HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  polidi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem polidi 30845
Description: Polarization identity. Recovers inner product from norm. Exercise 4(a) of [ReedSimon] p. 63. The outermost operation is + instead of - due to our mathematicians' (rather than physicists') version of Axiom ax-his3 30771. (Contributed by NM, 30-Jun-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
polid.1 ๐ด โˆˆ โ„‹
polid.2 ๐ต โˆˆ โ„‹
Assertion
Ref Expression
polidi (๐ด ยทih ๐ต) = (((((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))โ†‘2) โˆ’ ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) + (i ยท (((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))โ†‘2) โˆ’ ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))โ†‘2)))) / 4)
Proof of Theorem polidi
StepHypRef Expression
1 polid.1 . . 3 ๐ด โˆˆ โ„‹
2 polid.2 . . 3 ๐ต โˆˆ โ„‹
31, 2, 2, 1polid2i 30844 . 2 (๐ด ยทih ๐ต) = (((((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) + (i ยท (((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))) / 4)
41, 2hvaddcli 30705 . . . . . 6 (๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹
54normsqi 30819 . . . . 5 ((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))โ†‘2) = ((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต))
61, 2hvsubcli 30708 . . . . . 6 (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹
76normsqi 30819 . . . . 5 ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) = ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))
85, 7oveq12i 7424 . . . 4 (((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))โ†‘2) โˆ’ ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) = (((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))
9 ax-icn 11175 . . . . . . . . 9 i โˆˆ โ„‚
109, 2hvmulcli 30701 . . . . . . . 8 (i ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹
111, 10hvaddcli 30705 . . . . . . 7 (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) โˆˆ โ„‹
1211normsqi 30819 . . . . . 6 ((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))โ†‘2) = ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))
131, 10hvsubcli 30708 . . . . . . 7 (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) โˆˆ โ„‹
1413normsqi 30819 . . . . . 6 ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))โ†‘2) = ((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))
1512, 14oveq12i 7424 . . . . 5 (((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))โ†‘2) โˆ’ ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))โ†‘2)) = (((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))
1615oveq2i 7423 . . . 4 (i ยท (((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))โ†‘2) โˆ’ ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))โ†‘2))) = (i ยท (((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))
178, 16oveq12i 7424 . . 3 ((((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))โ†‘2) โˆ’ ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) + (i ยท (((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))โ†‘2) โˆ’ ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))โ†‘2)))) = ((((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) + (i ยท (((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))))
1817oveq1i 7422 . 2 (((((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))โ†‘2) โˆ’ ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) + (i ยท (((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))โ†‘2) โˆ’ ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))โ†‘2)))) / 4) = (((((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) + (i ยท (((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))) / 4)
193, 18eqtr4i 2762 1 (๐ด ยทih ๐ต) = (((((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))โ†‘2) โˆ’ ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) + (i ยท (((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))โ†‘2) โˆ’ ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))โ†‘2)))) / 4)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  ici 11118   + caddc 11119   ยท cmul 11121   โˆ’ cmin 11451   / cdiv 11878  2c2 12274  4c4 12276  โ†‘cexp 14034   โ„‹chba 30606   +โ„Ž cva 30607   ยทโ„Ž csm 30608   ยทih csp 30609  normโ„Žcno 30610   โˆ’โ„Ž cmv 30612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-hfvadd 30687  ax-hv0cl 30690  ax-hfvmul 30692  ax-hvmul0 30697  ax-hfi 30766  ax-his1 30769  ax-his2 30770  ax-his3 30771  ax-his4 30772
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-hnorm 30655  df-hvsub 30658
This theorem is referenced by:  polid  30846
  Copyright terms: Public domain W3C validator