Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  polidi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem polidi 29040
 Description: Polarization identity. Recovers inner product from norm. Exercise 4(a) of [ReedSimon] p. 63. The outermost operation is + instead of - due to our mathematicians' (rather than physicists') version of Axiom ax-his3 28966. (Contributed by NM, 30-Jun-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
polid.1 𝐴 ∈ ℋ
polid.2 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
polidi (𝐴 ·ih 𝐵) = (((((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)) + (i · (((norm‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2)))) / 4)

Proof of Theorem polidi
StepHypRef Expression
1 polid.1 . . 3 𝐴 ∈ ℋ
2 polid.2 . . 3 𝐵 ∈ ℋ
31, 2, 2, 1polid2i 29039 . 2 (𝐴 ·ih 𝐵) = (((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))))) / 4)
41, 2hvaddcli 28900 . . . . . 6 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ
54normsqi 29014 . . . . 5 ((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵))
61, 2hvsubcli 28903 . . . . . 6 (𝐴 𝐵) ∈ ℋ
76normsqi 29014 . . . . 5 ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2) = ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵))
85, 7oveq12i 7162 . . . 4 (((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)) = (((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)))
9 ax-icn 10634 . . . . . . . . 9 i ∈ ℂ
109, 2hvmulcli 28896 . . . . . . . 8 (i · 𝐵) ∈ ℋ
111, 10hvaddcli 28900 . . . . . . 7 (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℋ
1211normsqi 29014 . . . . . 6 ((norm‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵)))
131, 10hvsubcli 28903 . . . . . . 7 (𝐴 (i · 𝐵)) ∈ ℋ
1413normsqi 29014 . . . . . 6 ((norm‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))
1512, 14oveq12i 7162 . . . . 5 (((norm‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2)) = (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝐴 (i · 𝐵))))
1615oveq2i 7161 . . . 4 (i · (((norm‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2))) = (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))))
178, 16oveq12i 7162 . . 3 ((((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)) + (i · (((norm‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2)))) = ((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝐴 (i · 𝐵))))))
1817oveq1i 7160 . 2 (((((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)) + (i · (((norm‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2)))) / 4) = (((((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − ((𝐴 (i · 𝐵)) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))))) / 4)
193, 18eqtr4i 2784 1 (𝐴 ·ih 𝐵) = (((((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)) + (i · (((norm‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2)))) / 4)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  ici 10577   + caddc 10578   · cmul 10580   − cmin 10908   / cdiv 11335  2c2 11729  4c4 11731  ↑cexp 13479   ℋchba 28801   +ℎ cva 28802   ·ℎ csm 28803   ·ih csp 28804  normℎcno 28805   −ℎ cmv 28807 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653  ax-hfvadd 28882  ax-hv0cl 28885  ax-hfvmul 28887  ax-hvmul0 28892  ax-hfi 28961  ax-his1 28964  ax-his2 28965  ax-his3 28966  ax-his4 28967 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-sup 8939  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-rp 12431  df-seq 13419  df-exp 13480  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-hnorm 28850  df-hvsub 28853 This theorem is referenced by:  polid  29041
 Copyright terms: Public domain W3C validator