HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  polidi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem polidi 30389
Description: Polarization identity. Recovers inner product from norm. Exercise 4(a) of [ReedSimon] p. 63. The outermost operation is + instead of - due to our mathematicians' (rather than physicists') version of Axiom ax-his3 30315. (Contributed by NM, 30-Jun-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
polid.1 ๐ด โˆˆ โ„‹
polid.2 ๐ต โˆˆ โ„‹
Assertion
Ref Expression
polidi (๐ด ยทih ๐ต) = (((((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))โ†‘2) โˆ’ ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) + (i ยท (((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))โ†‘2) โˆ’ ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))โ†‘2)))) / 4)
Proof of Theorem polidi
StepHypRef Expression
1 polid.1 . . 3 ๐ด โˆˆ โ„‹
2 polid.2 . . 3 ๐ต โˆˆ โ„‹
31, 2, 2, 1polid2i 30388 . 2 (๐ด ยทih ๐ต) = (((((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) + (i ยท (((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))) / 4)
41, 2hvaddcli 30249 . . . . . 6 (๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹
54normsqi 30363 . . . . 5 ((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))โ†‘2) = ((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต))
61, 2hvsubcli 30252 . . . . . 6 (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹
76normsqi 30363 . . . . 5 ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) = ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))
85, 7oveq12i 7416 . . . 4 (((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))โ†‘2) โˆ’ ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) = (((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))
9 ax-icn 11165 . . . . . . . . 9 i โˆˆ โ„‚
109, 2hvmulcli 30245 . . . . . . . 8 (i ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹
111, 10hvaddcli 30249 . . . . . . 7 (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) โˆˆ โ„‹
1211normsqi 30363 . . . . . 6 ((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))โ†‘2) = ((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))
131, 10hvsubcli 30252 . . . . . . 7 (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) โˆˆ โ„‹
1413normsqi 30363 . . . . . 6 ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))โ†‘2) = ((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))
1512, 14oveq12i 7416 . . . . 5 (((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))โ†‘2) โˆ’ ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))โ†‘2)) = (((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))
1615oveq2i 7415 . . . 4 (i ยท (((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))โ†‘2) โˆ’ ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))โ†‘2))) = (i ยท (((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))
178, 16oveq12i 7416 . . 3 ((((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))โ†‘2) โˆ’ ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) + (i ยท (((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))โ†‘2) โˆ’ ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))โ†‘2)))) = ((((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) + (i ยท (((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))))))
1817oveq1i 7414 . 2 (((((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))โ†‘2) โˆ’ ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) + (i ยท (((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))โ†‘2) โˆ’ ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))โ†‘2)))) / 4) = (((((๐ด +โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด +โ„Ž ๐ต)) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) + (i ยท (((๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))))) / 4)
193, 18eqtr4i 2764 1 (๐ด ยทih ๐ต) = (((((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž ๐ต))โ†‘2) โˆ’ ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) + (i ยท (((normโ„Žโ€˜(๐ด +โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))โ†‘2) โˆ’ ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (i ยทโ„Ž ๐ต)))โ†‘2)))) / 4)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7404  ici 11108   + caddc 11109   ยท cmul 11111   โˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  2c2 12263  4c4 12265  โ†‘cexp 14023   โ„‹chba 30150   +โ„Ž cva 30151   ยทโ„Ž csm 30152   ยทih csp 30153  normโ„Žcno 30154   โˆ’โ„Ž cmv 30156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-hfvadd 30231  ax-hv0cl 30234  ax-hfvmul 30236  ax-hvmul0 30241  ax-hfi 30310  ax-his1 30313  ax-his2 30314  ax-his3 30315  ax-his4 30316
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-hnorm 30199  df-hvsub 30202
This theorem is referenced by:  polid  30390
  Copyright terms: Public domain W3C validator