Theorem idfu1 17842

Description: Value of the object part of the identity functor. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
idfuval.i	⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝐶)
idfuval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
idfuval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
idfu1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
idfu1	⊢ (𝜑 → ((1st ‘𝐼)‘𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem idfu1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idfuval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝐶)
2		idfuval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		idfuval.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4	1, 2, 3	idfu1st 17841	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐼) = ( I ↾ 𝐵))
5	4	fveq1d 6860	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘𝐼)‘𝑋) = (( I ↾ 𝐵)‘𝑋))
6		idfu1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		fvresi 7147	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑋) = 𝑋)
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑋) = 𝑋)
9	5, 8	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘𝐼)‘𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   I cid 5532   ↾ cres 5640  ‘cfv 6511  1^st c1st 7966  Basecbs 17179  Catccat 17625  id_funccidfu 17817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-1st 7968  df-idfu 17821

This theorem is referenced by:  idffth  17897  ressffth  17902  catciso  18073  idfu1a  49091  cofid1a  49101