Theorem polidi 31094

Description: Polarization identity. Recovers inner product from norm. Exercise 4(a) of [ReedSimon] p. 63. The outermost operation is + instead of - due to our mathematicians' (rather than physicists') version of Axiom ax-his3 31020. (Contributed by NM, 30-Jun-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
polid.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
polid.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
polidi	⊢ (𝐴 ·ih 𝐵) = (((((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((normℎ‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4)

Proof of Theorem polidi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		polid.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		polid.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3	1, 2, 2, 1	polid2i 31093	. 2 ⊢ (𝐴 ·ih 𝐵) = (((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) / 4)
4	1, 2	hvaddcli 30954	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ
5	4	normsqi 31068	. . . . 5 ⊢ ((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵))
6	1, 2	hvsubcli 30957	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ
7	6	normsqi 31068	. . . . 5 ⊢ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2) = ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))
8	5, 7	oveq12i 7402	. . . 4 ⊢ (((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2)) = (((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)))
9		ax-icn 11134	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
10	9, 2	hvmulcli 30950	. . . . . . . 8 ⊢ (i ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ
11	1, 10	hvaddcli 30954	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
12	11	normsqi 31068	. . . . . 6 ⊢ ((normℎ‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2) = ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))
13	1, 10	hvsubcli 30957	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
14	13	normsqi 31068	. . . . . 6 ⊢ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2) = ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))
15	12, 14	oveq12i 7402	. . . . 5 ⊢ (((normℎ‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2)) = (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))
16	15	oveq2i 7401	. . . 4 ⊢ (i · (((normℎ‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2))) = (i · (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))
17	8, 16	oveq12i 7402	. . 3 ⊢ ((((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((normℎ‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2)))) = ((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))))
18	17	oveq1i 7400	. 2 ⊢ (((((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((normℎ‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4) = (((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) / 4)
19	3, 18	eqtr4i 2756	1 ⊢ (𝐴 ·ih 𝐵) = (((((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((normℎ‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ici 11077   + caddc 11078   · cmul 11080   − cmin 11412   / cdiv 11842  2c2 12248  4c4 12250  ↑cexp 14033   ℋchba 30855   +_ℎ cva 30856   ·_ℎ csm 30857   ·_ih csp 30858  norm_ℎcno 30859   −_ℎ cmv 30861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-hfvadd 30936  ax-hv0cl 30939  ax-hfvmul 30941  ax-hvmul0 30946  ax-hfi 31015  ax-his1 31018  ax-his2 31019  ax-his3 31020  ax-his4 31021

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-hnorm 30904  df-hvsub 30907

This theorem is referenced by:  polid  31095