HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nonbooli Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nonbooli 31339
Description: A Hilbert lattice with two or more dimensions fails the distributive law and therefore cannot be a Boolean algebra. This counterexample demonstrates a condition where ((𝐻 ∩ 𝐹) βˆ¨β„‹ (𝐻 ∩ 𝐺)) = 0β„‹ but (𝐻 ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) β‰  0β„‹. The antecedent specifies that the vectors 𝐴 and 𝐡 are nonzero and non-colinear. The last three hypotheses assign one-dimensional subspaces to 𝐹, 𝐺, and 𝐻. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nonbool.1 𝐴 ∈ β„‹
nonbool.2 𝐡 ∈ β„‹
nonbool.3 𝐹 = (spanβ€˜{𝐴})
nonbool.4 𝐺 = (spanβ€˜{𝐡})
nonbool.5 𝐻 = (spanβ€˜{(𝐴 +β„Ž 𝐡)})
Assertion
Ref Expression
nonbooli (Β¬ (𝐴 ∈ 𝐺 ∨ 𝐡 ∈ 𝐹) β†’ (𝐻 ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) β‰  ((𝐻 ∩ 𝐹) βˆ¨β„‹ (𝐻 ∩ 𝐺)))
Proof of Theorem nonbooli
StepHypRef Expression
1 nonbool.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 ∈ β„‹
2 nonbool.2 . . . . . . . . . . . . 13 𝐡 ∈ β„‹
31, 2hvaddcli 30706 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ β„‹
4 spansnid 31251 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ β„‹ β†’ (𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ (spanβ€˜{(𝐴 +β„Ž 𝐡)}))
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ (spanβ€˜{(𝐴 +β„Ž 𝐡)})
6 nonbool.5 . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (spanβ€˜{(𝐴 +β„Ž 𝐡)})
75, 6eleqtrri 2824 . . . . . . . . . 10 (𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ 𝐻
8 nonbool.3 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (spanβ€˜{𝐴})
91spansnchi 31250 . . . . . . . . . . . . . 14 (spanβ€˜{𝐴}) ∈ Cβ„‹
109chshii 30915 . . . . . . . . . . . . 13 (spanβ€˜{𝐴}) ∈ Sβ„‹
118, 10eqeltri 2821 . . . . . . . . . . . 12 𝐹 ∈ Sβ„‹
12 nonbool.4 . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (spanβ€˜{𝐡})
132spansnchi 31250 . . . . . . . . . . . . . 14 (spanβ€˜{𝐡}) ∈ Cβ„‹
1413chshii 30915 . . . . . . . . . . . . 13 (spanβ€˜{𝐡}) ∈ Sβ„‹
1512, 14eqeltri 2821 . . . . . . . . . . . 12 𝐺 ∈ Sβ„‹
1611, 15shsleji 31058 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 +β„‹ 𝐺) βŠ† (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)
17 spansnid 31251 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ β„‹ β†’ 𝐴 ∈ (spanβ€˜{𝐴}))
181, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 ∈ (spanβ€˜{𝐴})
1918, 8eleqtrri 2824 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 ∈ 𝐹
20 spansnid 31251 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐡 ∈ β„‹ β†’ 𝐡 ∈ (spanβ€˜{𝐡}))
212, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 𝐡 ∈ (spanβ€˜{𝐡})
2221, 12eleqtrri 2824 . . . . . . . . . . . 12 𝐡 ∈ 𝐺
2311, 15shsvai 31052 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐡 ∈ 𝐺) β†’ (𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ (𝐹 +β„‹ 𝐺))
2419, 22, 23mp2an 689 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ (𝐹 +β„‹ 𝐺)
2516, 24sselii 3971 . . . . . . . . . 10 (𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)
26 elin 3956 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ (𝐻 ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) ↔ ((𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ 𝐻 ∧ (𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)))
277, 25, 26mpbir2an 708 . . . . . . . . 9 (𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ (𝐻 ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺))
28 eleq2 2814 . . . . . . . . 9 ((𝐻 ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) = 0β„‹ β†’ ((𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ (𝐻 ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) ↔ (𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ 0β„‹))
