Theorem polidi 31453

Description: Polarization identity. Recovers inner product from norm. Exercise 4(a) of [ReedSimon] p. 63. The outermost operation is + instead of - due to our mathematicians' (rather than physicists') version of Axiom ax-his3 31379. (Contributed by NM, 30-Jun-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
polid.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
polid.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
polidi	⊢ (𝐴 ·ih 𝐵) = (((((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((normℎ‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4)

Proof of Theorem polidi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		polid.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		polid.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3	1, 2, 2, 1	polid2i 31452	. 2 ⊢ (𝐴 ·ih 𝐵) = (((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) / 4)
4	1, 2	hvaddcli 31313	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ
5	4	normsqi 31427	. . . . 5 ⊢ ((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵))
6	1, 2	hvsubcli 31316	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ
7	6	normsqi 31427	. . . . 5 ⊢ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2) = ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))
8	5, 7	oveq12i 7425	. . . 4 ⊢ (((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2)) = (((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)))
9		ax-icn 11161	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
10	9, 2	hvmulcli 31309	. . . . . . . 8 ⊢ (i ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ
11	1, 10	hvaddcli 31313	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
12	11	normsqi 31427	. . . . . 6 ⊢ ((normℎ‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2) = ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))
13	1, 10	hvsubcli 31316	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
14	13	normsqi 31427	. . . . . 6 ⊢ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2) = ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))
15	12, 14	oveq12i 7425	. . . . 5 ⊢ (((normℎ‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2)) = (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))
16	15	oveq2i 7424	. . . 4 ⊢ (i · (((normℎ‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2))) = (i · (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))
17	8, 16	oveq12i 7425	. . 3 ⊢ ((((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((normℎ‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2)))) = ((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))))
18	17	oveq1i 7423	. 2 ⊢ (((((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((normℎ‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4) = (((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) / 4)
19	3, 18	eqtr4i 2795	1 ⊢ (𝐴 ·ih 𝐵) = (((((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((normℎ‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4)

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413  ici 11104   + caddc 11105   · cmul 11107   − cmin 11443   / cdiv 11873  2c2 12297  4c4 12299  ↑cexp 14099   ℋchba 31214   +_ℎ cva 31215   ·_ℎ csm 31216   ·_ih csp 31217  norm_ℎcno 31218   −_ℎ cmv 31220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179  ax-pre-sup 11180  ax-hfvadd 31295  ax-hv0cl 31298  ax-hfvmul 31300  ax-hvmul0 31305  ax-hfi 31374  ax-his1 31377  ax-his2 31378  ax-his3 31379  ax-his4 31380

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9404  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11874  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12865  df-rp 13019  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-hnorm 31263  df-hvsub 31266

This theorem is referenced by:  polid  31454