Theorem idfu1 17787

Description: Value of the object part of the identity functor. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
idfuval.i	⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝐶)
idfuval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
idfuval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
idfu1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
idfu1	⊢ (𝜑 → ((1st ‘𝐼)‘𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem idfu1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idfuval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝐶)
2		idfuval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		idfuval.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4	1, 2, 3	idfu1st 17786	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐼) = ( I ↾ 𝐵))
5	4	fveq1d 6824	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘𝐼)‘𝑋) = (( I ↾ 𝐵)‘𝑋))
6		idfu1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		fvresi 7107	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑋) = 𝑋)
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑋) = 𝑋)
9	5, 8	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘𝐼)‘𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   I cid 5508   ↾ cres 5616  ‘cfv 6481  1^st c1st 7919  Basecbs 17120  Catccat 17570  id_funccidfu 17762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-1st 7921  df-idfu 17766

This theorem is referenced by:  idffth  17842  ressffth  17847  catciso  18018  idfu1a  49213  cofid1a  49223