Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nonbooli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nonbooli 29438
 Description: A Hilbert lattice with two or more dimensions fails the distributive law and therefore cannot be a Boolean algebra. This counterexample demonstrates a condition where ((𝐻 ∩ 𝐹) ∨ℋ (𝐻 ∩ 𝐺)) = 0ℋ but (𝐻 ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) ≠ 0ℋ. The antecedent specifies that the vectors 𝐴 and 𝐵 are nonzero and non-colinear. The last three hypotheses assign one-dimensional subspaces to 𝐹, 𝐺, and 𝐻. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nonbool.1 𝐴 ∈ ℋ
nonbool.2 𝐵 ∈ ℋ
nonbool.3 𝐹 = (span‘{𝐴})
nonbool.4 𝐺 = (span‘{𝐵})
nonbool.5 𝐻 = (span‘{(𝐴 + 𝐵)})
Assertion
Ref Expression
nonbooli (¬ (𝐴𝐺𝐵𝐹) → (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) ≠ ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)))

Proof of Theorem nonbooli
StepHypRef Expression
1 nonbool.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 ∈ ℋ
2 nonbool.2 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 ∈ ℋ
31, 2hvaddcli 28805 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ
4 spansnid 29350 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ → (𝐴 + 𝐵) ∈ (span‘{(𝐴 + 𝐵)}))
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 + 𝐵) ∈ (span‘{(𝐴 + 𝐵)})
6 nonbool.5 . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (span‘{(𝐴 + 𝐵)})
75, 6eleqtrri 2892 . . . . . . . . . 10 (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝐻
8 nonbool.3 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (span‘{𝐴})
91spansnchi 29349 . . . . . . . . . . . . . 14 (span‘{𝐴}) ∈ C
109chshii 29014 . . . . . . . . . . . . 13 (span‘{𝐴}) ∈ S
118, 10eqeltri 2889 . . . . . . . . . . . 12 𝐹S
12 nonbool.4 . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (span‘{𝐵})
132spansnchi 29349 . . . . . . . . . . . . . 14 (span‘{𝐵}) ∈ C
1413chshii 29014 . . . . . . . . . . . . 13 (span‘{𝐵}) ∈ S
1512, 14eqeltri 2889 . . . . . . . . . . . 12 𝐺S
1611, 15shsleji 29157 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 + 𝐺) ⊆ (𝐹 𝐺)
17 spansnid 29350 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℋ → 𝐴 ∈ (span‘{𝐴}))
181, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 ∈ (span‘{𝐴})
1918, 8eleqtrri 2892 . . . . . . . . . . . 12 𝐴𝐹
20 spansnid 29350 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ ℋ → 𝐵 ∈ (span‘{𝐵}))
212, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 ∈ (span‘{𝐵})
2221, 12eleqtrri 2892 . . . . . . . . . . . 12 𝐵𝐺
2311, 15shsvai 29151 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝐹𝐵𝐺) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (𝐹 + 𝐺))
2419, 22, 23mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 + 𝐵) ∈ (𝐹 + 𝐺)
2516, 24sselii 3915 . . . . . . . . . 10 (𝐴 + 𝐵) ∈ (𝐹 𝐺)
26 elin 3900 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 + 𝐵) ∈ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ 𝐻 ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ (𝐹 𝐺)))
277, 25, 26mpbir2an 710 . . . . . . . . 9 (𝐴 + 𝐵) ∈ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺))
28 eleq2 2881 . . . . . . . . 9 ((𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = 0 → ((𝐴 + 𝐵) ∈ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ 0))
2927, 28mpbii 236 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = 0 → (𝐴 + 𝐵) ∈ 0)
30 elch0 29041 . . . . . . . 8 ((𝐴 + 𝐵) ∈ 0 ↔ (𝐴 + 𝐵) = 0)
3129, 30sylib 221 . . . . . . 7 ((𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = 0 → (𝐴 + 𝐵) = 0)
32 ch0 29015 . . . . . . . 8 ((span‘{𝐴}) ∈ C → 0 ∈ (span‘{𝐴}))
339, 32ax-mp 5 . . . . . . 7 0 ∈ (span‘{𝐴})
3431, 33eqeltrdi 2901 . . . . . 6 ((𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = 0 → (𝐴 + 𝐵) ∈ (span‘{𝐴}))
358eleq2i 2884 . . . . . . 7 (𝐵𝐹𝐵 ∈ (span‘{𝐴}))
36 sumspansn 29436 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ (span‘{𝐴}) ↔ 𝐵 ∈ (span‘{𝐴})))
371, 2, 36mp2an 691 . . . . . . 7 ((𝐴 + 𝐵) ∈ (span‘{𝐴}) ↔ 𝐵 ∈ (span‘{𝐴}))
3835, 37bitr4i 281 . . . . . 6 (𝐵𝐹 ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ (span‘{𝐴}))
3934, 38sylibr 237 . . . . 5 ((𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = 0𝐵𝐹)
4039con3i 157 . . . 4 𝐵𝐹 → ¬ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = 0)
4140adantl 485 . . 3 ((¬ 𝐴𝐺 ∧ ¬ 𝐵𝐹) → ¬ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = 0)
426, 8ineq12i 4140 . . . . . 6 (𝐻𝐹) = ((span‘{(𝐴 + 𝐵)}) ∩ (span‘{𝐴}))
