Theorem fnmpo 8068

Description: Functionality and domain of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fnmpo	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥, 𝑦)   𝐹(𝑥, 𝑦)   𝑉(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem fnmpo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3478	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ V)
2	1	2ralimi 3137	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V)
3		fmpo.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
4	3	fmpo 8067	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V ↔ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶V)
5		dffn2 6711	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵) ↔ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶V)
6	4, 5	bitr4i 281	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V ↔ 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵))
7	2, 6	sylib 221	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  Vcvv 3457   × cxp 5661   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536   ∈ cmpo 7418

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7988  df-2nd 7989

This theorem is used by:  fnmpoi  8069  dmmpoga  8072  fnmpoovd  8084  fsplitfpar  8115  genpdm  10998  isofn  17850  brric  20623  mpocti  33106  f1od2  33110  cnre2csqima  34341  aks6d1c6lem3  42972  elrnmpoid  45976  smflimlem3  47520  smflimlem6  47523  invfn  49841  iinfssclem2  49866  imasubclem2  49916