2927, 28mpbii 232 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) = 0β„‹ β†’ (𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ 0β„‹)
30 elch0 30942 . . . . . . . 8 ((𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ 0β„‹ ↔ (𝐴 +β„Ž 𝐡) = 0β„Ž)
3129, 30sylib 217 . . . . . . 7 ((𝐻 ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) = 0β„‹ β†’ (𝐴 +β„Ž 𝐡) = 0β„Ž)
32 ch0 30916 . . . . . . . 8 ((spanβ€˜{𝐴}) ∈ Cβ„‹ β†’ 0β„Ž ∈ (spanβ€˜{𝐴}))
339, 32ax-mp 5 . . . . . . 7 0β„Ž ∈ (spanβ€˜{𝐴})
3431, 33eqeltrdi 2833 . . . . . 6 ((𝐻 ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) = 0β„‹ β†’ (𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ (spanβ€˜{𝐴}))
358eleq2i 2817 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ 𝐹 ↔ 𝐡 ∈ (spanβ€˜{𝐴}))
36 sumspansn 31337 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ ((𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ (spanβ€˜{𝐴}) ↔ 𝐡 ∈ (spanβ€˜{𝐴})))
371, 2, 36mp2an 689 . . . . . . 7 ((𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ (spanβ€˜{𝐴}) ↔ 𝐡 ∈ (spanβ€˜{𝐴}))
3835, 37bitr4i 278 . . . . . 6 (𝐡 ∈ 𝐹 ↔ (𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ (spanβ€˜{𝐴}))
3934, 38sylibr 233 . . . . 5 ((𝐻 ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) = 0β„‹ β†’ 𝐡 ∈ 𝐹)
4039con3i 154 . . . 4 (Β¬ 𝐡 ∈ 𝐹 β†’ Β¬ (𝐻 ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) = 0β„‹)
4140adantl 481 . . 3 ((Β¬ 𝐴 ∈ 𝐺 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐹) β†’ Β¬ (𝐻 ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) = 0β„‹)
426, 8ineq12i 4202 . . . . . 6 (𝐻 ∩ 𝐹) = ((spanβ€˜{(𝐴 +β„Ž 𝐡)}) ∩ (spanβ€˜{𝐴}))
433, 1spansnm0i 31338 . . . . . . 7 (Β¬ (𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ (spanβ€˜{𝐴}) β†’ ((spanβ€˜{(𝐴 +β„Ž 𝐡)}) ∩ (spanβ€˜{𝐴})) = 0β„‹)
4438, 43sylnbi 330 . . . . . 6 (Β¬ 𝐡 ∈ 𝐹 β†’ ((spanβ€˜{(𝐴 +β„Ž 𝐡)}) ∩ (spanβ€˜{𝐴})) = 0β„‹)
4542, 44eqtrid 2776 . . . . 5 (Β¬ 𝐡 ∈ 𝐹 β†’ (𝐻 ∩ 𝐹) = 0β„‹)
466, 12ineq12i 4202 . . . . . 6 (𝐻 ∩ 𝐺) = ((spanβ€˜{(𝐴 +β„Ž 𝐡)}) ∩ (spanβ€˜{𝐡}))
47 sumspansn 31337 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐴 ∈ β„‹) β†’ ((𝐡 +β„Ž 𝐴) ∈ (spanβ€˜{𝐡}) ↔ 𝐴 ∈ (spanβ€˜{𝐡})))
482, 1, 47mp2an 689 . . . . . . . 8 ((𝐡 +β„Ž 𝐴) ∈ (spanβ€˜{𝐡}) ↔ 𝐴 ∈ (spanβ€˜{𝐡}))
491, 2hvcomi 30707 . . . . . . . . 9 (𝐴 +β„Ž 𝐡) = (𝐡 +β„Ž 𝐴)
5049eleq1i 2816 . . . . . . . 8 ((𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ (spanβ€˜{𝐡}) ↔ (𝐡 +β„Ž 𝐴) ∈ (spanβ€˜{𝐡}))
5112eleq2i 2817 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝐺 ↔ 𝐴 ∈ (spanβ€˜{𝐡}))
5248, 50, 513bitr4ri 304 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝐺 ↔ (𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ (spanβ€˜{𝐡}))
533, 2spansnm0i 31338 . . . . . . 7 (Β¬ (𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ (spanβ€˜{𝐡}) β†’ ((spanβ€˜{(𝐴 +β„Ž 𝐡)}) ∩ (spanβ€˜{𝐡})) = 0β„‹)
5452, 53sylnbi 330 . . . . . 6 (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐺 β†’ ((spanβ€˜{(𝐴 +β„Ž 𝐡)}) ∩ (spanβ€˜{𝐡})) = 0β„‹)
5546, 54eqtrid 2776 . . . . 5 (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐺 β†’ (𝐻 ∩ 𝐺) = 0β„‹)
5645, 55oveqan12rd 7421 . . . 4 ((Β¬ 𝐴 ∈ 𝐺 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐹) β†’ ((𝐻 ∩ 𝐹) βˆ¨β„‹ (𝐻 ∩ 𝐺)) = (0β„‹ βˆ¨β„‹ 0β„‹))
57 h0elch 30943 . . . . 5 0β„‹ ∈ Cβ„‹
5857chj0i 31143 . . . 4 (0β„‹ βˆ¨β„‹ 0β„‹) = 0β„‹
5956, 58eqtrdi 2780 . . 3 ((Β¬ 𝐴 ∈ 𝐺 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐹) β†’ ((𝐻 ∩ 𝐹) βˆ¨β„‹ (𝐻 ∩ 𝐺)) = 0β„‹)
60 eqeq2 2736 . . . . 5 (((𝐻 ∩ 𝐹) βˆ¨β„‹ (𝐻 ∩ 𝐺)) = 0β„‹ β†’ ((𝐻 ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) = ((𝐻 ∩ 𝐹) βˆ¨β„‹ (𝐻 ∩ 𝐺)) ↔ (𝐻 ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) = 0β„‹))
