Theorem idfu1 17779

Description: Value of the object part of the identity functor. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
idfuval.i	⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝐶)
idfuval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
idfuval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
idfu1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
idfu1	⊢ (𝜑 → ((1st ‘𝐼)‘𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem idfu1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idfuval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝐶)
2		idfuval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		idfuval.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4	1, 2, 3	idfu1st 17778	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐼) = ( I ↾ 𝐵))
5	4	fveq1d 6819	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘𝐼)‘𝑋) = (( I ↾ 𝐵)‘𝑋))
6		idfu1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		fvresi 7102	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑋) = 𝑋)
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑋) = 𝑋)
9	5, 8	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘𝐼)‘𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   I cid 5508   ↾ cres 5616  ‘cfv 6477  1^st c1st 7914  Basecbs 17112  Catccat 17562  id_funccidfu 17754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-1st 7916  df-idfu 17758

This theorem is referenced by:  idffth  17834  ressffth  17839  catciso  18010  idfu1a  49113  cofid1a  49123