, 2, 36	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ (span‘{𝐴}) ↔ 𝐵 ∈ (span‘{𝐴}))
38	35, 37	bitr4i 280	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐹 ↔ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ (span‘{𝐴}))
39	34, 38	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) = 0ℋ → 𝐵 ∈ 𝐹)
40	39	con3i 157	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ 𝐹 → ¬ (𝐻 ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) = 0ℋ)
41	40	adantl 484	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐺 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐹) → ¬ (𝐻 ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) = 0ℋ)
42	6, 8	ineq12i 4189	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∩ 𝐹) = ((span‘{(𝐴 +ℎ 𝐵)}) ∩ (span‘{𝐴}))
43	3, 1	spansnm0i 29429	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ (span‘{𝐴}) → ((span‘{(𝐴 +ℎ 𝐵)}) ∩ (span‘{𝐴})) = 0ℋ)
44	38, 43	sylnbi 332	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ 𝐹 → ((span‘{(𝐴 +ℎ 𝐵)}) ∩ (span‘{𝐴})) = 0ℋ)
45	42, 44	syl5eq 2870	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ 𝐹 → (𝐻 ∩ 𝐹) = 0ℋ)
46	6, 12	ineq12i 4189	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∩ 𝐺) = ((span‘{(𝐴 +ℎ 𝐵)}) ∩ (span‘{𝐵}))
47		sumspansn 29428	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝐵 +ℎ 𝐴) ∈ (span‘{𝐵}) ↔ 𝐴 ∈ (span‘{𝐵})))
48	2, 1, 47	mp2an 690	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 +ℎ 𝐴) ∈ (span‘{𝐵}) ↔ 𝐴 ∈ (span‘{𝐵}))
49	1, 2	hvcomi 28798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 +ℎ 𝐵) = (𝐵 +ℎ 𝐴)
50	49	eleq1i 2905	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}) ↔ (𝐵 +ℎ 𝐴) ∈ (span‘{𝐵}))
51	12	eleq2i 2906	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐺 ↔ 𝐴 ∈ (span‘{𝐵}))
52	48, 50, 51	3bitr4ri 306	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐺 ↔ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}))
53	3, 2	spansnm0i 29429	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}) → ((span‘{(𝐴 +ℎ 𝐵)}) ∩ (span‘{𝐵})) = 0ℋ)
54	52, 53	sylnbi 332	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ 𝐺 → ((span‘{(𝐴 +ℎ 𝐵)}) ∩ (span‘{𝐵})) = 0ℋ)
55	46, 54	syl5eq 2870	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ 𝐺 → (𝐻 ∩ 𝐺) = 0ℋ)
56	45, 55	oveqan12rd 7178	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐺 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐹) → ((𝐻 ∩ 𝐹) ∨ℋ (𝐻 ∩ 𝐺)) = (0ℋ ∨ℋ 0ℋ))
57		h0elch 29034	. . . . 5 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
58	57	chj0i 29234	. . . 4 ⊢ (0ℋ ∨ℋ 0ℋ) = 0ℋ
59	56, 58	syl6eq 2874	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐺 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐹) → ((𝐻 ∩ 𝐹) ∨ℋ (𝐻 ∩ 𝐺)) = 0ℋ)
60		eqeq2 2835	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∩ 𝐹) ∨ℋ (𝐻 ∩ 𝐺)) = 0ℋ → ((𝐻 ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) = ((𝐻 ∩ 𝐹) ∨ℋ (𝐻 ∩ 𝐺)) ↔ (𝐻 ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) = 0ℋ))
61	60	notbid 320	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ∩ 𝐹) ∨ℋ (𝐻 ∩ 𝐺)) = 0ℋ → (¬ (𝐻 ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) = ((𝐻 ∩ 𝐹) ∨ℋ (𝐻 ∩ 𝐺)) ↔ ¬ (𝐻 ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) = 0ℋ))
62	61	biimparc 482	. . 3 ⊢ ((¬ (𝐻 ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) = 0ℋ ∧ ((𝐻 ∩ 𝐹) ∨ℋ (𝐻 ∩ 𝐺)) = 0ℋ) → ¬ (𝐻 ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) = ((𝐻 ∩ 𝐹) ∨ℋ (𝐻 ∩ 𝐺)))
63	41, 59, 62	syl2anc 586	. 2 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐺 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐹) → ¬ (𝐻 ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) = ((𝐻 ∩ 𝐹) ∨ℋ (𝐻 ∩ 𝐺)))
64		ioran 980	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝐺 ∨ 𝐵 ∈ 𝐹) ↔ (¬ 𝐴 ∈ 𝐺 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐹))
65		df-ne 3019	. 2 ⊢ ((𝐻 ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) ≠ ((𝐻 ∩ 𝐹) ∨ℋ (𝐻 ∩ 𝐺)) ↔ ¬ (𝐻 ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) = ((𝐻 ∩ 𝐹) ∨ℋ (𝐻 ∩ 𝐺)))
66	63, 64, 65	3imtr4i 294	1 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝐺 ∨ 𝐵 ∈ 𝐹) → (𝐻 ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) ≠ ((𝐻 ∩ 𝐹) ∨ℋ (𝐻 ∩ 𝐺)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018   ∩ cin 3937  {csn 4569  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ℋchba 28698   +_ℎ cva 28699  0_ℎc0v 28703   S_ℋ csh 28707   C_ℋ cch 28708   +_ℋ cph 28710  spancspn 28711   ∨_ℋ chj 28712  0_ℋc0h 28714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cc 9859  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-addf 10618  ax-mulf 10619  ax-hilex 28778  ax-hfvadd 28779  ax-hvcom 28780  ax-hvass 28781  ax-hv0cl 28782  ax-hvaddid 28783  ax-hfvmul 28784  ax-hvmulid 28785  ax-hvmulass 28786  ax-hvdistr1 28787  ax-hvdistr2 28788  ax-hvmul0 28789  ax-hfi 28858  ax-his1 28861  ax-his2 28862  ax-his3 28863  ax-his4 28864  ax-hcompl 28981

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-omul 8109  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-ixp 8464  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-acn 9373  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-sum 15045  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-hom 16591  df-cco 16592  df-rest 16698  df-topn 16699  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-topgen 16719  df-pt 16720  df-prds 16723  df-xrs 16777  df-qtop 16782  df-imas 16783  df-xps 16785  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-mulg 18227  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-met 20541  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-fbas 20544  df-fg 20545  df-cnfld 20548  df-top 21504  df-topon 21521  df-topsp 21543  df-bases 21556  df-cld 21629  df-ntr 21630  df-cls 21631  df-nei 21708  df-cn 21837  df-cnp 21838  df-lm 21839  df-haus 21925  df-tx 22172  df-hmeo 22365  df-fil 22456  df-fm 22548  df-flim 22549  df-flf 22550  df-xms 22932  df-ms 22933  df-tms 22934  df-cfil 23860  df-cau 23861  df-cmet 23862  df-grpo 28272  df-gid 28273  df-ginv 28274  df-gdiv 28275  df-ablo 28324  df-vc 28338  df-nv 28371  df-va 28374  df-ba 28375  df-sm 28376  df-0v 28377  df-vs 28378  df-nmcv 28379  df-ims 28380  df-dip 28480  df-ssp 28501  df-ph 28592  df-cbn 28642  df-hnorm 28747  df-hba 28748  df-hvsub 28750  df-hlim 28751  df-hcau 28752  df-sh 28986  df-ch 29000  df-oc 29031  df-ch0 29032  df-shs 29087  df-span 29088  df-chj 29089

This theorem is referenced by: (None)