HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nonbooli Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nonbooli 30892
Description: A Hilbert lattice with two or more dimensions fails the distributive law and therefore cannot be a Boolean algebra. This counterexample demonstrates a condition where ((𝐻 ∩ 𝐹) βˆ¨β„‹ (𝐻 ∩ 𝐺)) = 0β„‹ but (𝐻 ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) β‰  0β„‹. The antecedent specifies that the vectors 𝐴 and 𝐡 are nonzero and non-colinear. The last three hypotheses assign one-dimensional subspaces to 𝐹, 𝐺, and 𝐻. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nonbool.1 𝐴 ∈ β„‹
nonbool.2 𝐡 ∈ β„‹
nonbool.3 𝐹 = (spanβ€˜{𝐴})
nonbool.4 𝐺 = (spanβ€˜{𝐡})
nonbool.5 𝐻 = (spanβ€˜{(𝐴 +β„Ž 𝐡)})
Assertion
Ref Expression
nonbooli (Β¬ (𝐴 ∈ 𝐺 ∨ 𝐡 ∈ 𝐹) β†’ (𝐻 ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) β‰  ((𝐻 ∩ 𝐹) βˆ¨β„‹ (𝐻 ∩ 𝐺)))
Proof of Theorem nonbooli
StepHypRef Expression
1 nonbool.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 ∈ β„‹
2 nonbool.2 . . . . . . . . . . . . 13 𝐡 ∈ β„‹
31, 2hvaddcli 30259 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ β„‹
4 spansnid 30804 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ β„‹ β†’ (𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ (spanβ€˜{(𝐴 +β„Ž 𝐡)}))
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ (spanβ€˜{(𝐴 +β„Ž 𝐡)})
6 nonbool.5 . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (spanβ€˜{(𝐴 +β„Ž 𝐡)})
75, 6eleqtrri 2833 . . . . . . . . . 10 (𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ 𝐻
8 nonbool.3 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (spanβ€˜{𝐴})
91spansnchi 30803 . . . . . . . . . . . . . 14 (spanβ€˜{𝐴}) ∈ Cβ„‹
109chshii 30468 . . . . . . . . . . . . 13 (spanβ€˜{𝐴}) ∈ Sβ„‹
118, 10eqeltri 2830 . . . . . . . . . . . 12 𝐹 ∈ Sβ„‹
12 nonbool.4 . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (spanβ€˜{𝐡})
132spansnchi 30803 . . . . . . . . . . . . . 14 (spanβ€˜{𝐡}) ∈ Cβ„‹
1413chshii 30468 . . . . . . . . . . . . 13 (spanβ€˜{𝐡}) ∈ Sβ„‹
1512, 14eqeltri 2830 . . . . . . . . . . . 12 𝐺 ∈ Sβ„‹
1611, 15shsleji 30611 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 +β„‹ 𝐺) βŠ† (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)
17 spansnid 30804 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ β„‹ β†’ 𝐴 ∈ (spanβ€˜{𝐴}))
181, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 ∈ (spanβ€˜{𝐴})
1918, 8eleqtrri 2833 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 ∈ 𝐹
20 spansnid 30804 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐡 ∈ β„‹ β†’ 𝐡 ∈ (spanβ€˜{𝐡}))
212, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 𝐡 ∈ (spanβ€˜{𝐡})
2221, 12eleqtrri 2833 . . . . . . . . . . . 12 𝐡 ∈ 𝐺
2311, 15shsvai 30605 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐡 ∈ 𝐺) β†’ (𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ (𝐹 +β„‹ 𝐺))
2419, 22, 23mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ (𝐹 +β„‹ 𝐺)
2516, 24sselii 3979 . . . . . . . . . 10 (𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)
26 elin 3964 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ (𝐻 ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) ↔ ((𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ 𝐻 ∧ (𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)))
277, 25, 26mpbir2an 710 . . . . . . . . 9 (𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ (𝐻 ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺))
