Theorem polidi 31248

Description: Polarization identity. Recovers inner product from norm. Exercise 4(a) of [ReedSimon] p. 63. The outermost operation is + instead of - due to our mathematicians' (rather than physicists') version of Axiom ax-his3 31174. (Contributed by NM, 30-Jun-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
polid.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
polid.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
polidi	⊢ (𝐴 ·ih 𝐵) = (((((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((normℎ‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4)

Proof of Theorem polidi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		polid.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		polid.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3	1, 2, 2, 1	polid2i 31247	. 2 ⊢ (𝐴 ·ih 𝐵) = (((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) / 4)
4	1, 2	hvaddcli 31108	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ
5	4	normsqi 31222	. . . . 5 ⊢ ((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵))
6	1, 2	hvsubcli 31111	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ
7	6	normsqi 31222	. . . . 5 ⊢ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2) = ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))
8	5, 7	oveq12i 7374	. . . 4 ⊢ (((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2)) = (((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)))
9		ax-icn 11092	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
10	9, 2	hvmulcli 31104	. . . . . . . 8 ⊢ (i ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ
11	1, 10	hvaddcli 31108	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
12	11	normsqi 31222	. . . . . 6 ⊢ ((normℎ‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2) = ((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))
13	1, 10	hvsubcli 31111	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
14	13	normsqi 31222	. . . . . 6 ⊢ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2) = ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))
15	12, 14	oveq12i 7374	. . . . 5 ⊢ (((normℎ‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2)) = (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))
16	15	oveq2i 7373	. . . 4 ⊢ (i · (((normℎ‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2))) = (i · (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))
17	8, 16	oveq12i 7374	. . 3 ⊢ ((((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((normℎ‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2)))) = ((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵))))))
18	17	oveq1i 7372	. 2 ⊢ (((((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((normℎ‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4) = (((((𝐴 +ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 +ℎ 𝐵)) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) + (i · (((𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)) ·ih (𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))))) / 4)
19	3, 18	eqtr4i 2763	1 ⊢ (𝐴 ·ih 𝐵) = (((((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2)) + (i · (((normℎ‘(𝐴 +ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ (i ·ℎ 𝐵)))↑2)))) / 4)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  ici 11035   + caddc 11036   · cmul 11038   − cmin 11372   / cdiv 11802  2c2 12231  4c4 12233  ↑cexp 14018   ℋchba 31009   +_ℎ cva 31010   ·_ℎ csm 31011   ·_ih csp 31012  norm_ℎcno 31013   −_ℎ cmv 31015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111  ax-hfvadd 31090  ax-hv0cl 31093  ax-hfvmul 31095  ax-hvmul0 31100  ax-hfi 31169  ax-his1 31172  ax-his2 31173  ax-his3 31174  ax-his4 31175

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-sup 9350  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-hnorm 31058  df-hvsub 31061

This theorem is referenced by:  polid  31249