6160notbid 318 . . . 4 (((𝐻 ∩ 𝐹) βˆ¨β„‹ (𝐻 ∩ 𝐺)) = 0β„‹ β†’ (Β¬ (𝐻 ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) = ((𝐻 ∩ 𝐹) βˆ¨β„‹ (𝐻 ∩ 𝐺)) ↔ Β¬ (𝐻 ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) = 0β„‹))
6261biimparc 479 . . 3 ((Β¬ (𝐻 ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) = 0β„‹ ∧ ((𝐻 ∩ 𝐹) βˆ¨β„‹ (𝐻 ∩ 𝐺)) = 0β„‹) β†’ Β¬ (𝐻 ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) = ((𝐻 ∩ 𝐹) βˆ¨β„‹ (𝐻 ∩ 𝐺)))
6341, 59, 62syl2anc 583 . 2 ((Β¬ 𝐴 ∈ 𝐺 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐹) β†’ Β¬ (𝐻 ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) = ((𝐻 ∩ 𝐹) βˆ¨β„‹ (𝐻 ∩ 𝐺)))
64 ioran 980 . 2 (Β¬ (𝐴 ∈ 𝐺 ∨ 𝐡 ∈ 𝐹) ↔ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐺 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐹))
65 df-ne 2933 . 2 ((𝐻 ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) β‰  ((𝐻 ∩ 𝐹) βˆ¨β„‹ (𝐻 ∩ 𝐺)) ↔ Β¬ (𝐻 ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) = ((𝐻 ∩ 𝐹) βˆ¨β„‹ (𝐻 ∩ 𝐺)))
6663, 64, 653imtr4i 292 1 (Β¬ (𝐴 ∈ 𝐺 ∨ 𝐡 ∈ 𝐹) β†’ (𝐻 ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) β‰  ((𝐻 ∩ 𝐹) βˆ¨β„‹ (𝐻 ∩ 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932   ∩ cin 3939  {csn 4620  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   β„‹chba 30607   +β„Ž cva 30608  0β„Žc0v 30612   Sβ„‹ csh 30616   Cβ„‹ cch 30617   +β„‹ cph 30619  spancspn 30620   βˆ¨β„‹ chj 30621  0β„‹c0h 30623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9631  ax-cc 10425  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183  ax-addf 11184  ax-mulf 11185  ax-hilex 30687  ax-hfvadd 30688  ax-hvcom 30689  ax-hvass 30690  ax-hv0cl 30691  ax-hvaddid 30692  ax-hfvmul 30693  ax-hvmulid 30694  ax-hvmulass 30695  ax-hvdistr1 30696  ax-hvdistr2 30697  ax-hvmul0 30698  ax-hfi 30767  ax-his1 30770  ax-his2 30771  ax-his3 30772  ax-his4 30773  ax-hcompl 30890
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-omul 8466  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-fi 9401  df-sup 9432  df-inf 9433  df-oi 9500  df-card 9929  df-acn 9932  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-ress 17172  df-plusg 17208  df-mulr 17209  df-starv 17210  df-sca 17211  df-vsca 17212  df-ip 17213  df-tset 17214  df-ple 17215  df-ds 17217  df-unif 17218  df-hom 17219  df-cco 17220  df-rest 17366  df-topn 17367  df-0g 17385  df-gsum 17386  df-topgen 17387  df-pt 17388  df-prds 17391  df-xrs 17446  df-qtop 17451  df-imas 17452  df-xps 17454  df-mre 17528  df-mrc 17529  df-acs 17531  df-mgm 18562  df-sgrp 18641  df-mnd 18657  df-submnd 18703  df-mulg 18985  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21219  df-xmet 21220  df-met 21221  df-bl 21222  df-mopn 21223  df-fbas 21224  df-fg 21225  df-cnfld 21228  df-top 22717  df-topon 22734  df-topsp 22756  df-bases 22770  df-cld 22844  df-ntr 22845  df-cls 22846  df-nei 22923  df-cn 23052  df-cnp 23053  df-lm 23054  df-haus 23140  df-tx 23387  df-hmeo 23580  df-fil 23671  df-fm 23763  df-flim 23764  df-flf 23765  df-xms 24147  df-ms 24148  df-tms 24149  df-cfil 25104  df-cau 25105  df-cmet 25106  df-grpo 30181  df-gid 30182  df-ginv 30183  df-gdiv 30184  df-ablo 30233  df-vc 30247  df-nv 30280  df-va 30283  df-ba 30284  df-sm 30285  df-0v 30286  df-vs 30287  df-nmcv 30288  df-ims 30289  df-dip 30389  df-ssp 30410  df-ph 30501  df-cbn 30551  df-hnorm 30656  df-hba 30657  df-hvsub 30659  df-hlim 30660  df-hcau 30661  df-sh 30895  df-ch 30909  df-oc 30940  df-ch0 30941  df-shs 30996  df-span 30997  df-chj 30998
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator