Theorem polidi 31252

Description: Polarization identity. Recovers inner product from norm. Exercise 4(a) of [ReedSimon] p. 63. The outermost operation is + instead of - due to our mathematicians' (rather than physicists') version of Axiom ax-his3 31178. (Contributed by NM, 30-Jun-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
polid.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
polid.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
polidi	⊢ (𝐴 ·ih 𝐵) = (((((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((normℎ‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4)

Proof of Theorem polidi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		polid.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		polid.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3	1, 2, 2, 1	polid2i 31251	. 2 ⊢ (𝐴 ·ih 𝐵) = (((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) / 4)
4	1, 2	hvaddcli 31112	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ
5	4	normsqi 31226	. . . . 5 ⊢ ((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵))
6	1, 2	hvsubcli 31115	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ
7	6	normsqi 31226	. . . . 5 ⊢ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2) = ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))
8	5, 7	oveq12i 7382	. . . 4 ⊢ (((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2)) = (((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)))
9		ax-icn 11099	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
10	9, 2	hvmulcli 31108	. . . . . . . 8 ⊢ (i ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ
11	1, 10	hvaddcli 31112	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
12	11	normsqi 31226	. . . . . 6 ⊢ ((normℎ‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2) = ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))
13	1, 10	hvsubcli 31115	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
14	13	normsqi 31226	. . . . . 6 ⊢ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2) = ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))
15	12, 14	oveq12i 7382	. . . . 5 ⊢ (((normℎ‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2)) = (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))
16	15	oveq2i 7381	. . . 4 ⊢ (i · (((normℎ‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2))) = (i · (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))
17	8, 16	oveq12i 7382	. . 3 ⊢ ((((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((normℎ‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2)))) = ((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))))
18	17	oveq1i 7380	. 2 ⊢ (((((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((normℎ‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4) = (((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) / 4)
19	3, 18	eqtr4i 2763	1 ⊢ (𝐴 ·ih 𝐵) = (((((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((normℎ‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  ici 11042   + caddc 11043   · cmul 11045   − cmin 11378   / cdiv 11808  2c2 12214  4c4 12216  ↑cexp 13998   ℋchba 31013   +_ℎ cva 31014   ·_ℎ csm 31015   ·_ih csp 31016  norm_ℎcno 31017   −_ℎ cmv 31019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118  ax-hfvadd 31094  ax-hv0cl 31097  ax-hfvmul 31099  ax-hvmul0 31104  ax-hfi 31173  ax-his1 31176  ax-his2 31177  ax-his3 31178  ax-his4 31179

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-sup 9359  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-rp 12920  df-seq 13939  df-exp 13999  df-cj 15036  df-re 15037  df-im 15038  df-sqrt 15172  df-hnorm 31062  df-hvsub 31065

This theorem is referenced by:  polid  31253