28 eleq2 2823 . . . . . . . . 9 ((𝐻 ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) = 0β„‹ β†’ ((𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ (𝐻 ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) ↔ (𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ 0β„‹))
2927, 28mpbii 232 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) = 0β„‹ β†’ (𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ 0β„‹)
30 elch0 30495 . . . . . . . 8 ((𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ 0β„‹ ↔ (𝐴 +β„Ž 𝐡) = 0β„Ž)
3129, 30sylib 217 . . . . . . 7 ((𝐻 ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) = 0β„‹ β†’ (𝐴 +β„Ž 𝐡) = 0β„Ž)
32 ch0 30469 . . . . . . . 8 ((spanβ€˜{𝐴}) ∈ Cβ„‹ β†’ 0β„Ž ∈ (spanβ€˜{𝐴}))
339, 32ax-mp 5 . . . . . . 7 0β„Ž ∈ (spanβ€˜{𝐴})
3431, 33eqeltrdi 2842 . . . . . 6 ((𝐻 ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) = 0β„‹ β†’ (𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ (spanβ€˜{𝐴}))
358eleq2i 2826 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ 𝐹 ↔ 𝐡 ∈ (spanβ€˜{𝐴}))
36 sumspansn 30890 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ 𝐡 ∈ β„‹) β†’ ((𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ (spanβ€˜{𝐴}) ↔ 𝐡 ∈ (spanβ€˜{𝐴})))
371, 2, 36mp2an 691 . . . . . . 7 ((𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ (spanβ€˜{𝐴}) ↔ 𝐡 ∈ (spanβ€˜{𝐴}))
3835, 37bitr4i 278 . . . . . 6 (𝐡 ∈ 𝐹 ↔ (𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ (spanβ€˜{𝐴}))
3934, 38sylibr 233 . . . . 5 ((𝐻 ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) = 0β„‹ β†’ 𝐡 ∈ 𝐹)
4039con3i 154 . . . 4 (Β¬ 𝐡 ∈ 𝐹 β†’ Β¬ (𝐻 ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) = 0β„‹)
4140adantl 483 . . 3 ((Β¬ 𝐴 ∈ 𝐺 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐹) β†’ Β¬ (𝐻 ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) = 0β„‹)
426, 8ineq12i 4210 . . . . . 6 (𝐻 ∩ 𝐹) = ((spanβ€˜{(𝐴 +β„Ž 𝐡)}) ∩ (spanβ€˜{𝐴}))
433, 1spansnm0i 30891 . . . . . . 7 (Β¬ (𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ (spanβ€˜{𝐴}) β†’ ((spanβ€˜{(𝐴 +β„Ž 𝐡)}) ∩ (spanβ€˜{𝐴})) = 0β„‹)
4438, 43sylnbi 330 . . . . . 6 (Β¬ 𝐡 ∈ 𝐹 β†’ ((spanβ€˜{(𝐴 +β„Ž 𝐡)}) ∩ (spanβ€˜{𝐴})) = 0β„‹)
4542, 44eqtrid 2785 . . . . 5 (Β¬ 𝐡 ∈ 𝐹 β†’ (𝐻 ∩ 𝐹) = 0β„‹)
466, 12ineq12i 4210 . . . . . 6 (𝐻 ∩ 𝐺) = ((spanβ€˜{(𝐴 +β„Ž 𝐡)}) ∩ (spanβ€˜{𝐡}))
47 sumspansn 30890 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ β„‹ ∧ 𝐴 ∈ β„‹) β†’ ((𝐡 +β„Ž 𝐴) ∈ (spanβ€˜{𝐡}) ↔ 𝐴 ∈ (spanβ€˜{𝐡})))
482, 1, 47mp2an 691 . . . . . . . 8 ((𝐡 +β„Ž 𝐴) ∈ (spanβ€˜{𝐡}) ↔ 𝐴 ∈ (spanβ€˜{𝐡}))
491, 2hvcomi 30260 . . . . . . . . 9 (𝐴 +β„Ž 𝐡) = (𝐡 +β„Ž 𝐴)
5049eleq1i 2825 . . . . . . . 8 ((𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ (spanβ€˜{𝐡}) ↔ (𝐡 +β„Ž 𝐴) ∈ (spanβ€˜{𝐡}))
5112eleq2i 2826 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝐺 ↔ 𝐴 ∈ (spanβ€˜{𝐡}))
5248, 50, 513bitr4ri 304 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝐺 ↔ (𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ (spanβ€˜{𝐡}))
533, 2spansnm0i 30891 . . . . . . 7 (Β¬ (𝐴 +β„Ž 𝐡) ∈ (spanβ€˜{𝐡}) β†’ ((spanβ€˜{(𝐴 +β„Ž 𝐡)}) ∩ (spanβ€˜{𝐡})) = 0β„‹)
5452, 53sylnbi 330 . . . . . 6 (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐺 β†’ ((spanβ€˜{(𝐴 +β„Ž 𝐡)}) ∩ (spanβ€˜{𝐡})) = 0β„‹)
5546, 54eqtrid 2785 . . . . 5 (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐺 β†’ (𝐻 ∩ 𝐺) = 0β„‹)
5645, 55oveqan12rd 7426 . . . 4 ((Β¬ 𝐴 ∈ 𝐺 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐹) β†’ ((𝐻 ∩ 𝐹) βˆ¨β„‹ (𝐻 ∩ 𝐺)) = (0β„‹ βˆ¨β„‹ 0β„‹))
57 h0elch 30496 . . . . 5 0β„‹ ∈ Cβ„‹
5857chj0i 30696 . . . 4 (0β„‹ βˆ¨β„‹ 0β„‹) = 0β„‹
5956, 58eqtrdi 2789 . . 3 ((Β¬ 𝐴 ∈ 𝐺 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐹) β†’ ((𝐻 ∩ 𝐹) βˆ¨β„‹ (𝐻 ∩ 𝐺)) = 0β„‹)
60 eqeq2 2745 . . . . 5 (((𝐻 ∩ 𝐹) βˆ¨β„‹ (𝐻 ∩ 𝐺)) = 0β„‹ β†’ ((𝐻 ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) = ((𝐻 ∩ 𝐹) βˆ¨β„‹ (𝐻 ∩ 𝐺)) ↔ (𝐻 ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) = 0β„‹))
6160notbid 318 . . . 4 (((𝐻 ∩ 𝐹) βˆ¨β„‹ (𝐻 ∩ 𝐺)) = 0β„‹ β†’ (Β¬ (𝐻 ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) = ((𝐻 ∩ 𝐹) βˆ¨β„‹ (𝐻 ∩ 𝐺)) ↔ Β¬ (𝐻 ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) = 0β„‹))
6261biimparc 481 . . 3 ((Β¬ (𝐻 ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) = 0β„‹ ∧ ((𝐻 ∩ 𝐹) βˆ¨β„‹ (𝐻 ∩ 𝐺)) = 0β„‹) β†’ Β¬ (𝐻 ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) = ((𝐻 ∩ 𝐹) βˆ¨β„‹ (𝐻 ∩ 𝐺)))
6341, 59, 62syl2anc 585 . 2 ((Β¬ 𝐴 ∈ 𝐺 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐹) β†’ Β¬ (𝐻 ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) = ((𝐻 ∩ 𝐹) βˆ¨β„‹ (𝐻 ∩ 𝐺)))
64 ioran 983 . 2 (Β¬ (𝐴 ∈ 𝐺 ∨ 𝐡 ∈ 𝐹) ↔ (Β¬ 𝐴 ∈ 𝐺 ∧ Β¬ 𝐡 ∈ 𝐹))
65 df-ne 2942 . 2 ((𝐻 ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) β‰  ((𝐻 ∩ 𝐹) βˆ¨β„‹ (𝐻 ∩ 𝐺)) ↔ Β¬ (𝐻 ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) = ((𝐻 ∩ 𝐹) βˆ¨β„‹ (𝐻 ∩ 𝐺)))
6663, 64, 653imtr4i 292 1 (Β¬ (𝐴 ∈ 𝐺 ∨ 𝐡 ∈ 𝐹) β†’ (𝐻 ∩ (𝐹 βˆ¨β„‹ 𝐺)) β‰  ((𝐻 ∩ 𝐹) βˆ¨β„‹ (𝐻 ∩ 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   ∩ cin 3947  {csn 4628  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   β„‹chba 30160   +β„Ž cva 30161  0β„Žc0v 30165   Sβ„‹ csh 30169   Cβ„‹ cch 30170   +β„‹ cph 30172  spancspn 30173   βˆ¨β„‹ chj 30174  0β„‹c0h 30176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cc 10427  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187  ax-hilex 30240  ax-hfvadd 30241  ax-hvcom 30242  ax-hvass 30243  ax-hv0cl 30244  ax-hvaddid 30245  ax-hfvmul 30246  ax-hvmulid 30247  ax-hvmulass 30248  ax-hvdistr1 30249  ax-hvdistr2 30250  ax-hvmul0 30251  ax-hfi 30320  ax-his1 30323  ax-his2 30324  ax-his3 30325  ax-his4 30326  ax-hcompl 30443
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-oadd 8467  df-omul 8468  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-acn 9934  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-fbas 20934  df-fg 20935  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-ntr 22516  df-cls 22517  df-nei 22594  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-lm 22725  df-haus 22811  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-fil 23342  df-fm 23434  df-flim 23435  df-flf 23436  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-cfil 24764  df-cau 24765  df-cmet 24766  df-grpo 29734  df-gid 29735  df-ginv 29736  df-gdiv 29737  df-ablo 29786  df-vc 29800  df-nv 29833  df-va 29836  df-ba 29837  df-sm 29838  df-0v 29839  df-vs 29840  df-nmcv 29841  df-ims 29842  df-dip 29942  df-ssp 29963  df-ph 30054  df-cbn 30104  df-hnorm 30209  df-hba 30210  df-hvsub 30212  df-hlim 30213  df-hcau 30214  df-sh 30448  df-ch 30462  df-oc 30493  df-ch0 30494  df-shs 30549  df-span 30550  df-chj 30551
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator