Theorem polidi 31137

Description: Polarization identity. Recovers inner product from norm. Exercise 4(a) of [ReedSimon] p. 63. The outermost operation is + instead of - due to our mathematicians' (rather than physicists') version of Axiom ax-his3 31063. (Contributed by NM, 30-Jun-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
polid.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
polid.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
polidi	⊢ (𝐴 ·ih 𝐵) = (((((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((normℎ‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4)

Proof of Theorem polidi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		polid.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		polid.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3	1, 2, 2, 1	polid2i 31136	. 2 ⊢ (𝐴 ·ih 𝐵) = (((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) / 4)
4	1, 2	hvaddcli 30997	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ
5	4	normsqi 31111	. . . . 5 ⊢ ((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵))
6	1, 2	hvsubcli 31000	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ
7	6	normsqi 31111	. . . . 5 ⊢ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2) = ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))
8	5, 7	oveq12i 7381	. . . 4 ⊢ (((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2)) = (((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)))
9		ax-icn 11103	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
10	9, 2	hvmulcli 30993	. . . . . . . 8 ⊢ (i ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ
11	1, 10	hvaddcli 30997	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
12	11	normsqi 31111	. . . . . 6 ⊢ ((normℎ‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2) = ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))
13	1, 10	hvsubcli 31000	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
14	13	normsqi 31111	. . . . . 6 ⊢ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2) = ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))
15	12, 14	oveq12i 7381	. . . . 5 ⊢ (((normℎ‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2)) = (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))
16	15	oveq2i 7380	. . . 4 ⊢ (i · (((normℎ‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2))) = (i · (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))
17	8, 16	oveq12i 7381	. . 3 ⊢ ((((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((normℎ‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2)))) = ((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))))
18	17	oveq1i 7379	. 2 ⊢ (((((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((normℎ‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4) = (((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) / 4)
19	3, 18	eqtr4i 2755	1 ⊢ (𝐴 ·ih 𝐵) = (((((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((normℎ‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ici 11046   + caddc 11047   · cmul 11049   − cmin 11381   / cdiv 11811  2c2 12217  4c4 12219  ↑cexp 14002   ℋchba 30898   +_ℎ cva 30899   ·_ℎ csm 30900   ·_ih csp 30901  norm_ℎcno 30902   −_ℎ cmv 30904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-hfvadd 30979  ax-hv0cl 30982  ax-hfvmul 30984  ax-hvmul0 30989  ax-hfi 31058  ax-his1 31061  ax-his2 31062  ax-his3 31063  ax-his4 31064

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-hnorm 30947  df-hvsub 30950

This theorem is referenced by:  polid  31138