433, 1spansnm0i 29437 . . . . . . 7 (¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ (span‘{𝐴}) → ((span‘{(𝐴 + 𝐵)}) ∩ (span‘{𝐴})) = 0)
4438, 43sylnbi 333 . . . . . 6 𝐵𝐹 → ((span‘{(𝐴 + 𝐵)}) ∩ (span‘{𝐴})) = 0)
4542, 44syl5eq 2848 . . . . 5 𝐵𝐹 → (𝐻𝐹) = 0)
466, 12ineq12i 4140 . . . . . 6 (𝐻𝐺) = ((span‘{(𝐴 + 𝐵)}) ∩ (span‘{𝐵}))
47 sumspansn 29436 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝐵 + 𝐴) ∈ (span‘{𝐵}) ↔ 𝐴 ∈ (span‘{𝐵})))
482, 1, 47mp2an 691 . . . . . . . 8 ((𝐵 + 𝐴) ∈ (span‘{𝐵}) ↔ 𝐴 ∈ (span‘{𝐵}))
491, 2hvcomi 28806 . . . . . . . . 9 (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)
5049eleq1i 2883 . . . . . . . 8 ((𝐴 + 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}) ↔ (𝐵 + 𝐴) ∈ (span‘{𝐵}))
5112eleq2i 2884 . . . . . . . 8 (𝐴𝐺𝐴 ∈ (span‘{𝐵}))
5248, 50, 513bitr4ri 307 . . . . . . 7 (𝐴𝐺 ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}))
533, 2spansnm0i 29437 . . . . . . 7 (¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}) → ((span‘{(𝐴 + 𝐵)}) ∩ (span‘{𝐵})) = 0)
5452, 53sylnbi 333 . . . . . 6 𝐴𝐺 → ((span‘{(𝐴 + 𝐵)}) ∩ (span‘{𝐵})) = 0)
5546, 54syl5eq 2848 . . . . 5 𝐴𝐺 → (𝐻𝐺) = 0)
5645, 55oveqan12rd 7159 . . . 4 ((¬ 𝐴𝐺 ∧ ¬ 𝐵𝐹) → ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)) = (0 0))
57 h0elch 29042 . . . . 5 0C
5857chj0i 29242 . . . 4 (0 0) = 0
5956, 58eqtrdi 2852 . . 3 ((¬ 𝐴𝐺 ∧ ¬ 𝐵𝐹) → ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)) = 0)
60 eqeq2 2813 . . . . 5 (((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)) = 0 → ((𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)) ↔ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = 0))
6160notbid 321 . . . 4 (((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)) = 0 → (¬ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)) ↔ ¬ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = 0))
6261biimparc 483 . . 3 ((¬ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = 0 ∧ ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)) = 0) → ¬ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)))
6341, 59, 62syl2anc 587 . 2 ((¬ 𝐴𝐺 ∧ ¬ 𝐵𝐹) → ¬ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)))
64 ioran 981 . 2 (¬ (𝐴𝐺𝐵𝐹) ↔ (¬ 𝐴𝐺 ∧ ¬ 𝐵𝐹))
65 df-ne 2991 . 2 ((𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) ≠ ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)) ↔ ¬ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)))
6663, 64, 653imtr4i 295 1 (¬ (𝐴𝐺𝐵𝐹) → (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) ≠ ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990   ∩ cin 3883  {csn 4528  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ℋchba 28706   +ℎ cva 28707  0ℎc0v 28711   Sℋ csh 28715   Cℋ cch 28716   +ℋ cph 28718  spancspn 28719   ∨ℋ chj 28720  0ℋc0h 28722 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cc 9850  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610  ax-hilex 28786  ax-hfvadd 28787  ax-hvcom 28788  ax-hvass 28789  ax-hv0cl 28790  ax-hvaddid 28791  ax-hfvmul 28792  ax-hvmulid 28793  ax-hvmulass 28794  ax-hvdistr1 28795  ax-hvdistr2 28796  ax-hvmul0 28797  ax-hfi 28866  ax-his1 28869  ax-his2 28870  ax-his3 28871  ax-his4 28872  ax-hcompl 28989 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-sum 15039  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-hom 16585  df-cco 16586  df-rest 16692  df-topn 16693  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-topgen 16713  df-pt 16714  df-prds 16717  df-xrs 16771  df-qtop 16776  df-imas 16777  df-xps 16779  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-cnfld 20096  df-top 21503  df-topon 21520  df-topsp 21542  df-bases 21555  df-cld 21628  df-ntr 21629  df-cls 21630  df-nei 21707  df-cn 21836  df-cnp 21837  df-lm 21838  df-haus 21924  df-tx 22171  df-hmeo 22364  df-fil 22455  df-fm 22547  df-flim 22548  df-flf 22549  df-xms 22931  df-ms 22932  df-tms 22933  df-cfil 23863  df-cau 23864  df-cmet 23865  df-grpo 28280  df-gid 28281  df-ginv 28282  df-gdiv 28283  df-ablo 28332  df-vc 28346  df-nv 28379  df-va 28382  df-ba 28383  df-sm 28384  df-0v 28385  df-vs 28386  df-nmcv 28387  df-ims 28388  df-dip 28488  df-ssp 28509  df-ph 28600  df-cbn 28650  df-hnorm 28755  df-hba 28756  df-hvsub 28758  df-hlim 28759  df-hcau 28760  df-sh 28994  df-ch 29008  df-oc 29039  df-ch0 29040  df-shs 29095  df-span 29096  df-chj 29097 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator